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17.4 一元二次方程的根与系数的关系
第17章 一元二次方程
学习目标
1. 探索一元二次方程的根与系数的关系. (难点)
2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. (重点)
1. 一元二次方程的求根公式是什么
2. 如何用判别式来判断一元二次方程根的情况
对于一元二次方程 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)，其判别式
Δ = b2 - 4ac.
当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ < 0 时，方程无实数根。
一元二次方程的根与系数的关系
思考 我们知道，一元二次方程 ax + bx + c = 0
( a≠0 , 且 b2 - 4ac ≥ 0 )的两根为：
观察 x1 ，x2 表达式的特点 ，你有什么发现
x1 = , x2 =
1
证一证：
当 b2 - 4ac≥0 时，方程两根之和：
方程两根之和：
一元二次方程的根与系数的关系
如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1，x2，那么
这个关系通常称为韦达定理.
知识要点
思考与提升
(1) 如果将一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的二次项系数化为 1 ，能化成什么样的形式
因为 a≠0， 将 ax2 + bx + c = 0 的两边同时除以 a，得
这样就可以把原方程化成 x2 + px + q = 0 的形式.
归纳总结 对于二次项系数为 1 的一元二次方程
x2 + px + q = 0, x1 + x2 = -p, x1·x2 = q
(x - x1)(x - x2) = 0
x2 - (x1 + x2) x + x1·x2 = 0
x2 + px + q = 0
x1 + x2 = -p, x1·x2 = q
(2) 一元二次方程 (x - x1)(x - x2) = 0 (x1，x2 为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？
有关韦达定理的常见的求值式子如下：
一元二次方程的根与系数的关系的应用
2
例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
(1) x2 + 7x + 6 = 0， (2) 2x2 - 3x - 2 = 0.
解： (1) 设方程的两根是 x1，x2，由韦达定理，
得 x1 + x2 = -7，x1·x2 = 6.
(2) 设方程的两根是 x1，x2，由韦达定理，
得 x1 + x2 = ，x1·x2 = -1.
典例精析
想一想：本题还有别的解法吗？
解 设方程的另一个根是 x2，则
例2 已知方程 2x2 + kx - 4 = 0 有两个根，其中一个根
是 -4，求它的另一个根及 k 的值.
-4 + x2 =
-4x2 =
解方程组，得
x2 = ，
k = 7.
答：方程的另一个根为 ，k 的值为 7.
解 将 x = –4 代入方程，得
2×( –4 )2 + (–4 )k – 4 = 0.
解得 k = 7.
将 k = 7 代入方程，得
2x2 + 7x – 4 = 0，
例2 已知方程 2x2 + kx - 4 = 0 有两个根，其中一个根
是 -4，求它的另一个根及 k 的值.
解得
x1 = ，
x2 = –4.
例3 设 x1，x2 是方程 x2 - 2(k - 1)x + k2 = 0 的两个实数根，且 x12 + x22 = 4，求 k 的值。
解：由方程有两个实数根，得 Δ = 4(k - 1)2 - 4k2≥0，
即 -8k + 4≥0，
由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k - 1)，x1 x2 = k2.
∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k - 1)2 - 2k2
= 2k2 - 8k + 4 = 4.
解得 k1 = 0，k2 = 4. ∵ ，∴ k = 0.
例4 方程 2x - 3x - 1 = 0 的两个根记作 x1，x2，
求 x1 - x2 的值.
( x1 - x2 ) = ( x1 + x2 ) - 4x1x2
解 由韦达定理，得 x1 + x2 = ，x1x2 = .
∴ x1 - x2 =
= ( ) + 4×
= .
1.设 x1，x2 为方程 x2 - 4x + 1 = 0 的两个根，则
(1) x1 + x2 = ;
(2) x1 · x2 = ;
(3) ;
(4) (x1 - x2)2 = .
4
1
14
12
练一练
数学拓展
二次三项式 ax + bx + c ( abc≠0 ，a，b，c 为常数 ) 在实数范围内的因式分解 ，还可利用求一元二次方程 ax + bx + c = 0 的根来进行 .
若 ax + bx + c = 0 有两个根 x1 ，x2 ，则由根与系数的关系可知
二次三项式的因式分解
因此
例如，一元二次方程 3x2 -5x -12 = 0 的两个根 x1 = 3 ，x2 = ，则二次三项式 3x2 -5x -12 = 0 可以分解为 3( x -3 )( x + ).
思考
1. 在实数范围内，将 4x + 8x -1 分解因式.
2. 二次三项式 2x + 3x + 2 能否在实数范围内分解？
解 令 4x + 8x -1 = 0，
得
则 4x + 8x -1 可以分解为 4( x +1 - )( x +1 + ).
2. 二次三项式 2x + 3x + 2 能否在实数范围内分解
解 令 2x + 3x + 2 = 0，
Δ = b2 - 4ac = 32 - 4×2×2 = -7＜0.
故这个方程无根.
因此二次三项式 2x + 3x + 2 不能在实数范围内分解.
练一练
2. 已知一元二次方程 x2 + px + q = 0 的两根分别为 -2 和 1，则 p = ，q = .
1
-2
1. 如果 -1 是方程 2x2 - x + m = 0 的一个根，那么另一个根是 ，m = ____.
___
-3
3. 已知方程 3x2 - 19x + m = 0 的一个根是 1，求它的另
一个根及 m 的值.
解：将 x = 1 代入方程中，得 3 - 19 + m = 0.
解得 m = 16.
设另一个根为 x1，则有
1 · x1 =
∴ x1 =
4. 已知 x1，x2 是方程 2x2 + 2kx + k - 1 = 0的两个根，且(x1 + 1)(x2 + 1) = 4.
(1) 求 k 的值； (2) 求 (x1 - x2)2 的值。
解：(1)根据韦达定理，得
∴ (x1 + 1)(x2 + 1) = x1x2 + (x1 + x2) + 1 =
解得 k = -7.
(2) ∵ k = -7, ∴
则
5. 设 x1，x2 是方程 3x2 + 4x – 3 = 0 的两个根，利用根与系数之间的关系，求下列各式的值：
(1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2)
解：由根与系数的关系，得
(1)(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1 =
(2)
6. 当 k 为何值时，方程 2x2 - kx + 1 = 0 的两根之差为 1？
解：设方程两根分别为 x1，x2 (x1 > x2)，则 x1 - x2 = 1.
∵ (x1 - x2)2 = (x1 + x2)2 - 4x1x2 = 1,
由根与系数的关系，得
拓展提升
7. 已知关于 x 的一元二次方程 mx2 - 2mx + m - 2 = 0.
（1）若方程有实数根，求实数 m 的取值范围；
（2）若方程两根 x1，x2 满足 |x1 - x2| = 1，求 m 的值。
解：（1）∵ 方程有实数根，
∴ Δ = (-2m)2 - 4m(m - 2)
= 4m2 - 4m2+ 8m
= 8m≥0.
∵ m ≠ 0
∴ m 的取值范围是 m＞0.
（2）由韦达定理得
解得 m = 8，符合题意.
∵ |x1 - x2| = 1,
根与系数的关系 (韦达定理)
内 容
如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根分别是 x1，x2，那么
应 用
……

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