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初四上月考数学试卷
一．选择题（共10小题）
1．的值是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，矩形ABCD的对角线交于点O．已知AB＝m，∠BAC＝∠α，则下列结论错误的是（　　）
A．∠BDC＝∠α B．BC＝m tanα C．AO D．BD
3．如图是某个几何体的展开图，则把该几何体平放在平面上时，其俯视图为（　　）
A． B． C． D．
4．以下说法合理的是（　　）
A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是
D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有1次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是
5．如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，，AC交BD于点G．若∠COD＝126°，则∠AGB的度数为（　　）
A．99° B．110° C．108° D．117°
第5题图 第6题图 第7题图
6．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为（　　）
A．13 B．24 C．26 D．28
7．如图，PA、PB是圆O的切线，A、B为切点，AC是直径，∠BAC＝35°，∠P的度数为（　　）
A．60° B．80° C．70° D．55°
8．将抛物线y＝x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则得到的抛物线的函数表达式为（　　）
A．y＝（ x+2）2﹣3 B．y＝（ x+2）2+3
C．y＝（ x﹣2）2+3 D．y＝（ x﹣2）2﹣3
9．如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为（　　）
A．π B．2π C． D．2π﹣2
10．呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的R1），R1的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见表．下列说法不正确的是（　　）
信息窗 M＝2200×K×10﹣3mg/100ml（M为血液酒精浓度，K为呼气酒精浓度） 非酒驾（M＜20mg/100ml） 酒驾（20mg/100ml≤M≤80mg/100ml） 醉驾（M＞80mg/100ml）
A．呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小
B．当K＝0时，R1的阻值为100
C．当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态
D．当R1＝20时，该驾驶员为醉驾状态
二．填空题（共5小题，每题4分）
11．已知点A（2，y1），B（6，y2）在反比例函数y（k≠0）的图象上，如果y1＞y2，那么k＝　 　 （请写出一个符合条件的k值）．
12．如图，已知反比例函数和在第一象限的图象，直线AB∥x轴，与两个反比例函数图象分别交于点A、B，若S△AOB＝3，则k＝　 　 ．
13．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+c＞mx+n的解集是 　 ．
14．如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过10米），围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为S平方米，则S关于x的函数解析式是 （不写定义域）．
15．如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数y的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的⊙A和⊙B．当⊙A，⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接AC，BD，则阴影部分图形的面积和为　 　 ．（结果保留π）
三．解答题（共8小题）
16．(1)（1）0+（﹣1）20253tan45°； (2)．
17．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y的图象分别交于C，D两点，点C（2，4），点B是线段AC的中点．
（1）求一次函数y＝k1x+b与反比例函数y的解析式
（2）求△COD的面积；
（3）直接写出当x取什么值时，k1x+b．
18．为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾，已知无人机悬停在湖面上的C处，工作人员所乘小船在A处测得无人机的仰角为30°，当工作人员沿正前方向划行30米到达B处，测得无人机的仰角为45°，求无人机离湖面的高度．（结果不取近似值）
19．为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件．经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件．
（1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是　 　 件；
（2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元；
（3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
20．如图，△ABC的顶点A，C在⊙O上，圆心O在边AB上，∠ACB＝120°，BC与⊙O相切于点C，连接OC．
（1）求∠ACO的度数；
（2）求证：AC＝BC．
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，点O是边AB上一点，以点O为圆心、OB长为半径作圆，⊙O恰好经过点D，交AB于点E．
