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沪科版·八年级下册
第17章 一元二次方程
17.2 一元二次方程的解法
因式分解法
学习目标
1
2
正确理解因式分解法的实质，熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程.
通过新方法的学习，培养学生分析问题解决问题的能力及探索精神.
3
通过因式分解法的学习使学生树立转化的思想.
回顾导入
回顾 1：因式分解的方法有哪些？
（1）提公因式法：
ma + mb + mc = m(a + b + c)
（2）公式法：
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
a2 ±2ab + b2 = (a ± b)2
（3）十字相乘法：
x2 + (p + q)x2 + pq = (x + p)(x + q)
回顾 2：把下列各式因式分解：
（1）2x2 – x；
（2）x2 – 16y2；
（3）9a2 – 24ab + 16b2；
（4）x2 + 3x – 10.
x(2x – 1)
(x + 4y)(x – 4y)
(3a – 4b)2
(x + 5)(x – 2)
推进新课
思 考
你会用什么方法解方程 x2 = 9？
直接开平方法
知识点 用因式分解法解一元二次方程
先变形为一般形式
x2 – 9 = 0
分解因式
(x + 3)(x – 3) = 0
如果两个因式的积等于 0，那么这两个因式中至少有一个等于 0；反过来，如果两个因式中有一个等于 0，那么它们的积就等于 0.
(x + 3)(x – 3) = 0
因此，有 x – 3 = 0 或 x + 3 = 0.
x2 = 9
解这两个一次方程，得 x1 = 3，x2 = – 3.
这种通过因式分解，将这个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫作因式分解法.
方程的一边为 0；
另一边能分解成两个一次因式的积.
化归方法
公式法
例 5
解方程： x2 – 2x = 0.
分析：方程右边为 0，左边有公因式 x，可直接用提公因式法分解因式.
解：提取公因式，得
因此，有 x = 0 或 x – 2 = 0.
所以原方程的根是
二次方程 ax2 + bx = 0 (a ≠ 0) 的根：
把左边分解因式
x(ax + b) = 0.
x(x – 2) = 0.
x1 = 0，x2 = 2.
提公因式法
例 6
解方程：(x + 4)(x – 1) = 6.
分析：方程右边不为 0，左边为两个多项式相乘，先将方程化为一般形式，再尝试因式分解.
解：将原方程化为一般形式，得
x2 + 3x – 10 = 0.
– 10 = (– 2)×5，3 = (– 2) + 5
把方程左边分解因式，得
(x + 5)(x – 2) = 0.
因此，有 x + 5 = 0 或 x – 2 = 0.
所以原方程的根是
x1 = – 5，x2 = 2.
十字相乘法
例 7
解方程： x2 = x.
分析：方程左右两边都有 x，可先移项，再用提公因式法分解因式.
解：移项、提取公因式，得
因此，有 x = 0 或 x – 1 = 0.
所以原方程的根是
x(x – 1) = 0.
x1 = 0，x2 = 1.
方程两边同除以 x，得 x = 1. 故方程的根为 x = 1.
这样做对吗？为什么？
方程两边不能除以含有未知数的整式，否则会失根.
用因式分解法解一元二次方程的步骤：
将一元二次方程化为一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
1
2
因式分解，将方程左边分解为一次因式相乘的形式.
3
将方程降次为两个一元一次方程的形式 mx + n = 0 (m ≠ 0)
4
解两个一元一次方程，求出方程的根.
提公因式法
公式法
十字相乘法
方法
练一练
解下列方程：
【教材P30练习 T1】
（3）3(x + 1) = x(x + 1)；（4）x2 – 6x – 7 = 0；
（1） ；（2）4x2 – 3x = 0.
解：（1）由题意，得
所以原方程的根是
（5）t(t + 3) = 28；（6）(x + 1)(x + 3) = 15.
（2）提取公因式，得
因此，有 x = 0 或 4x – 3 = 0.
所以原方程的根是
x(4x – 3) = 0.
（3）3(x + 1) = x(x + 1)；（4）x2 – 6x – 7 = 0；
（3）将原方程化为一般形式，得
x2 – 2x – 3 = 0.
把方程左边分解因式，得
(x + 1)(x – 3) = 0.
因此，有 x + 1 = 0 或 x – 3 = 0.
所以原方程的根是
x1 = – 1，x2 = 3.
（4）把方程左边分解因式，得
(x + 1)(x – 7) = 0.
因此，有 x + 1 = 0 或 x – 7 = 0.
