资源简介

(共19张PPT)
第二单元　方程(组)与不等式(组)
第8课时　一次不等式(组)及其应用
1
江苏真题随堂练
2
分层作业本
江苏真题随堂练
不等式的基本性质
命题点
1
1. (2022宿迁7题)如果x＜y，那么下列不等式正确的是(　A　)
A. 2x＜2y B. －2x＜－2y
C. x－1＞y－1 D. x＋1＞y＋1
A
2. (2024苏州4题)若a＞b－1，则下列结论一定正确的是(　D　)
A. a＋1＜b B. a－1＜b
C. a＞b D. a＋1＞b
【解析】∵a＞b－1，∴不等式两边同时加1，得a＋1＞b，故D选项正
确，符合题意.
D
一、不等式的基本性质：
性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变.如果a
＞b，那么a±c＞b±c；
性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.如果a＞
b，c＞0，那么ac＞bc(或 ＞ )；
性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.如果a＞
b，c＜0，那么ac＜bc(或 ＜ ).
【点拨】先解不等式，然后再求最大整数解.
x=3
3. (2023宿迁12题)不等式x－2≤1的最大整数解是 .
一元一次不等式的解法(3年5考)
命题点
2
4. (2024盐城18题)求不等式 ≥x－1的正整数解.
答题规范
得分要点
不等式两边同乘最简公分母，注意不等号是否改变
去括号时注意括号前如果是“﹣”号，括号中内容变号
合并同类项，将式子化到最简
注意系数的正负和不等号的改变
解：去分母，得1＋x≥3(x－1)，
去括号，得1＋x≥3x－3，
移项，得x－3x≥－3－1，
合并同类项，得－2x≥－4，
系数化为1，得x≤2，
∴该不等式的正整数解为1，2.
5. (2024连云港18题)解不等式 ＜x＋1，并把解集在数轴上表示出来.
解：去分母，得x－1＜2(x＋1)，
去括号，得x－1＜2x＋2，
移项，得x－2x＜2＋1，
合并同类项，得－x＜3，
系数化为1，得x＞－3.
该不等式的解集在数轴上表示如解图.
第5题解图
解图
一元一次不等式组的解法(3年4考)
命题点
3
6. ［2025淮安17(2)题］解不等式组：
解：令 ，
解不等式①，得x≤1，
解不等式②，得x＞－7，
∴原不等式组的解集为－7＜x≤1.
7. (2023常州20题)解不等式组 ，把解集在数轴上表示出来，
并写出整数解.
解：令 ，
解不等式①，得x≤2，
解不等式②，得x＞－1，
解集在数轴上表示出来如解图所示，
解图
∴不等式组的解集为－1＜x≤2，
∴不等式组的整数解为0，1，2.
温馨提示
解不等式组时，在数轴上表示的目的是帮助学生确定解集，所以往往在数
轴上表示解集先于确定解集的步骤.
二、一元一次不等式：
1. 概念：只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次
数是1的不等式，叫作一元一次不等式.
2. 步骤：①去分母、去括号→②移项、合并同类项→③系数化为1
【避错指南】不等号方向根据系数变化.
3. 解集表示：
解集 在数轴上的表示
x＜a
x＞a
x≤a
x≥a
【归纳总结】方向：小于向左，大于向右；
边界：“≥”“≤”用实心圆点，“＞”“＜”用空心圆圈.
三、一元一次不等式组解集表示：
类型(a＞b) 在数轴上表示
同大取大
解集：x＞a
同小取小
解集：x＜b
类型(a＞b) 在数轴上表示
大小小大取中间
解集：b＜x≤a
大大小小取不了
解集：无解
一元一次不等式(组)的实际应用(3年2考)
命题点
4
8. 某销售公司员工每月的工资由基本工资和业务计单提成组成，其中每月
基本工资为2 800元，每单提成为300元.若小王想要每月的工资超过8 000
元，则他每月至少要做多少单业务？
解：设每月做x单业务，
由题意得，2 800＋300x＞8 000，
解得x＞17 ，
∵业务单数必须为正整数，∴x最小为18，
答：小王每月至少要做18单业务.
9. 阳光中学为弘扬中国“棋文化”，开设了中国象棋和围棋两个社团，该
校为参加社团的同学购买中国象棋和围棋，已知中国象棋18元/副，围棋
20元/副，该学校决定用不超过960元的资金购买中国象棋和围棋共50副，
且围棋的数量不少于中国象棋的数量，则最多可以购买围棋多少副？
解：设购买围棋x副，则购买中国象棋(50－x)副，
由题意得，
解得25≤x≤30，
∴x最大可取30.
