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(共27张PPT)
第三单元　函　数
第9课时　平面直角坐标系及函数初步
章前复习思路
解决问题
应用
研究函数的一般路径
平面直角坐标系及函数初步
点的坐标特征
函数及其概念
一次函数
反比例函数
二次函数
函数解析式
图象
性质
图象平移
与方程(组)、不等式的关系
①增减性；②对称性；③最值
建模思想
数形结合思想
点变化的坐标特征
函数的应用
函 数
对称点的坐标特征
节前复习导图
各象限内点的坐标特征
坐标轴上点的坐标特征
各象限角平分线
上点的坐标特征
与坐标轴垂直的直线
上点的坐标特征
对称点
的坐标特征
点平移的
坐标特征
点旋转的
坐标特征
点到坐标轴及点
到点之间的距离
函数相关概念
函数图象上点的坐标特征
平面直角
坐标系点坐标特征及函数
1
考点梳理
2
江苏真题随堂练
3
分层作业本
考点梳理
一、各象限内点的坐标特征
1. 点P(a，b)在第一象限 a 0，b＞0
2. 点P(a，b)在第二象限 a＜0，b 0
3. 点P(a，b)在第三象限 a＜0，b 0
4. 点P(a，b)在第四象限 a＞0，b＜0　　
＞
＞
＜
(－，＋)
(＋，－)
二、坐标轴上点的坐标特征
1. 点P(a，b)在x轴上 b=0
2. 点P(a，b)在y轴上 a=0
3. 点P(a，b)在原点上 a=0，b=0
注：坐标轴上的点不属于任何象限
三、各象限角平分线上点的坐标特征
1. 点A1(x1，y1)在第一、三象限角平分线上，则y1=x1
2. 点A2(x2，y2)在第二、四象限角平分线上，则y2=
想一想：哪个函数图象的对称轴是y=±x＋m？
－x2
四、与坐标轴垂直的直线上点的坐标特征
1. 垂直于x轴的直线上的点的 坐标相同
2. 垂直于y轴的直线上的点的 坐标相同
横
纵
五、对称点的坐标特征(如图①)
1. P(a，b)P1(a，－b)
2. P(a，b)P2
3. P(a，b)P3
口诀：关于谁(x轴或y轴)对称谁不变，另一个变号，关于原点对称都变号
图①
(－a，b)
(－a，－b)
【满分技法】1.点(a，b)关于直线x=m对称的点的坐标为(2m－a，b)；
2. 点(a，b)关于直线y=n对称的点的坐标为(a，2n－b)
六、点平移的坐标特征　
点P的 坐标 平移方式(a，b＞0) 平移后点P′的坐标 口诀
(x，y) 向左平移a个单位长度 (x－a，y) 左右平移
横坐标：
左减右加
向右平移a个单位长度 (x＋a，y) 向上平移b个单位长度 上下平移
纵坐标：
上加下减
向下平移b个单位长度 (x，y＋b)
(x，y－b)
七、点旋转的坐标特征
1. 要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度
2. 性质：
(1). 对应点到旋转中心的距离相等
(2). 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
八、点到坐标轴及点到点之间的距离
1. 如图②，点P(a，b)到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ，到原点的距离
为
图②
|b|
|a|

2. 如图③，垂直于y轴的直线l：y=b上的两点P1(x1，b)，P2(x2，b)间的距离是|x1－x2|
3. 如图④，垂直于x轴的直线l：x=a上的两点P1(a，y1)，P2(a，y2)间的距离是|y1－y2|
【拓展延伸】如图⑤，已知坐标平面内任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2).
1. P1，P2两点间的距离P1P2=
2. P1P2的中点坐标为

(，)
图③ 图④ 图⑤
九、函数相关概念
1. 函数的概念：一般地，设在一个变化过程中有两个变量x，y，如果对于x在它
允许取值范围内的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变
量，y是x的函数
2. 函数的表示方法及画法
(1). 表示方法：列表法、 、图象法
(2). 画法：列表→描点→连线
表达式法
3. 函数自变量的取值范围
函数表达式 自变量的取值范围
含有分式(y=) 使分母不为零的实数(即x≠2)
含有二次根式(y=) 使被开方数大于等于零的实数(即x≥4)
含有分式与二次根式 (y=) 使分母不为零，并且被开方数大于等于零的实数(即x≥
－1且x≠1)
注：在实际问题中，自变量的取值范围应使该问题有实际意义 十、函数图象上点的坐标特征：满足函数表达式的点在函数图象上，函数图象上的点都
满足函数表达式
江苏真题随堂练
平面直角坐标系中点的坐标特征(3
命题点
1
年7考)
1. 在平面直角坐标系中，已知点A(1，－5).
(1)(2023盐城2题考法)点A所在象限为第 象限；
(2)(2023宿迁14题考法)点A关于x轴对称的点的坐标为 ，(2023
常州6题考法)关于y轴对称的点的坐标为 ，关于y=3对称的
点的坐标为 ；
(3)(2024扬州5题考法)点A关于原点对称的点的坐标为 ；
四
(1，5)
(－1，－5)
(1，11)
(－1，5)
(4)(2025淮安12题考法)将点A先向右平移2个单位长度得到的点的坐标
为 ，再向上平移3个单位长度得到的点的坐标为 ；
(5)若点B是x轴上一点，且AB⊥x轴，则点B的坐标为 ，A，
B两点间的距离为 ，AB的中点坐标为 ；
(6)(2025宿迁6题考法)将线段OA绕点O逆时针旋转90°得到线段OA′，则
点A′的坐标为 .
(3，－5)
(3，－2)
(1，0)
5
(1，－ )
(5，1)
1. 在平面直角坐标系中，已知点A(1，－5).
2. 在平面直角坐标系中，已知点P(m＋1，4－2m).
(1)若点P在x轴上，则m的值为 ，当点P在y轴上时，m= ；
(2)(2025宿迁11题考法)若点P在第二象限，则实数m的取值范围为
；
(3)若点P在第一、三象限的角平分线上，则m的值为 ；
2
－1
m＜
－1
1
(4)若点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为4，则点P的坐标为 ；
【解析】∵点P到x轴的距离为2，∴|4－2m|=2，解得m=1或m=3，∵点P到y轴的距离为4，∴|m＋1|=4，解得m=3或m=－5，综上所述，m=3，则点P(4，－2).
(5)若Q(2，3)，且PQ∥x轴，则PQ的长为 .
【解析】∵Q(2，3)，PQ∥x轴，∴4－2m=3，解得m= ，∴m＋1= ，
∴PQ的长为2－ = .
(4，－2)

2. 在平面直角坐标系中，已知点P(m＋1，4－2m).
3. (2023连云港13题)画一条水平数轴，以原点O为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点O按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为30°，60°，90°，120°，…，330°的射线，这样就建立了“圆”坐标系.如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点A，B，C的坐标分别表示为A(6，60°)，B(5，180°)，C(4，330°)，
则点D的坐标可以表示为 .
(3，150°)
函数自变量的取值范围
命题点
2
4. (2022连云港5题)函数y= 中自变量x的取值范围是(　A　)
A. x≥1 B. x≥0 C. x≤0 D. x≤1

4.1 在函数y= 中，自变量x的取值范围是 .
A
x＞3
变式
5. (2023无锡2题)函数y= 中，自变量x的取值范围是(　C　)
A. x＞2 B. x≥2 C. x≠2 D. x＜2
【解析】由题意，得x－2≠0，∴自变量x的取值范围为x≠2.
C
分析判断函数图象
命题点
3
类型一　与实际问题结合
6. (2024南通9题)甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间
的路程为20 km.两人前进路程s(单位：km)与甲的前进时间t(单位：h)之
间的对应关系如图所示.根据图象信息，下列说法正确的是 (　D　)
A. 甲比乙晚出发1 h
B. 乙全程共用2 h
C. 乙比甲早到B地3 h
D. 甲的速度是5 km/h
D
7. (2023常州8题)折返跑是一种跑步的形式.如图，在一定距离的两个标志
物①，②之间，从①开始，沿直线跑至②处，用手碰到②后立即转身沿直线跑至①处，用手碰到①后继续转身跑至②处，循环进行，全程无需绕过标志物.小华练习了一次2×50 m的折返跑，用时18 s.在整个过程中，他的速度大小v(m/s)随时间t(s)变化的图象可能是(　D　)
D
【解析】刚开始速度随时间的增大而增大，匀速跑一段时间后减速到②，
然后再加速再匀速到①，由于体力原因，应该第一个50米速度快，用的时
间少，第二个50米速度慢，用的时间多，故他的速度大小v(m/s)随时间
t(s)变化的图象可能是D.
8. (2023镇江17题)小明从家出发到商场购物后返回，如图表示的是小明离
家的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)之间的函数关系.已知小明购物
用时 30 min，从商场返回家的速度是从家去商场速度的1.2倍，则a的值
为 (　D　)
A. 46 B. 48
C. 50 D. 52
D
【解析】设小明家距离商场为s1 m，∵小明购物用时30 min，∴小明从家到
商场所用时间为42－30=12(min)，∴小明从家到商场的速度为 (m/min)，
∵小明返回速度是去商场的速度的1.2倍，∴小明返回所用时间为
=10(min)，∴a=42＋10=52.
类型二　与几何图形结合
9. (2023南通9题)如图①，△ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=20.点D从
点A出发沿折线A－C－B运动到点B停止，过点D作DE⊥AB，垂足为
E. 设点D运动的路径长为x，△BDE的面积为y，若y与x的对应关系如
图②所示，则a－b的值为(　B　)
B
A. 54 B. 52
C. 50 D. 48
【点拨】①当0≤x≤15时，△EAD∽△CAB，
= = ；
②当15＜x≤35时，△DBE∽△ABC，∴ = = .
【解析】∵∠C=90°，AC=15，BC=20，∴AB= =25，①当
0≤x≤15时，点D在AC边上，此时AD=x，∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90°=∠C，∵∠EAD=∠CAB，∴△EAD∽△CAB，∴ =
= ，∴AE= = ，DE= = ，BE=25－ ，∴y= BE DE=
×(25－ )× =10x－ ，当x=10时，y=76，∴a=76；
②如解图，当15＜x≤35时，点D在BC边上，此时BD=35－x，
∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°=∠C，∵∠DBE=∠ABC，∴△DBE∽△ABC，
∴ = = ，∴BE= = =28－ ，DE= =
=21－ ，∴y= BE DE= ×(28－ )×(21－ )=(14－ )(21－ )，当
x=25时，y=24，∴b=24，∴a－b=76－24=52.
解图(共44张PPT)
第三单元　函　数
第16课时　二次函数的实际应用
2
江苏真题随堂练
3
分层作业本
1
多设问串核心
一、利润最值问题
1. 电影《哪吒之魔童闹海》频频刷新票房记录，成为全
民话题，与此同时，与之相关的周边产品也在市场上热销起来.某商店售
卖哪吒手办，每件手办的进价为40元，在销售过程中发现，周销售量
y(件)与销售单价x(元)满足一次函数关系，其部分对应数据(x，y)为(45，
110)，(60，80).
(1)求y与x之间的函数表达式(不要求写出x的取值范围)；
多设问串核心
解：(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx＋b(k≠0)，
将(45，110)，(60，80)分别代入，得 ，解得 ，
∴y与x之间的函数表达式为y=－2x＋200；
y与x之间的函数表达式为y=－2x＋200
(2)当该手办的销售单价定为多少元时，每周获得的利润最大？最大利润
是多少？
(2)设每周可获得利润为w元，
由题意得w=(－2x＋200)(x－40)=－2x2＋280x－8 000
=－2(x－70)2＋1 800，
∵－2＜0，∴当x=70时，w有最大值，最大值为1 800，
∴当该手办的销售单价定为70元时，每周获得的利润最大，最大利润是
1 800元；
(3)由于市场的原因，该手办的进价每件增加了n元(n＞0)，该商店通过自
己的销售记录发现，当销售单价大于76元时，每周的利润随着销售单价的
增大而减小，求n的取值范围.
(3)设进价增加后，每周可获利润为p元，
由题意得p=(－2x＋200)(x－40－n)=－2x2＋2(n＋140)x－200(n＋40)，
∵－2＜0，对称轴为直线x=－ = ，
∴当x＞ 时，p随x的增大而减小，
∵当销售单价大于76元时，每周的利润随着销售单价的增大而减小，
∴ ≤76，解得n≤12，
∴n的取值范围为0＜n≤12.
2. 关注眼睛健康，共筑“睛”彩大视界.某电商为积极响
应爱眼日活动宣传，计划销售一款护眼贴.已知该款护眼贴的进价为50元/
盒，销售一段时间后该电商发现这款护眼贴的月销售量y(盒)与销售单价
x(元)是一次函数的关系，其对应关系如下表：
x(元) 60 65 70
y(盒) 1 400 1 300 1 200
(1)求出月销售量y与销售单价x之间的函数关系式(不要求写自变量的取
值范围)；
解：(1)设月销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y=kx＋b(k≠0)，
将(60，1 400)，(70，1 200)分别代入，
得 ，解得 ，
∴月销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y=－20x＋2 600；
x(元) 60 65 70
y(盒) 1 400 1 300 1 200
(2)该电商规定护眼贴的销售单价不得低于进价，且利润不得高于进价的
70%.
①若该电商某月销售这种护眼贴获利14 000元，则销售单价为多少元？
(2)①由题意得(x－50)(－20x＋2 600)=14 000，
解得x1=60，x2=120，
由题意得50≤x≤50×(1＋70%)，即50≤x≤85，
∴x=60，
答：销售单价为60元；
月销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y=－20x＋2 600
(2)该电商规定护眼贴的销售单价不得低于进价，且利润不得高于进价的
70%.
②设销售这种护眼贴每月获利w(元)，当销售单价为多少元时，每月获利
最大？最大利润是多少元？
月销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y=－20x＋2 600
②由题意得w=(x－50)(－20x＋2 600)=－20x2＋3 600x－130 000=－20(x
－90)2＋32 000，
∵－20＜0，50≤x≤85，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x=90，
∴当50≤x≤85时，w随x的增大而增大，
∴当x=85时，w有最大值，w最大=31 500元.
答：当销售单价为85元时，每月获利最大，最大利润是31 500元.
