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(共25张PPT)
第五单元　四边形
微专题　十字模型
一阶　认识模型
模型 正方形中的十字模型 矩形中的十字模型
图示
模型特点 AE⊥BF且AE=BF AE⊥BD
结论 △ABE≌△BCF △ABE∽△BCD
迁移图形作 辅助线思路 分别过点E，G作AD，CD的
垂线EM，GN，得
△AME≌△FNG
分别过点F，G作AB，BC的
垂线FM，GN，得
△EFM∽△HGN
几何画板动态演示
温馨提示：点击查看原文件
例1　如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE与BF交
于点G，且AE⊥BF.
求证：AE=BF.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
∴∠ABG＋∠CBF=90°.
∵AE⊥BF，∴∠AGB=90°，
∴∠BAE＋∠ABG=90°，
∴∠BAE=∠CBF.
在△ABE和△BCF中，，
∴△ABE≌△BCF(ASA)，
∴AE=BF.
题后反思
1. 你还能得到其他结论吗？
解：1.BE=CF，∠AEB=∠BFC等，答案不唯一；
2. 按照“AE不动，BF向上平移至MN的位置，如图①；AE向右平移至GE，BF向上平移至HF，如图②”继续探究，两条线段垂直关系不变，例1中的结论还成立吗？
2. 成立.
AE不动，BF向上平移至MN的位置：
如图①，过点M作MF⊥CD于点F，
则∠MFN=∠MFC=90°，
∟
F
一题多解法
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=∠CFM=90°，
∴四边形BCFM是矩形，
∴MF=BC，∠AMF=∠MFN=90°，
∴∠AMG＋∠FMN=90°，AB=MF，
∵AE⊥MN，
∴∠AGM=90°，
∴∠AMG＋∠GAM=90°，
∴∠GAM=∠FMN，
∟
F
在△ABE和△MFN中，
，
∴△ABE≌△MFN(ASA)，
∴AE=MN；
∟
F
解法二：如解图②，过点B作BF∥MN交CD于点F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥DC，AB=BC，
∠ABE=∠BCF=90°，
∴四边形MBFN是平行四边形，
∴MN=BF，
F
∵AE⊥MN，
∴AE⊥BF，
∴∠FBC＋∠AEB=90°，
∵∠FBC＋∠BFC=90°，
∴∠AEB=∠BFC，
F
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF(AAS)，
∴AE=BF，
∴AE=MN；
解法三：AE向右平移至GE，BF向上平移至HF：
如解图③，过点G作GM⊥BC于点M，过点F作FN⊥AB于点N，FN分别交
GE，GM于点P，Q，GE交FH于点O，
解图③
则∠GME=∠FNH=90°，四边形BCFN，四边形CDGM都是矩形，
∴BC∥FN，BC=FN，CD=GM，
∴∠GQP=∠GME=90°，
∴∠PGQ＋∠GPQ=90°，
∵GE⊥HF，
∴∠FOP=90°，
∴∠PFO＋∠FPO=90°，
∵∠GPQ=∠FPO，
∴∠PGQ=∠PFO，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∴FN=GM，
∴△MGE≌△NFH(ASA)，
∴GE=FH.
例2　如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E是边BC上的点，AE⊥BD.
求证：BD=2AE.
证明：如图，设AE交BD于点F，
F
∵AE⊥BD，
∴∠AFB=90°，
∴∠ABF＋∠BAE=90°，
∵四边形ABCD为矩形，AB=2，AD=4，
∴∠ABE=∠C=90°，BC=AD=4，
∴∠ABF＋∠CBD=90°，
∴∠BAE=∠CBD，
∴△ABE∽△BCD，
∴==2，
F
∴BD=2AE.
1. 你还能得到其他结论吗？
解：1.CD=2BE，∠AEB=∠BDC等，答案不唯一；
题后反思
2. 按照“点A向右平移至点G，点B向上平移至点H，点D向下平移至点F，
如图”继续探究，两条线段垂直关系不变，例2中的结论还成立吗？
2. 成立.
如解图，设HF交GE于点O，分别过点F，G作FM⊥AB于点M，GN⊥BC
于点N，FM交GE于点P，交GN于点Q.
解图
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠A=90°，
∵FM⊥AB，GN⊥BC，
∴四边形MBCF和四边形ABNG均是矩形，
∴MF=BC=AD，NG=AB，∠MQG=∠GQP=90°，
∴∠EGN＋∠GPQ=90°，
∵HF⊥GE，
解图
∴∠HFM＋∠OPF=90°，
∵∠OPF=∠GPQ，
∴∠HFM=∠EGN，
∵∠HMF=∠ENG=90°，
∴△HFM∽△EGN，
∴===2，
∴HF=2GE.
解图
二阶　应用模型
1. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD边上的点，连接BE，
AF交于点O，BE⊥AF. 若AF=6，OE=2，则正方形ABCD的面积为 .
