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沪科版·八年级下册
第17章 一元二次方程
17.3 一元二次方程根的判别式
学习目标
1
2
了解一元二次方程根的判别式，理解为什么能根据它判断方程根的情况.
会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等.
3
在对求根公式讨论时，注意培养学生的分类思想.
回顾导入
配方法求方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的求根公式：
思 考
方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 有实数根的条件是什么？
推进新课
知识点一 一元二次方程根的情况
因为 a ≠ 0，所以 4a2 > 0.
b2 – 4ac 的值有三种情况：
① b2 – 4ac > 0
② b2 – 4ac = 0
③ b2 – 4ac < 0
① 当 b2 – 4ac > 0 时，
因此，方程有两个不相等的实数根：
② 当 b2 – 4ac = 0 时，
因此，方程有两个相等的实数根：
③ 当 b2 – 4ac < 0 时，
x 取任何实数都不能使
因此，方程没有实数根.
知识点二 一元二次方程根的判别式
b2 – 4ac 叫作一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即
Δ = b2 – 4ac.
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 根的情况由 b2 – 4ac 来确定.
一般地，一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ，其中 Δ = b2 – 4ac.
当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ < 0 时，方程没有实数根.
此结论
反过来成
立吗？
反过来也成立
例
用根的判别式判别下列方程根的情况：
（1）5x2 – 3x – 2 = 0；（2）25y2 + 4 = 20y；
（3）
解：（1）因为 Δ = (–3)2 – 4×5×(–2) = 49 > 0，
所以原方程有两个不相等的实数根.
分析：(2) 先将方程化为一般形式，再代入判别式.
（2）原方程可变形为 25y2 – 20y + 4 = 0.
因为 Δ = (–20)2 – 4×25×4 = 0，
所以原方程有两个相等的实数根.
例
用根的判别式判别下列方程根的情况：
（1）5x2 – 3x – 2 = 0；（2）25y2 + 4 = 20y；
（3）
所以原方程没有实数根.
（3）因为
练一练
【教材P35练习 T1】
1. 用根的判别式判别下列方程根的情况：
（1）2x2 – 5x – 4 = 0；（2）7t2 – 5t + 2 = 0；
（3）x(x + 1) = 3；（4）
解：（1）因为 Δ = (–5)2 – 4×2×(–4) = 57 > 0，
所以原方程有两个不相等的实数根.
（2）因为 Δ = (–5)2 – 4×7×2 = – 31 < 0，
所以原方程没有实数根.
（3）x(x + 1) = 3；（4）
（3）原方程可变形为 x2 + x – 3 = 0.
所以原方程有两个不相等的实数根.
因为 Δ = 12 – 4×1×(–3) = 13 > 0，
所以原方程有两个相等的实数根.
因为
（4）原方程可变形为
练一练
【教材P35练习 T1】
1. 用根的判别式判别下列方程根的情况：
练一练
【教材P35练习 T2】
2. 已知关于 x 的方程 x2 – 3x + k = 0. k 取何值时，这个方程：
（1）有两个不相等的实数根？
（2）有两个相等的实数根？
（3）没有实数根？
解：根据题意，得 Δ = (–3)2 – 4×1×k = 9 – 4k.
（1）若方程有两个不相等的实数根，则 Δ > 0.
所以 9 – 4k > 0.
解得
即当 时，方程有两个不相等的实数根.
（2）若方程有两个相等的实数根，则 Δ = 0.
所以 9 – 4k = 0.
解得
即当 时，方程有两个相等的实数根.
（3）若方程没有实数根，则 Δ < 0.
所以 9 – 4k < 0.
解得
即当 时，方程没有实数根.
随堂练习
1. 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 有实数根，则 b2 – 4ac 满足的条件是（ ）
A. b2 – 4ac = 0 B. b2 – 4ac ＞ 0
C. b2 – 4ac ＜ 0 D. b2 – 4ac ≥ 0
D
2. 已知一元二次方程：① x2 + 2x + 3 = 0，② x2 – 2x – 3 = 0. 下列说法正确的是（ ）
①②都有实数解
①无实数解，②有实数解
①有实数解，②无实数解
①②都无实数解
B
3. 用根的判别式判别下列方程根的情况：
（1）16x2 – 24x + 9 = 0；（2）3x2 + 10 = 2x2 + 8x；
（3） ；（4）
解：（1）因为 Δ = (–24)2 – 4×16×9 = 0，
所以原方程有两个相等的实数根.