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）若点E为AO的中点，AD＝3，求阴影部分的面积；
（3）连接DE，若，求cosA的值．
22．综合与实践
【问题背景】排队是生活中常见的场景．如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系．
【研究条件】
条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数＝现场总人数﹣已入场人数；
条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人．
【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：y＝﹣x2+60x+100（0≤x≤30）．
结合上述信息，请完成下述问题：
（1）当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为　 ，排队人数w与安检时间x的函数关系式为 　 ．
【模型应用】
（2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？
（3）已知该演出主办方要求：
①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少；
②尽量少安排安检通道，以节省开支．
若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性．
23．如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，连接PB交⊙O于点C，连接AC，则∠PAC＝∠B．理由如下：∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB＝90°
∴∠CAB+∠B＝90°
∵PA与⊙O相切于点A
∴PA⊥AB
∴∠PAB＝90°
∴∠CAB+∠PAC＝90°
∴∠PAC＝∠B
（1）小明根据以上结论，自主探究发现：如图甲，当AB是非直径的弦，而其他条件不变时，∠PAC＝∠B仍然成立，请说明理由；
（2）小明进一步探究发现：如图乙，线段PA与线段PC，PB存在如下关系：PA2＝PC PB．请你替小明证一证；
（3）拓展应用：如图丙，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝45°，∠AOB＝150°，BC的延长线与过点A的切线相交于P，若⊙O的半径为1，请你利用小明的探究结论求PC的长．
【2025.12.24】初四上月考数学试卷-临淄雪宫中学
一．选择题（共10小题）
1．的值是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：cos30°
，
故选：A．
2．如图，矩形ABCD的对角线交于点O．已知AB＝m，∠BAC＝∠α，则下列结论错误的是（　　）
A．∠BDC＝∠α B．BC＝m tanα C．AO D．BD
【解答】解：A、∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，
∴AO＝OB＝CO＝DO，
∴∠DBC＝∠ACB，
∴由三角形内角和定理得：∠BAC＝∠BDC＝∠α，故本选项不符合题意；
B、在Rt△ABC中，tanα，
即BC＝m tanα，故本选项不符合题意；
C、在Rt△ABC中，AC，即AO，故本选项符合题意；
D、∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝m，
∵∠BAC＝∠BDC＝α，
∴在Rt△DCB中，cosα，
所以BD，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．如图是某个几何体的展开图，则把该几何体平放在平面上时，其俯视图为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为几何体的展开图为一个扇形和一个圆形，故这个几何体是圆锥，
故选：B．
4．以下说法合理的是（　　）
A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是
D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有1次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是
【解答】解：A、小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是是错误的，3次试验不能总结出概率，故选项A错误，不符合题意；
B、某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，但不一定有5张中奖，故选项B错误，不符合题意；
C、某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是不正确，中靶与不中靶不是等可能事件，故选项C错误，不符合题意；
D、小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的可能性是，故选项D正确，符合题意．
故选：D．
5．如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，，AC交BD于点G．若∠COD＝126°，则∠AGB的度数为（　　）
A．99° B．110° C．108° D．117°
【解答】解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵，
∴∠B＝∠D＝45°，
∵∠DAC∠COD126°＝63°，
∴∠AGB＝∠DAC+∠D＝63°+45°＝108°．
故选：C．
6．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为（　　）