二、几何图形问题
3. (苏科九下习题改编)某校开展劳动实践活动，九(1)班需
要一块如图所示的矩形菜地ABCD，学校内有一块空地，如何用一段长为
60 m的栅栏围成矩形菜地，为了节省栅栏，计划让菜地的一边靠墙(墙长
24 m)，设AB的长为x m.
(1)BC的长为 m(用含x的代数式表示)；
(60－2x)
(2)设菜地的面积为S m2，求S与x之间的函数关系式；
解：(2)由题意得，60－2x＞0，且60－2x≤24，
∴18≤x＜30，
∴S=AB BC=x(60－2x)=－2x2＋60x(18≤x＜30)；
用一段长为60 m的栅栏围成矩形菜地，计划让菜地的一边靠墙(墙长24 m)，设AB的长为x m.BC的长为(60－2x)m
S=－2x2＋60x(18≤x＜30)
(3)求围成菜地的最大面积；
(3)∵S=－2x2＋60x=－2(x－15)2＋450，
∵－2＜0，18≤x＜30，
∴当x=18时，S有最大值，S最大=432，
∴围成菜地的最大面积为432 m2；
S=－2x2＋60x(18≤x＜30)
(4)当围成菜地的面积为400 m2时，求AB的长.
(4)令－2x2＋60x=400，
解得x1=20，x2=10(不符合题意，舍去)，
∴AB的长为20 m.
三、抛物线型问题
4. (苏科九下练习改编)如图，小明在玩掷沙包游戏，沙包
的运动轨迹是条抛物线，在图中建立平面直角坐标系，小明在点O处，沙
包在距离地面1.6 m处被抛出，在离原点水平距离8 m处落地，相关数据如
图所示.
(1)求沙包运动轨迹所在抛物线的表达式；
解：(1)由题图可知，(0，1.6)，(1，2.1)，(8，0)三点均在抛物线上，
∴设抛物线的表达式为y=ax2＋bx＋1.6(a≠0)，
将(1，2.1)，(8，0)代入，
得 ，
解得 ，
∴沙包运动轨迹所在抛物线的表达式为y=－0.1x2＋0.6x＋1.6；
沙包运动轨迹所在抛物线的表达式为y=－0.1x2＋0.6x＋1.6
(2)求沙包在运动过程中的最大高度；
(2)∵y=－0.1x2＋0.6x＋1.6=－0.1(x－3)2＋2.5，
∴沙包在离原点水平距离3 m处达到最大高度，最大高度为2.5 m；
沙包运动轨迹所在抛物线的表达式为y=－0.1x2＋0.6x＋1.6
(3)小华跳起时最高能摸到2.1 m.若小华能在沙包落地前接住沙包，小明和
小华之间的距离为n m，求n的取值范围(两人之间的距离大于3 m).
(3)令y=0，则0=－0.1x2＋0.6x＋1.6，
解得x1=－2(舍去)，x2=8；
令y=2.1，则2.1=－0.1x2＋0.6x＋1.6，
解得x1=1(舍去)，x2=5，
∴小华距离小明5米到8米(不包括8米)时，能在沙包落地前接住沙包，
∴n的取值范围为5≤n＜8.
江苏真题随堂练
类型一　利润最值问题(3年2考)
1. (2023宿迁26题)某商场销售A，B两种商品，每件进价均为20元.调查发
现，如果售出A种20件，B种10件，销售总额为840元，如果售出A种10
件，B种15件，销售总额为660元.
(1)求A，B两种商品的销售单价；
解：(1)设A种商品的销售单价是x元，B种商品的销售单价是y元，
根据题意，得 ，
解得 ，
答：A种商品的销售单价是30元，B种商品的销售单价是24元；
(2)经市场调研，A种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1
元，销售量可增加10件；B种商品的售价不变，A种商品售价不低于B种
商品售价.设A种商品降价m元，如果A，B两种商品销售量相同，求m取
何值时，商场销售A，B两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？
A种商品的销售单价是30元，B种商品的销售单价是24元
(2)设其销售获得的总利润为W元，
根据题意，得W=(30－m－20)(40＋10m)＋(24－20)(40＋10m)=－10(m
－5)2＋810，
∵A种商品售价不低于B种商品售价，
∴30－m≥24，解得m≤6.
∵－10＜0，
∴当m=5时，W取得最大值，最大值是810元，
答：当m=5时，商场销售A，B两种商品可获得总利润最大，最大利润是
810元.
新考法
综合与实践
2. (2024盐城26题)请根据以下素材，完成探究任务.
制定加工方案 生
产
背
景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有
“风”“雅”“正”三种样式.
◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装
2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件.
◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件
数和“风”服装相等.
续表
制定加工方案 生产 背景 背
景 2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的
获利情况为：
①“风”服装：24元/件；
②“正”服装：48元/件；
③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果
每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元.
信息 整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工 “风”服
装，列表如下：
探究任务 任务1 探寻变 量关系 求x，y之间的数量关系；
解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，
∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，
∴加工“正”服装的有(70－x－y)人，
∵全厂每天加工“正”服装总件数和“风”服装相等，
∴(70－x－y)×1=2y，
整理，得y=－ x＋ ；
探究任务 任务2 建立数 学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w
关于x的函数表达式
任务2：根据题意，得“雅”服装每天获利为x［100－2(x－10)］元，
∴w=2y×24＋(70－x－y)×48＋x［100－2(x－10)］，
整理，得w=48y＋3 360－48x－48y＋(－2x2＋120x)
=－2x2＋72x＋3 360(x＞10)；
探究任务 任务3 拟定加 工方案 制定使每天总利润最大的加工方案.
任务3：由任务2得w=－2x2＋72x＋3 360=－2(x－18)2＋4 008，
∵－2＜0，x≥10，
∴当x=18时，w有最大值，
∴y=－ ×18＋ = ，
∵x，y均为正整数，∴x≠18，
∵开口向下，
∴当x=17或x=19，此时有最大利润，
当x=17时，y=－ ×17＋ = ，不符合题意；
当x=19时，y=－ ×19＋ =17，符合题意，
∴当x=19，y=17时，有最大利润，此时最大利润为4 006元，
∴70－x－y=34，
∴安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加
工“正”服装，每天获得的总利润最大.
类型二　几何图形问题(3年2考)
3. (苏科九下练习改编)如图是某景区民宿的观景窗户示意图，此窗户的上
部分是由两个全等小正方形组成的大长方形，下部分是两个全等矩形，已
知制作一个窗框需用总长为21 m的铝合金材料(不计损耗，中间横框所占
的面积忽略不计)，那么这个窗户的最大观景面积为(　B　)
A. 12 m2 B. m2
C. m2 D. m2
B
4. (2025连云港25题)一块直角三角形木板，它的一条直角边BC长2 m，面
积为1.5 m2.
(1)甲、乙两人分别按图①，图②用它设计一个正方形桌面，请说明哪个
正方形面积较大；
解： (1)∵BC=2 m，Rt△ABC的面积为1.5 m2，
∴AC= =1.5(m)，
∴AB= =2.5(m).
设正方形的边长为x m，
如题图①设计方案：
∵四边形CDEF是正方形，
∴DE∥CF，∠ADE=∠C=90°，DE=CD=x，
∴AD=1.5－x，
Rt△ADE∽Rt△ACB，
∴ = ，即 = ，
解得x= ；
如题图②设计方案：
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE∥GF，
∴Rt△DEC∽Rt△ABC，
∴ = ，即 = = ，
∴DC= x，
∴AD=AC－DC=1.5－ x，
∵∠A=∠A，∠AGD=∠C=90°，
∴Rt△ADG∽Rt△ABC，
∴ = ，即 = = ，
解得x= ，
∵ ＞ ，
∴图①的正方形面积较大；
(2)丙、丁两人分别按图③，图④用它设计一个长方形桌面.请分别求出图
③，图④中长方形的面积y(m2)与DE的长x(m)之间的函数表达式，并分
别求出面积的最大值.
(2)如题图③设计方案：
∵四边形CDEF是长方形，
∴DE∥CF，∠ADE=∠C=90°，
∴Rt△ADE∽Rt△ACB，
∴ = ，即 = = ，
∴AD= x，
∴DC=AC－AD= ，
∴长方形的面积y=DE DC=x =－ (x－1)2＋ ，
∵－ ＜0，0＜x＜2，
∴当x=1时，长方形的面积有
最大值，最大值为 m2；
如题图④设计方案：
同理得Rt△DEC∽Rt△ABC，
∴ = ，即 = = ，
∴DC= x，
∴DA=AC－DC=1.5－ x，
同理得Rt△ADG∽Rt△ABC，
∴ = = = ，
∴DG= DA= (1.5－ x)，
∴长方形的面积y=DE DG=x (1.5－ x)=－ (x－ )2＋ ，
∵－ ＜0，0＜x＜ ，
∴当x= 时，长方形的面积有最大值，最大值为 m2.
类型三　抛物线型问题(3年1考)
5. (2025连云港15题)如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y=a(x－3)2
＋2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.
若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6 m，则铅球掷出的水平距离OB
为 m.
8
【点拨】将A(0，1.6)代入y=a(x－3)2＋2.5中，解得a；令y=0，解得x.
【解析】∵OA=1.6 m，∴点A坐标为(0，1.6)，将A(0，1.6)代入y=a(x－
3)2＋2.5中，得1.6=a(0－3)2＋2.5，解得a=－ ，∴y=－ (x－3)2＋2.5，
令y=0，得－ (x－3)2＋2.5=0，解得x1=8，x2=－2(不符合题意，舍去)，
∴铅球掷出的水平距离OB为8 m.
6. (苏科九下复习题改编)如图①，在某运动广场有一个内圈半径为6米的
圆形花坛，以花坛中心O为圆心，半径为5米的圆形区域内全部种植牡丹
花，其余区域用于种植丁香花.如图②，花坛中心O处竖立了一个高为2米
的360°旋转喷水浇灌装置OA，从喷头A喷出的水柱可近似看作抛物线的
一部分，其中一道水柱在离花坛中心O水平距离为2米处达到最高点B，
此时该水柱距离地面的高度为3米
，以地面为x轴，OA所在直线为
y轴，建立平面直角坐标系.
(1)求该水柱所在抛物线的函数表达式；
解：(1)由题意知A(0，2)，顶点B(2，3)，
∴设该水柱所在抛物线的函数表达式为y=a(x－2)2＋3(a≠0)，
将A(0，2)代入y=a(x－2)2＋3中，
得2=a(0－2)2＋3，
解得a=－ ，
∴该水柱所在抛物线的函数表达
式为y=－ (x－2)2＋3；
该水柱所在抛物线的函数表达式为y=－ (x－2)2＋3
(2)请判断装置OA喷出的水柱能否完全覆盖种植牡丹花的圆形区域，并说
明理由.
(2)能.理由：由(1)得，该水柱所在抛物线的函数表达式为y=－ (x－2)2＋3，
令y=0，则－ (x－2)2＋3=0，
解得x1=2 ＋2， x2=－2 ＋2(舍去)，
∵2 ＋2＞5，
∴装置OA喷出的水柱能完全覆盖种植牡丹花的圆形区域.(共21张PPT)
第三单元　函　数
微专题　规律探索
一阶　方法训练
类型一　数式、图形规律探索
考查形式 数式规律 图形规律
解
题
步
骤 标序号 标出每组数或式(图形)的序号：1，2，3，…，n 找规律 对比序号和所给数字或
数式的关系(或后一项数
字或数式与前一项的关
系)，每一部分用含序数
的式子表示出来 观察图形，从中发现图形的变化
方式(固定增加、递增累积等方
式)，以此求出所求图形的个数
验证 验证准确性：代入序号验证确定的对应关系是否正确 例1　按一定规律排列的代数式：a，3a，5a，7a，9a，…，第n个代
数式是(　A　)
A. (2n－1)a B. (2n＋1)a
C. (n＋1)a D. 2 025a
A
例2　按一定规律排列的多项式：2a＋b，6a＋b2，12a＋b3，20a＋
b4，…，第n个多项式是(　B　)
A. n(n＋1)a＋bn＋1 B. n(n＋1)a＋bn
C. n(n－1)a＋bn＋1 D. n(n－1)a＋bn
B
例3　烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，它的前四种化合物的
分子结构模型如图所示，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子.按照这
一规律，第100种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是(　C　)
A. 198 B. 200 C. 202 D. 204
C
例4　如图①所示的中国结是我国特有的手工编织品，它是按照一定的规
律编制而成的，如图②是其抽离出的平面图形，若其中第①个图形中共有
9个小正方形，第②个图形中共有14个小正方形，第③个图形中共有19个
小正方形，…，则第 个图形小正方形的个数为(　C　)
C
A. 245 B. 246 C. 254 D. 255
【解析】由所给图形可知，第①个图形中小正方形的个数为9=1×5＋4；
第②个图形中小正方形的个数为14=2×5＋4；第③个图形中小正方形的个
数为19=3×5＋4；…，∴第n个图形中小正方形的个数为(5n＋4)个，当
n=50时，5×50＋4=254(个)，即第 个图形中小正方形的个数为254个.
类型二　平面直角坐标系中点的坐标规律探索(3年1考)
考查形式 点坐标变换在同一象
限递推变化 点坐标变换在坐标轴或象限内循环
递推变化
解
题 步
骤 求起始
点坐标 求出第1个点坐标(a，b) 确定变
化关系 分别确定横、纵坐标的变化规律与变化次数的关系 验证 验证准确性：代入序号验证确定的对应关系是否正确 例5　如图是小明用许多个完全相同的正方形在平面直角坐标系中设计的
图案，第一个正方形的顶点A(0， )，B(1，0)，在x轴上方的正方形之
间形成了若干等腰三角形，若第一个等腰三角形的最上面的顶点为P1，第
二个等腰三角形最上面的顶点为P2，…，则第2 025个等腰三角形最上面
的顶点P2 025的坐标为 .
