资源简介 (共40张PPT)第四单元 三角形第22课时 相似三角形及其应用节前复习导图相似三角形及其应用比例线段比例的性质黄金分割比例平行线分线段成比例相似多边形定义性质图形的位似相似三角形定义相似三角形的性质及判定判定三角形相似的思路1考点梳理3江苏真题随堂练4分层作业本2多设问串核心考点梳理一、比例线段1. 比例的性质(1).性质1(基本性质)：如果 =，那么ad= (2).性质2(合比性质)：如果=，那么= (3).性质3(等比性质)：如果==…=(b＋d＋…＋n≠0)，那么=bc 2. 黄金分割比例：如图①，若= ，则线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫作黄金比，且=≈0.618，简记为：==(注：一条线段上有两个黄金分割点)图① 3. 平行线分线段成比例(1).定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例(基本事实)，如图②，当l3∥l4∥l5时，有= ，= 图②(2).推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例 二、相似三角形1. 定义：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫作相似三角形2. 相似三角形的性质及判定(1).性质①.相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于 ②.相似三角形的周长比等于 ，面积比等于 相似比相似比相似比的平方(2).判定①.平行于三角形一边的直线和其他两边(或它们的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似②. 分别相等的两个三角形相似③.两边成比例且 相等的两个三角形相似④.三边 的两个三角形相似⑤.直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似两角夹角成比例3. 判定三角形相似的思路(1).有平行截线——用平行线的性质，找等角(2).有一对等角，找(3).有两边对应成比例，找三、相似多边形1. 定义：如果两个多边形的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形就叫作相似多边形2. 性质(1).相似多边形的对应角相等，对应边的比等于 (2).相似多边形的周长比等于 ，面积比等于 相似比相似比相似比的平方四、图形的位似性质 1.位似图形是相似图形，具备相似图形的所有性质2.任意一组对应点的连线或延长线相交于同一个点(位似中心)3.位似图形上任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比4.位似图形的对应边平行(或在一条直线上)【满分技法】位似变化与坐标的关系：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(－kx，－ky)或(kx，ky)(注：有两种情况) 1. 如图，点P在△ABC的边AB上，∠A=70°，∠B=45°，若△ABC∽△ACP，则∠APC=( C )A. 45° B. 55° C. 65° D. 75°C基础题固考点多设问串核心2. (苏科九下习题改编)如图，D是△ABC的边AB上一点，且∠ACB=∠ADC，若AD=3，AB=7，则AC的长为( D )A. 3 C. 4D3. (苏科九下尝试与交流改编)如图，直线l1∥l2∥l3，直线l4，l5被直线l1，l2，l3所截，截得的线段分别为AB，BC，DE，EF，若AB=3，BC=4，DE=2，则EF的长为 . 4. 如图，D是△ABC的边BC上的一点，AB=10，AD=5，∠DAC=∠B.若△ABD的面积为15，则△ACD的面积为 .55. (苏科九下练习改编)如图，乐器上的一根弦AB长度为80 cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为 cm.(结果保留根号)(80 －160)一条线段的黄金分割点有两处哦!因此在解此类题目时要注意分类讨论.避错指南【解析】∵C是靠近点B的黄金分割点，AB=80 cm，∴AC= AB= ×80=(40 －40) cm，同理DB= AB= ×80=(40 －40)cm，∴CD=AC＋BD－AB=2×(40 －40)－80=(80 －160)cm，∴支撑点C，D之间的距离为(80 －160)cm.6. (苏科九下图形改编)如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形.若 = ，则 = . 7. (苏科九下习题改编)如图是一个细口瓶的截面示意图，为测量其内径AB，某同学找来一个交叉卡钳(AC=BD)，放进未使用过的细口瓶内，缓缓张到最大的角度.若 = = ，且测量得CD=8 cm，则细口瓶的内径AB为 cm.12【解析】∵ = = ，∠COD=∠AOB，∴△COD∽△AOB(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)，∴ = ，∵CD=8 cm，∴AB=12 cm.