24
【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠BAE=∠ADF
=90°，∴∠ABE＋∠BEA=90°，
∵BE⊥AF，∴∠DAF＋∠BEA=90°，∴∠ABE=∠DAF，∴△ABE≌△DAF(ASA)，∴BE=AF=6，
∵BE⊥AF，∴∠AOB=∠EAB=90°，
∵∠ABO=∠EBA，∴△AOB∽△EAB，∴=，
∵BE=6，OE=2，∴OB=4，∴=，
∴AB2=24，∴正方形ABCD的面积为24.
2. 如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别是AB，CD，AD上的点，且
EF⊥BG，若=，EF=20，则BG的长为 .
16
【点拨】如解图，过点E作EH∥BC，交CD于点H，设EF与BG交于点O，
∴△ABG∽△HEF，∴=.
解图
【解析】如解图，过点E作EH∥BC，交CD于点H，设EF与BG交于点O，
∴∠HEB=90°，∴∠BEO＋∠HEF=90°，
∵EF⊥BG，∴∠EBO＋∠BEO=90°，∴∠EBO=∠HEF，
即∠ABG=∠HEF，
∵∠BAG=∠EHF=90°，∴△ABG∽△HEF，
∴=，
∵=，∴==，
∵EF=20，∴BG=16.
解图
3. 如图，四边形ABCD为矩形，延长DC至点E，使CE=CB，连接AE交BD
于点G，交BC于点F，且CD=CF.
(1)求证：BD⊥AE；
证明：(1)在△BCD和△ECF中，，
∴△BCD≌△ECF(SAS)，∴∠E=∠CBD，
∵∠CBD＋∠BDC=90°，
∴∠E＋∠BDC=90°，
∴∠EGD=90°，
∴BD⊥AE；
四边形ABCD为矩形，CE=CB，CD=CF.
(2)连接CG，求证：EG－BG=CG.
(2)如图，过点C作CH⊥CG，交AE于点H，
∟
H
∴∠GCH=90°=∠FCE，
∴∠BCG=∠ECH，
∵BC=CE，∠E=∠CBD，
∴△CEH≌△CBG(ASA)，
∴BG=EH，GC=HC，
∴GH=GC，
∴EG－BG=EG－EH=GH=CG.(共50张PPT)
第五单元　四边形
第25课时　矩形、菱形和正方形
节前复习导图
矩形
正方形
菱形
温馨提示
矩形、菱形和
正方形
中点四边形
性质
边
角
对角线
对称性
周长、面积
判定
边
角
对角线
1
考点梳理
2
多设问串核心
3
江苏真题随堂练
4
分层作业本
考点梳理
一、 性质
图形 矩形 菱形 正方形
(a，b为两边长) (a为边长，h为该边上的
高，m，n为对角线的长)
(a为边长，l为对角线
的长)
图形 矩形 菱形 正方形
性 质 边 对边平行且相等


角
对角相等 四个角都是直角
(90°)
对角线
互相垂直平分， 平分一组对角

对边平行，四条边都相
等
对边平行，四条边
都相等
四个角都是直
角(90°)
互相平分且相
等
互相垂直平分且相
等，平分一组对角
图形
性
质 对称性 中心对称图形，
轴对称图形， 有 条对称轴
， 有 条对称轴 中心对称图形，轴对
称图形，
有 条对称轴
周长 C=2(a＋b) C=4a C=4a
面积 S=ab S=ah=mn S=a2=l2
2
中心对称图形，轴对称图
形
2
4
二、判定
三、中点四边形
原图形 任意四边形 对角线互相垂直的 四边形(如菱形) 对角线相等的 四边形(如矩形) 对角线互相垂直且
相等的四边形(如正
方形)
中点四
边形 形状 平行四边形 矩形 菱形 正方形
图示
多设问串核心
基础题固考点
1. (苏科八下探索改编)如图， ABCD中，对角线AC，BD相
交于点O，∠ABO=∠DCO，AB=6，BC=8，E是AD的中点，连接OE.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∴∠OAB=∠DCO，
∵∠ABO=∠DCO，
∴∠OAB=∠ABO，
∴OA=OB，
∴AC=BD，
∴ ABCD是矩形；
ABCD中，∠ABO=∠DCO，AB=6，BC=8，E是AD的中点.
(2)求四边形ABCD的面积和周长；
解：得，四边形ABCD是矩形，
∴S矩形ABCD=AB BC=6×8=48，
C矩形ABCD=2(AB＋BC)=2×14=28
ABCD中，∠ABO=∠DCO，AB=6，BC=8，E是AD的中点.
(3)求AC，OB，OE的长.
解：由 (1)得，四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=BD，AB=CD，
∵AB=6，BC=8，∴CD=6，在Rt△ABC中，AC==10，
∴BD=10，∴OB=OD=BD=5，
∵E，O分别为AD，AC的中点，
∴OE为△ACD的中位线，
∴OE=CD=×6=3.
2. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O.
(1)若AB=5，AO=4，BO=3，求证： ABCD是菱形；
证明：∵AB=5，AO=4，BO=3，
∴AB2=AO2＋BO2，
∴△OAB是直角三角形，∠AOB=90°，
∴AC⊥BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ABCD是菱形；
ABCD的对角线AC，BD相交于点O.