A．13 B．24 C．26 D．28
【解答】解：设圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，如图所示：
∴ACAB10＝5，
设⊙O的半径为r寸，
在Rt△ACO中，OC＝r﹣1，OA＝r，
则有r2＝52+（r﹣1）2，
解得r＝13，
∴⊙O的直径为26寸，
故选：C．
7．如图，PA、PB是圆O的切线，A、B为切点，AC是直径，∠BAC＝35°，∠P的度数为（　　）
A．60° B．80° C．70° D．55°
【解答】解：∵PA、PB是圆O的切线，
∴PA＝PB，
∵AC是⊙O的直径，∠BAC＝35°，
∴PA⊥AC，
∴∠PAC＝90°，
∴∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°，
∴∠P＝180°﹣∠PBA﹣∠PAB＝180°﹣55°﹣55°＝70°，
故选：C．
8．将抛物线y＝x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则得到的抛物线的函数表达式为（　　）
A．y＝（ x+2）2﹣3 B．y＝（ x+2）2+3
C．y＝（ x﹣2）2+3 D．y＝（ x﹣2）2﹣3
【解答】解：抛物线 y＝x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则得到的抛物线的函数表达式为：y＝（ x+2）2﹣3，
故选：A．
9．如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为（　　）
A．π B．2π C． D．2π﹣2
【解答】解：∵AC＝AO＝2，∠CAO＝90°，
∴∠AOC＝∠ACO＝45°，
同理∠BCO＝∠COB＝45°，OB＝BC＝BD＝2，
由勾股定理得：OC2，
∴阴影部分的面积S＝（S扇形COE﹣S扇形FOB）+（S扇形EOD﹣S△OBD）
＝[]+[]
＝ππ﹣2
2，
故选：C．
10．呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的R1），R1的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见表．下列说法不正确的是（　　）
信息窗 M＝2200×K×10﹣3mg/100ml（M为血液酒精浓度，K为呼气酒精浓度） 非酒驾（M＜20mg/100ml） 酒驾（20mg/100ml≤M≤80mg/100ml） 醉驾（M＞80mg/100ml）
A．呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小
B．当K＝0时，R1的阻值为100
C．当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态
D．当R1＝20时，该驾驶员为醉驾状态
【解答】解：A、呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小，故A正确，不符合题意；
B、当K＝0时，R1的阻值为100，故B正确，不符合题意；
C、当K＝10时，M＝2200×10×10﹣3＝22mg/100mL，
∴当K＝10时，该驾驶员为酒驾状态，故C不正确，符合题意；
D、当R1＝20时，K＝40，则M＝2200×40×10﹣3＝88mg/100mL，
∴该驾驶员为醉驾状态，故D正确，不符合题意；
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．已知点A（2，y1），B（6，y2）在反比例函数y（k≠0）的图象上，如果y1＞y2，那么k＝　6（答案不唯一）　 （请写出一个符合条件的k值）．
【解答】解：∵点A（2，y1），B（6，y2）且y1＞y2，
∴反比例函数的增减性是在每个象限内y随x的增大而减小，
∴k＞0，
不妨令k＝6，
故答案为：6（答案不唯一）．
12．如图，已知反比例函数和在第一象限的图象，直线AB∥x轴，与两个反比例函数图象分别交于点A、B，若S△AOB＝3，则k＝　11　 ．
【解答】解：设AB与y轴交于点C，如图所示：
∵点A在反比例函数的图象上，
∴设点A的坐标为），
∴AC＝a，，
∵AB∥x轴，
∴点B的纵坐标为，
∵点B在反比例函数y＝k/x（k＞5）的图象上，
∴对于（k＞5），当时，得：，
∴，
∴点B的坐标为，
∴，
∴AB＝BC﹣AC，
∴S△AOBAB OC＝3，
∴，
解得：k＝11．
故答案为：11．
13．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+c＞mx+n的解集是 x＜﹣1或x＞3　 ．
【解答】解：∵点A，B横坐标分别为﹣1，3，
∴x＜﹣1或x＞3时，抛物线在直线上方，
∴ax2+c＞mx+n的解集是x＜﹣1或x＞3．
故答案为：x＜﹣1或x＞3．
14．如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过10米），围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为S平方米，则S关于x的函数解析式是 S＝﹣2x2+10x （不写定义域）．
【解答】解：设平行于墙的一边为（10﹣2x）米，则垂直于墙的一边为x米，
根据题意得：S＝x（10﹣2x）＝﹣2x2+10x，
故答案为：S＝﹣2x2+10x
15．如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数y的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的⊙A和⊙B．当⊙A，⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接AC，BD，则阴影部分图形的面积和为　　 ．（结果保留π）
【解答】解：当⊙A，⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，
∴AC⊥x轴，BD⊥x轴，
∵半径为1，
∴AC＝BD＝1，
∴A点的纵坐标为1，
把y＝1代入y，求得x，