综合题明考法与相似三角形相关的计算8. (A字型)如图，在△ABC中，AC=6，BC=8，D是AB边上一点，且= ，点E，F分别在边BC，AC上，DE∥AC，DF∥BC，求四边形DECF的周长.答题规范得分要点比例必须是对应边的比，顺序不能错对应顶点的字母写在对应的位置上解：∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴ = .∵ = ，∴ = ，∴ = ，∴DE=4.5.答题规范得分要点由比例关系求出线段的长度根据平行四边形定义判断平行四边形∴ = ，∴DF=2.∵DF∥BC，DE∥AC，∴四边形DECF是平行四边形，∴CE=DF，DE=CF，∴四边形DECF的周长=2DF＋2DE=2×2＋2×4.5=13.∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴ = ，∵ = ，∴ = ，A字型模型分析 正A字型 斜A字型条件 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，∠AED=∠B或∠ADE=∠C.图示结论 △ADE∽△ABC △ADE∽△ACB9. (8字型)如图，点E，F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE=DF，连接DE，BF交于点G，延长BF交CD的延长线于点H，若=2，求 的值.解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB=AD，∵AE=DF，∴EB=AF，设DF=a，∵ =2，∴AE=DF=a，AF=EB=2a，∴AB=AD=3a，∵HD∥AB，∴△HFD∽△BFA，∴ = = = ，∴HD=1.5a， = ，∴HF= BH.∵HD∥BE，∴△DGH∽△EGB，∴ = = = ，∴ = ，∴BG= BH，∴ = = .8字型模型分析 正8字型 斜8字型条件 如图，AC与BD交于点O，AB∥CD(或一组内错角相等). 如图，AC与BD交于点O，∠A=∠D(或∠B=∠C).图示结论 △AOB∽△COD △AOB∽△DOC10. (一线三等角型)如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于点F，ME交BC于点G，连接FG.若α=45°，AB=4 ，AF=3，求FG的长.解：当α=45°时，易得AC⊥BC且AC=BC，∵M为AB中点，∴AM=BM=2 ，由题知∠A=∠B=∠DME=α，∵∠AFM=∠DME＋∠E，∠BMG=∠A＋∠E，∴∠AFM=∠BMG，∴△AMF∽△BGM，∴ = ，∵AF=3，∴ = ，∴BG= .又∵在Rt△ABC中，AC=BC=AB cos 45°=4 × =4，∴GC=BC－BG=4－ = ，CF=AC－AF=4－3=1，∴在Rt△CFG中，FG= = = .11. (手拉手型)如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠DAE，∠ABC=∠ADE，连接BD，CE. 若S△ADB∶S△AEC=16∶9，△ADB的周长为2，求△AEC的周长.解：∵∠BAC=∠DAE，∠ABC=∠ADE，∴△ABC∽△ADE，∴ = ，即 = ，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC－∠CAD=∠DAE－∠CAD，即∠BAD=∠CAE，∴△ADB∽△AEC.∵S△ADB∶S△AEC=16∶9，∴C△ADB∶C△AEC=4∶3，∵C△ADB=2，∴C△AEC= .江苏真题随堂练相似多边形(3年2考)命题点11. (2024连云港4题)下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为( D )A. 甲和乙 B. 乙和丁 C. 甲和丙 D. 甲和丁D2. (2024盐城11题)两个相似多边形的相似比为1∶2，则它们的周长的比为 .1∶2相似三角形的判定与性质(3年1考)( 快答App 答疑高频考点1 020次)命题点23. (苏科九下思考与探索改编)如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，与CD相交于点F. 若∠ABE=30°， = ，则 的值为 . 【解析】∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDF=∠CEF=90°，根据“斜8字模型”得△DFB∽△EFC，∴∠DBF=∠ECF=30°， = = ，∴在Rt△ECF中，EF= CF，∴ = =2× =2× = .相似三角形的实际应用(3年3考)命题点34. (2024扬州16题)物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法.如图，燃烧的蜡烛(竖直放置) AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A′B′.设AB=36 cm，A′B′=24 cm，小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O到A′B′的距离为 cm.20【点拨】△OAB∽△OA'B'，相似比为36:24=3:2.5. (2024连云港25题)图①是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究.