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16.1 二次根式
第十六章 二次根式
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
二次根式的定义
二次根式有意义的条件
二次根式的性质
知1－讲
感悟新知
知识点
二次根式的定义
1
1.二次根式的定义 我们把形式如 ( a ≥ 0)的式子叫做二次根式， “”称为二次根号.
特别提醒
二次根式应满足两个条件：
1.含有二次根号“”；2.被开方数是正数或0.
感悟新知
2. 二次根式的特征
(1) 必须含有二次根号“ ”， “” 的根指数为 2，即“ ”，我们一般省略根指数 2，写作“ ” .
(2)二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子 .
(3) 双重非负性： 二次根式 表示非负数 a 的算术平方根，因此 a ≥ 0， ≥ 0.
知1－讲
知1－练
感悟新知
下列各式中，是二次根式的有_____个 .
① ； ② ；③ ；④ ；
⑤ ；⑥ .
例1
3
感悟新知
特别提醒
1. 二次根式是在初始的外在形式上定义的，不能从化简结果上判断，如 ， 等都是二次根式.
2. 像 +1(a ≥ 0)这样的式子只能称为含有二次根式的式子，不能称为二次根式 .
知1－练
知1－练
感悟新知
思路导引：识别二次根式的方法
知1－练
感悟新知
解：① 是二次根式，② 没有意义，不是二次根式，③ 是三次根式，不是二次根式，④ 没有意义，不是二次根式，⑤ 是二次根式，⑥ 是二次根式．
感悟新知
知1－练
(1)若y= ＋－3，则(x＋y) 2 026 等于( )
A. 1
B. 5
C. －5
D. －1
例2
知1－练
感悟新知
解题秘方：紧扣二次根式的双重非负性“ a ≥ 0， ≥ 0” 进行解答 .
解法提醒
二次根式的双重非负性在解题中的应用：
感悟新知
1.当一个式子有两个二次根式，且被开方数互为相反数时，通常先利用二次根式 的被开方数的非负性a ≥ 0，建立不等式组，再解不等式组确定字母的值；
2.当一个式子为几个非负式[绝对值，偶次幂，二次根式，即 |a| ≥ 0，a2n ≥ 0(n 为正整数 )， ≥ 0(a≥ 0)]” 的和且式子的值为 0时，通常先利用每个式子都为0建立方程组，再解这个方程组确定字母的值 .
知1－练
知1－练
感悟新知
答案：A
解：由二次根式中被开方数的非负性，
得x-2 ≥ 0，4-2x ≥ 0，
∴ x ≥ 2，x ≤ 2. ∴ x=2.
∴ y= + -3=0+0-3=-3.
∴(x+y)2 026=(2-3)2 026=(-1)2 026=1.
感悟新知
知1－练
(2)实数 a， b 满足 +4a2+4ab+b2=0， 则 ba 的值为(　　)
A. 2
B.
C. － 2
D. －
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答案：B
解：整理，得 +(2a+b) 2=0.
由二次根式的非负性“ ≥ 0” 及平方的非负性 “ m2 ≥ 0”得
∴ ∴ ba=2 － 1= .
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知2－讲
知识点
二次根式有意义的条件
2
1. 二次根式有无意义的条件
条件 字母表示
二次根式有意义 被开方数为非负数 有意义 a≥0
二次根式无意义 被开方数为负数 无意义 a<0
感悟新知
知2－讲
2.使式子有意义的字母取值范围(拓展)
类型 条件
二次根式型 被开方数大于或等于0
分式型 分母不等于0
负整数和零指数幂型 底数不为0
复合型 取各条件下字母取值范围的公共部
知2－讲
感悟新知
巧记口诀
二次根式有意义，被开方数非负数；
二次根式无意义，被开方数是负数；
单个二次根式时，列出不等式求解；
复合形式的式子，列不等式组求解 .
知2－练
感悟新知
实数x为何值时，下列式子有意义？
例3
解题秘方：要使式子有意义，必须保证组成该式子的每一部分都有意义，即字母取值是各部分有意义的条件的公共部分.
