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第17章 一元二次方程
数学活动：挪球游戏
沪科版·八年级下册
规则介绍
一些球被分成了许多堆，我们可以任意选择甲、乙两堆按照以下规则挪动：若甲堆的球数 p 不少于乙堆的球数 q，则从甲堆拿 q 个球放到乙堆去，这算是挪动一次. 继续这个过程，总可以做到经过有限次挪动把所有的球合并成至多两堆.
3
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0
2
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设定情境
我们从最简单的情形着手：设有 A，B，C 三堆球，它们中分别有球 a 个、b 个和 c 个. 不妨设 a b c，易知，如果其中有等号成立，那么挪动一次就可以把它们合并成至多两堆，所以下面设 a < b < c.
给出几组具体数据，若 a + b + c = 50，其中 a = 1.
分类操作
情形 1：
操作步骤 A B C
第一步：B→A，移动 1 个球 1 + 1 = 2 9 – 1 = 8 40
第二步：C→A，移动 2 个球 2 + 2 = 4 8 40 – 2 = 38
第三步：C→A，移动 4 个球 4 + 4 = 8 8 38 – 4 = 34
第四步：B→A，移动 8 个球 8 + 8 =16 8 – 8 = 0 34
a = 1
b = 9
c = 40
情形 2：
操作步骤 A B C
第一步：B→A，移动 1 个球 1 + 1 = 2 11 – 1 = 10 38
第二步：B→A，移动 2 个球 2 + 2 = 4 10 – 2 = 8 38
第三步：C→A，移动 4 个球 4 + 4 = 8 8 38 – 4 = 34
第四步：B→A，移动 8 个球 8 + 8 =16 8 – 8 = 0 34
a = 1
b = 11
c = 38
情形 3：
操作步骤 A B C
第一步：C→A，移动 1 个球 1 + 1 = 2 22 27 – 1 = 26
第二步：B→A，移动 2 个球 2 + 2 = 4 22 – 2 = 20 26
第三步：B→A，移动 4 个球 4 + 4 = 8 20 – 4 = 16 26
第四步：C→A，移动 8 个球 8 + 8 =16 16 26 – 8 = 18
第五步：B→A，移动 16 个球 16 + 16 = 32 16 – 16 = 0 18
a = 1
b = 22
c = 27
步骤 A B C
1 9 40
B—1→A 2 8 40
C—2→A 4 8 38
C—4→A 8 8 34
B—8→A 16 0 34
步骤 A B C
11 11 38
B—1→A 2 10 38
B—2→A 4 8 38
C—4→A 8 8 34
B—8→A 16 0 34
步骤 A B C
1 11 38
C—1→A 2 22 26
B—2→A 4 20 26
B—4→A 8 16 26
C—8→A 16 16 18
B—16→A 32 0 18
思 考
1. 观察上述活动操作，回答下列问题：
（1）A 堆中的球数是怎样变化的；
（2）操作步骤中各次移动的球数是怎样变化的；
每一步得到的球数都是上一步的两倍
每一步移动的球数都是上一步的两倍
步骤 A B C
1 9 40
B—1→A 2 8 40
C—2→A 4 8 38
C—4→A 8 8 34
B—8→A 16 0 34
步骤 A B C
11 11 38
B—1→A 2 10 38
B—2→A 4 8 38
C—4→A 8 8 34
B—8→A 16 0 34
步骤 A B C
1 11 38
C—1→A 2 22 26
B—2→A 4 20 26
B—4→A 8 16 26
C—8→A 16 16 18
B—16→A 32 0 18
思 考
1. 观察上述活动操作，回答下列问题：
（3）操作步骤中各次移动中球分别移往何处；
（4）操作步骤中各次移动时球分别由何处移出；
每一步移动的球都移到了 A 堆
从球数比 A 堆球数多的地方移出
步骤 A B C
1 9 40
B—1→A 2 8 40
C—2→A 4 8 38
C—4→A 8 8 34
B—8→A 16 0 34
步骤 A B C
11 11 38
B—1→A 2 10 38
B—2→A 4 8 38
C—4→A 8 8 34
B—8→A 16 0 34
步骤 A B C
1 11 38
C—1→A 2 22 26
B—2→A 4 20 26
B—4→A 8 16 26
C—8→A 16 16 18
B—16→A 32 0 18
思 考
1. 观察上述活动操作，回答下列问题：
（5）B 堆中的球数是怎样变化的.
依次减少或保持不变，直至变为 0
思 考
2. 对 a = 1，总结你所观察到的规律.
当 a = 1 时，A 堆会按照 1、2、4、8、16… 依次翻倍增长，每一步移动到 A 的球数就是当前 A 的大小。
最终当某一堆被耗尽时，操作结束，因此总能在有限步内把全部球合并成至多两堆。
思 考
3. 若 a + b + c = 50 不变，当 a > 1 时，你又能找到什么规律？
A 的增长以 a 为起点，依旧是“依次翻倍”.
当 a > 1 时，A 是 a，2a，4a，8a，16a ······
课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
沪科版·八年级下册
第17章 一元二次方程
习题17.2
【教材P30习题17.2 T1】
1. 用直接开平方法解下列方程：
（1）2x2 – = 0；（2）(x – 1)2 = 2.