∴A（，1），
∴OC，AC＝1，
∴tan∠OAC，
∴∠OAC＝60°，
∴第一象限中阴影的面积S1，
同理，第一象限中阴影的面积S2，
∴S阴影．
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
16．(1)（1）0+（﹣1）20253tan45°；
(2)．
【解答】解：(1)（1）0+（﹣1）20253tan45°
＝1﹣1﹣2+3×1
＝1．
(2)
＝43+2
＝3
17．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y的图象分别交于C，D两点，点C（2，4），点B是线段AC的中点．
（1）求一次函数y＝k1x+b与反比例函数y的解析式
（2）求△COD的面积；
（3）直接写出当x取什么值时，k1x+b．
【解答】解：（1）∵点C（2，4）在反比例函数y的图象上，
∴k2＝2×4＝8，
∴y2；
如图，作CE⊥x轴于E，
∵C（2，4），点B是线段AC的中点，
∴B（0，2），
∵B、C在y1＝k1x+b的图象上，
∴，
解得k1＝1，b＝2，
∴一次函数的解析式为y1＝x+2；
（2）由，
解得或，
∴D（﹣4，﹣2），
∴S△COD＝S△BOC+S△BOD2×22×4＝6；
（3）由图可得，当0＜x＜2或x＜﹣4时，k1x+b．
18．为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾，已知无人机悬停在湖面上的C处，工作人员所乘小船在A处测得无人机的仰角为30°，当工作人员沿正前方向划行30米到达B处，测得无人机的仰角为45°，求无人机离湖面的高度．（结果不取近似值）
【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
设BD＝x米，
∵AB＝x米，
∴AD＝AB+BD＝（x+30）米，
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，
∴CD＝AD tan30°（x+30）米，
在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，
∴CD＝BD tan45°＝x（米），
∴x（x+30），
解得：x＝1515，
∴CD＝（1515）米，
∴无人机离湖面的高度为（1515）米．
19．为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件．经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件．
（1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是　（60+10x）　 件；
（2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元；
（3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是 （60+10x） 件，
故答案为：（60+10x）；
（2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，
根据题意可得：（40﹣30﹣x）（60+10x）＝630，
整理可得：x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
由于要让利于游客，x＝1 舍去，
∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元；
（3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，
则W＝（40﹣30﹣x）（60+10x）
＝（10﹣x）（60+10x）
＝﹣10x2+40x+600
＝﹣10（x﹣2）2+640，
∵﹣10＜0，
∴当x＝2时，W取最大值为640元，此时销售价为38元，
答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元．
20．如图，△ABC的顶点A，C在⊙O上，圆心O在边AB上，∠ACB＝120°，BC与⊙O相切于点C，连接OC．
（1）求∠ACO的度数；
（2）求证：AC＝BC．
【解答】（1）解：∵BC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CB，
∴∠OCB＝90°，
∴∠ACO＝∠ACB﹣∠OCB＝120°﹣90°＝30°；
（2）证明：∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO＝30°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴∠A＝∠B，
∴AC＝BC．
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，点O是边AB上一点，以点O为圆心、OB长为半径作圆，⊙O恰好经过点D，交AB于点E．
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）若点E为AO的中点，AD＝3，求阴影部分的面积；
（3）连接DE，若，求cosA的值．
【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵∠C＝90°，
∴BC⊥AC，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠OBD＝∠CBD，
∵OB是⊙O的半径，⊙O恰好经过点D，交AB于点E，
∴OE＝OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BC，
∴OD⊥AC，
又∵OD是⊙O半径，
∴直线AC是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为R，
∴OD＝OE＝OB＝R，
∵点E是AO的中点，
∴AE＝OE＝R，
∴AO＝2R，
由（1）可知：OD⊥AC，
∴在Rt△AOD中，sinA，
