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17.2 一元二次方程的解法
第十七章 一元二次方程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
知识点
直接开平方法
知1－讲
1
1. 定义 利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程解的方法叫作直接开平方法.
知识链接
平方根的定义：
若 x2=a(a ≥ 0)，则 x 是 a 的平方根，即x=± .
知1－讲
2. 方程x2=p 的解(根)的情况
(1)当p>0 时，方程有两个不等的实数根x1=－ ，x2= ；
(2)当p=0 时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0；
(3)当p<0 时，方程没有实数根.
知1－讲
3. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤
移项 将方程变成左边是完全平方式的形式，且二次项系数化为1，右边是非负数的形式(若方程右边是负数，则该方程无实数根)
开平方 将方程转化为两个一元一次方程
解这两个一元一次方程 得出的两个解即为一元二次方程的两个根
知1－练
例1
用直接开平方法解下列方程：
(1)9x2-81=0； (2)2x2+24=0；
(3)2(x-3)2-50=0； (4)2(x+5)2=8．
解题秘方：将方程变成左边是完全平方式的形式，且二次项系数化为1，右边是非负数的形式(如果方程右边是负数，那么这个方程无实数根)进行求解.
知1－练
解：(1)移项，得9x2=81.
二次项系数化为1，得x2=9.
开平方，得x=±3，
所以原方程的根是x1=3，x2=-3.
(2)移项，得2x2=-24.
二次项系数化为1，得x2=-12 ＜ 0.
所以此方程无实数根.
知1－练
(3)移项，得2(x-3)2=50.
二次项系数化为1，得(x-3)2=25.
开平方，得x-3=±5，
所以原方程的根是x1=8，x2=-2.
(4)二次项系数化为1，得(x+5)2=4，开平方，得x+5=±2.
所以原方程的根是x1=-3，x2=-7.
感悟新知
知1－练
特别警示
直接开平方法利用的是平方根的意义，所以要注意两点：
(1)不要只取正的平方根而遗漏负的平方根；
(2)只有非负数才有平方根，所以直接开平方法的前提是x2=p中p ≥ 0.
知2－讲
知识点
配方法
2
1. 定义 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法.
知2－讲
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤
一般步骤 方法 示例(2x27x+3=0)
一移 移项 将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边 2x2-7x=-3
二化 二次项系数化为1 左、右两边同时除以二次项系数 x2-x=-
知2－讲
三配 配方 左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 x2-x + (-)2=-+(-)2，即(x-)2=
四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 x-=±
五解 解两个一元一次方程 移项、合并同类项 x1=3，x2=
知2－讲
特别解读
配方的依据是完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2，其实质是将a看成未知数，b看成常数，则b2即是一次项系数一半的平方.
知2－讲
特别提醒
一元二次方程的配方与二次三项式的配方的区别：
一元二次方程的配方是方程的两边同时除以二次项系数，而二次三项式的配方是提取二次项系数，要注意区分.
知2－练
用配方法解一元二次方程：
(1)x2 ＋ x－ =0；
(2)2x2－4x－1=0；
(3)(1 ＋ x)2 ＋ 2(1 ＋ x)－3=0.
例2
解题秘方：先将方程配方化为(x ＋ n)2=p 的形式，再用直接开平方法求解.
知2－练
解：移项，得x2+x= .
配方，得x2+x+()2= +()2.
即 (x+ 2=1.所以原方程的根是x1= ，x2=－ .
(1)x2 ＋ x－ =0；
方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(x+n)2=p的形式.
知2－练
解：移项，得2x2－4x=1.
二次项系数化为1，得x2－2x= .
配方，得x2－2x+12= +12，即(x－1)2= .
开平方，得x-1=± .
∴所以原方程的根是x1=1+ ，x2=1－ .
(2)2x2－4x－1=0；
知2－练
解：移项，得(1+x)2+2(1+x)=3.
配方，得(1+x)2+2(1+x)+12=3+12.
即(1+x+1)2=4.开平方，得x+2=±2.
所以原方程的根是x1=0，x2=－4.
将1+x看作整体进行配方，可达到简化的效果.
(3)(1 ＋ x)2 ＋ 2(1 ＋ x)－3=0.
感悟新知
知2－练
解法提醒
1. 用配方法解一元二次方程的实质就是对一元二次方程进行变形，将其转化为直接开平方所需要的形式，再利用平方根的意义把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来求解.
2. 方程两边同时加上一次项系数一半的平方的前提是二次项系数为 1.
知识点
公式法
知3－讲
3
求根公式 x= 是一元二次方程 ax2＋bx＋c=0(a ≠ 0 且 b2－4ac ≥ 0)的求根公式 .
知3－讲
2. 公式法 有了求根公式，要解一个一元二次方程，只要先把它整理成一般形式，确定出a， b， c 的值，然后，把a， b， c 的值代入求根公式，就可以得出方程的根，这种解法叫做公式法 .
知3－讲
3.用公式法解一元二次方程的步骤
(1)把一元二次方程化成一般形式；
(2)确定公式中a，b，c 的值；
(3)求出b2－4ac 的值；
(4)若b2－4ac ≥ 0，则把a，b 及b2－4ac 的值代入求根公式求解.
知3－讲
特别提醒
1.公式法是解一元二次方程的通用解法(也称万能法)，它适用于所有的一元二次方程，但不一定是最高效的解法.
2.只有当方程ax2+bx+c=0中的a≠0，b2－4ac≥0时，才能使用求根公式.