(2)在(1)的条件下，求 ABCD的面积和周长；
解：得， ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AC与BD互相垂直且平分，
∵AB=5，AO=4，BO=3，
∴AC=8，BD=6，
∴C菱形ABCD=4AB=20，
S菱形ABCD=AC BD=24
ABCD的对角线AC，BD相交于点O.
(3)若∠ABC=60°，则∠ABD= °，∠BAD= °.
30
120
3. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，
AC=4，E是对角线AC上一点，连接BE.
(1)求证：矩形ABCD是正方形；
证明：∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD，
∴矩形ABCD是正方形(对角线互相垂直的矩形是
正方形)；
矩形ABCD，AC⊥BD，AC=4.
(2)∠ABC= °，∠ACB= °，∠OBC= °；
(3)OA= 　2　　，BD= 　4　　，OB= 　2　　；
(4)AB= ，矩形ABCD的周长为 ，面积为 ；
(5)若BC=CE，则∠BEC= °，∠OBE=
°.
90
45
45
2
4
2
4
16
16
67.5
22.5
4. (苏科八下例题改编)已知四边形ABCD，E，F，G，H分别为边AB，
BC，CD，DA的中点，连接AC，如图，当点D在△ABC的外部且位于AC
边右侧时，请判断四边形EFGH的形状并证明.
解：四边形EFGH是平行四边形，
证明：由题意易得，HG为△ACD的中位线，
EF为△ABC的中位线，
∴HG∥AC，HG=AC，EF∥AC，EF=AC，
∴HG∥EF，HG=EF，
∴四边形EFGH是平行四边形.
题后反思
(1)如图①，当D为△ABC内部一点时，四边形EFGH是什么四边形？
解：(1)当D为△ABC内部一点时，四边形EFGH是平行四边形，
由题意易得，HG为△ACD的中位线，EF为△ABC的中位线，
∴HG∥AC，HG=AC，EF∥AC，EF=AC，
∴HG∥EF，HG=EF，
∴四边形EFGH是平行四边形；
(2)如图②，当点D在△ABC的外部且位于AB左侧时，四边形EFGH是什么
四边形？
(2)当D在△ABC的外部且位于AB左侧时，四边形EFGH是平行四边形，
由题意易得，HG为△ACD的中位线，EF为△ABC的中位线，
∴HG∥AC，HG=AC，EF∥AC，EF=AC，
∴HG∥EF，HG=EF，
∴四边形EFGH是平行四边形.
综合题明考法
特殊平行四边形有关的证明与计算
5. 在矩形ABCD中，将△ABD沿BD折叠，使点A与点E重合.
(1)如图①，若AB=3，AD=4，求△BDE的面积；
图①
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵AB=3，AD=4，△ABD沿BD折叠得到△EBD，
∴S△BDE=S△ABD=AB AD=×3×4=6
5.在矩形ABCD中，将△ABD沿BD折叠，使点A与点E重合.
(2)如图②，连接AE，∠CBE=20°，求∠BAE的度数；
图②
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵∠CBE=20°，
∴∠ABE=110°，
由折叠知BA=BE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴∠BAE=(180°－∠ABE)=35°
5.在矩形ABCD中，将△ABD沿BD折叠，使点A与点E重合.
(3)如图③，DE交BC于点F，连接EC，若AB=2，AD=2，求CE的长；
图③
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∵AD=2，AB=2，
∴BD==4，
∴BD=2AB，
∴∠ADB=30°，
由折叠的性质得AD=DE=BC，∠BDE=∠ADB=30°，
∵∠ADC=90°，
∴∠CDE=∠ADC－∠BDE－∠BDA=30°，
∴∠DFC=60°，
∵AD∥BC，∴∠BDA=∠DBC，
∴∠DBC=∠BDE，∴BF=DF，
∴BC－BF=DE－DF，∴CF=EF，
∴∠FEC=∠FCE=∠DFC=30°，
∴∠CDE=∠CED=30°，∴CE=CD，
∵AB=CD=2，∴CE=2.
图③
5.在矩形ABCD中，将△ABD沿BD折叠，使点A与点E重合.
(4)如图④，将矩形ABCD沿对角线BD折叠后展开铺平，点A的对应点为点
E，过点E作EF∥CD交BD于点F，连接AF，AE，线段AE，BD相交于点
M，连接CE，BE，若AB=3，AD=4，求CE的长.
图④
解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，
∵EF∥CD，∴AB∥EF，
∴∠ABF=∠BFE，
由翻折的性质可得∠ABF=∠EBF，AB=BE，
∴∠BFE=∠EBF，∴BE=FE，
∵AB=BE，∴AB=FE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵BE=FE，
∴四边形ABEF是菱形.
∴AE⊥BD，BM=FM，
∵S△ABD=BD AM=AB AD，BD==5，
∴5AM=3×4，∴AM=，
∴根据勾股定理得BM===，
图④
∴BF=2BM=，
∴DF=BD－BF=，
∵EF∥CD，EF=AB=CD，
∴四边形EFDC是平行四边形，
∴CE=DF=.