数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图②，正八边形游乐城A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为 km，南门O设立在A6A7边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路BM，A6A7在BM上(门宽及门与道路间距离忽略不计)，东侧有一条南北走向的道路BC，C处有一座雕塑.在A1处测得雕塑在北偏东45°方向上，在A2处测得雕塑在北偏东59°方向上.新考法数学文化(1)∠CA1A2= °，∠CA2A1= °；【解法提示】∵正八边形的一个外角的度数为 =45°，∴∠CA1A2=45°＋45°=90°，∠CA2A1=180°－45°－59°=76°.9076(2)求点A1到道路BC的距离；解： 如图，过点A1作A1D⊥BC于点D，第5题解图在Rt△CA2A1中，A2A1= km，∠CA2A1=76°，∟D∴CA1=A1A2 tan 76°≈ ×4.00=2 (km).在Rt△CA1D中，∠CA1D=90°－45°=45°，∴A1D=CA1 cos 45°≈2 × =2.0(km)，答：点A1到道路BC的距离约为2.0 km；(3)若该小组成员小李出南门O后沿道路MB向东行走，求她离B处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？(结果精确到0.1km，参考数据： ≈1.41， sin 76°≈0.97，tan 76°≈4.00， sin59°≈0.86，tan 59°≈1.66)第5题解图解图(3)如解图，连接CA8并延长交BM于点E，延长A1A8交BE于点G，过点A8作A8F⊥BC于点F，∵正八边形的外角均为45°，A7A8= km，∴在Rt△A7A8G中，A8G= ，∴FB=A8G= ，又∵A8F=A1D=CD=2，DF=A1A8= ，∴CB=CD＋DF＋FB= ，解图∵∠CFA8=∠B，∠FCA8=∠BCE，∴Rt△CA8F∽Rt△CEB，∴ = ，即 = ，∵ ≈1.41，∴EB≈2.4 km.答：小李离B处不超过2.4 km，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响.解图(共29张PPT)第四单元 三角形第21课时 全等三角形节前复习导图互逆概念全等三角形边、角性质周长、面积中线、高线、角平分线、中位线判定判定方法判定思路1考点梳理2江苏真题随堂练3分层作业本考点梳理一、概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形二、性质1. 全等三角形的对应边 ，对应角 2. 全等三角形的周长相等，面积 3. 全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都 相等相等相等相等三、判定1. 判定方法SSS(边边边) SAS(边角边) ASA(角边角) AAS(角角边) HL(斜边、直角边)三边分别相等的两个三角形全等(基本事实) 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(基本事实) 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(基本事实) 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等2. 判定思路(1).已知两对等边①找夹角相等→SAS 想一想：SSA(边边角)能否判定两个三角形全等？②找第三边相等→SSS③找直角(非夹角)→HL(2).已知一对等边和一对等角①边为角的对边→找任意一对等角→AAS②边为角的邻边(3).已知两对等角①找夹边相等→ASA②找其中任意一对等角的对边相等→AAS江苏真题随堂练类型一 平移型(3年1考)模型 展示模型 特点 沿同一直线(BC)平移可得两三角形重合(BE=CF) 解题 思路 证明三角形全等的关键：(1)加(减)公共线段CE得BC=EF；(2)利用平行线性质找对应角相等 命题点全等三角形的判定与性质1. (2024盐城21题)已知：如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AE∥BF，AE=BF. 若 ，则AB=CD.请从①CE∥DF；②CE=DF；③∠E=∠F这3个选项中选择一个作为条件(写序号)，使结论成立，并说明理由.答题规范得分要点呈现选择结论，陈述理由由平行线性质得出两组对应角分别相等解：选择①，理由如下：∵AE∥BF，∴∠A=∠FBD，∵CE∥DF，∴∠ACE=∠D，答题规范得分要点按照顺序依次罗列出对应关系并写出判定定理，得到相应三角形全等利用全等三角形性质得出结论在△AEC和△BFD中，，∴△AEC≌△BFD(AAS)，∴AC=BD，∴AB=CD.