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16.2 二次根式的运算
第十六章 二次根式
第2课时
二次根式的加减
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
同类二次根式
二次根式的加减
二次根式的混合运算
知识点
同类二次根式
知1－讲
1
1. 定义 将二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么像这样的二次根式称为同类二次根式 .
知1－讲
特别提醒
同类二次根式必须同时满足最简二次根式和被开方数相同这两个条件，它与根号前面的因数(式)无关；
知1－讲
2. 合并的方法 合并同类二次根式与合并同类项相类似，将根号外的因数或因式相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律的逆向运用，
即： a +b =(a+b) (m ≥ 0) .
知1－讲
例 1
下列二次根式中，与 是同类二次根式的是 ( )
A. B. C. D.
解题秘方：紧扣同类二次根式定义中的两个必要条件进行识别 .
知1－练
感悟新知
解法提醒
判断两个二次根式是否为同类二次根式，应先把二次根式化为最简二次根式，然后看被开方数是否相同 .
知1－讲
解：A. = = ，故选项 A 错误；
B. 是最简二次根式，故选项 B 错误；
C. =，故选项 C 正确；
D. = ，故选项 D 错误 .
答案：C
知2－讲
知识点
二次根式的加减
2
1. 二次根式加减法法则 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简，再把同类二次根式合并 .
知2－讲
2. 二次根式加减运算的步骤
(1)“化”：将每个二次根式都化成最简；
(2)“找”：找出同类二次根式；
(3)“并”：将同类二次根式合并.
知2－讲
特别提醒
1. 化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分.
2. 根号外的因数就是这个二次根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化为假分数的形式 .
知2－讲
3. 二次根式的乘除法与二次根式的加减法的区别
运算 二次根式的乘除法 二次根式的加减法
系数 系数相乘除 系数相加减
被开方数 被开方数相乘除 被开方数不变
化简 结果化为最简二次根式或整式 先化为最简二次根式，再合并同类二次根式
知2－讲
例2
计算：
(1) － + ；
(2) + － － .
解题秘方：紧扣“二次根式的加减法法则”，进行计算 .
知2－练
感悟新知
解法提醒
二次根式加减运算的技巧：
1. 若被开方数中含有带分数，则要先化成假分数；若含有小数，则要先化成分数.
2. 若有括号，要先去括号，再应用加法交换律、结合律将同类二次根式进行合并.
(1) － + ；
(2) + － － .
知2－讲
解：原式
原式=3 + － － = + .
知3－讲
知识点
二次根式的混合运算
3
1. 二次根式的混合运算种类
二次根式的加、减、乘、除、乘方(或开方)的混合运算.
2. 二次根式的混合运算顺序
先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的；与整式的混合运算顺序相同 .
知3－讲
3. 二次根式混合运算中的运算律
实数运算中的运算律(交换律、结合律、分配律)和整式乘法中的乘法公式(平方差公式和完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用.
知3－讲
特别提醒
1. 二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式(或整式)的形式并且分母中不含二次根式.
2. 在进行计算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，同时注意合理地使运用运算律.
知3－讲
4. 二次根式混合运算的几种常见类型及计算方法
(1) (+ ) = ＋ ；
(2)( + )( + ) = ＋ ＋ ＋ ；
(3)( + ) ( － ) =( ) 2 －( ) 2=a － b；
(4)( ± ) 2=( ) 2±2 +( ) 2=a±2 +b；
知3－讲
(5)( + )÷ = = ；
(6) ( + ) ÷( － ) = = =.
知3－练
感悟新知
计算：
(1) (－ 5 ) × ；
(2) ( 5+ ) (5 － 2 )；
(3) ( 4 － 8 + ) ÷2 .
例3
知3－练
感悟新知
解题秘方：紧扣二次根式的混合运算顺序计算即可 .
知3－练
感悟新知
解法提醒
在进行二次根式混合运算过程中，每个根式都可以看作是一个“单项式”，多个被开方数不同的二次根式的和可以看作 “多项式”，然后类比整式的运算法则进行运算.
知3－练
感悟新知
解： 原式 = × － 5 × =
－ 5 =－ 15 .
(1) (－ 5 ) × ；
乘法分配律.
(2) ( 5+ ) (5 － 2 )；
(3) ( 4 － 8 + ) ÷2 .
知3－练
感悟新知
解：原式 =25 － 10 +5 － 2 =
25 － 10 +10 － 6 =19 .
方法一：原式 =(8 －2 +4 )÷2
=10 ÷2 =5.
类比多项式乘多项式法则.
知3－练
感悟新知
方法二：原式 = ( 4 － 8 + ) ×
=2 － 4 ＋
=4 － 1 ＋ 2=5.
知3－练
感悟新知
计算：
(1)( -2) (+2)；
(2)( + ) ( - )-( +1)2.
例4
解题秘方：运用“乘法公式”简化计算.
(1)( -2) (+2)；
(2)( + ) ( - )-( +1)2.
知3－练
感悟新知
( + )( - )-( +1)2
=5-3-(5+2 +1)
=5-3-5-2 -1
=-4-2 .
解：( -2) ( +2)=7-8=-1.
知3－练
感悟新知
解法提醒
在进行二次根式的计算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，这样可以使计算过程显著简化.
二次根式的加减
二次根式
的加减
同类二
次根式
法则
运算种类
运算顺序

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