(2 025＋2 025 ，1)
【解析】如解图，∵第一个正方形的顶点A(0， )，B(1，0)，
∴OA= ，OB=1，∴正方形的边长AB= =2，∠ABO=60°，
∴顶点P1是底角为30°的等腰三角形的顶点，∴顶点P2在等边三角形中，
过点P1，P2分别作P1H1⊥x轴于点H1，P2H2⊥x轴于点H2，
∵正方形完全相同，∴P1B=AB=2，
∴BH1=D1H1= ，P1H1=1，D1H2=1，P2H2= ，
∴OH1=OB＋BH1=1＋ ，
∴OH2=OH1＋H1D1＋D1H2=2＋2 ，
解图
解图
∴P1(1＋ ，1)，P2(2＋2 ， )，
同理可得，P3(3＋3 ，1)，P4(4＋4 ， )，…，
∴P2 025的坐标为(2 025＋2 025 ，1).
例6　如图，在△OAB中，顶点O(0，0)，A(－2 ，2)，B(2 ，2)，
将△OAB与等边△ABC组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转120°，
则第2 026次旋转结束时，点C的坐标是 .
(－4 ，－4)
【解析】如解图，设AB与y轴的交点为E，
∵A(－2 ，2)，B(2 ，2)，∴AB⊥y轴，AE=2 ，OE=2，∴tan∠AOE= = ，
∴∠AOE=60°，同理∠BOE=60°，∴∠AOB=∠AOE＋∠BOE=120°.
∴每旋转3次为一个循环.
∵2 026÷3=675……1，∴经过2 026次旋转后，点C与点C′重合.
∵∠B′OA′=∠AOB=120°，
∴点B′与点A重合，点A′落在y轴负半轴上.
解图
解图
∵△ABC是等边三角形，
∴点C在y轴上，AC=AB=2 ＋2 =4 ，∠BAC=60°.
∵∠OAB=90°－∠AOE=30°，
∴∠OAC=∠OAB＋∠BAC=90°，∴∠OB′C′=∠OAC=90°.
∵OA′=OA=2OE=4，A′C′=AC=4 ，
∴点C′的坐标是(－4 ，－4)，即第2 026次旋转结束时，
点C的坐标是(－4 ，－4).
二阶　综合训练
1. (2024扬州8题)1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列
数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都
等于它的前两个数之和.则在这一列数的前2 024个数中，奇数的个数为
(　D　)
A. 676 B. 674 C. 1 348 D. 1 350
D
2. 下列图形都是由同样大小的棋子按一定规律组成，其中第1个图形有1颗
棋子，第2个图形一共有6颗棋子，第3个图形一共有16颗棋子，…，则第5
个图形中棋子的颗数为(　B　)
A. 31 B. 51 C. 61 D. 76
B
3. (2022宿迁15题)按规律排列的单项式：x，－x3，x5，－x7，x9，…，
则第20个单项式是 .
4. (2025扬州16题)清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了
推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过
程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组
勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…根据
上述规律，写出第⑤组勾股数为 .
－x39
11，60，61
【点拨】每组勾股数的第1个数的规律为2n+1；每组勾股数的第2个数规律为(2n+1)×n+n；每组勾股数的第3个数规律为(2n+1)×n+(n+1).
5. (2023宿迁18题)如图，△ABC是正三角形，点A在第一象限，点B(0，
0)，C(1，0)，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转120°至CP1；将线段
BP1绕点B按顺时针方向旋转120°至BP2；将线段AP2绕点A按顺时针方
向旋转120°至AP3；将线段CP3绕点C按顺时针方向旋转120°至
CP4；…，以此类推，则点P99的坐标是 .
(－49，50 )
【解析】如解图，过点P2作P2D⊥y轴于点D，
过点P3作P3E⊥x轴于点E，
∵△ABC是正三角形，B(0，0)，C(1，0)，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=AC=BC=1，
∵∠ACB＋∠ACP1=180°，∴点P1在x轴上，
∵CP1=AC=1，∴BP1=BC＋CP1=2，∴点P1的坐标为(2，0)；
∵∠ABC＋∠P1BP2=180°，
∴点A，B，P2三点共线，∠DBP2=120°－90°=30°，
∵BP2=BP1=2，∴DP2= BP2=1，OD= DP2= ，
解图
∴点P2的坐标为(－1，－ )；
∵∠BAC＋∠P2AP3=180°，∴点C，A，P3三点共线，
∵BP2=BP1=2，
∴AP3=AP2=AB＋BP2=3，∴CP3=AP3＋AC=4.
∴EP3=CP3 sin 60°=2 ，CE=CP3 cos 60°=2，
∴OE=CE－BC=1.∴点P3的坐标为(－1，2 )，
同理点P4的坐标为(5，0)，…，∴点P在射线BC，AB或CA上，且每旋转
3次为一个循环，
解图
第5题解图
解图
∵99÷3=33，∴点P99在射线CA上，
∵CP1=1，BP2=2，AP3=3，CP4=4，…，
∴AP99=99，∴CP99=AP99＋AC=100，
同理求点P3坐标的方法，可得点P99的坐标是(－49，50 ).(共41张PPT)
第三单元　函　数
第14课时　二次函数的图象与性质
节前复习导图
二次函数的
图象与性质
定义
开口方向
图象
对称轴
顶点坐标
增减性
最值
二次函数的
图象与性质
a的正负
决定开口方向
a,b的值决定
对称轴位置
c的正负决定
与y轴交点位置
二次函数图象
与a,b,c的关系
二次函数与
方程的关系
1
考点梳理
3
江苏真题随堂练
4
分层作业本
2
多设问串核心
考点梳理
一、二次函数的图象与性质　
定义 形如y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数 想一想：点(a，a2)可以转化为哪个函数图象上的动点？ 开口方向 a＞0，开口向上 a＜0，开口向下
图象 (草图)
定义 形如y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数
对称轴 1.直接运用公式x= 求解
2.配方法：将一般式化为顶点式y=a(x－h)2＋k，则对称轴为直线x=h
注：还可利用x=(其中x1，x2为抛物线上关于对称轴对称的两点
的横坐标)求解
顶点坐标 1.直接运用顶点坐标公式( ______，__________)求解
2.运用配方法将一般式转化为顶点式y=a(x－h)2＋k，则顶点坐标为
(h，k)
3.将对称轴x=x0代入函数表达式求得对应y0，则顶点坐标为(x0，y0)
－
－

定义 形如y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数 增减性 a＞0时，在对称轴左侧，y随x的增
大而 ；在对称轴右侧，y
随x的增大而 a＜0时，在对称轴左侧，y随x的
增大而 ；在对称轴右
侧，y随x的增大而
最值 a＞0时，y有最 值 当x=－时，y的最小值为 a＜0时，y有最 值
当x=－时，y的最大值
为
减小
增大
增大
减小
小

大

二、二次函数图象与a，b，c的关系　
a的正负决定 开口方向 a＞0 开口
a＜0 开口
a，b的值决定对称
轴位置 b=0 对称轴为y轴
a，b同号 对称轴在y轴
a，b异号 对称轴在y轴
向上
向下
左侧
右侧
c的正负决定与y轴
交点位置 c=0 抛物线过原点
c＞0 抛物线与y轴交于 半轴
c＜0 抛物线与y轴交于 半轴
【满分技法】 判断函数图象增减性时，可在草稿纸上画出大致图象，数形结合能更快
地解决问题
正
负
三、二次函数与方程的关系
方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的解是抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点的横坐标(以a＞
0为例)
当b2－4ac＞0时，方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有两个不相等的实数根：
x1=m，x2=n 抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有 个交
点，横坐标分别是
当b2－4ac=0时，方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有两个相等的实数根：
x1=x2=z 抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，横坐标为z
当b2－4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c=0(a≠0) 实数根 抛物线
y=ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴 交点
两
m，n
没有
没有
基础题固考点
1. 已知二次函数y=－x2－2x＋3.
(1)补全表格，并利用描点法在如图所示的平面直角坐标系中画出函数
图象；
x … －3 －2 －1 0 1 …
y … 3 0 …
0
3
4
多设问串核心
解：画出函数图象如解图；
解图
(2)二次函数的图象开口向 (填“上”或“下”)，对称轴为直线
x= ，它的顶点式为 ，顶点坐标为 ；
(3)二次函数有最 值(填“大”或“小”)，
为 ；
下
－1
y=－(x＋1)2＋4
(－1，
4)
大
4
解图
1. 已知二次函数y=－x2－2x＋3.
(4)当x＜－1时，y随x的增大而 ，
当x＞－1时，y随x的增大而 ；
增大
减小
(5)二次函数的图象与x轴有 个交点，交点坐标为 ；
(6)二次函数的图象与y轴交于 (填“正”
或“负”)半轴，交点坐标为 ；
2
(1，0)(－3，
0)
正
(0，3)
解图
1. 已知二次函数y=－x2－2x＋3.
(7)关于x的一元二次方程－x2－2x＋3=0有
个解，解为 .
2
x1=1x2=－3
2. 如图，二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线
x=1.根据图象，分析并判断下列结论，用“＞”“≥”“＜”“≤”或
“=”填空.
(1)a 0，b 0，c 0；
＞
＜
＜
(2)abc 0，2a＋b 0；
(3)b2－4ac 0；
＞
=
＞
(4)a＋b＋c 0；
【解法提示】将x=1代入二次函数y=ax2＋bx＋c中，由图象得a＋b＋c
＜0.
(5)4a－2b＋c 0；
【解法提示】将x=－2代入二次函数y=ax2＋bx＋c中，
由图象得4a－2b＋c＞0.
＜
＞
2. 如图，二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x=1.根据图象，分析并判断下列结论，用“＞”“≥”“＜”“≤”或“=”填空.
(6)b－a 0；
【解法提示】∵a＞0，b＜0，∴b－a＜0.
(7)a＋b m(am＋b).
【解法提示】将x=1代入二次函数解析式得y=a＋b＋c，
∴a＋b=y－c，将x=m代入得y=am2＋bm＋c，当m=
1时，a＋b＋c=am2＋bm＋c，∴m(cm＋b)=y－c，
∵对称轴为直线x=1，开口向上，
∴x=1时y最小，∴a＋b≤m(am＋b).
＜
≤
2. 如图，二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x=1.根据图象，分析并判断下列结论，用“＞”“≥”“＜”“≤”或“=”填空.
方法指导
根据函数图象判断相关结论：
结论形式 解题思路
2a＋b － 与1比较
2a－b － 与－1比较
a＋b＋c 令x=1，看纵坐标
a－b＋c 令x=－1，看纵坐标
结论形式 解题思路
4a＋2b＋c 令x=2，看纵坐标
4a－2b＋c 令x=－2，看纵坐标
9a＋3b＋c 令x=3，看纵坐标
9a－3b＋c 令x=－3，看纵坐标
综合题明考法
一、二次函数的对称性
3. 已知抛物线y=ax2＋4ax－5(a≠0).
(1)抛物线的对称轴是直线 ；
(2)若抛物线经过点(2，m)，则该点关于抛物线的对称轴对称的点的坐标
为 ；
(3)已知抛物线与x轴的一个交点坐标为(1，0)，则抛物线与x轴的另一个
交点坐标为 ；
x=－2
(－6，m)
(－5，0)
(4)若抛物线与y轴交于点A，过点A作y轴的垂线交抛物线于点B，求点
B的坐标.
解：∵点A，B都在抛物线上，且直线AB⊥y轴，
∴点A，B关于抛物线的对称轴对称，
∵点A为抛物线与y轴的交点，
∴当x=0时，y=－5，
∴A(0，－5)，
由(1)知抛物线的对称轴为直线x=－2，
∴点B的坐标为(－4，－5)
3.已知抛物线y=ax2＋4ax－5(a≠0).
二、二次函数的增减性
4. 如图，已知抛物线y=x2－2x－1.
(1)若抛物线经过(5，y1)和(6，y2)两点，则y1 y2(填“＞”“＜”或
“=”)；
(2)若抛物线经过(－2，y1)，(－1，y2)和(4，y3)三点，则y1，y2，y3的大小
关系为 ；
＜
y1=y3＞y2
(3)当－3≤x≤0时，函数值y的取值范围是 ；当－2＜
x≤3时，函数值y的取值范围是 ；
(4)若抛物线的函数值为2＜y＜3，则x的取值范围是
；
－1≤y≤14
－2≤y＜7
1－ ＜x＜－1
或3＜x＜1＋
4. 如图，已知抛物线y=x2－2x－1.
(5)若A，B是抛物线上两点(点A，B均在对称轴右侧)，且到对称轴的距
离分别为2个单位长度和3个单位长度，Q为抛物线上点A，B之间(含点
A，B)的一个动点，则点Q的纵坐标y的取值范围为 .
【解法提示】∵抛物线对称轴为直线x=1，点A，B在抛物线上，到对称
轴的距离分别为2，3，且点A，B均在对称轴右侧，∴点A，B的横坐标
分别为3，4，当x=3时，y=2，当x=4时，y=7，
∵点Q为抛物线上点A，B之间(含A，B)的一个动点，
∴当3≤x≤4时，Q的纵坐标y的取值范围为2≤y≤7.
2≤y≤7
4. 如图，已知抛物线y=x2－2x－1.
若只将(5)中的条件“点A，B均在对称轴右侧”改为“点A在点B的左
侧”，求点Q的纵坐标yQ的取值范围.
题后反思
解：∵A，B为抛物线上两点(点A在点B的左侧)，且到对称轴的距离分
别为2个单位长度和3个单位长度，
∴点A的横坐标为－1或3，点B的横坐标为4，
∴点A的坐标为(－1，2)或(3，2)，点B的坐标为(4，7).
∵Q为抛物线上点A，B之间(含点A，B)的一个动点，抛物线最小值为
－2，
∴当点A，B在对称轴的同侧时，2≤yQ≤7；
当点A，B在对称轴的两侧时，－2≤yQ≤7，
∴点Q的纵坐标yQ的取值范围为－2≤yQ≤7.
满分技法
抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)上的任意一点到其对称轴的距离记为d，则
有：d相等，y值相等；a＞0时，d越大，y值越大，d越小，y值越小；
a＜0时，d越大，y值越小，d越小，y值越大.
三、二次函数的最值
5. 已知二次函数y=x2－4x＋3.
(1)当－3≤x≤0时，求y的最小值；
解：依题意得，二次函数图象的对称轴为直线x=－ =2，
当－3≤x≤0时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
∴最小值在x=0处取得，即y的最小值为3
(2)当－3≤x≤3时，求y的最小值；
解：当－3≤x≤3时，x取值范围在二次函数图象对称轴直线x=2左右
两侧，
∴最小值在x=2处取得，即y的最小值为－1
5.已知二次函数y=x2－4x＋3.
