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17.1 一元二次方程
第 17 章 一元二次方程及其应用
学习目标
1. 理解一元二次方程的概念. (重点)
2. 根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数.
3. 理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题. (难点)
没有未知数
1. 下列式子哪些是方程？
2 + 6 = 8
2x + 3
5x + 6 = 22
x + 3y = 8
x - 5<18
代数式
一元一次方程
二元一次方程
不等式
分式方程
2. 什么叫方程？我们学过哪些方程？
含有未知数的等式叫作方程.
我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程属于整式方程。
3. 什么叫一元一次方程？
含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的整式方程叫作一元一次方程.
想一想：什么是一元二次方程呢？
一元二次方程的概念
问题1 某蔬菜生产基地去年全年无公害蔬菜产量为 100 t，计划明年无公害蔬菜的产量比去年翻一番 ( 即为 200 t )．要实现这一目标，今年和明年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少 ( 精确到 1 % )
1
根据数量关系绘制下图：
100x
100
100(1+x)
去年
今年
明年
100
100(1+x)x
分析 设这个生产基地今年和明年无公害蔬菜产量的年平均增长率是 x，那么，
明年无公害蔬菜产量为：
100 + 100x = 100(1 + x) ( t ),
今年无公害蔬菜产量为：
100(1+x)+100(1+x) · x =100(1+x)2 ( t ) .
根据题意，得 100(1 + x) = 200.
化简，得 (1 + x) = 2.
整理，得 x + 2x -1 = 0. ①
问题1 某蔬菜生产基地去年全年无公害蔬菜产量为 100 t，计划明年无公害蔬菜的产量比去年翻一番 ( 即为 200 t )．要实现这一目标，今年和明年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少 ( 精确到 1 % )
问题2 如图，在一块宽 20 m、长 32 m 的长方形空
地上，修筑宽相等的三条小路( 两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直 )，把长方形空地分成大小一样的六块，建成小花坛. 要使花坛的总面积为 570 m2，问小路的宽度为多少
32
20
x
1. 若设小路的宽是 x m，则横向小路面积是_____m2，纵向小路的面积是 m2，两者重叠的面积是 m2.
思考
32x
2×20x
2x2
2. 由于花坛的总面积是 570 m2，你能根据题意列出方程吗？
整理以上方程，可得
32×20 - ( 32x+2×20x ) + 2x2 = 570.
x2 - 36x + 35 = 0 ②.
32
20
32-2x
20-x
想一想 有同学列出的方程是(20 - x)(32 - 2x) = 570. 这个方程对吗？
观察与思考
方程①②都不是一元一次方程。那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
共同特点：
(1) 都是整式方程；
(2) 只含一个未知数；
(3) 未知数的最高次数是 2.
x2 - 36x + 35 = 0 ②
x + 2x -1 = 0 ①
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫作一元二次方程.
ax2 + bx + c = 0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0).
其中，ax2 叫作二次项，a 是二次项系数；bx 叫作一次项，b 是一次项系数； c 叫作常数项.
一元二次方程的概念
一元二次方程的一般形式
知识要点
想一想 为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
当 a = 0 时
bx+c = 0,
当 a ≠ 0，b = 0 时
ax2+c = 0,
当 a ≠ 0，c = 0 时
ax2+bx = 0,
当 a ≠ 0，b = c =0 时
ax2 = 0,
总结：只要满足 a ≠ 0 即可，b，c 可以为任意实数.
不符合定义；
符合定义；
符合定义；
符合定义.
例1 下列选项中，是关于 x 的一元二次方程的是 ( )
C
不是整式方程
含两个未知数
化简整理为 x2 - 3x + 2 = 0
少了先决条件 a ≠ 0
提示：判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程，若是则进一步化简整理后再做判断。
典例精析
例2 a 为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1) ax2 - x = 2x2；
(2) (a - 1)x|a| + 1 - 2x - 7 = 0.