所以原方程的根是
x1 = – 1，x2 = 7.
不能直接两边同除以(x + 1)!
（5）t(t + 3) = 28；（6）(x + 1)(x + 3) = 15.
（5）将原方程化为一般形式，得
t2 + 3t – 28 = 0.
把方程左边分解因式，得
(t + 7)(t – 4) = 0.
因此，有 t + 7 = 0 或 t – 4 = 0.
所以原方程的根是
t1 = – 7，t2 = 4.
（6）将原方程化为一般形式，得
x2 + 4x – 12 = 0.
把方程左边分解因式，得
(x + 6)(x – 2) = 0.
因此，有 x + 6 = 0 或 x – 2 = 0.
所以原方程的根是
x1 = – 6，x2 = 2.
总 结
方法 适用的方程
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
一边为 0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程
所有一元二次方程
解一元二次方程的方法及适用类型
x2 = p或 (mx + n)2 = p (m ≠ 0，p 0)
所有一元二次方程
随堂练习
1. 解下列方程：
（1）x2 – 7x = – 12；（2）x2 – 2x – 8 = 0；
（3）x(x – 4) = x – 4；（4）(x – 2)2 – 5(x – 2) = 0；
（5）(x + 2)2 = 3(2 + x) ；（6）3(x2 – 1) = 2(1 – x)2.
解：（1）将原方程化为一般形式，得
x2 – 7x + 12 = 0.
把方程左边分解因式，得
(x – 3)(x – 4) = 0.
因此，有 x – 3 = 0 或 x – 4 = 0.
所以原方程的根是
x1 = 3，x2 = 4.
（2）x2 – 2x – 8 = 0；（3）x(x – 4) = x – 4；
（2）把方程左边分解因式，得
(x + 2)(x – 4) = 0.
因此，有 x + 2 = 0 或 x – 4 = 0.
所以原方程的根是
x1 = – 2，x2 = 4.
（3）移项、提取公因式，得
(x – 1)(x – 4) = 0.
因此，有 x – 1 = 0 或 x – 4 = 0.
所以原方程的根是
x1 = 1，x2 = 4.
（4）(x – 2)2 – 5(x – 2) = 0；（5）(x + 2)2 = 3(2 + x)；
（4）提取公因式，得
因此，有 x – 2 = 0 或 x – 7 = 0.
所以原方程的根是
(x – 2)(x – 7) = 0.
x1 = 2，x2 = 7.
（5）移项、提取公因式，得
(x + 2)(x – 1) = 0.
因此，有 x + 2 = 0 或 x – 1 = 0.
所以原方程的根是
x1 = – 2，x2 = 1.
（6）3(x2 – 1) = 2(1 – x)2.
（6）移项、分解因式，得
3(x + 1)(x – 1) – 2(x – 1)2 = 0.
提取公因式，得
(x – 1)[3(x + 1) – 2(x – 1)] = 0.
(x – 1)(x + 5) = 0.
因此，有 x + 5 = 0 或 x – 1 = 0.
所以原方程的根是
x1 = – 5，x2 = 1.
2. 分别用公式法和因式分解法解方程
x2 – 6x + 9 = (5 – 2x)2.
公式法：原方程化为一般形式，得 3x2 – 14x + 16 = 0.
代入求根公式，得
所以原方程的根是
因式分解法：原方程可化为 (x – 3)2 – (5 – 2x)2 = 0.
分解因式，得
[(x – 3) + (5 – 2x)][(x – 3) – (5 – 2x)] = 0
即 (2 – x)(3x – 8) = 0
因此，有 2 – x = 0 或 3x – 8 = 0
所以原方程的根是
3. 若一个三角形的三边长均满足方程
x2 – 7x + 12 = 0，求此三角形的周长.
解：把方程左边分解因式，得
(x – 3)(x – 4) = 0.
因此，有 x – 3 = 0 或 x – 4 = 0.
所以原方程的根是
x1 = 3，x2 = 4.
∵三角形三边长均为方程的根，所以有以下几种情况：
① 三角形三边长为 3、3、3，周长为 9；
② 三角形三边长为 4、3、3，周长为 10；
③ 三角形三边长为 4、4、3，周长为 11；
④ 三角形三边长为 4、4、4，周长为 12.
课堂小结
因式分解法
概念
依据
步骤
用因式分解法解方程
提公因式法
若 ab = 0，则 a = 0 或 b = 0.
公式法
十字相乘法
课后作业
完成练习册本课时的习题.

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