图④
江苏真题随堂练
矩形的判定与性质
命题点
1
1. (苏科八下习题改编)如图，E为矩形ABCD的边CD上的一点，连接AE，
BE，AB=AE=4，BC=2，则∠BEC的度数为(　D　)
A. 15° B. 30° C. 60° D. 75°
D
【解析】如解图，∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，AD=BC=2，∠D=90°，
在Rt△ADE中，sin∠1==，∴∠1=30°，
∵AB∥CD，∴∠3=∠1=30°，
∵AB=AE，∴∠4==75°，
∴∠BEC=180°－∠1－∠4=75°.
解图
2. (2023南通8题)如图，四边形ABCD是矩形，分别以点 B，D为圆心，线
段BC，DC长为半径画弧，两弧相交于点E，连接BE，DE，BD. 若
AB=4，BC=8，则∠ABE的正切值为(　C　)
A. B. C. D.
C
【解析】由作图可知，BE=BC，DE=CD，
∵BD=BD，∴△CBD≌△EBD(SSS)，∴∠CBD=∠EBD，
如解图，设BE与AD的交点为O，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC=8，∠A=90°，
∴∠ADB=∠CBD，∴∠ADB=∠EBD，∴OB=OD，
设OA=x，则OD=8－x，∴OB=8－x，
在Rt△AOB中，∵AB2＋OA2=OB2，
∴42＋x2=(8－x)2，解得x=3，
∴tan∠ABE==.
解图
3. (2024南京20题)如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AD=BC，对角线
AC是⊙O的直径.
求证：四边形ABCD是矩形.
解：证明：∵对角线AC是⊙O的直径，
∴∠B=∠D=90°，
∴△ABC和△CDA是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△CDA中，，
∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL)，
∴AB=CD，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠B=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形.
菱形的判定与性质(3年3考)
命题点
2
4. (2024南通15题)若菱形的周长为20 cm，且有一个内角为45°，则该菱
形的高为 　 　cm.
【解析】如解图，过点F作FI⊥EH于点I，∵菱形EFGH的周长为20 cm，
∠E=45°，∴EF=5 cm，∴FI=EF sin 45°=5×=(cm).
解图

5. (2023连云港20题)如图，菱形 ABCD的对角线 AC，BD相交于点 O，E
为 AD的中点，AC=4，OE=2.求 OD的长及 tan∠EDO的值.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC=2AO，
∵AC=4，
∴AO=2，
在Rt△AOD中，∵E为AD的中点，
∴OE=AD，
∵OE=2，
∴AD=4，
∴OD==2，
∴tan∠EDO===.
6. (2024宿迁21题)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD=DC=BC，
E是BC的中点.下面是甲、乙两名同学得到的结论：
甲：若连接AE，则四边形ADCE是菱形；
乙：若连接AC，则△ABC是直角三角形.
请选择一名同学的结论给予证明.
解：选择甲，
证明：如解图①，
∵E是BC中点，
∴CE=BC，
解图①
∵AD=BC，
∴AD=EC，
∵AD∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AD=DC，
∴四边形ADCE是菱形；
解图①
选择乙，
证明：如解图②，连接AE，
∵E是BC的中点，∴BE=CE=BC，
∵AD=BC，∴AD=EC，
∵AD∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AD=DC，∴四边形ADCE是菱形，
∴AE=EC=BE，
解图②
∴∠EBA=∠EAB，∠EAC=∠ECA，
∵∠EBA＋∠EAB＋∠EAC＋∠ECA=180°，
∴∠EAB＋∠EAC=90°，
∴∠BAC=90°，
即△ABC是直角三角形.
(任选一种作答即可)
解图②
7. (2025扬州25题)如图，在 ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，
BC分别相交于点E，F.
(1)求证：四边形AFCE是菱形；
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO=∠CFO，
∵EF是对角线AC的垂直平分线，
∴AO=OC，EA=EC，
∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴AE=CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EA=EC，
∴四边形AFCE是菱形；
在 ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.
(2)若AB=3，BC=5，CE平分∠ACD，求DE的长.
(2)解：如解图，
∵CE平分∠ACD，∴∠1=∠2，
∵四边形AFCE是菱形，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AB=CD=3，∴△CBA∽△CDE，
∴=，∴=，
解得DE=.
解图
正方形的判定与性质(3年1考)
命题点
3
8. (2024连云港7题)如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图
案，其中正方形边长是80 cm，则图中阴影图形的周长是(　A　)
A. 440 cm B. 320 cm
C. 280 cm D. 160 cm
A
9. (苏科八下复习题改编)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC和
∠BAC的平分线相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
(1)求证：四边形DECF为正方形；
解：(1)证明：如图，过D作DN⊥AB于点N，连接CD，
∟
N
∵∠ACB=90°，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴四边形DECF是矩形，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点D，DE⊥BC，
DF⊥AC，DN⊥AB，
∴DF=DN，DE=DN，
∴FD=ED，
∴四边形DECF是正方形；
9. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC和∠BAC的平分线相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
(2)若BC=8，AC=6，求正方形DECF的面积.
∟
N
(2)解：∵BC=8，AC=6，
∴AB==10，
∵S△ABC=S△BDC＋S△CDA＋S△BDA
=BC DE＋AC DF＋AB DN，
∴×6×8=×(6＋8＋10) DF，
∴DF=2，∴S正方形DECF=DF2=4.