(3)当0≤x≤3时，求y的最大值.
解：当0≤x≤3时，x取值范围在二次函数图象对称轴直线x=2左右两
侧，最大值在两个端点处选择，
当x=0时，y=3；当x=3时，y=0；
∵3＞0，
∴最大值在x=0时取得，即y的最大值为3.
5.已知二次函数y=x2－4x＋3.
题后反思
当－3≤x≤m时，y的最大值和最小值分别是多少？
解：∵抛物线y=x2－4x＋3，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=2，
∵－3≤x≤m，
∴m存在以下几种情况，
①当－3＜m＜2时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，∴最大值在
x=－3处取得，即y的最大值为24；最小值在x=m处取得，即y的最小值
为m2－4m＋3；
②当2≤m＜7时，x取值范围在对称轴的两侧，∴最大值在x=－3处取
得，即y的最大值为24；最小值在x=2处取得，即y的最小值为－1；
③当m=7时，－3≤x≤7，x取值范围在对称轴的两侧，∴最大值在x=－3
和x=7处取得，即y的最大值为24；最小值在x=2处取得，即y的最小值为
－1；
④当m＞7时，x取值范围在对称轴的两侧，∴最大值在x=m处取得，即y
的最大值为m2－4m＋3；最小值在x=2处取得，即y的最小值为－1.
江苏真题随堂练
二次函数的图象与性质(3年3考)
命题点
1
1. (2024连云港8题)已知抛物线y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a＜0)的
顶点为(1，2).小烨同学得出以下结论：①abc＜0；②当x＞1时，y随x的
增大而减小；③若ax2＋bx＋c=0的一个根为3，则a=－ ；④抛物线
y=ax2＋2是由抛物线y=ax2＋bx＋c向左平移1个单位，再向下平移2个单
位得到的.其中一定正确的是(　B　)
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④
B
2. (2023扬州8题)已知二次函数y=ax2－2x＋ (a为常数，且a＞0)，下列
结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第
三象限；③当x＜0时，y随x的增大而减小；④当x＞0时，y随x的增大
而增大.其中所有正确结论的序号是(　B　)
A. ①② B. ②③ C. ② D. ③④
B
3. (2023镇江9题)二次函数 y=－2x2＋9的最大值为 .
4. (2023泰州14题)二次函数y=x2＋3x＋n 的图象与x轴有一个交点在y轴
右侧，则n的值可以是 .(填一个值即可)
9
－1(答案不唯一)
5. (2022盐城15题)若点P(m，n)在二次函数 y=x2＋2x＋2的图象上，且点
P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是 .
【解析】由二次函数的表达式得二次函数的图象开口向上，对称轴是直
线x=－1，∵点P(m，n)在二次函数的图象上，且点P到y轴的距离小于
2，∴－2＜m＜2，当m=－2时，n=(－2)2＋2×(－2)＋2=2，当m=2时，
n=22＋2×2＋2=10，当m=－1时，二次函数取得最小值，此时n=(－1)2
＋2×(－1)＋2=1，∴当－2＜m＜2时，1≤n＜10.
1≤n＜10
6. (2023南京25题8分)已知二次函数y=ax2－2ax＋3(a为常数，a≠0).
(1)若a＜0，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点；
证明：∵b2－4ac=(－2a)2－4×a×3=4a2－12a=4a(a－3)，a＜0，
∴4a＜0，a－3＜0，
∴4a(a－3)＞0，
∴该函数的图象与x轴有两个公共点；
6.已知二次函数y=ax2－2ax＋3(a为常数，a≠0).
(2)若a=－1，求证：当－1＜x＜0时，y＞0；
解：证明：将a=－1代入y=ax2－2ax＋3中，得y=－x2＋2x＋3=－(x－
1)2＋4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵－1＜0，
∴当－1＜x＜0时，y随x的增大而增大，
∴当x=－1时，y取得最小值，最小值为y=0，
∴当－1＜x＜0时，y＞0
(3)若该函数的图象与x轴有两个公共点(x1，0)，(x2，0)，且－1＜x1＜x2
＜4，则a的取值范围是 .
【解法提示】由抛物线解析式可得对称轴为直线x=－ =1，且过定点
(0，3)，分两种情况讨论：①当a＞0时，∵该函数的图象与x轴有两个公
共点(x1，0)，(x2，0)，且－1＜x1＜x2＜4，∴当x=1时，对应的y值在x轴
下方，∴a－2a＋3＜0，解得a＞3；②当a＜0时，∵该函数的图象与x轴
有两个公共点(x1，0)，(x2，0)，且－1＜x1＜x2＜4，∴当x=－1时，对应
的y值在x轴下方，∴a＋2a＋3＜0，解得a＜－1；综上所述，a的取值范
围是a＞3或a＜－1.
a＞3或a＜－1
6.已知二次函数y=ax2－2ax＋3(a为常数，a≠0).
二次函数图象与a，b，c的关系
命题点
2
7. 二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)及其对称轴如图所示，下列说法正确的
是(　C　)
A. a＞0 B. c＜0
C. 2a－b＞0 D. b2－4ac=0
C
二次函数与方程的关系( 快答App 答疑高频考点272次)
命题点
3
8. (苏科九下思考改编)二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)图象如图所示，则关
于x的方程ax2＋bx＋c=0的根是(　B　)
A. x1=－1，x2=3 B. x1=－3，x2=1
C. x1=－1 D. x2=3
B
【点拨】方程ax2＋bx＋c=0的解是抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标.(共42张PPT)
第三单元　函　数
第12课时　反比例函数的图象与性质
节前复习导图
反比例函数
的图象与性质
反比例函数与
方程（组）、不等式的关系
反比例函数
表达式的确定
待定系数法
利用反比例函数的比例系数k的几何意义求解
比例系数k
的几何意义
k的几何意义
计算与反比例函数图象上的点有关的图形面积
反比例函数
的图象与性质
表达式
k
图象
所在象限
图象特征
增减性
对称性
1
考点梳理
2
江苏真题随堂练
3
分层作业本
考点梳理
一、反比例函数的图象与性质　
表达式 y=(k为常数，k≠0)或反比例函数图象上的点的横、纵坐标的乘积为常
数，即xy=k 想一想：(a，)可以转化为哪个函数图象上的动点 k k 0 k＜0
图象 (草图)
所在象限 第一、三象限(x，y同号) 第 象限(x，y )
＞
二、四
异号
图象 (草图) ______
图象 特征 图象无限接近坐标轴，但与坐标轴永不相交，即x≠0，y≠0 增减性 在每个象限内，y随x的增大 而 在每个象限内，y随x的增大而 对称性 图象关于直线y=x，y=－x成 对称；关于 成中心对称 减小
增大
轴
原点
【满分技法】1.在反比例函数中，y随x的大小而变化的情况，应分x＞0与x＜0两种情
况讨论，而不能笼统地说成“k＜0时，y随x的增大而增大”
2. 在同一平面直角坐标系中，若正比例函数与反比例函数图象有交点，则两个交点关
于原点对称
二、比例系数k的几何意义
1. k的几何意义：如图，在反比例函数y=(k为常数，k≠0，x＜0)的图象上任取一点
P(a，b)，过这一点分别作x轴，y轴的垂线PM，PN与坐标轴围成的矩形PMON的面积
S=|ab|=_____
|k|
2. 计算与反比例函数y=图象上的点有关的图形面积：

|k|
|k|
2|k|
三、反比例函数表达式的确定
1. 待定系数法
(1)设出反比例函数表达式为y=(k≠0)
(2)找出图象上一点P(a，b)代入y=中
(3)确定反比例函数表达式为y=
2. 利用反比例函数的比例系数k的几何意义求解：若题中已知面积时考虑用k的几
何意义，由面积得|k|，再结合图象所在象限判断k的正负，从而得出k的值，代入
表达式即可
四、反比例函数与方程(组)、不等式的关系　
示意图 函数与方程(组) 函数与不等式
y=ax＋b y= 函数y=ax＋b(a≠0)的图象与反比例函数y=(k≠0)图象的交点坐标值 xA，xB分别为点A，B的横坐标
①不等式＞ax＋b的解集为x＜xA或
0＜x＜xB；
②不等式＜ax＋b的解集为xA＜x＜
0或x＞xB.
方程组 的解为一次
多设问串核心
基础题固考点
1. 已知反比例函数y= (k≠0)经过点(1，4).
(1)k= ；
(2)反比例函数的图象经过第 象限，且在每一个象限内，y随x
的增大而 (填“增大”或“减小”)；
(3)点(a，b)在该反比例函数图象上，则点(－a，－b) (填“在”或
“不在”)该反比例函数图象上；
4
一、三
减小
在
1.已知反比例函数y= (k≠0)经过点(1，4).
(4)点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是该反比例函数图象上的三点，
且x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为 (用“＜”
连接)；
(5)当1≤x≤6时，函数的最大值为 .
【解法提示】∵反比例函数图象在第一、三象限内，在每个象限内y随x的
增大而减小，∴在1≤x≤6的范围内当x=1时，函数有最大值，最大值为4.
y2＜y1＜y3
4
2. 已知P为反比例函数y= (k≠0)图象上一点.
(1)如图①，过点P作PA⊥x轴于点A，B是y轴上一点，若△ABP的面积
为2，则k= ；
4
反比例函数中k的几何意义
综合题明考法
【解法提示】如解图①，连接OP，∵PA⊥x轴，∴PA∥y轴，
∴S△ABP=S△AOP=2，由比例系数k的几何意义，得 =S△AOP=2，
∴|k|=4，∵反比例函数图象在第一、三象限，∴k=4.
第2题解图①
解图①
(2)如图②，连接OP，以OP为边作等边三角形POC，边OC与x轴重
合，若△POC的边长为2，则k= ；

2.已知P为反比例函数y= (k≠0)图象上一点.
【解法提示】如解图②，过点P作PD⊥x轴于点D，∵△POC是等边三角
形，边长为2，∴∠POC=60°，OD=CD= OC=1，
∴PD=OD tan∠POD= OD= ，∴S△ODP= OD PD= ，由比例系
数k的几何意义，得 =S△ODP= ，∴|k|= ，
∵反比例函数图象在第一、三象限，∴k= .
解图
(3)如图③，点E在x轴的正半轴上，PE交y轴于点F，若F是PE的中
点，△POF的面积为1，则k= ；
－4
2.已知P为反比例函数y= (k≠0)图象上一点.
【解法提示】如解图③，过点P作PG⊥y轴于点G，
∴∠PGF=∠FOE=90°，
∵F是PE的中点，∴PF=EF，在△PGF和△EOF中，
，∴△PGF≌△EOF(AAS)，∴FG=FO，
∴S△PFG=S△POF=1，∴S△POG=2，
由比例系数k的几何意义，得 |k|=S△POG=2，
∴|k|=4，∵反比例函数图象在第二、四象限，
∴k=－4.
第2题解图③
解图③
(4)如图④，连接OP，延长PO交反比例函数的图象于点B，以PB为对角
线，作正方形PDBC，PC恰好平行于x轴.若正方形PDBC的面积为8，则
k= ；
2
2.已知P为反比例函数y= (k≠0)图象上一点.
【解法提示】∵BP是正方形PDBC的对角线，
∴S正方形PDBC=2S△PBC=2×2|k|=8，∴|k|=2，
∵反比例函数y= 的图象位于第一、三象限，
∴k＞0，∴k=2.
(5)如图⑤，在平面直角坐标系中，△APQ的边PQ⊥y轴于点M，点Q在
反比例函数y= (x＜0)的图象上，点P在反比例函数y= (x＞0)的图象
上，若△APQ的面积为9，OM=2OA，求k的值.
图⑤
(5)如图，连接OQ，OP，
∵点Q在反比例函数y= (x＜0)的图象上，且PQ⊥y轴，
∴S△OQM= =4，
∵OM=2OA，
∴S△OQA= S△OQM=2，
∴S△AQM=6，
∴S△APM=S△APQ－S△AQM=9－6=3，
∵OM=2OA，
∴S△OPM=2S△AOP，
∴S△OPM= S△APM= ×3=2，
∵点P在反比例函数y= (x＞0)的图象上，
∴ =2，
∴|k|=4，由函数图象得，k＜0，
∴k=－4.
图⑤
江苏真题随堂练
反比例函数的图象与性质
命题点
1
1. (苏科八下思考改编)已知反比例函数y=－ ，则下列描述不正确的是
(　D　)
A. 图象位于第二、四象限
B. 图象必经过(－2，3)
C. 图象不可能与坐标轴相交
D. y随x的增大而减小
D
2. (苏科八下复习题改编)一次函数y=－kx＋k和反比例函数y= (k≠0)的
图象在同一平面直角坐标系中，则下列图象正确的是(　D　)
D
3. (苏科八下练习改编)已知点A(－2，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在反比例
函数y= (k≠0)的图象上.若y1＞y2，则y2 y3.(填“＞”“＜”或
“=”)
＜
4. (2023南京14题)在平面直角坐标系中，点O为原点，点A在第一象限，
且OA=3.若反比例函数y= 的图象经过点A，则k的取值范围是______.
【解析】当点A为反比例函数y= 的图象与直线y=x的交点时，k的值最
大.∵OA=3，点A在直线y=x上时，∴A(， )，∴此时k= ×
= ，∵点A在第一象限，∴k＞0，∴k的取值范围是0＜k≤ .
0＜
k≤
反比例函数的表达式确定及k的几何意义(3年8考)
命题点
2
5. (2024宿迁8题)如图，点A在双曲线y1= (x＞0)上，连接AO并延长，交
双曲线y2= (x＜0)于点B，点C为x轴上一点，且AO=AC，连接BC，
若△ABC的面积是6，则k的值为(　C　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
C
6. (2023宿迁8题)如图，直线y=x＋1，y=x－1与双曲线y= (k＞0)分别相
交于点A，B，C，D. 若四边形ABCD的面积为4，则k的值是(　A　)
A. B. C. D. 1
A
7. (2023淮安8题)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y= x＋b的图
象分别与x轴，y轴交于A，B两点，且与反比例函数y= 在第一象限内
的图象交于点C. 若点A坐标为(2，0)， = ，则k的值是(　C　)
A. B. 2 C. 3 D. 4
C
8. (2022盐城10题)已知反比例函数的图象经过点(2，3)，则该函数表达式
为 .