3. 用公式法解一元二次方程时，若 b2－4ac=0， 则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根，即 x1=x2=－ .
知3－练
用公式法解下列方程.
(1)2x2－7x ＋ 4=0； (2) － 3x2－5x ＋ 2=0；
(3)3x2－2 x=－1；(4)x(x+1)=-3.
解题秘方：按照用公式法解一元二次方程的步骤求解.
例3
知3－练
解：a=2，b=－7，c=4，
b2－4ac = (－7)2－4×2×4=17>0.
代入求根公式，得x = ，
∴ x1=，x2= .
求b2 － 4ac的值时，若代入的字母值是负数，则需将其用括号括起来，不能漏掉“－”号.
(1)2x2－7x ＋ 4=0；
知3－练
解：a= － 3，b=－5，c=2，
b2－4ac=(－5)2－4× (－ 3) ×2=49>0.
代入求根公式，得x= = － .
∴ x1= － 2 ， x2= .
(2) － 3x2－5x ＋ 2=0；
知3－练
解：将原方程化为一般形式，得3x2－2 x+1=0.
∵a=3，b=－2 ，c=1，
∴ b2－4ac=(－2 )2－4×3×1=0.
代入求根公式，得 x= = .
∴x1=x2 = .
(3)3x2－2 x=－1；
知3－练
解：将原方程化为一般形式，得x2+x+3=0.
∵ a=1，b=1，c=3，∴ b2-4ac=12-4×1×3=-11<0.
∴原方程无实数根.
(4)x(x+1)=-3.
知3－练
特别提醒
用公式法解一元二次方程时，必须先将方程整理成一元二次方程的一般形式，确定a，b，c 的值，再求出b2-4ac 的值.
知识点
因式分解法
知4－讲
4
1. 定义 通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫作因式分解法.
知4－讲
2. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤
(1)整理方程，使其右边为0；
(2)将方程左边分解为两个一次因式的乘积；
(3)令两个一次因式分别为0，得到两个一元一次方程；
(4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
知4－讲
3. 常见的可以用因式分解法求解的方程的类型(a, b 为常数)
常见类型 因式分解 方程的解
x2+bx=0 x(x+b)=0 x1=0, x2=-b
x2-a2=0 (x+a) (x-a)=0 x1=-a, x2=a
x2±2ax+a2=0 (x±a)2=0 x1=x2= ±a
x2+(a+b)x+ab=0 (x+a) (x+b)=0 x1=-a, x2=-b
知4－讲
特别提醒
1. 在方程没有化成一般形式前，一般不要对左边进行因式分解.
2. 整理后缺项的一元二次方程用因式分解法求解较简单．
知识点睛
用因式分解法解方程可简记为“右化零，左分解，两因式，各求解”.
知4－练
用因式分解法解下列方程.
(1)(x－5)(x－6)=x－5；
(2)4(x － 3)2 －25(x－2)2=0；
(3)x2－(+)x+=0.
解题秘方：按方程的特点选择恰当的因式分解方法.
例4
方程的两边不能同时除以x－5，这样会使方程丢一根 .
知4－练
解法提醒
1. 用因式分解法解一元二次方程时需将一元二次方程的右边化为0，再对方程的左边因式分解 .
2. 不能随意在方程两边同时除以含未知数的整式
知4－练
解：移项，得(x－5)(x－6)－(x－5)=0.
把方程左边因式分解，得(x－5)(x－7)=0.
∴ x－5=0或x－7=0.
∴原方程的根是x1=5，x2=7.
(1)(x－5)(x－6)=x－5；
知4－练
解：原方程可化为［2(x－3)］2－［5(x－2)］2=0，
把方程左边分解因式，得［2(x－3) +5(x－2)］
［2(x－3) －5(x－2)］ =0，即(7x－16) (－3x+4) =0，
∴ 7x－16=0 或 －3x+4=0. ∴原方程的根是x1=， x2= .
(2)4(x － 3)2 －25(x－2)2=0；
知4－练
解：把方程左边分解因式，得(x－) (x－ ) =0.
∴ x－ =0 或 x－ =0.
∴原方程的根是x1= ， x2= .
(3)x2－(+)x+=0.
知4－练
解下列方程：
(1)4x2-64=0；
(2)2x2-7x-6=0；
(3)(3x+2)2-8(3x+2)+15=0.
解题秘方：根据方程的特点，选择适当的方法解一元二次方程 .
例5
知4－练
方法点拨
先考虑直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法时，再用公式法；没有特殊要求的，尽量少用配方法 . 可巧记为：
观察方程选解法，先看能否开平方，
再看是否能分解，左分降次右化零，
求根公式最后用，系数符号要辨明 .
知4－练
解：∵ 4x2-64=0，∴ x2=16. ∴ x1=4，x2=-4.
(1)4x2-64=0；
知4－练
解：∵ a=2，b=-7，c=-6，∴ b2-4ac=97>0.
∴原方程的根是 x1=，x2=.
(2)2x2-7x-6=0；
知4－练
解：把方程左边分解因式，
得 ([ 3x+2)-3]([ 3x+2)-5]=0，
即(3x-1)(3x-3)=0. ∴ 3x-1=0 或 3x-3=0.
∴原方程的根是 x1=，x2=1.
(3)(3x+2)2-8(3x+2)+15=0.
把 3x+2 看成一个整体进行因式分解 .
一元二次方程的解法
因式分解法
降次与转化
直接开平方法
配方法
公式法
一元二次方程的解法

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