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第17章 一元二次方程
17.5 一元二次方程的应用
面积问题与数字问题
沪科版·八年级下册
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列方程解应用题的一般步骤：
审
找
列
解
验
答
弄清题意和题中的数量关系，用字母表示问题涉及的未知数
分析题意，找出等量关系（可借助示意图、表格等）
根据等量关系，列出需要的代数式，并列出方程
解这个方程，求出未知数的值
检查所得的值是否正确和符合实际情形
写出答案（包括单位）
推进新课
如图，在一块宽 20 m、长 32 m 的长方形空地上，修筑三条等宽的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把这块空地分成 6 块，建成小花坛. 要使花坛的总面积为 570 m2，小路的宽应是多少？
20
32
(单位：m)
x
例 1
【教材P40 例1】
x
审
找
知识点一 面积问题
20
32
(单位：m)
x
解 设小路的宽是 x m，根据题意，得
32×20 – (32x + 2×20x) + 2x2 = 570
整理，得 x2 – 36x + 35 = 0
则 (x – 1)(x – 35) = 0
解方程，得 x1 = 1，x2 = 35.
x2 = 35 不合题意，所以 x = 1.
答：小路的宽应为 1 m.
列
解
验
答
练一练
【教材P43练习T2】
审
找
列
解
验
答
我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长十二步，问长阔共几步. 大意是：长方形面积 864 平方步，宽比长少 12 步，问长、宽共几步.（注：步为当时的长度单位）
解：设长方形的长是 x 步，则宽是 (x – 12) 步.
根据题意，得 x(x – 12) = 864
解方程，得 x1 = 36，x2 = – 24.
x2 = – 24 不合题意，所以 x = 36，所以 x – 12 = 24.
答：长方形的长为 36 步，宽为 24 步.
x
【教材P41 例4】
20
(单位：cm)
20
x–40
x
如图，将一块正方形金属片的四个角各截去一个相同大小的小正方形，围成高为 20 cm、容积为 2 880 cm3 的开口方盒. 原金属片的边长是多少？
例 2
方盒的高：
20 cm
方盒的底边长：
(x – 40) cm
方盒的底面积：
(x – 40)2 cm2
方盒的容积：
20(x – 40)2 cm3
解 设原金属片的边长是 x cm，则方盒的底边长是 (x – 40) cm. 根据题意，得
20(x – 40)2 = 2880
整理，得 (x – 40)2 = 144.
解方程，得 x1 = 52，x2 = 28.
x2 = 28 不合题意，所以 x = 52.
答：原金属片的边长是 52 cm.
x
20
(单位：cm)
20
x–40
练一练
【教材P43练习T1】
一根水管内壁均匀地形成一层厚 3 mm 的附着物，从而导致流通截面（圆形）减少至原来的 . 求这根水管原来的内壁直径.
等量关系：
x
解：设原来的内壁直径是 x mm，
根据题意，得
解方程，得 x1 = 18，x2 = 3.6.
x2 = 3.6 不合题意，所以 x = 18.
答：这根水管原来的内壁直径是 18 mm.
练一练
【教材P43练习T1】
一根水管内壁均匀地形成一层厚 3 mm 的附着物，从而导致流通截面（圆形）减少至原来的 . 求这根水管原来的内壁直径.
利用一元二次方程解决面积问题时，常利用规则图形的面积、体积或周长公式等建立方程进行计算；对于部分不规则图形，可以通过平移、旋转等变换，转化为规则图形来解决问题.
知识点二 数字问题
【教材P41练习T1】
如果两个连续偶数的积是 288，求这两个数.
分析：
较小的偶数
x
较大的偶数
x + 2
积为288
x(x + 2) = 288
解：设前一个偶数是 x ，则后一个偶数是是 (x + 2) .
根据题意，得 x(x + 2) = 288
解方程，得 x1 = 16，x2 = – 18.
答：这两个数分别为 16 和 18，或 – 18 和 – 16.
所以 x1 + 2 = 18，x2 + 2 = – 16.
练一练
一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是 5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积为 736，求原来的两位数.
分析：
原两位数
十位
个位
x
5 – x
10x + (5 – x)
个位十位对调
积为 736
现两位数
十位
个位
5 – x
x
10(5 – x) + x
解：设原来的两位数的十位上的数字为 x ，则个位上的数字为 (9 – x).
练一练
一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是 9，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积为 2268，求原来的两位数.
根据题意，得 [10x + (9 – x)][10(9 – x) + x] = 2268
解方程，得 x1 = 6，x2 = 3，则 9 – x1 = 3，9 – x2 = 6.
所以原来的两位数是 63 或 36.
解题策略：解决数字问题设未知数时，通常采用间接设元法.
设元的方法 方法解读
直接设元法 设待求量为未知数
间接设元法 设待求量之外的量为未知数，用含未知数的代数式表示待求量
辅助设元法 引入辅助未知数，并在解题过程中消去
随堂练习
1. 如图，在长为 50 m，宽为 38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪. 要使草坪的面积为 1260 m2，道路的宽应为_____m.
4
(50 – 2x)(38 – 2x) = 1260
2. 如图是一个三角形点阵，从上向下有无数行，其中第一行有 1 个点，第二行有 2 个点……第 n 行有 n 个点. 若 10 是前 4 行点数之和，则 465 是前（ ）行点数之和.
A. 20 B. 25 C. 28 D. 30
D
3. 如图，学校计划在一块长 16 m，宽 10 m 的矩形空地上修建花坛，要求在花坛中修建两条纵向平行和一条横向弯折的小道（所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形），剩余的地方种植花草. 要使种植花草的面积为 126 m2，则小道进出口的宽度应为多少米？
将不规则图形转化为规则图形
解：设小道进出口的宽度为 x m，根据题意，得
(16 – 2x)(10 – x) = 126
整理，得 x2 – 18x + 17 = 0.
解方程，得 x1 = 1，x2 = 17.
x2 = 17 不合题意，所以 x = 1.
答：小道进出口的宽度应为 1 m.
课堂小结
面积问题：
利用规则图形的面积、体积或周长公式等建立方程进行计算；对于部分不规则图形，可以通过平移、旋转等变换，转化为规则图形来解决问题.
数字问题：
解决数字问题时，通常采用间接设元法设未知数.
课后作业
完成练习册本课时的习题。

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