解：(1) 将方程整理，得 (a - 2)x2 - x = 0，
所以当 a - 2≠0，即 a≠2 时，原方程是一元二次方程.
方法点拨：根据一元二次方程的定义求参数的值时，根据未知数的最高次数等于 2，列出关于参数的方程，再排除使二次项系数等于 0 的参数值即可得解.
(2) 由 | a | + 1 = 2，且 a - 1≠0 知，当 a = -1 时，原方程是一元二次方程.
例3 将方程 2x(x + 1) = 5 化为一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数。
解：
去括号，得
2x2 + 2x = 5.
移项，得该方程的一般形式为
2x2 + 2x - 5 = 0.
其中二次项是 2x2，系数是 2；一次项是 2x，系数是 2；常数项是 -5.
系数和项均包含前面的符号。
注意
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫作根）.
练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4.
解：
3 和 -2.
你注意到了吗？一元二次方程不止一个解(根)
一元二次方程的根
2
例4 已知方程 3x( x - 1 ) = 2( x + 2 ) + 4.
(1) 把该方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项；
解 (1) 去括号，得 3x - 3x = 2x + 4 + 4.
移项、合并同类项，得方程的一般形式：
3x - 5x - 8 = 0
它的二次项系数是 3，一次项系数是 -5，常数项是 -8.
典例精析
(2) 把 x = -1 代入原方程的左右两边，得
左边 = 3×(-1)×(-1 - 1) = 6.
右边 = 2×(-1 + 2) + 4 = 6.
因为左边 = 右边，所以 -1 是该方程的根.
例4 已知方程 3x( x - 1) = 2( x + 2 ) + 4.
(2) 判断 -1 是否为该方程的根，
例5 已知 a 是方程 x2 + 2x－2 = 0 的一个实数根，求 2a2 + 4a + 2022 的值。
解：由题意得
方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需用到整体思想——求解时，将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体代入求值。
1. 下列哪些是一元二次方程？
是
不是
是
不是
不是
是
(1) 3x + 2 = 5x - 2；
(2) x2 = 0；
(3) (x + 3)(2x - 4) = x2；
(4) 3y2 = (3y + 1)(y - 2)；
(5) x2 = x3 + x2 - 1；
(6) 3x2 = 5x - 1.
2. 填空：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
-2
1
3
1
3
-5
4
0
-5
3
-2
（1） 有一块长方形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的四角各切去一个边长为 x cm 正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果制作的方盒的底面积为 3600 cm2，求切去的正方形的边长 x．
解：依题意知盒底的长为 (100 - 2x) cm，宽为 (50 - 2x) cm，则有
化简、整理，得
3. 请根据题意列出方程，并化为一般形式.
100 cm
50 cm
x
3600 cm2
（2） 组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛
解：根据题意，列方程得
化简，得
4. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 + ax + a = 0 的一个根是 3，求 a 的值.
解：由题意把 x = 3 代入方程 x2 + ax + a = 0，得
32 + 3a + a = 0，
9 + 4a = 0，
4a = -9，
5. 若关于 x 的一元二次方程 (m + 2)x2 + 5x + m2 - 4 = 0
有一个根为 0，求 m 的值.
二次项系数不为零不容忽视
解：将 x = 0 代入原方程，得 m2 - 4 = 0，
解得 m = ±2.
∵ m + 2 ≠ 0，
∴ m ≠ -2.
∴m = 2.
拓广探索：已知关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的一个根为 1，求 a + b + c 的值.
解：由题意得
思考：(1) 若 a + b + c = 0，你能通过观察，求出方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的一个根吗
解：由题意得
∴ 方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 必有一个根是 1.
(2) 若 a - b + c = 0，且 4a + 2b + c = 0，你能通过观察，求出方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根吗
x1 = -1，x2 = 2.
一元二次方程
概念
是整式方程；
含一个未知数；
最高次数是 2
一般形式
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0),
其中 a ≠ 0 是一元二次方程的必要条件
根
使方程左右两边相等的未知数的值

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