中点四边形
命题点
4
10. (苏科八下练习改编)如图，四边形ABCD是矩形，E，F，G，H分别为
各边的中点，则四边形EFGH一定是(　A　)
A. 菱形 B. 矩形
C. 正方形 D. 对角线相等的四边形
A
【解析】如解图，连接AC，BD，
∵E，F，G，H分别为各边的中点，
∴EF是△BAC的中位线，HG是△DAC的中位线，EH是△ADB的中位线，FG是△DBC的中位线，∴HG=EF=AC，EH=FG=BD.
∵在矩形ABCD中，AC=BD，∴EF=FG=HG=EH，
∴四边形EFGH是菱形.
解图
11. (苏科八下例题改编)如图，四边形ABCD是正方形，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，若AB=6，则四边形EFGH的面积为 .
【解析】根据“中点四边形”模型得四边形EFGH为正方形，
∵AB=6，
∴四边形ABCD的对角线长度为6，∴EF=3，
∴四边形EFGH的面积为18.
18
一题多解法
【点拨】根据“中点四边形”模型得四边形EFGH为正方形，
四边形ABCD的对角线长度为6，∴EF=3.
解法二：如解图，连接HF，EG，∵四边形ABCD是正方形，
∴BC∥AD，BC=AD，∵H，F分别为边AD，BC的中点，∴四边形BFHA
是平行四边形，∴AB∥HF，AB=HF，同理BC∥EG，BC=EG，
∵AB⊥BC，∴HF⊥EG，∴四边形EFGH的面积是EG HF=×6×6=18.
解图(共21张PPT)
第五单元　四边形
微专题　半角模型
一阶　认识模型
模型 90°含45°的半角 120°含60°的半角
图示
模型特点 在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45° 在四边形ABDC中，BD=CD，∠A=60°，∠BDC=120°，∠EDF=60°
图示
结论 ①△AEF≌△AGF； ②EF=BE＋DF ①△DEF≌△DGF；
②EF=BE＋CF
图示
作辅助线思路 补短法：延长CD至点G，使得DG=BE，连接AG 旋转法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，使AB与AD重合(需证明G，D，C三点共线) 将△BDE绕点D顺时针旋转
120°得到△CDG，使BD与
CD重合(需证明F，C，G三
点共线)
几何画板动态演示
温馨提示：点击查看原文件
例1　如图，E，F分别是正方形ABCD边BC，CD上的点，∠EAF=45°，
求证：EF=BE＋DF.
证明：如解图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，
解图
则AD与AB重合，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADF=∠BAD=∠ABE=90°，
由旋转的性质得DF=BG，AF=AG，∠GAB=∠FAD，
∠ABG=∠ADF=90°，
∴∠ABG＋∠ABE=180°，
∴G，B，E三点共线，
∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，
∴∠BAE＋∠FAD=45°，
解图
∴∠BAE＋∠GAB=45°，
即∠EAG=45°，
∴∠EAG=∠EAF，
在△AFE和△AGE中，，
∴△AFE≌△AGE(SAS)，
∴EF=EG，
∵EG=BG＋BE，
∴EF=BE＋DF.
解图
题后反思
还有其他辅助线做法吗？
解：延长CB至点G，使得BG=DF，连接AG.
解图
例2　如图，在四边形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，连接AE，
AF，EF，AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAD=120°，∠EAF=60°，若BE=3，DF=5，求EF的长.
解：如解图，把△ABE绕点A逆时针旋转120°得到△ADM，
解图
∴AE=AM，BE=DM，∠BAE=∠DAM，∠ABE=∠ADM=90°，
∵∠ADF=90°，
∴∠ADM＋∠ADF=180°，
∴M，D，F三点共线，
∵∠BAD=120°，∠EAF=60°，
∴∠BAE＋∠DAF=60°，
∴∠DAM＋∠DAF=∠MAF=60°=∠EAF，
在△EAF和△MAF中，，
解图
∴△EAF≌△MAF(SAS)，
∴EF=MF，
∵BE=3，DF=5，
∴EF=MF=DF＋DM=DF＋BE=8.
解图
二阶　应用模型
1. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，D，E是BC上的点，且BD=3，
CE=4，∠DAE=45°，求DE的长.
解：如解图，将△ACE绕点A顺时针旋转90°后得到△ABF，连接DF，
解图
由旋转的性质得，BF=CE=4，AF=AE，∠BAF=∠CAE，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠C=45°，
∴∠DBF=∠ABC＋∠ABF=45°＋45°=90°，
在Rt△BDF中，由勾股定理得，DF===5，
∵∠DAE=45°，
∴∠BAD＋∠CAE=∠BAD＋∠BAF=45°，
∴∠DAE=∠DAF，
解图
，
∴△ADF≌△ADE(SAS).
∴DE=DF=5.
在△ADF和△ADE中，
解图
2. 如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E，F分别在AB，AD上，且
∠ECF=60°.
求证：△ECF为等边三角形.
