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16.2.2 二次根式的加减
第1课时 二次根式的加减
第16章 二次根式
学习目标
1.了解二次根式的加、减运算法则.（重点）
2.会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算.
（难点）
问题1 满足什么条件的根式是最简二次根式
问题2 化简下列两组二次根式，每组化简后有什么共同特点
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
化简后被开方数相同
问题3 有八只小白兔，每只身上都标有一个最简二次根式，你能根据被开方数的特征将这些小白兔分到四个不同的栅栏里吗？
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=
+
在七年级我们就已经学过单项式加单项式的法则.观察下图并思考.
由上图，易得 2a + 3a = 5a.
当 a = 时，分别代入左右得 ;
当 a = 时，分别代入左右得 ;
......
你发现了什么？
同类二次根式
1
a
2a + 3b
b
=
+
b
b
a
这两个二次根式可以合并吗？
前面依次往下推导，由特殊到一般易知二次根式的被开方数相同可以合并. 继续观察下面的过程：
因为 ，由前面知两者可以合并.
你又有什么发现吗
当 a = ，b = 时，得 2a + 3b = .
将二次根式化成最简二次根式，如果它们的被开方数相同，那么这样的二次根式称为同类二次根式.
注意：判断几个二次根式是否可以合并(即是否为同类二次根式)，一定都要先化为最简二次根式再做判断.
合并同类二次根式的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数(式)不变. 如：
知识要点
典例精析
例1 下列各组二次根式是同类二次根式吗？
(1) 与
(2) 与
解 (1) ∵
∴ 不是同类二次根式.
(2) ∵
∴ 与 是同类二次根式.
例2 若最简根式 与 可以合并，求
的值.
解：由题意得 解得
确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方数相同，根指数都为 2，列关于待定字母的方程或方程组求解即可.
归纳
1. 下列各式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
D
2. 与最简二次根式 能合并，则 m =____.
1
3. 下列二次根式，不能与 合并的是______ (填
序号).
②⑤
练一练
7.5 dm
5 dm
思考 现有一块长 7.5 dm、宽 5 dm 的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是 8 dm2 和 18 dm2 的正方形木板？
问题1 怎样列式求两个正方形的边长的和
S=8 dm2
S=18 dm2
二次根式的加减及其应用
2
问题2 所列算式能直接进行加减运算吗 如果不能，把式中各个二次根式化成最简二次根式后，再试一试 (说出每步运算的依据).
（化成最简二次根式）
（逆用分配律）
∴ 在这块木板上可以截出两个面积分别是 8 dm2 和 18 dm2 的正方形木板．
解：
在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内仍然成立.
二次根式的加减法法则：
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并.
(1) 化——将非最简的二次根式化为最简二次根式；
加减法的运算步骤：
(2) 找——找出同类二次根式；
(3) 并——把同类二次根式合并.
“一化简二判断三合并”
归纳总结
化为最简
二次根式
逆用分配
律合并
整式
加减
二次根式
的性质
分配律
整式的
加减法则
依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.
基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题．
例3 计算:
解：
典例精析
例4 计算:
解
4. 计算:
解：(1) 原式
有括号，先去括号
(2) 原式
练一练
例5 已知 a，b，c 满足
(1) 求 a，b，c 的值；
(2) 以 a，b，c 为三边长能否构成三角形？若能构成
三角形，求出其周长；若不能，请说明理由.
解：(1)由题意得 ；
(2) 能. 理由如下：∵
∴ 能构成三角形，周长为
分析：(1)若几个非负式的和为零，则这几个非负式必须都为零；(2)根据三角形的三边关系来判断.
【变式题】有一个等腰三角形的两边长分别为 求其周长.
解： 当腰长为 时，
∵
∴此时能构成三角形，周长为
当腰长为 时，
∵
∴ 此时能构成三角形，周长为
二次根式的加减与等腰三角形的综合运用，关键是要分类讨论及会比较两个二次根式的大小.
归纳
二次根式的加减
法则
注意
运算顺序
运算原理
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式合并.
运算律仍然适用
与实数的运算顺序一样
1. 二次根式 中，能与 合并的是
（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 下列运算中错误的是 （ ）
A.
B.
C.
D.
A
C
3. 三角形的三边长分别为 则这个三角形的周长为__________.
4. 计算：
解：
5. 计算：
解：
6. 下图是某土楼的平面剖面图，它是由两个相同圆心的圆构成. 已知大圆和小圆的面积分别为 763.02 m2 和 150.72 m2，求圆环的宽度 d (π 取 3.14).
d
解：
设大圆和小圆的半径分别为 R，r，面积分别为 S1，S2，由 S1 = πR2，
S2 = πr2，可得
则
答：圆环的宽度约为
d
7. 已知 a，b 都是有理数，现定义新运算：
a*b= ，求 (2*3) - (27*32) 的值．
解：∵a*b = ，
∴ (2*3) - (27*32)
=
=
=
能力提升：

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