答：最多可以购买围棋30副.
四、一元一次不等式实际应用问题的解题步骤：
五、一元一次不等式实际应用问题中常见的关键词与不等号对应表：
常见关键词 不等号
大于，多于，超过，高于 ＞
小于，少于，不足，低于 ＜
至少，不低于，不小于，不少于 ≥
至多，不高于，不大于，不超过 ≤(共22张PPT)
第二单元　方程(组)与不等式(组)
第6课时　分式方程及其应用
1
江苏真题随堂练
2
分层作业本
江苏真题随堂练
分式方程的解(3年3考)
命题点
1
1. (2023淮安10题)方程 =1的解是 .
x=－2
2. (2023连云港19题)解方程 = －3.
答题规范
得分要点
方程两边同乘最简公分母，化为整式方程
解分式方程求得的x值必须要进行检验
去括号时，若括号前是负号，去括号时每一项都要变号
解：方程两边同乘(x－2)，
得2x－5=3x－3－3(x－2)，
解得x=4，
检验：当x=4时，x－2≠0，
∴x=4是原分式方程的解.
3. 解方程： － = .
解：方程两边同乘2(x－1)，得2x－3=x－1，
解得x=2，
检验：当x=2时，2(x－1)=2≠0，
∴x=2是原分式方程的解.
一、分式方程：
1. 概念：分母中含有未知数的方程叫作分式方程.
2. 基本思想：
分式方程 整式方程(一元一次方程).
3. 解方程步骤：
【避错指南】
1. 最简公分母与分母互为相反数时注意符号；
2. 去分母时常数项或整式部分不要漏乘最简公分母；
3. 注意检验，检验解是否会使最简公分母为0.
分式方程的应用
命题点
2
4. 已知关于x的分式方程 ＋3= .
(1)若方程的解为x=1，则m的值为 ；
(2)若分式方程无解，则m的值为 ；
【解析】去分母，得1＋3(x－2)=－1－mx，∴(m＋3)x=4，①方程有
增根，原方程无解，即x=2，∴2(m＋3)=4，解得m=－1；②当m＋3=0
时，原方程无解，即m=－3，综上所述，若分式方程无解，m的值为
－1或－3.
-1
－1或－3
(3)若分式方程的解为正数，则m的取值范围为 ；
【解析】由(2)得(m＋3)x=4，∵原分式方程的解为正数，∴x＞0，x－
2≠0，∴m＋3＞0，且2(m＋3)≠4，∴m＞－3且m≠－1.
(4)若分式方程有增根，则m的值为 .
【点拨】由(2)得(m＋3)x=4，∵分式方程有增根，∴x=2，∴2(m＋3)=4，解得m.
m＞－3且m≠－1
－1
二、分式方程的增根与无解：
分式方程的增根与无解并非同一概念.
1. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程最简公分
母为0的根；
2. 分式方程无解的原因有两个：一是去分母后的整式方程无解；二是整式
方程的解使得最简公分母为0.
分式方程的实际应用(3年2考)
命题点
3
5. “全民阅读，丰富生活”，某图书馆为满足读书爱好
者多样化的阅读需求，准备对图书馆进行扩建与更新补充.
(1)(购买问题)为了补全图书种类，图书馆购进了一批图书，若该图书馆新
购进文学类图书花费了10 000元，购进经管类图书花费了8 500元，已知经
管类图书的均价是文学类图书均价的0.5倍，且两种图书的总数量为540
本，求文学类图书的购进均价；
解：(1)设文学类图书购进的均价为x元/本，则经管类图书购进的均价为
0.5x元/本，
由题意得 ＋ =540，
解得x=50，
经检验，x=50是原分式方程的解，且符合实际.
答：文学类图书的购进均价为50元/本；
(2)(工效问题)为了将购买的540本图书运往到图书馆，现用A，B两种不
同的包装箱进行包装，已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本
图书，单独使用B型包装箱的个数比单独使用A型包装箱的个数少3个，
求A，B两种包装箱各能装图书多少本；
(2)设A型包装箱能装x本图书，则B型包装箱能装(x＋15)本图书.
由题意得 = ＋3，
解得x=45或x=－60(舍去)，
经检验，x=45是原分式方程的解，且符合实际.