选择③，理由如下：∵AE∥BF，∴∠A=∠FBD，在△AEC和△BFD中，，∴△AEC≌△BFD(ASA)，∴AC=BD，∴AB=CD. (①或③任选一种即可)类型二 轴对称(翻折)型(3年1考)模型 展示 有公 共边有公 共顶点模型 特点 所给图形沿公共边(或公共边中点)所在直线或者经过公共顶点的某条直线折叠，两个三角形完全重合 解题 思路 证明三角形全等的关键：(1)找公共角、垂直、对顶角、等腰等条件得对应角相等；(2)找公共边、中点、等底角、相等边、线段的和差等条件得对应边相等2. (2024镇江21题)如图，∠C=∠D=90°，∠CBA=∠DAB.(1)求证：△ABC≌△BAD；解：(1)证明：在△ABC和△BAD中，，∴△ABC≌△BAD(AAS)；(2)若∠DAB=70°，则∠CAB= °.【解法提示】∵∠DAB=70°，∠D=90°，∴∠DBA=90°－70°=20°，由(1)知△ABC≌△BAD，∴∠CAB=∠DBA=20°.202. (2024镇江21题)如图，∠C=∠D=90°，∠CBA=∠DAB.3. (2023南通21题)如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC=∠AEB=90°，BE，CD相交于点O，OB=OC.求证：∠1=∠2.小虎同学的证明过程如下：证明：∵∠ADC=∠AEB=90°，∴∠DOB＋∠B=∠EOC＋∠C=90°.∵∠DOB=∠EOC，∴∠B=∠C. 第一步又∵OA=OA，OB=OC，∴△ABO≌△ACO，第二步∴∠1=∠2.第三步(1)小虎同学的证明过程中，第 步出现错误；二(2)请写出正确的证明过程.证明：∵∠ADC=∠AEB=90°，∴∠BDC=∠CEB=90°，在△BOD和△COE中， ，∴△BOD≌△COE(AAS)，∴OD=OE，在Rt△ADO和Rt△AEO中， ，∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL)，∴∠1=∠2.类型三 旋转型(3年4考)模型 展示 共顶 点不共 顶点 模型 特点 此模型可看成是将三角形绕某一个点旋转而成，故一般有一对相等的角隐含在平行线、对顶角、某些角的和或者差中解题 思路 证明三角形全等的关键：(1)共顶点：加(减)共顶点的角的共角部分得一组对应角相等；(2)不共顶点：①加(减)公共线段CF得BC=EF；②利用平行线性质找对应角相等4. (新苏科八上复习题改编)如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC=BC，DC=EC.求证：∠D=∠E.证明：∵AC⊥BC，DC⊥EC，∴∠ACB=∠DCE，∴∠ACB＋∠ACD=∠DCE＋∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，在△BCD和△ACE中， ，∴△BCD≌△ACE(SAS)，∴∠D=∠E.5. (2023宿迁21题)如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：AF=CE.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=CB，AD∥BC，∴∠DAF=∠BCE，又∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠DFA=∠BEC=90°.在△ADF和△CBE中， ，∴△ADF≌△CBE(AAS)，∴AF=CE.6. (新苏科八上习题改编)如图，△ABC与△ADE是等边三角形.求证：BD=CE.证明：∵△ABC与△ADE是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC＋∠CAD=∠DAE＋∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中， ，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD=CE.类型四 其他型(3年1考)7. (2023淮安19题)已知：如图，点D为线段BC上一点，BD=AC，∠E=∠ABC，DE∥AC. 求证：DE=BC.证明：∵DE∥AC，∴∠EDB=∠C，在△BED和△ABC中， ，∴△BED≌△ABC(AAS)，∴DE=BC.8. (2023泰州20题)如图，CD是五边形ABCDE的一边，若AM垂直平分CD，垂足为M，且 ， ，则 .给出下列信息：①AM平分∠BAE；②AB=AE；③BC=DE. 请从中选择适当信息，将对．应．的．序．号．填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明.证明：∵DE∥AC，∴∠EDB=∠C，在△BED和△ABC中， ，∴△BED≌△ABC(AAS)，∴DE=BC.一题多解法解：②，③，①.证明如下：补全图形如解图，连接AC，AD，∵AM垂直平分CD，垂足为M，∴AC=AD，∴∠CAM=∠DAM，解图在△ABC和△AED中， ，∴△ABC≌△AED(SSS)，∴∠BAC=∠EAD，∴∠BAC＋∠CAM=∠EAD＋∠DAM，即∠BAM=∠EAM，∴AM平分∠BAE.解图解法二：①，②，③.