9. (2022淮安15题)在平面直角坐标系中，将点A(2，3)向下平移5个单位长
度得到点B，若点B恰好在反比例函数y= 的图象上，则k的值是 .
y=
－
4
10. (2023盐城16题)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B都在反比例
函数y= (x＞0)的图象上，延长AB交y轴于点C，过点A作AD⊥y轴于点
D，连接BD并延长，交x轴于点E，连接CE. 若AB=2BC，△BCE的面
积是4.5，则k的值为 .
6
【解析】如解图，连接AE，∵AB=2BC，S△BCE=4.5，∴S△ABE=9，过点
B作BF⊥x轴于点F，交AD于点G，过A作AH⊥x轴于点H，则
∠ADO=∠DOH=∠AHO=90°，∴四边形ADOH是矩形，∴AD∥OH，
∴BF⊥AD，∴S△ABE=S△ABD＋S△ADE= AD BG＋ AD GF= AD (BG
＋GF)= AD BF=9.过点B作BP⊥y轴于点P，则四边形OFBP是矩形，
∴BP∥AD，∴ = = ，∴AD=3BP，∴ ×3BP BF=9，∴BP BF=6，
∴S矩形OFBP=6，∵反比例函数的图象在第一象限，∴k=6.
解图
11. (2024扬州17题)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，0)，点
B在反比例函数y= (x＞0)的图象上，BC⊥x轴于点C，∠BAC=30°，将
△ABC沿AB翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图象上，则k
的值为 .
2
【解析】如解图，连接CD，过点D作DE⊥AC于点E，由翻折可知，
AD=AC，BD=BC，∠ADB=∠ACB=90°，∠DAB=∠CAB=30°，
∴∠DAC=60°，AC= BC，∴△ACD为等边三角形，∴AC=2AE. 在
Rt△ADE中，∠ADE=90°－60°=30°，∴DE= AE. ∵A(1，0)，
∴OA=1，设BC=2m(m＞0)，则点B的坐标为(2 m＋1，2m)，点D的
坐标为( m＋1，3m).∵点B，D都在该反比例函数
图象上，∴2m(2 m＋1)=3m( m＋1)，
∵m＞0，∴m= ，∴k=2m(2 m＋1)=2 .
解图
12. (2023连云港15题)如图，矩形 OABC的顶点 A在反比例函数y= (x＜0)
的图象上，顶点B，C在第一象限，对角线 AC∥x轴，交 y轴于点 D. 若矩
形 OABC的面积是 6， cos ∠OAC= ，则 k= 　－ 　.
－
【解析】∵AC∥x轴，∴∠ADO=90°，易知∠AOC=90°，∵ cos
∠OAC= ，∴ cos ∠OAC= = = ，设AD=2a，则AO=3a，∴AC= a，∴ = = ，∴2S△AOD=2× S△AOC= ×S矩形OABC= ×6= ，∵反比例函数过第二象限，k＜0，∴k=－ .
13. (2024盐城22题)小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图
象，并把矩形直尺放在上面，如图.
请根据图中信息，求：
(1)反比例函数表达式；
解：(1)由题图可知点A的坐标为(－3，2)，
设反比例函数的表达式为y= (k≠0)，
∵点A在反比例函数y= 的图象上，
∴k=－3×2=－6，
∴反比例函数表达式为y=－ ；
反比例函数表达式为y=－
(2)点C坐标.
(2)设OA所在直线的函数表达式为y=kx(k≠0)，
把点A(－3，2)代入y=kx中，
得－3k=2，解得k=－ ，
∴OA所在直线的函数表达式为y=－ x，
由题图可知OA所在直线向上平移3个单位长度得到BC所在直线，
∴BC所在直线的函数表达式为y=－ x＋3，令－ =－ x＋3，
解得 ， ，
∵点C在第二象限，
∴点C坐标为(－ ，4).
反比例函数与方程(组)、不等式的关系(3年1考)
命题点
3
14. (2025连云港7题)如图，正比例函数y1=k1x(k1＜0)的图象与反比例函数
y2= (k2＜0)的图象交于A，B两点，点A的横坐标为－1.当y1＜y2时，x
的取值范围是(　C　)
A. x＜－1或x＞1
B. x＜－1或0＜x＜1
C. －1＜x＜0或x＞1
D. －1＜x＜0或0＜x＜1
C
反比例函数的实际应用(3年2考)
命题点
4
15. (2025连云港14题)某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条
件下，气球内气体的压强p(Pa)是气球体积V(m3)的反比例函数.当V=1.2
m3时，p=20 000 Pa.则当V=1.5 m3时，p= Pa.
16. (2024连云港13题)杠杆平衡时，“阻力×阻力臂=动力×动力臂”.已知
阻力和阻力臂分别为1 600 N和0.5 m，动力为F(N)，动力臂为l(m).则动
力F关于动力臂l的函数表达式为 .
16 000
F=
17. (2024南通16题)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单
位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果
以此蓄电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10 A，那么用电器可变
电阻R应控制的范围是 .
R≥3.6Ω
【点拨】根据题图求出反比例函数表达式，
将最大电流I=10代入，求出可变电阻R的最小值.
【解析】根据题图，设I= ，把(9，4)代入，得k=36，
∴I= .当I=10时，R=3.6，
∵I随着R的增大而减小，∴如果以此蓄电池为电源
的用电器的限制电流I不能超过10 A时，可变电阻R
的范围R≥3.6 Ω.(共36张PPT)
第三单元　函　数
第17课时　二次函数综合题
2
江苏真题随堂练
3
分层作业本
1
多设问串核心
类型一　线段问题
多设问串核心
1. 已知抛物线y=－x2－2x＋3与x轴相交于A，B两点
(点A在点B左侧)，与y轴相交于点C，连接AC，点P是直线AC上方的
抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交直线AC于点Q.
设点P的横坐标为m.
(1)如图①，若PQ=DQ，求点P的坐标；
图①
解: (1)∵点P的横坐标为m，
∴点P纵坐标为－m2－2m＋3，
令－x2－2x＋3=0，易得A(－3，0)，B(1，0)，
令x=0，易得C(0，3)，
∴易得直线AC的表达式为y=x＋3，
∵PQ⊥x轴，垂足为D，点Q在AC上，
∴点D横坐标为m，纵坐标为0，点Q横坐标为m，
纵坐标为m＋3，
∴QD=m＋3，PQ=－m2－3m，
∵PQ=DQ，
∴－m2－3m=m＋3，
图①
解得m=－1或m=－3，
∵点P是直线AC上方的抛物线上的一个动点，
∴不与点A重合，即m=－3舍去，
∴m=－1，
∴P(－1，4)；
图①
(2)如图②，若AQ=2CQ，求点P的坐标；
图②
(2)易得PD∥y轴，∴ = ，
∵AQ=2CQ，∴ = ，
∴ = ，
1. 已知抛物线y=－x2－2x＋3与x轴相交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴相交于点C，连接AC，点P是直线AC上方的抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交直线AC于点Q.
由(1)得A(－3，0)，∴AO=3，
∴AD=2，∴OD=1，
∴m=－1，代入y=x2－2x＋3得y=4，
∴P(－1，4)；
图②
(3)如图③，过点P作x轴的平行线，交直线AC于点M，求MQ的最大
值；
图③
(3)由(1)易得OA=OC=3，∴∠CAO=∠ACO=45°，
∵PM∥x轴，∴∠PMQ=∠CAO=45°，
∵PD⊥x轴，∴∠ADQ=∠QPM=90°，
∴△PMQ为等腰直角三角形，
1. 已知抛物线y=－x2－2x＋3与x轴相交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴相交于点C，连接AC，点P是直线AC上方的抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交直线AC于点Q.
∴MQ= PQ，
由(1)得PQ=－m2－3m=－(m＋ )2＋ ，
∵－1＜0，－3＜m＜0，
∴当m=－ 时，PQ有最大值，最大值为 × = ，
∴MQ的最大值为 ；
图③
(4)如图④，点G是抛物线的对称轴l上的一个动点，连接GC，GB，
BC，当△GBC的周长最小时，求 的值.
图④
(4)∵y=－x2－2x＋3，
∴抛物线对称轴为直线x=－ =－1.
1. 已知抛物线y=－x2－2x＋3与x轴相交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴相交于点C，连接AC，点P是直线AC上方的抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交直线AC于点Q.
如解图，连接AC，交抛物线对称轴l于点G，
由抛物线的对称性得，GA=GB，
∴GB＋GC=AG＋GC≥AC，
即当A，G，C三点共线时，GB＋GC取得最小值，
此时△GBC周长最小.
由(1)得A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)，直线AC的表达式为y=x＋3，
∴将x=－1代入y=x＋3中，得y=2，
∴G(－1，2)，∴GC= ，GB=2 ，
∴ = .
解图
类型二　面积问题
2. 已知抛物线y=ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于点A(－1，
0)，B(3，0)，与y轴交于点C.
(1)如图①，连接AC，BC，求△ABC的面积；
图①
解：令x=0，则y=3，
∴点C的坐标为(0，3)，即OC=3，
∵A(－1，0)，B(3，0)，
∴AB=4，
∴S△ABC= AB OC=6
(2)如图②，设抛物线的顶点为D，连接AC，CD，BD，求四边形ABDC的面积；
图②
(2)将点A(－1，0)，B(3，0)代入y=ax2＋bx＋3中，
得 ，
2. 已知抛物线y=ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C.
解得 ，
∴抛物线的表达式为y=－x2＋2x＋3=－(x－1)2＋4，
∴抛物线顶点D的坐标为(1，4)，
如解图①，连接AD交y轴于点G，
设AD所在直线的表达式为y=kx＋d(k≠0)，
将点A(－1，0)，D(1，4)代入y=kx＋d中，
得 ，解得 ，
∴AD所在直线的表达式为y=2x＋2，
令x=0，则y=2，
解图①
∴点G的坐标为(0，2)，
由(1)得，C(0，3)，
∴CG=1，
∴S四边形ABDC=S△ADC＋S△ADB= CG |xD－xA|＋ AB |yD|=9；
解图①
(3)如图③，P为第一象限内抛物线上一动点，连接AP，BP，当
S△ABP=6时，求点P的坐标；
图③
2. 已知抛物线y=ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C.
解：(3)由(2)知抛物线的表达式为y=－x2＋2x＋3，
∴设点P的坐标为(t，－t2＋2t＋3)，
由(1)得AB=4，
∴S△ABP= ×4×(－t2＋2t＋3)=6，
解得t1=2，t2=0(不符合题意，舍去)，
∴－t2＋2t＋3=3，
∴点P的坐标为(2，3)
图③
(4)如图④，若E是直线BC上方抛物线上一动点，连接EC，EB，BC，
求△BCE面积的最大值.
图④
(4)由(1)可知点C坐标为(0，3)，
设直线BC的表达式为y=mx＋n(m≠0)，
将点B(3，0)，C(0，3)代入，
2. 已知抛物线y=ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C.
得 ，
解得 ，
∴直线BC的表达式为y=－x＋3.
如解图②，过点E作EF∥y轴交直线BC于点F，
由(2)知抛物线表达式为y=－x2＋2x＋3，
∴设E(p，－p2＋2p＋3)，
则F(p，－p＋3)，
∴EF=－p2＋2p＋3－(－p＋3)=－p2＋3p，
∴S△BCE= EF xB=－ p2＋ p=－ (p－ )2＋ ，
解图②
∵－ ＜0，0＜p＜3，
∴当p= 时，△BCE的面积有最大值，最大值为 .
解图②
江苏真题随堂练
1. (2024扬州25题)如图，已知二次函数y=－x2＋bx＋c的图象与x轴交于
A(－2，0)，B(1，0)两点.
(1)求b，c的值；
解：(1)将点A(－2，0)，B(1，0)分别代入y=－x2＋bx＋c，
得 ，解得 ，
∴b的值为－1，c的值为2；
(2)若点P在该二次函数的图象上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标.
(2)由(1)可知，二次函数的表达式为y=－x2－x＋2，
设P(m，n)，
∵点P在二次函数的图象上，
∴n=－m2－m＋2.
∵A(－2，0)，B(1，0)，
∴AB=3，
又∵△PAB的面积为6，
∴ AB×|n|=6，解得n=±4，
二次函数y=－x2＋－x＋2的图象与x轴交于A(－2，0)，B(1，0)两点.
当n=4时，即－m2－m＋2=4，化简得m2＋m＋2=0，该方程无实数解，
不符合题意；
当n=－4时，即－m2－m＋2=－4，化简得m2＋m－6=0，解得m1=2，
m2=－3，
∴点P的坐标为(2，－4)或(－3，－4).
2. (2023无锡28题节选)已知二次函数y= (x2＋bx＋c)的图象与y轴交于
点A，且经过点B(4， )和点C(－1， ).
(1)请直接写出b，c的值；
【解法提示】将点B，C的坐标代入二次函数的表达式，得
，解得 ，
解：(1)b=－3，c=－2；
∴b的值是－3，c的值是－2；
(2)直线BC交y轴于点D，点E是二次函数y= (x2＋bx＋c)图象上位于
直线AB下方的动点，过点E作直线AB的垂线，垂足为F. 求EF的最大值.
(2)如解图，过点E作y轴的平行线交AB于点G，
由(1)得二次函数的表达式是y= (x2－3x－2)= x2－ x－ ，
当x=0时，y=－ .
∴A(0，－ ).
由A，B的坐标可得直线AB的表达式是y= x－ .
解图
二次函数y= (x2－3x－2)的图象与y轴交于点A，且经过点B(4， )和点C(－1， ).
设E(m， m2－ m－ )，则G(m， m－ )，
∴EG= m－ －( m2－ m－ )=－ m2＋2 m.
∵BD=4，AD=OA＋OD=2 ，
∴AB= =2 .
∵EG∥y轴，
∴∠EGF=∠DAB.
∴ sin ∠EGF= sin ∠DAB= = = .