（2）原方程可变形为 x2 – 8x + 10 = 0.
所以原方程有两个不相等的实数根.
因为 Δ = (–8)2 – 4×1×10 = 24 > 0，
（3） ；（4）
所以原方程有两个不相等的实数根.
（3）因为
所以原方程没有实数根.
（4）因为
4. 无论 p 取何值，方程 (x – 3)(x – 2) – p2 = 0 总有两个不相等的实数根吗？说明你的理由.
解：原方程可变形为 x2– 5x + (6 – p2) = 0.
所以 Δ = (–5)2 – 4×1× (6 – p2)
= 1 + 4p2
因为 4p2 ≥ 0，所以 1 + 4p2 ≥ 1 > 0.
所以无论 p 取何值，Δ > 0 都成立，即方程 (x – 3)(x – 2) – p2 = 0 有两个不相等的实数根.
课堂小结
b2 – 4ac 叫作一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即
Δ = b2 – 4ac.
当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ < 0 时，方程没有实数根.
课后作业
完成练习册本课时的习题。
沪科版·八年级下册
第17章 一元二次方程
习题17.3
【教材P35习题17.3 T1】
1. 用根的判别式判别下列方程根的情况：
（1）2y2 + 4y + 35 = 0；（2）
（3）x2 + 0.09 = 0.6x；（4）4y(y – 1) + 1 = 0.
解：（1）因为 Δ = 42 – 4×4×35 = – 264 < 0，
所以原方程没有实数根.
所以原方程有两个不相等的实数根.
因为
（2）原方程可变形为
（3）x2 + 0.09 = 0.6x；（4）4y(y – 1) + 1 = 0.
（3）原方程可变形为 x2 – 0.6x + 0.09 = 0.
所以原方程有两个相等的实数根.
因为 Δ = (–0.6)2 – 4×1×0.09 = 0，
（4）原方程可变形为 4y2 – 4y + 1 = 0.
所以原方程有两个相等的实数根.
因为 Δ = (–4)2 – 4×4×1 = 0，
2. 求证：关于 x 的方程 x2 + (2k + 1)x + k – 1 = 0 有两个不相等的实数根.
证明：根据题意，得
Δ = (2k + 1)2 – 4×1×(k – 1) = 4k2 + 5.
因为 4k2 ≥ 0，所以 4k2 + 5 ≥ 5 > 0.
所以无论 k 取何值，Δ > 0 都成立，即方程 x2 + (2k + 1)x + k – 1 = 0 有两个不相等的实数根.
【教材P35习题17.3 T2】
3. k 取什么值时，关于 x 的方程 4x2 – (k + 2)x + k – 1 = 0 有两个相等的实数根？求出这时方程的根.
解：根据题意，得
Δ = (k + 2)2 – 4×4×(k – 1) = k2 – 12k + 20.
因为方程有两个相等的实数根，所以 Δ = 0.
所以当 k 取 10 或 2 时，方程 4x2 – (k + 2) x + k – 1 = 0 有两个相等的实数根.
【教材P35习题17.3 T3】
即 k2 – 12k + 20 = 0.
解得 k1 = 10，k2 = 2.
① 当 k1 = 10 时，原方程为 4x2 – 12x + 9 = 0.
将方程左边分解因式，得 (2x – 3)2 = 0.
开平方，得 2x – 3 = 0.
所以原方程的根是
② 当 k2 = 2 时，原方程为 4x2 – 4x + 1 = 0.
将方程左边分解因式，得 (2x – 1)2 = 0.
开平方，得 2x – 1 = 0.
所以原方程的根是
4. 关于 x 的一元二次方程 (m – 1)x2 – 2mx + m = 0 有实数根，求 m 的取值范围.
【教材P35习题17.3 T4】
解：根据题意，得
Δ = (–2m)2 – 4×(m – 1)×m = 4m.
因为方程有实数根，所以 Δ ≥ 0.
所以当 m ≥ 0 且 m ≠ 1 时，一元二次方程 (m – 1)x2 – 2mx + m = 0 有实数根.
即 m ≥ 0.
又因为方程为一元二次方程，所以 m – 1 ≠ 0.
解得 m ≠ 1.

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