解：证明：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵∠B=60°，
∴△ABC和△ACD都是等边三角形，∠BCD=120°，
∴BC=AC，∠CAD=∠ACB=∠ACD=60°，
∵∠ECF=60°，
∴∠BCE＋∠DCF=60°，
∵∠ACF＋∠DCF=60°，
∴∠BCE=∠ACF，
∵∠CBE=∠CAF=60°，
∴△BCE≌△ACF(ASA)，
∴CE=CF，
∴△ECF为等边三角形.
3. 如图，在矩形ABCD中，AB=12，AD=16，点E，F分别在边DC，BC
上，连接AE，AF，∠EAF=45°，BF=4.求DE的长.
解：如解图，延长AB至点P，使BP=BF=4，过点P作BC的平行线交DC的
延长线于点Q，延长AF交PQ于点R，连接RE，则四边形APQD是正方形，
解图
∴PQ=DQ=AP=AB＋BP=12＋4=16，
设DE=n，则EQ=16－n，
∵PQ∥BC，
∴△ABF∽△APR，
∴===，
∴PR=BF=，
∴RQ=PQ－PR=16－=，
解图
将△APR绕点A逆时针旋转90°，使AP与AD重合，得到△ADM，
则AR=AM，PR=DM，∠PAR=∠DAM，
∵∠EAF=45°，
∴∠PAR＋∠DAE=45°，
∴∠DAM＋∠DAE=45°，
即∠MAE=45°，
∵∠ADM=∠APR=90°，AD=AP，
∴∠ADM＋∠ADE=180°，
∴M，D，E三点共线，
解图
在△ARE和△AME中，，
∴△ARE≌△AME(SAS)，
∴RE=ME=DM＋DE，
∴PR＋DE=RE=＋n，
在Rt△QRE中，由勾股定理得，RQ2＋EQ2=RE2，
∴()2＋(16－n)2=(＋n)2，
解图
解得n=8，
∴DE的长为8.(共39张PPT)
第五单元　四边形
第24课时　平行四边形与多边形
章前复习思路
互逆
边、角特殊化
平行四边形
矩形
菱形
正方形
性质
判定
周长
面积
对称性
边
角
对角线
多边形
特殊
正多边形
四边形
节前复习导图
特殊
互
逆
平行四边形
与多边形
平行四边形的性质
定义
边
角
对角线
对称性
面积
周长
平行四边形
的判定
内角和定理
外角和定理
对角线
多边形的性质
正多边形的性质
1
考点梳理
2
多设问串核心
3
江苏真题随堂练
4
分层作业本
考点梳理
一、平行四边形的性质
1. 平行四边形：两组对边分别 的四边形叫作平行四边形，平行四边形是特殊
的四边形，四边形具有不稳定性
平行
性质(文字语言) 字母表示(符号语言) 示意图
(图形语言)
边 对边平行且 AB CD，AB=CD，BC∥AD，BC=AD
角 对角 ， 邻角 (人教
独有) ∠ABC= ， ∠ABC＋∠BCD= 对角
线 对角线互相______ AO= ，BO= 相等
∥
相等
互补
∠ADC
180°
平分
CO
DO
性质(文字语言) 字母表示(符号语言) 示意图
(图形语言)
对称性 是中心对称图形 对称中心是两条对角线的交点 —
面积 边长×该边上的高 S ABCD=BC 周长 等于两邻边和的2倍；对角线分得
的4个小三角形中，相邻两个小三
角形的周长之差为平行四边形的
两邻边之差 C ABCD=2(AB＋BC)， C△OBC－C△OCD=BC－
CD AE
二、平行四边形的判定　
图形 添加条件 判定定理
分别平行的四边形是平行四边
形
AB=CD，AD=BC 的四边形是平行四边
形
AB∥CD，AD∥BC
两组对边
两组对边分别相等
图形 添加条件 判定定理
AB∥CD，AB=CD
或 的四边形是平行四
边形
对角线 的四边形是平行四边形

两组对角 的四边形是平行四边
形(人教独有)
【满分技法】过对角线交点的任意一条直线平分平行四边形的面积和周长
AD∥BC，AD=BC
一组对边平行且相等
AO=OC，BO=OD
互相平分
∠DAB=∠DCB，
∠ADC=∠ABC
分别相等
三、多边形的性质
1. 内角和定理：n(n≥3)边形的内角和等于
2. 外角和定理：多边形的外角和都等于
3. 对角线：过n(n＞3)边形的一个顶点可以引 条对角线，n边形共有 条对角线
(n－2) 180°
360°
(n－3)

四、正多边形的性质
1. 正多边形的各边 ，各内角
2. 正n(n≥3)边形有 条对称轴
3. 正n(n≥3)边形的每一个内角都等于 ，每一个外角都
等于
4. 对于正n(n≥3)边形，当n为奇数时，是轴对称图形，不是中心对称图形；当n为偶数
时，既是轴对称图形，又是中心对称图形
5. 正n(n≥3)边形有一个外接圆，还有一个内切圆，它们是同心圆
相等
相等
n
或180°－

多设问串核心
基础题固考点
1. 如图，已知正八边形ABCDEFGH，回答下列问题：
(1)正八边形ABCDEFGH的内角和为 ，每个内角
为 ，外角和为 ，每个外角为 ，共有 条
对角线；
1 080°
135°
360°
45°
20
(2)正八边形ABCDEFGH 轴对称图形， 中
心对称图形.(填“是”或“不是”)
是
是
题后反思
你知道n(n≥3)边形的边数增加1，它的内角和增加多少度吗？
【题后反思】多边形的内角和为(n－2) 180°，边数每增加1，内角和增加
180°.
