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沪科版·八年级下册
第17章 一元二次方程
17.4 一元二次方程的根与系数的关系
学习目标
1
2
了解一元二次方程根与系数的关系.
通过由特殊到一般，培养学生观察、分析，猜测规律的能力.
新课导入
探 索
从因式分解法可知，方程 (x – x1)(x – x2) = 0 (x1，x2为已知数)的两根为 x1 和 x2. 将方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？
①式可化为 x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0 ③
由②③式可对应得到 p = – (x1 + x2)，q = x1x2.
则上述方程两个根的和、积与系数的关系为：
x1 + x2 = – p，x1x2 = q.
(x – x1)(x – x2) = 0 ① → x2 + px + q = 0 ②
推进新课
知识点 一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，且 b2 – 4ac ≥ 0) 的根与系数之间还有什么形式的关系呢？
思 考
观察 x1 、 x2 表达式的特点，你有什么发现？
一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1 、 x2 ，
那么
韦达定理
如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1 、 x2 ，
那么
当一元二次方程的二次项系数为 1 时，它的一般形式为 x2 + px + q = 0. 设它的两个根为 x1 ， x2，这时有与 x1 + x2 = – p，x1x2 = q.
练一练
【教材P38练习 T1】
下列各方程中，两根之和与两根之积各是多少？
（1）x2 – 3x + 1 = 0；（2）3x2 – 2x – 2 = 0；
（3）2x2 + 3x = 0；（4）3x2 = 1.
解：设方程的两个根分别为 x1，x2，由韦达定理，得
（1）
（2）
（3）
（4）3x2 = 1.
（4）将方程化为一般形式，得 3x2 – 1 = 0.
例 1
已知关于 x 的方程 2x2 + kx – 4 = 0 有两个根，其中一个根是 – 4，求它的另一个根及 k 的值.
解：设方程的另一个根是 x2，则
解方程组，得
所以方程的另一个根为 ，k 的值为 7.
还有其他解法吗？
例 1
已知关于 x 的方程 2x2 + kx – 4 = 0 有两个根，其中一个根是 – 4，求它的另一个根及 k 的值.
方法二：先将 x1 = – 4 代入方程中，求出 k 的值，再求出方程的解.
2×(– 4)2 – 4k – 4 = 0
28 – 4k = 0
k = 7
2x2 + 7x – 4 = 0
练一练
【教材P38练习 T2】
已知关于 x 的方程 3x2 – 19x + m = 0 有两个根，其中一个根是 1，求它的另一个根及 m 的值.
解：设方程的另一个根是 x2，则
解方程组，得
所以方程的另一个根为 ，m 的值为 16.
例 2
方程 2x2 – 3x – 1 = 0 的两个根记作 x1，x2，求 x1 – x2 的值.
解：由韦达定理，得
(x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2
一般地，若 ax2 + bx + c = 0 的两个根为 x1，x2，你能用 a，b，c 表示 |x1 – x2| 吗？
由韦达定理，得
(x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2
一般地，若 ax2 + bx + c = 0 的两个根为 x1，x2，你能用 a，b，c 表示 |x1 – x2| 吗？
由求根公式，得
拓展
与一元二次方程有关的代数式的常见变形：
①
②
③
④
⑤
⑥
练一练
【教材P38练习 T3】
设 x1，x2 是方程 2x2 + 4x – 3 = 0 的两个根，求下列各式的值.
（1）(x1 + 1)(x2 + 1)；
（2）
（3）|x1 – x2|.
解：由韦达定理，得
（1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1
（2）
（3）(x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2
引申：对于 ax2 bx c 0（a 0， 0）
（1）若两根互为相反数，则 b 0；
（2）若两根互为倒数，则 a c；
（3）若一根为 0，则 c 0；
（4）若一根为 1，则 a b c 0；
（5）若一根为 1，则 a b c 0；
（6）若 a、c 异号，方程一定有两个实数根.
你能自己推导出这些结果吗？
随堂练习
1. 关于 x 的方程 x2 + px + q = 0 的根为 x1 = 1 + ，x2 = 1 – ，则 p = ，q = .
–2
–1
2. 方程 5x2 + kx – 6 = 0 有两个不相等的实数根，其中一个根是 2，则另一根是 ， k = .