解图
∴EF=EG sin ∠EGF= EG= (－ m2＋2 m)=－ m2＋ m=－
(m－2)2＋ .
∵－ ＜0，0＜m＜4，
∴当m=2时，EF的值最大，最大值是 .
解图
3. (2024苏州27题节选)如图，二次函数y=x2＋bx＋c的图象C1与开口向下
的二次函数图象C2均过点A(－1，0)，B(3，0).
(1)求图象C1对应的函数表达式；
解：(1)将点A(－1，0)，B(3，0)分别代入y=x2＋bx＋c中，
得 解得
∴图象C1对应的函数表达式为y=x2－2x－3；
(2)若图象C2过点C(0，6)，点P位于第一象限，且在图象C2上，直线l过
点P且与x轴平行，与图象C2的另一个交点为Q(Q在P左侧)，直线l与图
象C1的交点为M，N(N在M左侧).当PQ=MP＋QN时，
求点P的坐标.
3.如图，二次函数y=x2＋bx＋c的图象C1与开口向下的二次函数图象C2均过点A(－1，0)，B(3，0).
(2)设C2对应的函数表达式为y=a(x＋1)(x－3)(a＜0)，
将点C(0，6)代入y=a(x＋1)(x－3)中，得a=－2，
∴C2对应的函数表达式为y=－2(x＋1)(x－3)，
其对称轴为直线x=1，
∵图象C1的对称轴也为直线x=1，
∴如解图，作直线x=1交直线l于点H，
第3题解图
解图
由二次函数图象的对称性，得QH=PH，NH=MH，∴PM=NQ，
又∵PQ=MP＋QN，∴PH=PM.
设PH=t(0＜t＜2)，则点P的横坐标为t＋1，
点M的横坐标为2t＋1，
将x=t＋1代入y=－2(x＋1)(x－3)中，得yP=－2(t＋2)(t－2)，
∵y=x2－2x－3=(x－3)(x＋1)，
∴将x=2t＋1代入y=(x＋1)(x－3)中，得 yM=(2t＋2)(2t－2)，
∵yP=yM，
∴－2(t＋2)(t－2)=(2t＋2)(2t－2)，解得t1= ，t2=－ (舍去)，
∴yP=4，
∴点P的坐标为(＋1，4).
解图
4. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2＋bx＋3(a≠0)的图象与x
轴交于点A(－1，0)，对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的另一个交点为
B，与y轴的交点为C，点D为线段BC上的一动点.
(1)求二次函数的表达式；
解：(1)∵二次函数图象的对称轴为直线x=1，
∴－ =1，
∴b=－2a，
∵二次函数y=ax2＋bx＋3的图象与x轴交于点A(－1，0)，
∴a－b＋3=0，
即a＋2a＋3=0，
∴a=－1，b=2，
∴二次函数的表达式为y=－x2＋2x＋3；
二次函数的表达式为y=－x2＋2x＋3
(2)连接AC，过点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA，
PB，AD，记△PAD与△PBD的面积和为S，求S的最大值.
(2)由(1)得，y=－x2＋2x＋3，
当x=0时，y=3，
∴C(0，3)，
当y=0时，－x2＋2x＋3=0，
解得x=3或x=－1，
∴B(3，0)，
设直线BC的表达式为y=kx＋d(k≠0)，
将B(3，0)，C(0，3)代入，得 ，
解得 ，
∴直线BC的表达式为y=－x＋3.
如解图，过点P作PF∥y轴交BC于点F，连接PC，
解图
第4题解图
∵AC∥DP，
∴S△PDC=S△PDA，
∴S=S△PDA＋S△PDB=S△PDC＋S△PDB，
设P(m，－m2＋2m＋3)，则F(m，－m＋3)，
∴PF=－m2＋2m＋3－(－m＋3)=－m2＋3m=－(m－ )2＋ ；
∴S=S△PDC＋S△PDB= PF (xP－xC)＋ PF (xB－xP)= PF (xB－xC)=
PF=－ (m－ )2＋ ，
解图
∵－ ＜0，0＜m＜3，
∴当m= 时，S有最大值，最大值为 .(共32张PPT)
第三单元　函　数
第11课时　一次函数的实际应用
1
多设问串核心
3
分层作业本
2
江苏真题随堂练
一、购买问题
1. 中国传统手工艺品不仅是古代先民智慧和勤劳的结
晶，也是各地传统风俗的体现.某工艺品店计划购进油纸伞和团扇若干把
进行销售，已知售出10把油纸伞和20把团扇共收入2 240元，其中油纸伞
的销售单价比团扇的销售单价贵8元.
(1)求油纸伞和团扇的销售单价分别为多少元？
解：(1)设油纸伞的销售单价为x元，团扇的销售单价为y元，
由题意得 ，解得 ，
答：油纸伞的销售单价为80元，团扇的销售单价为72元；
多设问串核心
(2)为满足市场需求，某工艺品店准备第二次购入油纸伞和团扇共400把，
且购入油纸伞的数量不超过团扇数量的3倍，每把油纸伞，团扇的进价分
别为60元，54元，假设全部售出，求分别购入油纸伞和团扇多少把时，工
艺品店获得的利润最大；
(2)设购入团扇m把，则购入油纸伞(400－m)把，
∵购入油纸伞的数量不超过团扇数量的3倍，
∴400－m≤3m，解得m≥100.
设获得的利润为z元，
则z=(80－60)(400－m)＋(72－54)m=－2m＋8 000，
油纸伞的销售单价为80元，团扇的销售单价为72元
∵－2＜0，
∴z随m的增大而减小，
∴当m=100时，z取最大值，
∴油纸伞为400－100=300(把).
答：购入油纸伞300把，团扇100把时，工艺品店获得的利润最大；
(3)某学校计划在该店购买油纸伞和团扇共100把用于表演，且购买团扇的
数量不超过油纸伞数量的3倍，请你设计出最省钱的方案.
(3)设购买油纸伞a把，则购买团扇(100－a)把，购买所需的费用为W元.
由题意得W=80a＋72(100－a)=8a＋7 200，
∵8＞0，∴W随a的增大而增大，
∴当a取最小值时，W有最小值.
∵100－a≤3a，解得a≥25，
∴当a=25时，W取得最小值，∴100－a=75(把).
答：当购买油纸伞25把，团扇75把时，最省钱.
油纸伞的销售单价为80元，团扇的销售单价为72元
二、行程问题
2. 甲、乙两人相约一起跑步，他们同时从A地出发，甲先
匀速跑步，中途休息一段时间后，再以原速度匀速跑到B地，乙全程匀速
跑到B地，最后两人同时到达B地，在此过程中，他们距离A地的距离
y(米)与经过的时间x(分钟)之间的函数关系如图所示.
(1)A，B两地的距离为 米，他们从A地到B地经过的时间
为 分钟；
【解法提示】由图象得，A，B两地的距离为4 000米，甲、乙两人同时到
达B地，经过的时间为26分钟.
4 000
26
(2)图中a的值为 ，甲中途休息了 分钟；
【解法提示】由图象得，甲从第16分钟到第26分钟跑的路程为4 000－
2 000=2 000(米)，用时10分钟，∵甲的速度不变，∴甲休息前跑的2 000米所用时间为10分钟，∴a=10；DE段表示甲休息时的图象，∴甲休息的时间为16－10=6(分钟).
10
6
(3)点M表示的实际意义是
；
(4)求y2与x之间的函数表达式；
(4)设y2=kx(k≠0)，
由图象得，F(26，4 000)，
∴4 000=26k，
∴k= ，
∴y2与x之间的函数表达式为y2= x；
在甲、乙两人从A地出发后到达B地前，两
人相遇
(5)请说明甲、乙两人在从A地到达B地的过程中，他们两人之间的距离随
时间的变化情况.
(5)∵甲10分钟跑2 000米，乙26分钟跑4 000米，
∴甲跑步的速度为2 000÷10=200(米/分钟)，乙跑步的速度为
4 000÷26= (米/分钟)，
∵200＞ ，
∴甲跑步的速度＞乙跑步的速度.
设两人之间的距离为s(米)，他们两人之间的距离随时间的变化情况如解
图所示，甲、乙两人同时从A地出发，两人之间的距离逐渐增大，直至甲
开始休息，在甲休息的过程中，乙继续跑步，两人之间的距离逐渐减小，
直至两人相遇(此时两人之间的距离为0)，随后乙超过甲，两人之间的距
离逐渐增大，甲休息完继续开始跑步，两人之间的距离逐渐减小，直至两
人同时到达B地，两人之间的距离为0.
解图
江苏真题随堂练
命题点
一次函数的实际应用
类型一　购买问题(3年1考)
1. (2023扬州26题)近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大.
某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共
花费2 920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元.
(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
解：(1)设甲种头盔的单价是a元，则乙种头盔的单价是(a－11)元，
由题意得20a＋30(a－11)=2 920，
解得a=65，
∴a－11=65－11=54.
答：甲种头盔的单价是65元，乙种头盔的单价是54元；
甲种头盔的单价是65元，乙种头盔的单价是54元
(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只， 正好赶上厂家进行促
销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只
降价6元出售.如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一
半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最
小费用是多少元？
(2)设再次购进甲种头盔x只，则再次购进乙种头盔(40－x)只，总费用为
w元，
由题意得w=65x×80%＋(54－6) (40－x) =4x＋1 920，
∵购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，
∴x≥ (40－x)，
解得x≥ ，
∵4＞0，且头盔的数量必须取整数，
∴当x=14时，w最小，最小值为4×14＋1 920=1 976.
答：应购买14只甲种头盔，可使此次购买头盔的总费用最小，最小费用是
1 976元.
类型二　行程问题(3年3考)
2. (2023淮安25题)快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地
行驶，快车到达乙地卸装货物用时30 min，结束后，立即按原路以另一速
度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度为70 km/h.两车之间的距
离y(km)与慢车行驶的时间x(h)的函数图象如图所示.
(1)请解释图中点A的实际意义；
解：(1)点A的实际意义为快车从甲地出发3 h后到达乙地，此时两车相距
120 km；
(2)求出图中线段AB所表示的函数表达式；
(2)∵快车到达乙地卸装货物用时30 min，
∴点B的横坐标为3＋ =3.5，
∴点B的纵坐标为120－70× =120－35=85(km)，
∴B(3.5，85).
设线段AB所在直线的函数表达式为y=kx＋b(k≠0)，
将A(3，120)，B(3.5，85)分别代入y=kx＋b中，
得 ，解得 ，
∴线段AB所表示的函数表达式为y=－70x＋330(3≤x≤3.5)；
(3)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还
需多长时间.
(3)由(2)可知B(3.5，85)，
∴快车从返回到遇见慢车所用的时间为4－3.5=0.5(h)，
∴快车从乙地返回甲地时的速度为85÷0.5－70=100(km/h)，
由题图可知慢车行驶4 h与甲车相遇，
∴相遇点与甲地的距离为4×70=280(km)，
∴280÷100=2.8(h)，
即两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地
行驶，到达甲地还需2.8 h.
类型三　方案问题(3年1考)
3. (2025连云港22题)如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方
形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等.
(1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两
种纸盒各多少个？
解：(1)根据题意可知，一个甲种纸盒需要4张长方形硬纸片和1张正方形
硬纸片，一个乙种纸盒需要3张长方形硬纸片和2张正方形硬纸片，
设200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片恰好能制作甲种纸盒x个，乙
种纸盒y个，
则 ，
解得 ，
答： 用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片恰好能制作甲种纸盒40
个，乙种纸盒80个；
(2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数
量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片？
(2)设制作乙种纸盒m个，则制作甲种纸盒(100－m)个，共需要w张正方
形硬纸片，
根据题意得w=2m＋(100－m)=m＋100，
∵1＞0，∴w随m的增大而增大，
∵乙种纸盒数量不低于甲种纸盒
数量的一半，
∴m≥ (100－m)，
解得m≥ ，
∵m为正整数，
∴当m=34时，w取得最小值，最小值为34＋100=134(张)，
答：至少需要134张正方形硬纸片.
类型四　阶梯收费问题(3年1考)
4. (2023连云港25题)目前，我市对市区居民用气户的燃气收费，以户为基
础、年为计算周期设定了如下表的三个气量阶梯：
阶梯 年用气量 销售价格 备注
第一阶梯 0~400 m3(含 400)的部分 2.67元/m3 若家庭人口超过4人
的，每增加1人，第
一、二阶梯年用气量
的上限分别增加
100 m3、200 m3.
第二阶梯 400~1 200 m3(含1
200)的部分 3.15元/m3 第三阶梯 1 200 m3 以上的部分 3.63元/m3 (1)一户家庭人口为3人，年用气量为200 m3，则该年此户需缴纳燃气费用
为 元；
(2)一户家庭人口不超过4人，年用气量为x m3(x＞1 200)，该年此户需缴
纳燃气费用为y元，求 y与 x的函数表达式；
解：(2)y与x的函数表达式为y=400×2.67＋(1 200－400)×3.15＋3.63 (x
－1 200)=3.63x－768(x＞1 200)；
534
(3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，某年甲户、乙户缴纳的燃
气费用均为3 855元，求该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气？(结果精
确到1 m3)
(3)∵400×2.67＋(1 200－400)×3.15=3 588＜3 855，
∴甲户该年的用气量达到了第三阶梯，
由(2)知，当y=3 855时，3.63x－768=3 855，
解得x≈1 273.6，
∵2.67×(100＋400)＋3.15×(1 200＋200－500)=4 170＞3 855，
且2.67×(100＋400)=1 335＜3 855，
答：该年乙户比甲户多用约26立方米的燃气.
∴乙户该年的用气量达到第二阶梯，但未达到第三阶梯，
设乙户该年用气量为a m3，
则有2.67×500＋3.15(a－500)=3 855，解得a=1 300.0，
∴1 300.0－1 273.6=26.4≈26 m3.
类型五　工程问题
5. (2023南通24题)为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块
运动场地.现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息一
工程队 每天施工面积 (单位：m2) 每天施工费用
(单位：元)
甲 x＋300 3 600
乙 x 2 200
(1)求x的值；
解：(1)根据题意，得 = ，
解得x=600，
经检验，x=600是原方程的解，且符合题意，
∴x=600；
信息二
(2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施
工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于15 000 m2.该段时间内体
育中心至少需要支付多少施工费用？
(2)设甲工程队单独施工m天，则乙工程队单独施工(22－m)天，
根据题意，得(600＋300)m＋600(22－m)≥15 000，
解得m≥6，
设该段时间内体育中心需要支付w元施工费用，则w=3 600m＋2 200(22
－m)，
即w=1 400m＋48 400，
∵1 400＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=6时，w取得最小值，最小值为1 400×6＋48 400=56 800.
