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16.2 二次根式的运算
第十六章 二次根式
第1课时
二次根式的乘除
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
二次根式的乘法
积的算术平方根
二次根式的除法
商的算术平方根
最简二次根式
知识点
二次根式的乘法
知1－讲
1
1.性质 3 如果 a ≥ 0， b ≥ 0，那么有 · = ，即两个非负数的算术平方根的积，等于这两个非负数的积的算术平方根 .
知1－讲
特别提醒
1. 性质3中被开方数a、b既可以是数，也可以是式子，但都必须是非负的.
2. 二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的因数或因式时一定要开方 .
3. 二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式.
感悟新知
2. 性质3的推广
(1)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即根号外因数(式)之积作为积的根号外因数(式)，被开方数(式)之积作为积的被开方数(式) ，即： a · c =ac ( b ≥ 0， d ≥ 0) .
知1－讲
a 表示a 与的乘积，即a =a· .
感悟新知
(2)几个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即 · · = ( a ≥ 0， b ≥ 0， c ≥ 0 ) .
注意：几个二次根式相乘，可利用乘法交换律、结合律使运算简便 .
知1－讲
知1－练
例 1
计算：
(1) × ；
解题秘方：紧扣“二次根式的乘法性质”计算 .
解： × = × = =14.
(2)6 ×(－2)；
6 ×(－2) =6×( － 2)× = － 12×= － 12×4= － 48.
(3) × × .
× × = = .
知1－练
解法提醒
(1)直接用性质3计算.(2)按推广(1)计算.(3)按推广(2)计算，注意要将带分数化为假分数 .
知1－练
知2－讲
知识点
积的算术平方根
2
1.积的算术平方根的性质 由等式对称性，性质 3 也可以写成= · ( a ≥ 0， b ≥ 0 ) ，即积的算术平方根等于乘积中各个因式的算术平方根的积 .
知2－讲
特别提醒
公式中的a、b既可以是一个数，也可以是一个式子.积中各个因式必须都为非负数，若不是非负数，应将其化成非负数再运用公式化简 .
知2－讲
2. 积的算术平方根的性质的拓展 该性质可以推广到多个非负数的积的算术平方根的情况，如 = · · (a ≥ 0，b ≥ 0，c ≥ 0)，利用这个等式可以进行二次根式的化简.
感悟新知
知2－练
计算：
(1) ；
(2)；
例2
解题秘方：紧扣“积的算术平方根的性质”进行计算.
解： = = × =3 .
= = × =7×11=77.
感悟新知
知2－练
(3) ；
(4) ；
解： == =
× =7 .
= =
=× =12× 5=60.
先去掉负号，再计算.
知2－练
感悟新知
(5) .
解： = = =7.
利用平方差公式分解因式.
特别提醒
利用积的算术平方根的性质时， 要注意：
1. 若积中的因数(或因式)不是非负数，应先将其化为非负数，再运用性质计算；
2. 当被开方数是多项式时，要先把被开方数因式分解，再计算；
3. 不要出现= + ” 这 样 的错误 .
知2－练
感悟新知
知3－讲
知识点
二次根式的除法
3
1.性质 4 如果 a ≥ 0， b>0，那么有= 即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变 .
既可以是数，也可以是式子 .
感悟新知
知3－讲
2. 性质4的推广
(1)如果是几个二次根式相除，应按除法法则依次计算，即 ÷ ÷ = ( a ≥ 0， b ＞ 0， c ＞ 0) .
(2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式除以单项式的法则进行运算，将根号外的因数(式)之商作为商的根号外因数(式)，被开方数(式)之商作为商的被开方数(式)，即a ÷ c =(a÷ c) ( b ≥ 0，d ＞ 0， c ≠ 0) .
知3－讲
感悟新知
特别提醒
当a 是非负数，b是正数时式子才成立，若a,b 都是负数，虽然＞ 0，有意义，但a， b在实数范围内无意义.
知3－练
感悟新知
若 = 成立，则 x 的值可以是( )
A. －2
B. 0
C. 2
D. 3
例3
知3－练
感悟新知
答案：B
解题秘方：紧扣“二次根式除法法则”成立的条件求解 .
解：若 = 成立，则
解得 － 1 ≤ x<2. 故 x 的值可以是 0.
