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安庆市宿松县部分学校联考2025-2026学年上学期九年级12月月考试卷
数　学
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是关于的二次函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.若是关于的二次函数，则的值为( )
A. B. C. 或 D.
3.已知抛物线，其中，若，是方程的两根，且，则当时，的值( )
A. 小于零 B. 等于零
C. 大于零 D. 与零的大小关系无法确定
4.如图，线段，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿线段运动至点，以点为圆心，线段长为半径作圆．设点的运动时间为，点，之间的距离为，的面积为，则与，与满足的函数关系分别是( )
A. 正比例函数关系，一次函数关系 B. 一次函数关系，正比例函数关系
C. 一次函数关系，二次函数关系 D. 正比例函数关系，二次函数关系
5.人类既能欣赏美，更能创造美，即使是五角星，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
6.如图，是等边三角形边上的一点，且，现将折叠，使点与重合，折痕为，点，分别在和上，则( )
A. B. C. D.
7.如图，与位似，点为位似中心，若，则( )
A. B. C. D.
8.在中，，，则的值为( )
A. B. C. D.
9.已知锐角与满足，，求的度数．小明经过思考后，画出如图所示的网格并把和画在网格中，连接得到，且，由此可知小明这种求解体现的数学思想是 ( )
A. 数形结合思想 B. 分类思想 C. 统计思想 D. 方程思想
10.将图所示的七巧板，拼成图所示的四边形，连接，则的值等于( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.若函数是关于的二次函数，则一次函数的图像不经过第 象限．
12.若双曲线在每一个象限内，随的增大而增大，则的取值范围是 ．
13.如图，在四边形中，平分，且，当 时，．
14.社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度如图，他们在处测得旗杆顶部的仰角为， ，则旗杆的高度为
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知抛物线的顶点在轴上，求的值．
16.本小题分
线段、、，且．
求的值；
如果线段、、满足，求的值．
17.本小题分
已知二次函数．
求此函数图像的对称轴和顶点坐标；
画出此函数的图像；
当时，的取值范围为 ；
若点和都在此函数的图像上，且，结合函数图像，则的取值范围为 ．
18.本小题分
如图，抛物线的图象过点，交轴于点．
求抛物线的解析式；
此抛物线的图象与轴交于点、，连结、，求的面积．
19.本小题分
已知，，是的三边长，且．
求的值；
若的周长为，求各边的长．
20.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在线段上，且，若点在轴的正半轴上，连接，过点作，点是射线上一点，过点作轴，垂足为点．
求证：；
如图，连接，若，且与相似，请直接写出点的坐标；
如图，若点的坐标为，过点作轴，且与的延长线交于点，若点关于直线的对称点正好落在线段上，连接，，求点的坐标．
21.本小题分
如图，一次函数分别交轴、轴于、两点，抛物线过、两点。
求这个抛物线的解析式；
作垂直轴的直线，在第一象限交直线于点，交这个抛物线于点。求当取何值时，有最大值？最大值是多少？
在的情况下，以、、、为顶点作平行四边形，求第四个顶点的坐标。
22.本小题分
已知抛物线的对称轴为直线，且与轴交于，两点，与轴交于点．
求抛物线的表达式及顶点坐标
已知为抛物线对称轴上一点，若，求点的坐标
若抛物线上仅存在一个点，使得，且，求的最大值．
23.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，点是抛物线上在第一象限内的一点，直线与轴相交于点．
求抛物线的解析式；
当点是线段的中点时，求点的坐标；
在的条件下，求的值．安庆市宿松县部分学校联考2025-2026学年上学期九年级12月月考试卷
数学答案
选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8. 9. 10.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11. 一
12.
13.
14.
三、解答题：本题共9小题，共90分。
15.本小题分 解：根据题意得，
解得或．
16. 本小题分解：设．
，，
．
设，
，，．
，
，解得，
．
17. 本小题分（1）解：抛物线解析式为，
抛物线对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）列表如下：
函数图像如下所示：
解：由得函数的对称轴为直线，顶点坐标为
（3）由的函数图像，得出函数开口方向向上，
在处有最小值，且，
依题意，把代入，得；
把代入，得；
，
当时，的取值范围为．
（4）根据函数图像求解即可．
解：点和都在此函数的图像上，
由函数图像可知，
当时，或．

18. 本小题分解：将，代入抛物线解析式得，
，
解得
抛物线解析式为．
令得，，
解得，，
，，
，
，
，
．
19. 本小题分（1）
【解】设，则，，，．
（2）的周长为，，即，解得．
，，．

20. 本小题分（1）证明：，，
，
，，
，
．
（2）解：如图，
，，，
，
，，
，
，
，
当时，以点，，为顶点的三角形和相似，
，
，，
，
；
当时，以点，，为顶点的三角形与相似，
同理可得，
综上所述，满足条件的点坐标为：或．
（3）解：如图，过点作于，延长交的延长线于，
四边形、、是矩形，
点坐标为，
，
设，则，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
或，
或．

21.本小题分 解：分别交轴、轴于、两点，
、点的坐标为：，，
将，代入得，
将，代入得，解得，
抛物线解析式为：，
如答图，设交轴于点，
则，．
，
又点在抛物线上，且，，
，
当时，有最大值；
由可知，，，．
以、、、为顶点作平行四边形，点的可能位置有三种情形，如答图所示．
当在轴上时，设的坐标为
由，得，解得，，
从而为或
当不在轴上时，由图可知为与的交点，
易得的方程为，的方程为，
由两方程联立解得为
故所求的点坐标为，或
22. 本小题分（1）
解：由题意得，即，
把点代入，得，
解得，，
，
顶点坐标为．
（2）由知点．
设直线与轴交于点，
，
又点，对称轴为直线，
，，
，
点或．
设直线的表达式为．
由点，得直线的表达式为，
当时，，
点
由点，得直线的表达式为，
同理得点．
综上可知，点的坐标为或．
（3）由题意得，
仅存在一个点，使得，
抛物线与直线仅有一个交点，
令，
整理得，
，
．
，
当时，随的增大而减小，
，
当时，取最大值，最大值为．

23. 本小题分解：将点、代入抛物线，
可得，解得
抛物线的解析式为：；
点在轴上，
所以点横坐标，
点是线段的中点，
点横坐标，
点在抛物线上，
，
点的坐标为；
点的坐标为，点是线段的中点，
点的纵坐标为，
点的坐标为，
，
．

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