–7
3. 下列各方程中，两根之和与两根之积各是多少？
（1）x2 – 3x + 2 = 0；（2）x2 + x = 5x + 6；
（3）5x2 – 1 = 4x2 + x；（4）2x2 – x + 2 = 3x + 1.
解：设方程的两个根分别为 x1，x2，由韦达定理，得
（1）
（2）将方程化为一般形式，得 x2 – 4x – 6 = 0.
（3）5x2 – 1 = 4x2 + x；（4）2x2 – x + 2 = 3x + 1.
（3）将方程化为一般形式，得 x2 – x – 1 = 0.
（4）将方程化为一般形式，得 2x2 – 4x + 1 = 0.
4. x1，x2 是方程 x2 – 5x – 7 = 0 的两根，不解方程求下列各式的值：
（1） ；（2）x12 + x22.
解：因为 x1，x2 是方程 x2 – 5x – 7 = 0 的两根.
所以 x1 + x2 = 5，x1x2 = – 7 .
（1）
（2）x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2
= 52 – 2×(– 7)
= 39
课堂小结
如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1 、 x2 ，
那么
韦达定理
课后作业
完成练习册本课时的习题。
沪科版·八年级下册
第17章 一元二次方程
习题17.4
【教材P38习题17.4 T1】
1. 若长方形的长和宽是方程 4x2 – 12x + 3 = 0 的两个根，求该长方形的周长和面积.
解：设方程的两个根分别为 x1，x2，由韦达定理，得
所以长方形的周长 C = 2(a + b) = 2(x1 + x2) = 6.
长方形的面积
2.不解方程，试说明一元二次方程 3x2 – 5x = 7 必有实数根，并求出两根之和与两根之积.
解：将原方程化为一般形式，得
3x2 – 5x – 7 = 0.
所以原方程有两个不相等的实数根.
【教材P38习题17.4 T2】
所以 Δ = (–5)2 – 4×3×(–7) = 109 > 0，
【教材P38习题17.4 T3】
3. 已知关于 x 的方程 2x2 + mx – 3 = 0 有两个根，其中一个根为 ，求它的另一个根及 m 的值.
解：设方程的另一个根是 x2，则
解方程组，得
所以方程的另一个根为 – 3，m 的值为 5.
4. 已知关于 x 的方程 x2 + mx + 2m – n = 0 的一个根为 2，且根的判别式为 0，求 m，n 的值.
【教材P38习题17.4 T4】
解：根据题意，得
Δ = m2 – 4(2m – n) = m2 – (8m – 4n) = 0
且 4 + 2m + 2m – n = 4 + 4m – n = 0
即 4m – n = – 4
所以 m2 – (8m – 4n) = m2 – 4(4m – n) + 8m = 0
即 m2 + 8m + 16 = 0
解得 m1 = m2 = – 4
所以 n = 4m + 4 = – 12
所以 m 的值为 – 4，n 的值为 – 12.
5. 已知两数的和为 2，积为 – 2，求这两个数.
【教材P38习题17.4 T5】
解：设其中一个数为x，则另一个数为(2 – x).
根据题意，得 x(2 – x) = – 2
整理，得 x2 – 2x – 2 = 0.
解得
所以这两个数是
二次三项式的因式分解
二次三项式 ax2 + bx + c (abc ≠ 0，a，b，c 为常数) 在实数范围内的因式分解，还可利用求一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根来进行.
若方程 ax2 + bx + c = 0 有两个根 x1，x2，则由根与系数的关系可知
因此，ax2 + bx + c
例如，一元二次方程 3x2 – 5x – 12 = 0 的两个根是
则二次三项式 3x2 – 5x – 12 可分解为_________________.
1. 在实数范围内，将 4x2 + 8x – 1 分解因式.
思 考
解：解一元二次方程 4x2 + 8x – 1 = 0，得
所以二次三项式 4x2 + 8x – 1 可分解为
2. 二次三项式 2x2 + 3x + 2 能否在实数范围内分解？
思 考
解：对于一元二次方程 2x2 + 3x + 2 = 0，
Δ = 32 – 4×2×2 = – 7 < 0
即一元二次方程 2x2 + 3x + 2 = 0 没有实数根.
所以二次三项式 2x2 + 3x + 2 不能在实数范围内分解.

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