答：该段时间内体育中心至少需要支付56 800元施工费用.(共19张PPT)
第三单元　函　数
第10课时　一次函数的图象与性质
节前复习导图
上加下减、左加右减
一次函数
图象的平移
一次函数的
图象与性质
一次函数
表达式的确定
方法
步骤
一次函数与方程（组）、
不等式的关系
一次函数的
图象与性质
一次函数
k决定图象的倾斜
方向和增减性
b决定图象与
y轴的交点位置
图象
经过的象限
与坐标轴的交点
1
考点梳理
2
江苏真题随堂练
3
分层作业本
考点梳理
一、一次函数的图象与性质
一次 函数 y=kx＋b(k，b是常数，且k≠0)(特别地，当b=0时，y=kx为正比例函
数，图象为过原点的一条直线)→想一想：(a，a)可以转化为哪个函数
图象上的动点 k决定图象 的倾斜方向
和增减性 从左向右看图象呈上升
趋势“/” y随x的增大而 从左向右看图象呈下降
趋势“\”
y随x的增大而
＞
增大
＜
减小
k 0
k 0
一次 函数 y=kx＋b(k，b是常数，且k≠0)(特别地，当b=0时，y=kx为正比例函
数，图象为过原点的一条直线)→想一想：(a，a)可以转化为哪个函数
图象上的动点 b决定图象与
y轴的交点位
置 b 0
交点在正
半轴上 b=0 交 点在原点
上 b 0
交点在负
半轴上 b＞0 交 点在正半
轴上 b 0 交
点在原点
上 b＜0 交
点在负半
轴上
＞
＜
=
图象 (草图)
经过的
象限 一、二、
三 一、三
一、二、
四
二、三、
四
与坐标
轴的交
点 与x轴的交点坐标为 (即令y=0)，与y轴的交点坐标为 (即令x=0) 一、
三、四
二、
四
(－，0)
(0，b)
【知识拓展】在同一平面直角坐标系中，对于直线l1：y=k1x＋b1与直线l2：y=k2x＋
b2，若l1∥l2，则k1=k2，且b1≠b2；若l1⊥l2，则k1 k2=－1
二、一次函数图象的平移
1. 直线y=kx＋b(k≠0) y=k(x＋m)＋b
2. 直线y=kx＋b(k≠0)
3. 直线y=kx＋b(k≠0)
4. 直线y=kx＋b(k≠0)
简记为“左加右减，上加下减”
y=k(x－m)＋b
y=kx＋b＋m
y=kx＋b－m
三、一次函数表达式的确定
1. 方法：待定系数法
2. 步骤
(1).一设：设一次函数表达式为y=kx＋b(k≠0)
(2).二列：找出函数图象上的两个点，分别代入y=kx＋b中，得到二元一次方程组
(3).三解：解这个二元一次方程组，得到k，b的值
(4).四还原：将所求待定系数k，b的值代入y=kx＋b中即可
【满分技法】 对于正比例函数y=kx(k≠0)，找出函数图象上的一点(非原点)，求出k即
可确定表达式
四、一次函数与方程(组)、不等式的关系
示意图 函数与方程(组) 函数与不等式
方程k1x＋b1=0的解为一
次函数y1=k1x＋b1图象与
x轴的交点的横坐标 ①不等式k1x＋b1＞0的解集为一次函数y1=k1x
＋b1图象位于x轴上方自变量x的取值范围；
②不等式k1x＋b1＜0的解集为一次函数y1=k1x
＋b1图象位于x轴下方自变量x的取值范围
y1=k1x＋b1 y2=k2x＋b2 为一次函数y1=k1x＋b1与y2=k2x＋b2图象的交点坐标值 不等式k1x＋b1＞k2x＋b2的解集为一次函数
y1=k1x＋b1图象位于一次函数y2=k2x＋b2图象
上方自变量x的取值范围
方程组 的解
江苏真题随堂练
一次函数的图象与性质
命题点
1
1. (新苏科八上习题改编)在平面直角坐标系中，一次函数y=－x＋1的图
象是(　B　)
B
2. 已知一次函数y=－x＋4.
(1)补全表格，在如图所示的平面直角坐标系中描出
各点，并画出函数图象；
x … －2 －1 0 1 2 …
y … 5 3 …
6
4
2
解：(1)描点，并画出函数图象如解图；
解图
2. 已知一次函数y=－x＋4.
(2)一次函数的图象不经过第 象限；
(3)若一次函数的图象过点A，则点A的坐标可以为 ；(填一个符合要求的点的坐标即可)
三
(2，2)(答案不唯一)
解图
(4)一次函数的图象与x轴的交点B的坐标为 ，与y轴的交点C
的坐标为 ，△BOC的面积为 ；
(5)(2024镇江7题考法)若一次函数的图象过点(x1，－2)，(x2，4)，则
x1 x2.(填“＞”“＜”或“=”)
(4，0)
(0，4)
8
＞
解图
2. 已知一次函数y=－x＋4.
3. (2023南通17题)已知一次函数y=x－k，若对于x＜3范围内任意自变量
x的值，其对应的函数值y都小于2k，则k的取值范围是 .
【解析】在一次函数y=x－k中，∵1＞0，∴y随x的增大而增大，
∵对于x＜3范围内任意自变量x的值，其对应的函数值y都小于2k，
∴3－k≤2k，解得k≥1.
k≥1
一次函数图象的平移(3年1考)
命题点
2
4. (2023无锡5题)将函数y=2x＋1的图象向下平移2个单位长度，所得图象
对应的函数表达式是(　A　)
A. y=2x－1 B. y=2x＋3
C. y=4x－3 D. y=4x＋5
5. (新苏科八上习题改编)在平面直角坐标系中，若将一次函数y=－2x＋
m的图象向左平移4个单位长度，向上平移5个单位长度后经过原点，则m
的值为(　D　)
A. －2 B. 2 C. －3 D. 3
A
D
一次函数表达式的确定
命题点
3
6. (新苏科八上习题改编)若一次函数的图象经过A(－3，5)和B(0，2)两
点，则该一次函数的表达式为 .
7. (2022宿迁16题)甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征.甲：“函数值
y随自变量x增大而减小”；乙：“函数图象经过点(0，2)”.请你写出一
个同时满足这两个特征的函数，其表达式是 .
y=－x＋2
y=－x＋2(答案不唯一)
一次函数与方程、不等式的关系
命题点
4
8. (新苏科八上练习改编)如图，l1是函数y=mx＋1的图象，l2是函数y=－
x＋n的图象.
(1)关于x的方程－x＋n=0的解为 ；
x=5
(3)关于x的不等式mx＋1＞－x＋n的解集为 .
x＞3
(2)关于x，y的方程组 的解为 　 　；

9. (2024扬州14题)如图，已知一次函数y=kx＋b(k≠0)的图象分别与x，y轴交于A，B两点，若OA=2，OB=1，则关于x的方程kx＋b=0的解为 .
x=－2
一题多解法
【点拨】方程kx＋b=0的解为一次函数y=kx＋b图象与x轴的交点的横坐标.
解法二：∵OA=2，OB=1，∴A(－2，0)，B(0，1)，将点A(－2，0)，B(0，1)分别代入y=kx＋b，得 ，解得 ，∴y= x＋1，令 x＋1=0，解得x=－2.
【解析】∵OA=2，∴A(－2，0)，∴当kx＋b=0时，x=－2，∴方程的解为x=－2.(共22张PPT)
第三单元　函　数
第15课时　二次函数的表达式(含平移)
节前复习导图
上加下减、左加右减
二次函数的
表达式（含平移）
二次函数
图象的平移
从图象上考虑
从表达式上考虑
二次函数表达式的三种形式
一般式
顶点式
交点式
确定二次
函数表达式的方法
任意三点坐标
与x轴的两个交点
对称轴+与x轴的
一个交点
顶点
1
考点梳理
3
江苏真题随堂练
4
分层作业本
2
多设问串核心
考点梳理
一、二次函数表达式的三种形式
1. 一般式：y=ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)
2. 顶点式：y=a(x－h)2＋k(a≠0，a，h，k为常数)，其中顶点坐标为(h，k)
3. 交点式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0，a，x1，x2为常数)，其中x1，x2为抛物线与x轴交
点的横坐标
二、确定二次函数表达式的方法
已知条件 常设表达式
任意三点坐标 一般式：y=ax2＋bx＋c
与x轴的两个交点 交点式：y=a(x－x1)(x－x2)
对称轴＋与x轴的一个交点 顶点 顶点式：y=a(x－h)2＋k
三、二次函数图象的平移
1. 从图象上考虑：二次函数图象平移的实质是图象上点坐标的整体平移，平移过程中
a不变，因此可先求出其顶点坐标，根据顶点坐标的平移求解即可
2. 从表达式上考虑：二次函数图象平移规律如下表：
平移前的表
达式 平移n个单位长度(n＞0) 平移后的表达式 简记
y=a(x－h)2＋
k 向左平移n个单位长度 y=a(x－h＋n)2＋k 左“＋”右
“－”
向右平移n个单位长度 y=a(x－h－n)2＋k 向上平移n个单位长度 y=a(x－h)2＋k＋n 上“＋”下
“－”
向下平移n个单位长度 y=a(x－h)2＋k－n 【满分技法】在一般式y=ax2＋bx＋c(a≠0)平移过程中，先把抛物线的表达式化成顶点
式，然后根据平移规律，左右平移给x加减平移的单位长度，上下平移给等号右边整
体加减平移的单位长度
一、待定系数法求二次函数表达式
类型一　一个未知数
1. 已知抛物线y=x2－2mx＋2(m为常数).
(1)若抛物线的对称轴为直线x=2，求抛物线的表达式；
解：∵抛物线的对称轴为直线x=2，
∴－ =2，
∴m=2，
∴抛物线的表达式为y=x2－4x＋2
多设问串核心
(2)若抛物线经过点(3，5)，求抛物线的表达式；
解：把(3，5)代入y=x2－2mx＋2，得9－6m＋2=5，
解得m=1，
∴抛物线的表达式为y=x2－2x＋2
1.已知抛物线y=x2－2mx＋2(m为常数).
(3)若抛物线与x轴只有一个交点，求抛物线的表达式.
解：∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴b2－4ac=(－2m)2－4×1×2=0，
∴m=± ，
∴抛物线的表达式为y=x2－2 x＋2或y=x2＋2 x＋2.
1.已知抛物线y=x2－2mx＋2(m为常数).
类型二　两个未知数
2. 已知抛物线y=x2＋bx＋c(b，c为常数).
(1)已知抛物线经过点(2，－1)，(4，3)，求抛物线的表达式；
解：将点(2，－1)，(4，3)代入y=x2＋bx＋c中，得 ，
解得 ，
∴抛物线的表达式为y=x2－4x＋3
(2)已知抛物线与y轴交于点(0，8)，对称轴为直线x=3，求抛物线的表
达式；
解：由题意得，－ =3，
∴b=－6，
∵抛物线与y轴交于点(0，8)，
∴c=8，
∴抛物线的表达式为y=x2－6x＋8
2. 已知抛物线y=x2＋bx＋c(b，c为常数).
2. 已知抛物线y=x2＋bx＋c(b，c为常数).
(3)若抛物线与x轴交于点(－3，0)，与y轴交于点(0，－3)，求抛物线的
表达式.
解：∵抛物线与y轴交于点(0，－3)，
∴c=－3，
∴抛物线的表达式为y=x2＋bx－3，将(－3，0)代入，得0=9－3b－3，
解得b=2，
∴抛物线的表达式为y=x2＋2x－3.
类型三　三个未知数
3. 已知一条抛物线.
(1)若抛物线经过(－2，0)，(0，－8)，(1，－9)三点，求抛物线的表
达式；
解：设抛物线的表达式为y=ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵抛物线经过点(0，－8)，∴当x=0时，y=c=－8，
∵抛物线经过点(－2，0)，(1，－9)，代入到y=ax2＋bx＋c中，得
，解得 ，
∴抛物线的表达式为y=x2－2x－8
(2)若抛物线的顶点坐标是(3，2)且过点(2，0)，求抛物线的表达式；
解：∵抛物线的顶点坐标为(3，2)，
∴设抛物线的表达式为y=a(x－3)2＋2(a≠0)，
∵抛物线与x轴交于点(2，0)，
∴将(2，0)代入y=a(x－3)2＋2中，得0=a(2－3)2＋2，
解得a=－2，
∴抛物线的表达式为y=－2(x－3)2＋2=－2x2＋12x－16
(3)若抛物线与x轴交于(－3，0)，(1，0)两点，且抛物线经过点(2，－
5)，求抛物线的表达式.
解：∵抛物线与x轴交于(－3，0)，(1，0)两点，
∴设抛物线的表达式为y=a(x＋3)(x－1)(a≠0)，
∵抛物线经过点(2，－5)，
∴将点(2，－5)代入y=a(x＋3)(x－1)中，得－5=a(2＋3)×(2－1)，
解得a=－1，
∴抛物线的表达式为y=－(x＋3)(x－1)=－x2－2x＋3.
二、二次函数图象的平移
4. 已知抛物线y=－x2＋4x－3.
(1)将抛物线的表达式化为顶点式为 ；
(2)将抛物线y=－x2＋4x－3向上平移4个单位长度，得到的抛物线的表达
式为 ；
(3)将抛物线y=－x2＋4x－3向右平移2个单位长度，得到的抛物线的表达
式为 ；
y=－(x－2)2＋1
y=－(x－2)2＋5=－x2＋4x＋1
y=－(x－4)2＋1=－x2＋8x－15
4. 已知抛物线y=－x2＋4x－3.