∴x＋15=60(本)，
答：A型包装箱能装图书45本，B型包装箱能装图书60本；
(3)(工效问题)在对新到图书整理归纳过程中，小华2 h整理完这批图书的
一半，小明加入另一半图书的整理，两人合作1 h整理完另一半图书，小
华和小明谁的整理速度快，请说明理由；
(3)小华与小明整理速度一样快，
理由如下：
∵小华2 h整理完这批图书的一半
∴小华单独整理完这批图书需要4 h，
设小明单独整理完这批图书需要x h，
由题意得1×(＋ )= ，
解得x=4，
经检验，x=4是原分式方程的解，且符合实际，
∴小明单独整理完这批图书需要4 h，
∴小华和小明的整理速度一样快；
(4)(行程问题)小华家距图书馆6 km，小明家距图书馆10 km，两人周日
9：00分别准时从自己家出发，小华和小明的速度比是3∶4，结果小华比小
明提前20 min到达图书馆.求小华和小明的速度分别是多少km/h.
(4)设小华的速度为3xkm/h，则小明的速度为4x km/h.
由题意得 － = ，
解得x=1.5，
经检验，x=1.5是原分式方程的解，且符合实际，
∴3x=4.5，4x=6.
答：小华的速度为4.5 km/h，小明的速度为6 km/h.
题干中未告诉工作总量或总路程时，工作总量或总路程如何表示呢？
题后反思
6. (2025扬州23题)某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的
书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的 倍，且用100元购买甲款书
签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个.求这两款书签的单价.
解：设乙款书签的单价为x元，则甲款书签的单价为 x元，
由题意得 = －3，
解得x=16，
经检验，x=16是原分式方程的解，且符合实际，
∴甲款书签的单价为 ×16=20(元).
答：甲款书签的单价为20元，乙款书签的单价为16元.
三、分式方程实际应用问题的解题步骤：
四、分式方程实际应用问题常见类型：
类型 基本等量关系
购买问题 总价=单价×数量
工效问题 工作总量=工作效率×工作时间
行程问题 路程=速度×时间(共22张PPT)
第二单元　方程(组)与不等式(组)
第5课时　一次方程(组)及其应用
章前复习思路
转化思想
化整
化归思想
解法
应用
解决问题
一元一次
不等式(组)
方程与方程组
方程(组)与不等式的实际应用
整式方程
消元
降次
一元一次方程
二元一次方程
一元二次方程
分式方程
模型观念
方程(组)与不等式(组)
1
江苏真题随堂练
2
分层作业本
江苏真题随堂练
等式的基本性质
命题点
1
1. (新苏科七上性质改编)下列结论正确的是(　D　)
B. 若x=y，则ax=by
C. 若x＋a=y－a，则x=y
【解析】A. 当a=0时，该结论不成立，此选项不符合题意；B. 等式的两
边应该同时乘以a或b，此选项不符合题意；C. 等式的两边应该同时加上
a或者减去a，此选项不符合题意；D. 等式的两边同时乘以a，得x=y，
此选项符合题意.
D
一、等式的基本性质：
性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数或整式，所得结果仍是等式，
即如果a=b，那么a±m=b±m.
性质2：等式两边都乘(或除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等
式，即如果a=b，那么am=bm；如果a=b，且m≠0，那么 = .
一次方程(组)的解法(3年2考)
命题点
2
2. (2023无锡3题)下列4组数中，不是二元一次方程2x＋y=4的解的是
(　D　)
D
3. (2024宿迁17题)若关于x，y的二元一次方程组 的解是
则关于x，y的方程组 的解是 .
【解析】将方程组 整理，得 ∵关
于x，y的二元一次方程组 的解是 ∴方程组
的解为 即

4. (新苏科七上练习改编)解方程： =x＋1.
答题规范
得分要点
给方程每一项乘分母的最小公倍数
系数化为1时，若结果为分数要化到最简
去括号时，若括号前是负号，去括号时每一项都要变号
解：去分母，得2x－5=3(x＋1)，
去括号，得2x－5=3x＋3，
移项、合并同类项，得－x=8，
系数化为1，得x=－8.
5. (2023连云港18题)解方程组：
答题规范
得分要点
解：(代入消元法)由②，得y=2x－7③，
把③代入①，得3x＋2x－7=8，
解得x=3，
把x=3代入③，得y=－1，
∴原方程组的解是
回代，解得另一个未知数
当其中有一个未知数的系数为1或-1时，可利用代入消元法消去未知数x
作答，得出方程的解
答题规范
得分要点
回代，解得另一个未知数
当其中一个未知数的系数相同或相反时，可利用加减消元法消去未知数x
作答，得出方程的解
(加减消元法)①＋②，得5x=15，
解得x=3，
将x=3代入①，得3×3＋y=8，
解得y=－1，
∴原方程组的解为
5. (2023连云港18题)解方程组：
题后反思
所有的二元一次方程组都有两种求解方法吗？
6. (新苏科七下习题改编)解方程组： .