解法提醒
要求使等式成立的字母的取值范围，只需使等式的每部分都有意义. 如二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为零、零指数幂和负整数指数幂的底数不为零等.
知3－练
知3－讲
例4
计算： (1) ；
解： == =2 .
÷ ===3.
(2) ÷ ；
知3－讲
解：9 ÷3=(9÷3)=3 =9 .
(3)9÷3.
知3－讲
技巧点拨
的运算方法：
1.当a是b的倍数或a，b为分数时，常先利用 = 计算.
解题秘方：紧扣“二次根式除法法则”进行计算 .
2. 当 ， 中的被开方数(式) 含有完全平方的因数(式) 时，常先将完全平方的因数(式)“开方”出来，再进行除法运算 .
知3－练
感悟新知
知4－讲
知识点
商的算术平方根
4
1.商的算术平方根的性质 由等式对称性，性质 4 也可以写成= ( a ≥ 0， b ＞ 0 ) .即商的算术平方根等于商中被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
a，b既可以是一个数，也可以是一个式子 .
知4－讲
感悟新知
特别提醒
利用商的算术平方根的性质可以把被开方数中含有分母的二次根式化成被开方数不含分母的二次根式.
感悟新知
知4－讲
2.分母有理化 把分母中的根号去掉的过程，就是分母有理化.
3. 分母有理化的方法 当分母是 或b 的形式时，分子与分母同乘 .
感悟新知
知4－练
计算： (1) ；
(2) ；
例5
解： = == .
== = .
解题秘方：紧扣“商的算术平方根的性质”进行化简 .
感悟新知
知4－练
(3)；
(4) (a>0)
解： === = .
==.
知4－练
感悟新知
方法点拨
利用商的算术平方根的性质化简二次根式的方法：
1.若被开方数的分母是一个完全平方数(或式)，则可以直接利用商的算术平方根的性质计算；
2. 若被开方数的分母不是完全平方数(或式)，则可先将分式的分子、分母同时乘一个不等于0 的数(或式)，使分母变成一个完全平方数(或式)，然后利用商的算术平方根的性质进行计算.
感悟新知
知4－练
把下列各式的分母有理化：
例6
解题秘方：紧扣“分母有理化”的方法进行变形.
(1) ；
(2) ；
知4－练
感悟新知
解： == = ；
(== = = =.
(方法二) = = ==
=.
知4－练
感悟新知
解题通法
去掉分母中的根号一般经历如下三步：
“一移”，将分子、分母中能开得尽方的因数(式)开方后移到根号外；
“二乘”，将分子、分母同乘分母的有理化因数(式)；
“三化”，化简计算 .
感悟新知
知5－讲
知识点
最简二次根式
5
1.定义 满足下列两个条件的二次根式就是最简二次根式：
被开方数不含分母；
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
知5－讲
感悟新知
特别提醒
分母中含有根式的式子不是最简二次根式.
感悟新知
知5－讲
2. 把二次根式化简成最简二次根式的步骤
(1) “一分”，即利用因数 (式)分解的方法把被开方数的分子、分母都化成质因数(式)的幂的乘积形式；
(2) “二移”，即把能开得尽方的因数(式)用它的算术平方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；
(3) “三化”，即化去被开方数中的分母 .
感悟新知
知5－练
下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简
二次根式？不是最简二次根式的，请说明理由 .
(1)； (2) ； (3) ；(4) ； (5).
例7
知5－练
感悟新知
解题秘方：紧扣最简二次根式的定义进行判断 .
解：(1)不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母；(3)不是最简二次根式，因为被开方数是小数(即含有分母)；(4)不是最简二次根式，因为被开方数中含有开得尽方的因数；(2)(5)是最简二次根式 .
知5－练
感悟新知
特别警示
判断最简二次根式有两大思维误区：
1.被开方数不含分母而不是式子不含分母，如 有分母，但 是最简二次根式；
2. 被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式，如 是最简二次根式 .
二次根式的乘除
二次根式
的乘除法
顺用 逆用
互逆关系
积的算术
平方根
二次根式
的乘法
顺用 逆用
互逆关系
二次根式
的除法
商的算术
平方根
最
简
二
次
根
式

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