∴∠A＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∵AD＝3，
∴tanA，
∴OD＝AD tanA＝3×tan30°，
∴S△AODAD OD，S扇形EOD，
∴阴影部分的面积为：S△AOD﹣S扇形EOD；
（3）∵BE是⊙O直径，
∴∠BDE＝90°，
在Rt△BDE中，sin∠DBA，
设DE，BE＝5a，
由勾股定理得：BD，
∴ODBE＝2.5a，
∵∠OBD＝∠CBD，∠BDE＝∠C＝90°，
∴△BDE∽△BCD，
∴，
∴，
∴CD＝2a，BC＝4a，
∵由（1）可知：OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC，
∴，
∴，
∴AD，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO，
∴cosA．
22．综合与实践
【问题背景】排队是生活中常见的场景．如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系．
【研究条件】
条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数＝现场总人数﹣已入场人数；
条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人．
【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：y＝﹣x2+60x+100（0≤x≤30）．
结合上述信息，请完成下述问题：
（1）当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为　18x ，排队人数w与安检时间x的函数关系式为w＝﹣x2+42x+100　 ．
【模型应用】
（2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？
（3）已知该演出主办方要求：
①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少；
②尽量少安排安检通道，以节省开支．
若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性．
【解答】解：（1）若开设3条安检通道，安检时间为x分钟，则已入场人数为（用x表示）18x，若排队人数为w，则w与x的函数表达式为w＝y﹣18x＝﹣x2+42x+100；
故答案为：18x，w＝﹣x2+42x+100；
（2）w＝﹣x2+42x+100＝﹣（x﹣21）2+541，
∴当x＝21时，Wmax＝541；
答：排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为541人；
（3）设开了m条通道，
则：w＝y﹣6mx＝﹣x2+60x+100﹣6mx＝﹣x2+6（10﹣m）x+100，
∴对称轴为x＝3（10﹣m），
∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少，
∴0≤3（10﹣m）≤10，即：，
又∵最多开通9条，
∴，
∵m为正整数，
∴m最小值为7，
∴最少开7条通道．
23．如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，连接PB交⊙O于点C，连接AC，则∠PAC＝∠B．理由如下：∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB＝90°
∴∠CAB+∠B＝90°
∵PA与⊙O相切于点A
∴PA⊥AB
∴∠PAB＝90°
∴∠CAB+∠PAC＝90°
∴∠PAC＝∠B
（1）小明根据以上结论，自主探究发现：如图甲，当AB是非直径的弦，而其他条件不变时，∠PAC＝∠B仍然成立，请说明理由；
（2）小明进一步探究发现：如图乙，线段PA与线段PC，PB存在如下关系：PA2＝PC PB．请你替小明证一证；
（3）拓展应用：如图丙，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝45°，∠AOB＝150°，BC的延长线与过点A的切线相交于P，若⊙O的半径为1，请你利用小明的探究结论求PC的长．
【解答】（1）解：如图所示，连接OA，OC，如图，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴PA⊥OA，
∴∠PAO＝90°，
∴∠CAO+∠PAC＝90°，
∴2∠CAO+2∠PAC＝180°．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠AOC+∠OAC+∠OCA＝180°，
∴∠AOC+2∠OAC＝180°，
∴∠AOC＝2∠PAC，
又∵∠AOC＝2∠ABC，
∴∠PAC＝∠B；
（2）证明：由（1）可得：∠PAC＝∠B，
又∵∠P＝∠P，
∴△PAC∽△PBA，
∴，
∴PA2＝PB PC；
（3）解：∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，
∵⊙O的半径为1，
∴OA＝OB＝OC＝1，
在Rt△BOC中，
由勾股定理得：；
∵∠AOB＝150°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝60°．
又∵OA＝OC，
∴△OAC是等边三角形，
∴AC＝OA＝1，∠OAC＝60°，
∵BC的延长线与过点A的切线相交于P，
∴PA⊥OA，
∴∠PAO＝90°，
∴∠CAO+∠PAC＝90°，
∵∠OAC＝60°，
∴∠PAC＝30°，
∴∠PAB＝∠PAC+∠BAC＝45°+30°＝75°．
∴，
∴∠P＝180°﹣∠ABP﹣∠BAP＝75°，
∴∠ACP＝180°﹣∠P﹣∠PAC＝75°，
∴∠P＝∠ACP，
∴AP＝AC＝1．
设PC＝x，则，
由（2）可得：PA2＝PB PC，
∴，
∴，
解得：或（负数不合题意，舍去），
∴．

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