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17.5 一元二次方程的应用
第十七章 一元二次方程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
建立一元二次方程的模型解应用题
知1－讲
感悟新知
知识点
建立一元二次方程的模型解应用题
1
1. 列一元二次方程解应用题的一般步骤
步骤 内容摘要 注意事项
①审 审清题意，明确已知量和未知量，找到它们之间的等量关系 等量关系往往体现在关键词句中
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步骤 内容摘要 注意事项
②设 设未知数，方法有直接设元法、间接设元法和辅助设元法(引入辅助未知数，并在解题过程中消去) 有单位的要带单位
③列 用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程 方程两边单位要统一
④解 根据方程的特点，选择适当解法求出未知数的值 一般不必写出解方程的过程
⑤检 检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义 一般两个根中只有一个符合实际意义
⑥答 写出实际问题的答案 遵循“问什么答什么”的原则
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特别解读
1.第一步“审”一般不写出来，但它是关键的一步，只有审清题意，明确已知量、未知量及它们之间的关系才能准确列出方程.
2. 列方程，这是解应用题的关键一步，一般先找出一个能够表达全部含义的等量关系，然后列代数式表示等量关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程.
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2. 常见问题的数量关系
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常见问题 等量关系
平均增长率(降低率)问题 a 为起始量，b 为终止量，平均增长率公式：a(1+x)n=b(x为平均增长率，n 为增长的次数)；平均降低率公式：a(1-x)n=b(x 为平均降低率，n 为降低的次数)
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几何图形问题 涉及的常见计算与证明有三角形的三边关系、三角形全等、各种规则图形的面积、体积或周长公式
数字问题 (1)两位数= 十位上的数字×10 + 个位上的数字；
(2) 三位数= 百位上的数字×100 + 十位上的数字×10 + 个位上的数字
商品销售 问题 利润= 售价- 进价；利润率=×100%；
售价= 进价×(1 + 利润率)；
总利润= 总售价- 总成本= 单件利润× 总销量
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某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20 万元，六月份投入资金24.2 万元，现假定每月投入资金的增长率相同．
例1
解题秘方：紧扣增长率问题中的等量关系列方程求解.
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(1)求该商场投入资金的月平均增长率；
解：设该商场投入资金的月平均增长率为x，
由题意得20×(1+x)2=24.2，
解得x1=0.1=10%，x2=-2.1(不符合题意，舍去)，
∴该商场投入资金的月平均增长率为10%．
增长两次，基数×(1+ 增长率)2= 增长后的量.
增长率一般为正数.
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(2)按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？
解：24.2×(1+10%)=26.62(万元)，
∴预计该商场七月份投入资金将达到26.62 万元.
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特别提醒
列一元二次方程解应用题时要注意检验方程的根是否符合题意，一定要把不符合题意的根舍去，如此题要把x=-2.1 舍去.
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[中考·威海] 如图17.5-1，某校有一块长20 m、宽14 m 的长方形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路(图中阴影部分)．小路把种植园分成面积均为24 m2 的9 个
矩形地块，请你求出小路的宽度．
例2
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解题秘方： 紧扣长方形的面积公式，建立一元二次方程模型解决问题 .
解：设小路的宽度为x m，
根据题意，得(20-4x)(14-4x)=24×9，
解得x=或x=8(不符合题意，舍去)，
答：小路的宽度为m．
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方法点拨
解此类题除了要准确掌握几何图形的面积、体积或周长公式及计算方法之外，关键是能用未知数表示相关的线段长，以及对方程的根进行取舍 .
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[期中·安庆] 某水果专卖店销售樱桃，其进价为
40 元/kg，按60 元/kg出售，平均每天可售出100 kg，后来经过市场调查发现，单价每降低1 元，则平均每天的销售量可增加10 kg．
例3
解题秘方：用关系式“总获利=每千克获利× 销售量”，建立方程解答.