解：整理方程组，
得 ，
①×2－②，得5y=15，
解得y=3，
把y=3代入①，得2x＋9=10，
解得x= ，
∴原方程组的解为 .
二、一元一次方程：
1. 概念：等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的次数都是1
的方程叫作一元一次方程.
2. 解方程步骤：①去分母、去括号→②移项、合并同类项→③系数化为1
三、二元一次方程：
概念：含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项
的次数都是1的方程叫作二元一次方程.
四、二元一次方程组：
1. 概念：由含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数
的项的次数都是1的两个方程组成的方程组叫作二元一次方程组.
2. 基本思想：二元一次方程组 一元一次方程
3. 解法：(1)代入消元法：当方程组中某个方程中的未知数的系数是1或－
1时，选用此方法较简单；(2)加减消元法：当方程组中同一个未知数的系
数相同或互为相反数时，选用此方法较简单.
一次方程(组)的实际应用(3年12考)
命题点
3
7. (2025连云港6题)《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日
至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢？”(凫：野鸭.
所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相
遇？”)如果设经过x天能够相遇，根据题意，得(　A　)
C. 7x＋9x=1 D. 9x－7x=1
A
8. (2025淮安6题)《九章算术》记载：“今有共买金，人出四百，盈三千
四百；人出三百，盈一百.问人数、金价各几何？”意思为：“今有人合
伙买金，每人出钱400，会多出3 400钱；每人出钱300，会多出100钱.问合
伙人数、金价各是多少？”设合伙人数为x人，金价为 y钱，则可列方程
组(　B　)
B
9. 神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”.为激发青少年探
索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划
租用45座和60座两种客车(两种客车都要租，且两种客车数量都不超过
10)，若每人都有座位且每辆客车都没有空座位，求45座和60座两种客车
各租多少辆.
解：设租用45座客车x辆，60座客车y辆，
由题意得45x＋60y=900，
整理，得x＋ y=20，
∵x，y均为正整数，且0＜x≤10，0＜y≤10，
∴x=8，y=9，
答：45座客车租8辆，60座客车租9辆.
10. (2024连云港23题)我市将5月21日设立为连云港市“人才日”，以最大
诚意礼遇人才，让人才与城市“双向奔赴”.活动主办方分两次共邮购了
200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动的纪念品.折扇单价为8元，
其中邮费和优惠方式如下表所示：
邮购数量 1~99 100以上(含100)
邮寄费用 总价的10% 免费邮寄
折扇价格 不优惠 打九折
若两次邮购折扇共花费1 504元，求两次邮购的折扇各多少把？
解：若每次购买都是100把，则200×8×0.9=1 440≠1 504，
∴一次购买少于100把，另一次购买多于100把，
∴设一次邮购折扇x(x＜100)把，则另一次邮购折扇(200－x)把，
由题意，得8x(1＋10%)＋0.9×8(200－x)=1 504，
解得x=40，
∴200－x=200－40=160(把).
答：两次邮购的折扇分别是40把和160把.
五、一次方程(组)实际应用问题的解题步骤：
六、行程问题：
类型 相遇问题 追及问题
公式 路程=速度×时间 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度 等量 关系 两者路程之和为相距距
离 两者路程之差为相距距离
【避错指南】注意始发时间和地点 七、利润问题：
利润=售价－进价(成本)
利润率= ×100%
实际售价=标价×折扣(共20张PPT)
第二单元　方程(组)与不等式(组)
第7课时　一元二次方程及其应用
1
江苏真题随堂练
2
分层作业本
江苏真题随堂练
解一元二次方程
命题点
1
1. 用适当的方法解下列方程：
(1)4x2－9=0；
答题规范
得分要点
等号两边直接开平方，注意正数的平方根有2个
当方程有两个解时要分开写
解：∵4x2－9=0，
∴(2x)2=9，
∴2x=±3，
解得x1= ，x2=－ ；
(2)(2023无锡20题)2x2＋x－2=0；
(2)∵a=2，b=1，c=－2，
∴b2－4ac=1－4×2×(－2)=17，
∴x= = ，
解得x1= ，x2= ；
(3)x2＋6x－7=0；
(3)∵x2＋6x－7=0，
∴(x＋3)2－16=0，
∴(x＋3)2=16，
∴x＋3=±4，
解得x1=－7，x2=1；
(4)x2－x－2=0.
