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17.2 一元二次方程的解法
第17 章 一元二次方程
17.2.2 公式法
学习目标
1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程；(难点)
2. 会利用求根公式解简单系数的一元二次方程；
(重点)
3. 经历探索求根公式的过程，培养逻辑推理和数学运算的核心素养，并养成良好的运算习惯；
4. 通过运用公式法解简单系数的一元二次方程，提高运算能力 .
1. 用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？
2. 如何用配方法解方程 2x2 + 4x + 1 = 0
解：x2 + 2x = ，即 (x + 1)2 = ，
一移、移动常数项；
二配、[配上 ]；
三写、 写出(x + n)2 = p (p≥0)；
四开平方、直接开平方法解方程。
任何一个一元二次方程都可以化为一般形式：
ax2 + bx + c = 0.
合作探究
求根公式的推导
思考 如何使用配方法得出任意一元二次方程解呢？
配方法
x2 + px + ( )2 = (x + )2.
1
用配方法解一般形式一元二次方程
解：
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
方程两边都除以 a，
因为 a ≠ 0 ，
移项，得
配方，得
则
得
∵ a ≠ 0， 4a2 > 0，
∴ 当 b2 - 4ac≥0 时，
≥0 .
将方程左右两边开平方，得
化简、整理得
当 b2 - 4ac＜0 时，
而 x 取任何实数都不能使上式成立，
∴ 此时方程无实数根.
这个式子叫作一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫作公式法.由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.
由上可知，一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根由方程的系数 a，b，c 确定. 因此，解一元二次方程时，先将方程化为 ax2 + bx + c = 0 的一般形式，
当 b2 - 4ac≥0 时，将 a，b，c 代入求根公式，就可以得出方程的实数根.
注意 使用公式法解一元二次方程的前提是：
1. 必须是一般形式的一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)；
2. 必须满足 b2 - 4ac≥0 才能代公式计算.
例1 用公式法解下列方程
(1) 2x2 + 7x - 4 = 0； (2) x2 + 3 = 2x.
解： (1) ∵ a = 2，b = 7，c = -4，
公式法解方程
代入求根公式，得
∴ b - 4ac = 72 - 4×2×(-4) = 81 > 0.
所以原方程的根是
2
.
(2) x2 + 3 = 2x.
(2) 将原方程化为一般形式，得 x - 2x + 3 = 0.
所以原方程的根是
代入求根公式，得
∴ b - 4ac = (-2)2 - 4×1×3 = 0.
∵ a = 1，b = -2，c = 3，
例2 解方程：x2＋x－1＝0 (精确到 0.001).
解：由题意，得 a＝1，b＝1，c＝－1，
用计算器求得：
代入求根公式，得
所以原方程的根是 x1≈0.618，x2≈－1.618.
例3 解方程：4x2 - 3x + 2 = 0.
∵ 在实数范围内负数不能开平方，
∴ 方程无实数根.
解：
公式法解方程的一般步骤
1. 变形：化已知方程为一般形式；
2. 确定系数：用 a，b，c 写出各项系数；
3. 计算：b2 - 4ac 的值；
4. 判断：若 b2 - 4ac≥0，则利用求根公式得解；
若 b2 - 4ac < 0，则方程没有实数根。
归纳总结
1. 解方程：x2 + 7x–18 = 0.
解：这里 a = 1，b = 7，c = -18.
∵ b2 - 4ac = 72 – 4 × 1× (-18 ) = 121 > 0，
∴
即 x1 = -9，x2 = 2.
2. 解方程 (x–2) (1–3x) = 6.
解：去括号，得 x–2 - 3x2 + 6x = 6.
化为一般式，得 3x2 - 7x + 8 = 0.
这里 a = 3，b = -7，c = 8，
∴ b2 - 4ac = (-7 )2 – 4×3×8 = 49–96
= -47 < 0.
∴ 原方程没有实数根。
3. 解方程：2x2 - x + 3 = 0.
解： 这里 a = 2，b = ，c = 3.
∵ b2 - 4ac = 45 - 4×2×3 = 21 > 0 ,
∴
∴ x1 = , x2 =
公式法
求根公式
步骤
一化（一般形式）；
二定（系数值）；
三求（求 b2 - 4ac 的值）；
四判（方程根的情况）；
五代（代求根公式计算）。
务必将方程化为一般形式

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