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(1)若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利2 240元，请回答：
①每千克樱桃应降价多少元？
解：设每千克樱桃应降价x 元．
根据题意，得(60-x-40)(100+10x)=2 240，
解得x1=4，x2=6．
答：每千克樱桃应降价4 元或6 元．
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②在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
解：∵要尽可能让利于顾客，∴每千克樱桃应降价6 元.
此时，售价为60-6=54(元/kg)，
×100%=90%．答：该店应按原售价的九折出售．
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(2)在降价情况下，该专卖店销售这种樱桃平均每天获利可以达到2 400 元吗？如果可以，请求出应降价多少元；如果不可以，请说明理由．
解：设每千克樱桃应降价y 元．
根据题意，得(60-y-40)(100+10y)=2 400，
即y2-10y+40=0．∵ Δ=(-10)2-4×1×40=-60<0，
∴原方程没有实根．答：该专卖店销售这种樱桃平均每天获利不可以达到2 400 元.
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方法点拨
降价前后模型的销量与获利情况如下表所示 .
降价前 降价后
每千克获利 (元) 20 20－x
销售量 (kg) 100 100＋10x
总获利 (元) 20×100 (20－x)·(100＋10x)
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有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和是8，如果把十位数字与个位数字调换，所得的两位数与原来的两位数的乘积为 1 855，求原来的两位数 .
例4
解题秘方：本题考查的是用一元二次方程解数字问题，弄清数字和用数字表示的数之间的关系是解题的关键 .
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解：设原来的两位数的十位数字为 x，
则个位数字为8－x，列方程，
得［10x＋(8－x)］［10(8－x) ＋x］ =1 855，
整理，得 x2－8x＋15=0，解方程，得 x1=3， x2=5，
由原来的两位数的个位数字为 8－x，
可得个位数字为 5 或 3.
答：原来的两位数为 35 或 53.
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教你一招：
列方程求解数字问题的方法：
解决数字问题的关键是用代数式表示出这个多位数，设未知数时，通常采用间接设元法，即设这个多位数的某一数位上的数字为 x，然后将其他数位上的数字用含 x 的代数式表示出来，最后再根据题中的数量关系列方程即可 .
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知识储备
整数的常用表示方法：
1. 两位数=十位上的数字×10＋个位上的数字 .
2. 三位数=百位上的数字×100＋十位上的数字×10＋个位上的数字 .
3. 三个连续整数，设中间的一个数为 x，则其余两个数分别为x－1，x＋1.
4. 三个连续偶数可设为 2x－2，2x，2x＋2；三个连续奇数可设为 2x－3，2x－1，2x＋1.
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A， B 两地间的距离为 15 km，甲从 A 地出发步行前往 B 地，20 min 后，乙从 B 地出发骑车前往 A 地，且乙骑车比甲步行每小时多行 10 km. 乙到达 A 地后停留
40 min， 然后骑车按原路原速返回，结果甲、乙两人同时到达 B 地 . 求甲从A 地到 B 地步行所用的时间 .
例5
知1－练
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解题秘方：紧扣等量关系建立分式方程模型，求出分式方程的解并检验是解题的关键 .
知1－练
感悟新知
解：设甲从 A 地到 B 地步行所用的时间为 x h.
由题意，得= ＋10，
化简，得 2x2－5x－3=0，解得 x1=3， x2=－ .
经检验 x1=3， x2=－ 都是原分式方程的解，
但 x=－ 不符合题意，舍去，故 x=3.
答 ：甲从 A 地到 B 地步行所用的时间为 3 h.
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易错警示
在解分式方程时，要注意检验，特别是分式方程的应用题，检验应包含两个方面， 一是得到的未知数的值是不是分式方程的解，二是方程的解是否与实际意义相符合 .
一元二次方程的应用
建模
图形面积问题
商品经济问题
增长(降低)率问题
一元二
次方程
的应用
设
类型
建模
步骤
列
解
检
答
审
数字问题

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