所以原方程的根是
开平方，得
解：（1）原方程可化为
所以原方程的根是
（2）开平方，得
（3） ；（4）
所以原方程的根是
（3）开平方，得
所以原方程的根是
（4）开平方，得
【教材P30习题17.2 T2】
2. 用配方法解下列方程：
（1）x2 + 6x – 1 = 0；（2）x2 + 5x + 2 = 0.
解：（1）移项，得 x2 + 6x = 1
配方，得 x2 + 2×3x + 9 = 1 + 9
则 (x + 3)2 = 10
开平方，得
所以原方程的根是
（2）移项，得 x2 + 5x = – 2
配方，得
则
开平方，得
所以原方程的根是
（3）2x2 – 5x + 1 = 0；（4）2x2 – 3x – 7 = 0.
（3）系数化为1，得
移项，得
配方，得
则
开平方，得
所以原方程的根是
（3）2x2 – 5x + 1 = 0；（4）2x2 – 3x – 7 = 0.
（4）系数化为1，得
移项，得
配方，得
则
开平方，得
所以原方程的根是
【教材P30习题17.2 T3】
3. 用公式法解下列方程：
（1）x2 – x – 3 = 0；（2）3x2 – x – 1 = 0.
解：（1）∵ a = 1，b = – 1，c = – 3，
∴ b2 – 4ac = (– 1)2 – 4×1×(– 3) = 13 > 0.
代入求根公式，得
所以原方程的根是
【教材P30习题17.2 T3】
3. 用公式法解下列方程：
（1）x2 – x – 3 = 0；（2）3x2 – x – 1 = 0.
（2）∵ a = 3，b = – 1，c = – 1，
∴ b2 – 4ac = (– 1)2 – 4×3×(– 1) = 13 > 0.
代入求根公式，得
所以原方程的根是
【教材P30习题17.2 T4】
4. 用因式分解法解下列方程：
（1）x2 = 7x；（2）2x2 + x = 0；
解：（1）将原方程化为一般形式，得
x2 – 7x = 0.
提取公因式，得
因此，有 x = 0 或 x – 7 = 0.
所以原方程的根是
x(x – 7) = 0.
x1 = 0，x2 = 7.
（2）提取公因式，得
因此，有 x = 0 或 2x + 1 = 0.
所以原方程的根是
x(2x + 1) = 0.
（3）(x + 1)2 – 2(x + 1) = 0；（4）x2 – 3x + 2 = 0.
（3）提取公因式，得
因此，有 x + 1 = 0 或 x – 1 = 0.
所以原方程的根是
(x + 1)(x + 1 – 2) = 0.
x1 = – 1，x2 = 1.
（4）把方程左边分解因式，得
(x – 1)(x – 2) = 0.
因此，有 x – 1 = 0 或 x – 2 = 0.
所以原方程的根是
x1 = 1，x2 = 2.
【教材P30习题17.2 T5】
5. 用适当的方法解下列方程：
（1）x2 – 3x – 4 = 0；（2）6x2 – 13x – 15 = 0；
解：（1）把方程左边分解因式，得
(x + 1)(x – 4) = 0.
因此，有 x + 1 = 0 或 x – 4 = 0.
所以原方程的根是
x1 = –1，x2 = 4.
（2）∵ a = 6，b = – 13，c = – 15，
∴ b2 – 4ac = (–13)2 – 4×6×(–15) = 529 > 0.
代入求根公式，得
所以原方程的根是
（3）(3 – x)2 + x2 = 9；（4）(y – 2)2 = 3.
（3）移项，得
(3 – x)2 – (9 – x2) = 0.
把方程左边分解因式，得
(3 – x)2 – (3 + x)(3 – x) = 0.
提取公因式，得
因此，有 3 – x = 0 或 – 2x = 0.
所以原方程的根是
(3 – x)(3 – x – 3 – x) = 0.
x1 = 3，x2 = 0.
所以原方程的根是
（4）开平方，得
（5） ；（6）(2x – 1)(x + 3) = 4；
（5）将原方程化为一般形式，得
把方程左边分解因式，得
所以原方程的根是
开平方，得
（6）将原方程化为一般形式，得
2x2 + 5x – 7 = 0.
∵ a = 2，b = 5，c = – 7，
∴ b2 – 4ac = 52 – 4×2×(–7) = 81 > 0.
代入求根公式，得
所以原方程的根是
（7）(2y + 1)2 + 3(2y + 1) + 2 = 0.
（7）把方程左边分解因式，得
(2y + 1 + 1)(2y + 1 + 2) = 0.
因此，有 2y + 2 = 0 或 2y + 3 = 0.
所以原方程的根是
6. 当 x 为何值时，3x2 + 6x – 8 的值与 2x2 – 1 的值相等？
【教材P30习题17.2 T6】
解：根据题意，得 3x2 + 6x – 8 = 2x2 – 1.
将方程化为一般形式，得 x2 + 6x – 7 = 0.
把方程左边分解因式，得
(x – 1)(x + 7) = 0.
因此，有 x – 1 = 0 或 x + 7 = 0.
所以原方程的根是
x1 = 1，x2 = – 7.
即当 x 的值为 1 或 –7 时，3x2 + 6x – 8 的值与 2x2 – 1 的值相等.
7. 用配方法解关于 x 的方程：x2 – px + q = 0（其中 p2 – 4q ≥ 0）
【教材P30习题17.2 T7】
解：移项，得 x2 – px = – q
配方，得
则
开平方，得
所以原方程的根是

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