2. (苏科八下例题改编)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O. 若E，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，连接DF，BE，AF=CE，DF=BE，DF∥BE.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵DF∥BE，∴∠DFE=∠BEF，∴∠AFD=∠CEB.
∵AF=CE，DF=BE，∴△AFD≌△CEB(SAS)，
∴AD=BC，∠DAF=∠BCE，∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行
且相等的四边形是平行四边形).
一题多解法
解法二：证明：∵DF∥BE，∴∠DFE=∠BEF，
∴∠AFD=∠CEB，
∵AF=CE，∴AF＋EF=CE＋EF，∴AE=CF，
∵DF=BE，∴△ABE≌△CDF(SAS)，∴AB=CD，
∵AF=CE，DF=BE，
∴△AFD≌△CEB(SAS)，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
解法三：证明：∵DF∥BE，∴∠DFE=∠BEF，∴∠AFD=∠CEB，
∵AF=CE，∴AF＋EF=CE＋EF，∴AE=CF，
∵DF=BE，∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴∠BAE=∠DCF，∴AB∥CD，∵AF=CE，DF=BE，
∴△AFD≌△CEB(SAS)，
∴∠DAF=∠BCE，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边
分别平行的四边形是平行四边形).
解法四：证明：∵DF∥BE，∴∠DFO=∠BEO，
∵DF=BE，∠DOF=∠BOE，∴△DFO≌△BEO(AAS)，
∴OF=OE，OD=OB.
∵AF=CE，∴AF＋OF=CE＋OE，
∴OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形(对角线互相平
分的四边形是平行四边形).
你一共能用几种教材中的判定定理去证明呢？去和小伙伴讨论一下吧.
题后反思
3. (苏科八下习题改编)如图，在 ABCD中，AB=2，AD=4，
AC与BD交于点O，且∠BAC=90°，E，F分别为AB，CD边上的点，且
EF过点O.
(1) ABCD的周长为 ；
(2)OA的长为 　 　；
12

(3)∠ABC= °，∠CAD= °；
【解法提示】在 ABCD中，AD=BC=4，AD∥BC，∵∠BAC=90°，
AB=2，∴cos∠ABC==，∴∠ABC=60°，∴∠ACB=30°，
∵AD∥BC，∴∠CAD=∠ACB=30°.
60
30
3. 如图，在 ABCD中，AB=2，AD=4，AC与BD交于点O，且∠BAC=90°，E，F分别为AB，CD边上的点，且EF过点O.
(4)点A到BD的距离为 　 　；
【解法提示】由(2)得OA=，∵AB=2，∠BAC=90°，∴在Rt△OAB
中，OB==，设点A到BD的距离为h，则OB h=AB OA，
即h=×2×，解得h=，
∴点A到BD的距离为.

3. 如图，在 ABCD中，AB=2，AD=4，AC与BD交于点O，且∠BAC=90°，E，F分别为AB，CD边上的点，且EF过点O.
(5)求阴影部分的面积.
(5)∵平行四边形是中心对称图形，
∴△AOE≌△COF，
∴S△AOE=S△COF，
∴S阴影=S△BOE＋S△COF=S△BOE＋S△AOE=S△AOB，
由(2)得OA=，
∵∠BAC=90°，AB=2，
∴S△AOB=AB OA=，
∴阴影部分的面积为.
3. 如图，在 ABCD中，AB=2，AD=4，AC与BD交于点O，且∠BAC=90°，E，F分别为AB，CD边上的点，且EF过点O.
综合题明考法
平行四边形的判定与性质
4. 如图，在四边形ABCD中，E是AD上一点，AB=AE，连接
BE，BE平分∠ABC，∠ABC=∠D=60°，AB=4，AD=6.过点A作AF⊥BC
于点F，连接CE.
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
证明：∵AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠CBE，∴AD∥BC，
∴∠BAD＋∠ABC=180°，
∵∠ABC=∠D，
∴∠BAD＋∠D=180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
4. 如图，在四边形ABCD中，AB=AE，BE平分∠ABC，∠ABC=∠D=60°，AB=4，AD=6.过点A作AF⊥BC于点F，连接CE.
(2)求四边形BEDC的面积；
(2)解：如图，过点A作AG⊥BE于点G，
∟
G
由(1)得，四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，
∵∠ABC=60°，BE平分∠ABC，
∴∠ABG=∠ABC=30°，
∵AB=4，
∴AF=AB sin∠ABF=2，AG=AB sin∠ABG=2，
BG=AB cos∠ABG=2.
∵AB=AE，
∴△ABE为等腰三角形，
∴BE=2BG=4，
∴S四边形BEDC=S ABCD－S△ABE=BC AF－BE AG=8；
∟
G
4. 如图，在四边形ABCD中，AB=AE，BE平分∠ABC，∠ABC=∠D=60°，
AB=4，AD=6.过点A作AF⊥BC于点F，连接CE.