(4)∵x2－x－2=0，
∴(x＋1)(x－2)=0，
∴x＋1=0或x－2=0，
解得x1=－1，x2=2.
一元二次方程根的应用
命题点
2
2. (2023镇江6题)若x=1是关于x的一元二次方程x2＋mx－6=0的一个根，
则m的值为 .
【解析】把x=1代入方程x2＋mx－6=0得1＋m－6=0，解得m=5.
5
一元二次方程根的情况(3年4考)
命题点
3
3. (2024宿迁7题)规定：对于任意a，b，c有【a，b】★c=ac＋b，其
中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1=2×1＋3=5，若关
于x的方程【x，x＋1】★(mx)=0有两个不相等的实数根，则m的取值范
围为(　D　)
D
【解析】∵【a，b】★c=ac＋b，∴【x，x＋1】★(mx)=mx2＋x＋
1=0，∵关于x的方程【x，x＋1】★(mx)=0有两个不相等的实数根，∴1－
4m＞0且m≠0，解得m＜ 且m≠0.
4. (2024连云港12题)关于x的一元二次方程x2－x＋c=0有两个相等的实数
根，则c的值为 .
【点拨】b2－4ac=0，解得c.
5. (2023泰州13题)关于x的一元二次方程x2＋2x－1=0的两根之和为
.

－
2
一元二次方程根与系数的关系(3年1考)(2022课标调整为考查内容)
命题点
4
6. 利用根与系数的关系，求关于x的一元二次方程3x2＋3x－5=0的两根之
和、两根之积.
解：∵a=3，b=3，c=－5，
∴b2－4ac=32－4×3×(－5)=69＞0，
设方程的两根分别为x1，x2，
则x1＋x2=－ =－1，x1x2= =－ .
利用根与系数的关系时，一定要先判断方程根的情况，再用根与系数
的关系.
规范答题
一、一元二次方程：
1. 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫
作一元二次方程.
2. 一般形式：ax2＋bx＋c=0(其中a，b，c为常数，a≠0)
3. 基本思想：一元二次方程 两个一元一次方程
4. 解法：一元二次方程一般有下列4种解法：
(1)直接开平方法：形如(x±m)2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解；
(2)因式分解法：可化为(ax＋m)(bx＋n)=0的方程，用因式分解法求解；
注：方程求解过程中，等式两边不能同时约去含有未知数的因式.
(3)公式法：适用于所有一元二次方程，求根公式为x= (b2－
4ac≥0)；
(4)配方法：若ax2＋bx＋c=0不易于分解因式，可考虑配方为a(x＋
h)2=k(k≥0)，再直接开平方求解.
5. 一元二次方程根的判别式为：b2－4ac
(1)当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
(2)当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
(3)当b2－4ac＜0时，方程无实数根.
6. 根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c=0.
(a≠0)的两个根，则x1＋x2=－ ，x1x2= .(2022课标调整为考查内容)
一元二次方程的实际应用(3年2考)
命题点
5
7. (2023无锡6题)2020年—2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长
至6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是
(　A　)
A. 5.76(1＋x)2=6.58 B. 5.76(1＋x2)=6.58
C. 5.76(1＋2x)=6.58 D. 5.76x2=6.58
A
8. (2023淮安22题)为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园
ABCD(如图)，生态园一面靠墙(墙足够长)，另外三面用18 m的篱笆围成.
生态园的面积能否为40 m2？如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明
理由.
解：生态园的面积能为40 m2.
设AB=x m，则AD=BC= (18－x) m，
根据题意，得 x(18－x)=40，
解得x1=8，x2=10，
答：AB的长为8 m或10 m.
9. 直播购物逐渐走进了人们的生活.某商家在线上平台对一款成本价为40
元的商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出30件.通过市
场调研发现，每件商品售价每涨价1元，日销售量减少1件.若涨价后日利
润比原来多25元，每件售价应定为多少元？
解：设涨价x元，则日销售量减少x件，
由题意得，(60－40＋x)(30－x)=(60－40)×30＋25，
解得x=5，
∴售价应定为60＋5=65(元)，
答：每件售价应定为65元.
二、一元二次方程实际应用问题的解题步骤：
三、一元二次方程实际应用问题常见类型：
类型 基本等量关系
增长率 问题 原量×(1±平均增长率/下降率)a=增长/下降后的量(a为
增长/下降次数)
面积 问题
S空白=(a－2x)(b－2x)
类型 基本等量关系
面积问题
S空白=(a－x)(b－x)
S空白=(a－x)(b－x)
每每问题 总利润=(售价－成本)×数量

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