(4)将抛物线y=－x2＋4x－3先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单
位长度，得到的抛物线的表达式为 ；
(5)将抛物线y=－x2＋4x－3向左平移m(m＞0)个单位长度，使得平移后
的抛物线经过原点，则m的值为 .
y=－(x－1)2－2=－x2＋2x－3
3或1
江苏真题随堂练
二次函数的表达式
命题点
1
1. (2023泰州5题)函数y与自变量x的部分对应值如下表所示，则下列函数
表达式中，符合表中对应关系的可能是(　C　)
x 1 2 4
y 4 2 1
A. y=ax＋b(a＜0) B. y= (a＜0)
C. y=ax2＋bx＋c(a＞0) D. y=ax2＋bx＋c(a＜0)
C
二次函数图象的平移(3年2考)
命题点
2
2. (2023徐州7题)在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x＋1)2＋3的图象向
右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表
达式为(　B　)
A. y=(x＋3)2＋2 B. y=(x－1)2＋2
C. y=(x－1)2＋4 D. y=(x＋3)2＋4
B
3. ( 快答App 答疑高频试题132次)将抛物线y=x2＋2x－1向右平移3个
单位长度后得到新抛物线的顶点坐标为(　D　)
A. (－4，－1) B. (－4，2)
C. (2，1) D. (2，－2)
D
4. (苏科九下复习题改编)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2＋bx＋
c(a≠0)向下平移2个单位长度得到一条新抛物线，下列关于这两条抛物线
的描述中，不正确的是(　D　)
A. 开口方向相同 B. 对称轴相同
C. 增减性相同 D. 与y轴的交点相同
D
【点拨】新抛物线的表达式为y=ax2＋bx＋c-2.(共38张PPT)
第三单元　函　数
第13课时　反比例函数综合题
1
多设问串核心
3
分层作业本
2
江苏真题随堂练
一、反比例函数与一次函数结合
1. 如图，一次函数y=kx＋b的图象与反比例函数y= 的
图象交于点A(－1，6)，B(，a－3).
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
解：(1)∵反比例函数y= 的图象过点A(－1，6)，
∴将(－1，6)代入y= 中，得6= ，
解得m=－6，
多设问串核心
∴反比例函数的表达式为y=－ .
∵点B在反比例函数图象上，
∴将点B的坐标代入y=－ 中，得a－3=－ ，
解得a=1，
∴B(3，－2)，
将(－1，6)，(3，－2)分别代入y=kx＋b中，
得 ，解得 ，
∴一次函数的表达式为y=－2x＋4；
一次函数的表达式为y=－2x＋4，反比例函数的表达式为y=－ .
(2)(求三角形面积)过点B作BE∥x轴交y轴于点E，连接AE，求△AEB的
面积；
(2)由(1)得，B(3，－2)，
∵BE∥x轴交y轴于点E，
∴BE=3，
∵A(－1，6)，
∴S△AEB= BE (yA－yB)=12；
解：(3)设一次函数y=－2x＋4的图象与y轴交于点D，易得D(0，4)，
由(1)得，B(3，－2)，
∵A(－1，6)，
∴S△OAB=S△AOD＋S△BOD= ×4×1＋ ×4×3=8，
设点M的坐标为(n，0)，
∴S△OAM= ×6|n|=3|n|，
(3)(面积比例关系)连接OA，OB，点M在x轴上，若S△OAM=3S△OAB，
求点M的坐标；
一次函数的表达式为y=－2x＋4，反比例函数的表达式为y=－ .
∵S△OAM=3S△OAB，
∴3|n|=3×8，
解得n=－8或n=8，
∴点M的坐标为(－8，0)或(8，0).
(4)(线段相等)连接OA，在x轴上是否存在一点G，使得OA=GA(点G不
与点O重合)，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；
解：存在，理由如下：
设点G的坐标为(h，0)，
∵A(－1，6)，∴GA= ，
∵OA= = ，OA=GA，
∴ = ，
解得h=－2或h=0(舍去)，
∴点G的坐标为(－2，0)
一次函数的表达式为y=－2x＋4，反比例函数的表达式为y=－ .
(5)(线段等分)若点F在线段AB上，当BF=2AF时，求点F的坐标.
解：(5)如解图，分别过点A，B作y轴，x轴的平行线，相交于点M，过
点F作FH⊥BM于点H，
∴FH∥AM，
∴△BFH∽△BAM，
∴ = ，
由(1)得，B(3，－2)，
∵A(－1，6)，∴AM=8，
解图
一次函数的表达式为y=－2x＋4，反比例函数的表达式为y=－ .
∵BF=2AF，
∴BF= BA，
∴ = = ，
∴FH= AM= ，
∴点F的纵坐标为 ＋(－2)= ，
将y= 代入y=－2x＋4中，得x= ，
∴点F的坐标为(， ).
解图
二、反比例函数与几何图形结合
2. 已知点P(1，2)为反比例函数y= (k≠0)的图象上一点.
(1)如图①，连接OP，以OP为腰作等腰△OPQ，底边OQ与x轴重合，
则△OPQ的面积为 ；
2
【解法提示】∵点P(1，2)，∴k=2，∴反比例函数的表达式为y= ，如解图①，过点P作PG⊥OQ交x轴于点G，∵△OPQ是以OQ为底边的等腰三
角形，∴S△OPG=S△PQG，∴S△OPQ=2S△OPG=2× =2.
第2题解图①
解图①
(2)如图②， PEDF的顶点D在反比例函数y= (x＜0)的图象上，且点D
与点P关于原点对称，DE⊥x轴于点E，则 PEDF的面积为 ；
4
2. 已知点P(1，2)为反比例函数y= (k≠0)的图象上一点.
题后反思
反比例函数关于O点中心对称，也关于直线y=±x轴对称.因此，若遇到同样对称的图形计算时，可先计算局部，再利用对称性进行求解即可.
(3)如图③，点A在反比例函数y= (x＞0)的图象上，且AP∥x轴，AB⊥x
轴于点B，则四边形PABO的面积为 ；
图③
2
2. 已知点P(1，2)为反比例函数y= (k≠0)的图象上一点.
(4)如图④，点B为x轴负半轴上一点，且OB=OP，连接BP，请用无刻
度的直尺和圆规作出OP与x轴夹角的平分线交反比例函数y= 的图象于
点C，求证：OC∥BP；(保留作图痕迹，不写作法)
图④
解：作图如解图④，
解图④
2. 已知点P(1，2)为反比例函数y= (k≠0)的图象上一点.
证明：设OP与x轴正半轴所夹锐角为α，
则α=∠OBP＋∠OPB，
∵OB=OP，
∴∠OBP=∠OPB= ，
∵OC平分α，
∴∠POC= ，
∴∠POC=∠OPB，
∴OC∥BP
解图④
(5)如图⑤，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重
合，边分别与坐标轴平行，反比例函数与大正方形的一边交于点P，且经
过小正方形的顶点B，求图中阴影部分的面积.
图⑤
(5)由(1)得，反比例函数的表达式为y= ，
由题意，设点B的坐标为(t，t)，
∵反比例函数y= 的图象经过点B，
∴t= ，解得t= (负值已舍去)，
2. 已知点P(1，2)为反比例函数y= (k≠0)的图象上一点.
∴B(， ).
则小正方形边长为2 ，
∵P(1，2)，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，
∴易得大正方形边长为4，
∴S阴影部分=S大正方形－S小正方形=42－(2 )2=8.
图⑤
江苏真题随堂练
类型一　反比例函数与一次函数结合
(3年2考)
1. (2024淮安24题)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=k1x＋b的图
象与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y= (x＞0)的图象交于
点C. 已知点A坐标为(－1，0)，点C坐标为(1，3).
(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
解：(1)把点C(1，3)代入y= 中，得3= ，解得k2=3，
∴反比例函数的表达式为y= (x＞0)，
把点A(－1，0)，C(1，3)分别代入y=k1x＋b中，
得 ，解得 ，
∴一次函数的表达式为y= x＋ ；
(2)点D在线段OB上，过点D且平行于x轴的直线交AB于点E，交反比例
函数图象于点F. 当DO=2ED时，求点F的坐标.
1. (2024淮安24题)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=k1x＋b的图
象与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y= (x＞0)的图象交于
点C. 已知点A坐标为(－1，0)，点C坐标为(1，3).
解：设E(m， m＋ )，
∵EF∥x轴，
∴D(0， m＋ )，
∴DO= m＋ ，DE=－m，
∵DO=2ED，
∴ m＋ =2(－m)，
解得m=－ ，
∴E(－ ， )，
∴点F的纵坐标为 ，
把y= 代入y= 中，得x= ，
∴点F的坐标为(， ).
2. (2024连云港24题)如图①，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx＋
1(k≠0)的图象与反比例函数y= 的图象交于点A，B，与y轴交于点C，
点A的横坐标为2.
(1)求k的值；
解：(1)∵点A在y= 的图象上，点A的横坐标为2，
∴当x=2时，y= =3，
∴A(2，3)，
将点A(2，3)代入y=kx＋1(k≠0)，得2k＋1=3，解得k=1；
(2)利用图象直接写出kx＋1＜ 时x的取值范围；
【解法提示】由(1)得一次函数的表达式为y=x＋1，令x＋1= ，解得
，或 ，∴B(－3，－2)，
由图象可得kx＋1＜ 时x的取值范围为x＜－3或0＜x＜2.
(2)x＜－3或0＜x＜2；
2.如图①，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx＋1(k≠0)的图象与反比例函数y= 的图象交于点A，B，与y轴交于点C，点A的横坐标为2.
(3)如图②，将直线AB沿y轴向下平移4个单位，与函数y= (x＞0)的图象
交于点D，与y轴交于点E，再将函数y= (x＞0)的图象沿AB平移，使点
A，D分别平移到点C，F处，求图中阴影部分的面积.
解：在y=x＋1中，当x=0时，y=1，
∴C(0，1)，
∵将直线AB沿y轴向下平移4个单位长度得到直线DE，
∴CE=4，直线DE的函数表达式为y=x－3，
如解图，设直线DE与x轴交于点H，
在y=x－3中，令x=0，则y=－3，令y=0，则x－3=0，解得x=3，
∴H(3，0)，E(0，－3)，
∴OH=OE=3，
∴∠FEC=45°，
过点C作CG⊥DE于点G，连接AD，CF，
∴CG= CE=2 ，
∵A(2，3)，C(0，1)，
∴AC=2 ，
解图
由平移的性质得AC∥DF，AC=DF，
∴四边形ACFD为平行四边形，
∴题图中阴影部分面积即为 ACFD的面积，即AC CG=2 ×2 =8.
解图
类型二　反比例函数与几何图形结合
3. (2024苏州24题)如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，A(－2，
0)，C(6，0)，反比例函数y= (k≠0，x＞0)的图象与AB交于点D(m，
4)，与BC交于点E.
(1)求m，k的值；
解：(1)∵A(－2，0)，C(6，0)，
∴OA=2，OC=6，
∴AC=OA＋OC=8，
∴BC=AC=8，
∵∠ACB=90°，C(6，0)，∴B(6，8)，
设AB所在直线的表达式为y=ax＋b(a≠0)，
把点A(－2，0)，B(6，8)分别代入y=ax＋b中，
得 ，解得 ，
∴AB所在直线的表达式为y=x＋2，
把点D(m，4)代入y=x＋2中，
得m=2，
∴D(2，4)，
把点D(2，4)代入y= 中，得k=8；
(2)点P为反比例函数y= (k≠0，x＞0)图象上一动点(点P在D，E之间运
动，不与D，E重合)，过点P作PM∥AB，交y轴于点M，过点P作
PN∥x轴，交BC于点N，连接MN，求△PMN面积的最大值，并求出此
时点P的坐标.
(2)如图，延长NP交y轴于点Q，交AB于点L，
Q
L
则∠NQM=90°，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，A(－2，0)，C(6，0)，反比例函数y= (k≠0，x＞0)的图象与AB交于点D(2，4)，与BC交于点E.
∵PN∥x轴，
∴∠BLP=∠BAC=45°，
Q
L
∵AB∥MP，
∴∠MPL=∠BLP=45°，
∴∠QMP=∠QPM=45°，
∴MQ=PQ，
由(1)知k=8，则反比例函数的表达式为y= ，
∴设P(t， )(2＜t＜6)，则PQ=t，PN=6－t，
∴MQ=PQ=t，
∴S△PMN= PN MQ= (6－t) t=－ (t－3)2＋ ，
∵－ ＜0，2＜t＜6，
∴当t=3时，S△PMN有最大值，最大值为 ，此时点P的坐标为(3， ).
Q
L
4. 如图，已知反比例函数y1= 的图象经过点(1，4)，P是第一象限内图象
上一点，过点P作坐标轴的平行线，分别交反比例函数y2= 的图象于点
A，B(点A在点B的左侧)，直线AB分别交x，y轴于点D，C.
(1)求k的值；
解：∵点(1，4)在反比例函数y1= 的图象上，
∴k=1×4=4；
(2)求△PAB的面积；
(2)解：由(1)知k=4，
则反比例函数为y1= ，
∴设点P的坐标为(a， )，
4. 如图，已知反比例函数y1= 的图象经过点(1，4)，P是第一象限内图象
上一点，过点P作坐标轴的平行线，分别交反比例函数y2= 的图象于点
A，B(点A在点B的左侧)，直线AB分别交x，y轴于点D，C.
∵PA∥x轴，PB∥y轴，
∴点A的纵坐标为 ，点B的横坐标为a，
∵点A，B在反比例函数y2= 的图象上，
∴点A的坐标为(， )，点B的坐标为(a， )，
∴S△PAB= PA PB= ×(a－ )×(－ )= ；
(3)求证：AC=BD.
(3)证明：如解图，分别延长PA，PB分别交y轴，x轴于点E，F，
∴PA∥DF，
∴△PAB∽△FDB，
∴ = ，
解图
4. 如图，已知反比例函数y1= 的图象经过点(1，4)，P是第一象限内图象
上一点，过点P作坐标轴的平行线，分别交反比例函数y2= 的图象于点
A，B(点A在点B的左侧)，直线AB分别交x，y轴于点D，C.
由(2)知PA= ，PB= ，BF= ，AE= ，
∴DF= = ，
∴DF=AE，
∵BF∥CE，
∴∠ACE=∠DBF，
∵AE⊥CE，BF⊥DF，
∴△ACE≌△DBF(AAS)，
∴AC=BD.
解图

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