(3)求证：AF=CE.
(3)证明：∵AB=4，AD=6，∠ABC=60°，AF⊥BC，
∴BF=AB cos∠ABF=2，
∵AE=AB=4，
∴DE=AD－AE=2，
∴BF=DE，
∟
G
由(1)得，四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABF=∠D，AB=CD，
∴△ABF≌△CDE(SAS)，
∴AF=CE.
∟
G
江苏真题随堂练
平行四边形的判定与性质( 快答App 答疑高频考点4 896次)
命题点
1
1. (2022淮安13题)如图，在 ABCD中，CA⊥AB，若∠B=50°，则
∠CAD的度数是 .
【解析】∵CA⊥AB，∴∠BAC=90°，∵∠B=50°，∴∠ACB=90°－
∠B=90°－50°=40°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB=40°.
40°
2. (2025苏州21题)如图，C是线段AB的中点，∠A=∠ECB，CD∥BE.
(1)求证：△DAC≌△ECB；
证明：∵C是线段AB的中点，
∴AC=CB.
∵CD∥BE，
∴∠DCA=∠B.
在△DAC和△ECB中，，
∴△DAC≌△ECB(ASA)；
2. 如图，C是线段AB的中点，∠A=∠ECB，CD∥BE.
(2)连接DE，若AB=16，求DE的长.
解：(2)解：∵AB=16，C是线段AB的中点，
∴BC=AB=8.
由(1)得，△DAC≌△ECB，
∴CD=BE.
∵CD∥BE，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴DE=BC=8.
3. (2023扬州24题)如图，点E，F，G，H分别是 ABCD各边的中点，连
接AF，CE相交于点M，连接AG，CH相交于点N.
(1)求证：四边形AMCN是平行四边形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，∴AE∥CG，
∵E，G分别是AB，CD的中点，
∴AE=AB，CG=CD，∴AE=CG，
∴四边形AECG是平行四边形，∴AN∥CM，
同理可证AM∥NC，
∴四边形AMCN是平行四边形；
点E，F，G，H分别是 ABCD各边的中点.
(2)若 AMCN的面积为4，求 ABCD的面积.
解：如解图，连接AC，EF，
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF∥AC，EF=AC，
∴△EFM∽△CAM，
∴==，
∵S AMCN=4，
∴S△AMC=2，
∴S△AEM=1，
∴S△AEC=S△AEM＋S△AMC=3，
∵E为AB的中点，四边形ABCD是平行四边形，AC为对角线，
∴S ABCD=2S△ABC=4S△AEC=12.
多边形(3年3考)
命题点
2
4. (2023宿迁13题)七边形的内角和是 度.
5. (2023扬州11题)如果一个多边形每一个外角都是60°，那么这个多边形
的边数为 .
900
6
密铺(3年2考)
命题点
3
6. (2023淮安15题)如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的
拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到△ABC，则tan∠ACB的值
是 　 　.

【解析】如解图，以BH，HG，GD为边，作正六边形BHGDFE，连接
BD，AD，DE，
由正六边形的性质可知∠HBC=60°，∠HBE=120°，
∴∠HBC＋∠HBE=180°，∴C，B，E三点共线；
由正六边形的性质可得∠KDG=∠AKD=120°，AK=DK，
∴∠ADK=30°，∴∠ADG=∠KDG－∠ADK=90°，
同理∠EDG=∠FDG－∠FDE=120°－30°=90°，
∴∠ADG＋∠EDG=180°，∴A，D，E三点共线；
解图
解图
∵∠BDE=∠EDG－∠BDG=90°－60°=30°，∠DBE=∠DBH=60°，∴∠DEB=90°，即∠AEC=90°，
设正六边形的边长为m，则BD=2BE=2m=BC，
∴DE=BE=m=AD，CE=BC＋BE=3m，∴AE=2m，
∴tan∠ACB===.
7. (2024淮安15题)某公园广场的地面由形状、大小完全相同的一种地砖密
铺(无空隙、不重叠地拼接)而成，铺设方式如图①，图②是其中一块地砖
的示意图，AB=EF，CD=GH，BC=FG，BC∥FG，
AB∥CD∥GH∥EF，部分尺寸如图所示(单位：dm).结合图①，图②的信
息，可求得BC的长度是 dm.
5.8
【点拨】如图，过点C作CM⊥AB交AB的延长线于点M，设AB=a dm，CD=b dm，在Rt△BCM中，CM2＋BM2=BC2.
M
【解析】如解图，过点C作CM⊥AB交AB的延长线于点M，易得四边形
CDNM是矩形，设AB=a dm，CD=b dm，∴MN=CD=b dm，
∠BMC=90°，由题图①易得GF=BC=AB＋CD=(a＋b)dm，CM=DN=7－
3=4(dm)，∴BM=AN－AB－MN=［10－(a＋b)］dm，在Rt△BCM中，由
勾股定理得CM2＋BM2=BC2，即42＋［10－(a＋b)］2=(a＋b)2，∴a＋
b=5.8，∴BC=5.8 dm.
解图

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