感悟新知
方法点拨
求式子有意义时字母的取值范围的方法：
第一步，明确各种式子有意义的条件；
第二步，利用式子中各部分有意义的条件，建立不等式或不等式组；
第三步，求出不等式或不等式组的解集，即为字母的取值范围 .
知2－练
知2－练
感悟新知
解： 要使 ＋(x ＋ 5) 0有意义， 则
∴ x ≤ － 3 且 x ≠ － 5.
(1) ＋(x ＋ 5) 0；
知2－练
感悟新知
(2) ；
(3) － ；
解： 要使 有意义，则∴ x> － .
要使 － 有意义，则
∴ 2 ≤ x ≤ 5.
知2－练
感悟新知
(4) ；
(5) ；
解：要使 有意义，则
∴ x ≥ －4 且 x ≠ 2.
要使 有意义，则 －x2 ≥ 0，
∴ x2 ≤ 0，又∵ x2 ≥ 0，∴ x2=0，∴ x=0.
知2－练
感悟新知
解：要使 有意义，则2x2＋1 ≥ 0，
∵ x2 ≥ 0，∴ 2x2＋1 ≥ 1.
∴ x 的取值范围是全体实数 .
(6) .
感悟新知
知3－讲
知识点
二次根式的性质
3
1. 二次根式的性质
性质 1 ( ) 2=a( a ≥ 0)，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
应用提醒
1. 逆用公式： 若 a ≥0， 则 a=( ) 2，如 2=() 2， =( )2.
注意： 无论正用( )2=a(a ≥ 0) 进行化简，还是逆用， 都要注意前提： a ≥ 0.
感悟新知
知3－讲
性质 2 =|a|= 即一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值 .
2. 逆用公式：如3== ( 以后将会学习).
感悟新知
知3－讲
2. 与( ) 2( a ≥ 0)的区别与联系
( ) 2
区别 取值范围不同 a 为全体实数 a ≥ 0
运算顺序不同 先平方后开方 先开方后平方
运算结果不同 =｜a｜= ( ) 2=
a(a ≥ 0)
联系 与( ) 2均为非负数，当 a ≥ 0 时， =( ) 2
感悟新知
知3－练
计算： (1) ( ) 2；
(2) ；
(3) ；
例4
解： ( ) 2 =.
= ｜ － 6｜ =6.
= =10 － 1= .
解题秘方：紧扣“二次根式的性质”进行计算 .
幂的乘方的逆用，
即amn=(am)n=(an)m .
a-n= .
感悟新知
知3－练
(4) (－ 2 ) 2；
(5) .
解： (－ 2 ) 2 =(－ 2) 2×() 2=8.
= ｜ 3.14 － π ｜ =π － 3.14.
(b)2=b2()2=b2a(a ≥ 0).
感悟新知
特别提醒
计算二次根式的注意事项：
1. =｜a｜去绝对值符号 时注意a的取值范围 .
2. 正确区分( ) 2 ( a ≥0)与 是计算二次根式的关键 .
知3－练
知3－练
感悟新知
在实数范围内分解因式：
(1) x2－5；
(2) x4－4x2＋4.
例5
感悟新知
逆用二次根式的性质时，
必须先确定该数为非负
数，故一般只对数进行
变形，对字母必须谨慎.
知3－练
解题秘方：逆用( ) 2 =a(a ≥0)分解因式 .
感悟新知
解法提醒
在实数范围内分解因式的策略：
在实数范围内分解因式时，常常把正数 a 转化为( ) 2 ，以便使用平方差公式或完全平方公式进行因式分解 .
知3－练
(1) x2－5；
(2) x4－4x2＋4.
知3－练
感悟新知
解： x2－5 =x2 － ( ) 2=(x＋ )( x － ) .
x4－4x2＋4 = (x2 － 2) 2=［(x ＋ 2 )( x － 2 )］ 2=
( x+ ) 2( x － ) 2.
二次根式
()2= a(a ≥ 0)
≥ 0
= | a |
二次根式
性质
定义
a≥ 0

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