证明如下：补全图形如解图，连接AC，AD，∵AM垂直平分CD，垂足为M，∴AC=AD，∴∠CAM=∠DAM，∵AM平分∠BAE，解图∴∠BAM=∠EAM，∴∠BAM－∠CAM=∠EAM－∠DAM，即∠BAC=∠EAD，在△ABC和△AED中， ，∴△ABC≌△AED(SAS)，∴BC=DE.解图(共20张PPT)第四单元 三角形第19课时 一般三角形及其性质节前复习导图一般三角形及其性质三角形的分类按边分按角分三角形的边、角关系三边关系角的关系边角关系三角形中的特殊线段及直线中线高线角平分线中位线垂直平分线1考点梳理2江苏真题随堂练3分层作业本考点梳理一、三角形的分类1. 按边分(1).三边都不相等的三角形(2).等腰三角形2. 按角分：锐角三角形、 、钝角三角形直角三角形二、三角形的边、角关系1. 三边关系： 、 2. 角的关系(1).内角和定理： 想一想：教材中的三角形内角和是怎么证明的？(2).任意一个外角 与它不相邻的两个内角之和(3).任意一个外角 任何一个与它不相邻的内角任意两边之和大于第三边任意两边之差小于第三边三角形三个内角和等于180°等于大于3. 边角关系：同一个三角形中，等边对 等角三、三角形中的特殊线段及直线 特殊线段 /直线 性质(文字 语言) 示意图(图形语言) 数学表示(符号语言) 拓展延伸线 段 中线 AD是△ABC的中线 三角形三条中线的交点为三角形的重心线 段 高线 AD是△ABC的高线 ∵AD是△ABC的高线， ∴AD⊥ (∠ADB=∠ADC=90°) 三角形的三条高线所在的直线的交点为三角形的垂心CD BC特殊线段 /直线 性质(文字语言) 示意图(图形语言) 数学表示(符号语言) 拓展延伸线 段 角平 分线 AD是△ABC的角平分线(1)三角形三条内角平分线的交点为三角形的内心；(2)内心到三角形三边距离相等∠DAC特殊线段 /直线 性质(文字语言) 示意图(图形语言) 数学表示(符号语言) 拓展延伸线 段 中位线 DE是△ABC的中位线 ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DE= BC △ADE∽△ABC，其相似比为1∶2，面积比为1∶4 特殊线段 /直线 性质(文字语言) 示意图(图形语言) 数学表示(符号语言) 拓展延伸直线 垂直 平分 线 DE是△ABC中BC边上的垂直平分线(中垂线)∵DE是△ABC中BC边上的垂直平分线， ∴DE⊥BC，BE= ， BD= (1)外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点；(2)外心到三角形三个顶点的距离相等CECD江苏真题随堂练三角形的基本性质(3年5考)命题点11. (2023宿迁2题)以下列每组数为长度(单位：cm)的三根小木棒，其中能搭成三角形的是( C )A. 2，2，4 B. 1，2，3C. 3，4，5 D. 3，4，8C2. 如图，D是△ABC中BC边上一点，连接AD.(1)若AB=3，AC=2，则BC长度的取值范围是 ；(2)已知∠B=20°，∠C=40°.①若AD平分∠BAC，则∠CAD的度数为 ；②若∠DAC=2∠BAD，则∠ADC的度数为 .1＜BC＜560°60°三角形中的重要线段(3年5考)命题点23. (2025连云港5题)如图，在△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，则△AEG的周长为( C )A. 5 B. 6 C. 7 D. 8C4. (2025宿迁5题)如图，在△ABC中，AB≠AC，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，则下列结论错误的是( C )A. DE∥BC B. ∠B=∠EFCC. ∠BAF=∠CAF D. OD=OEC5. (2023盐城11题)在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，BC=10cm，则DE的长为 cm.56. (新苏科八上练习改编)如图，在△ABC中，D是边BC的中点，连接AD，△ACD的面积为8.(1)AD是△ABC的 ；(2)BD= = ；(3)△ABD的面积为 ；中线CDBC8(4)△ABC的面积为 ；(5)三角形的重心是三条 的交点.16中线7. 如图，在△ABC中，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A=α，∠B=β(α＞β).(1)若α=70°，β=40°，则∠DCE= ；15°【解法提示】由题意得，∠ACB=180°－(∠BAC＋∠B)=180°－(70°＋40°)=70°，∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE= ∠ACB=35°.∵CD是高线，∴∠ADC=90°，∴∠ACD=90°－∠BAC=20°，∴∠DCE=∠ACE－∠ACD=35°－20°=15°.(2)试用含α，β的代数式表示∠DCE= ；【解法提示】由题意得，∠ACB=180°－(∠BAC＋∠B)=180°－(α＋β)，∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE= ∠ACB=90°－ (α＋β).∵CD是高线，∴∠ADC=90°，∴∠ACD=90°－∠BAC=90°－α，∴∠DCE=∠ACE－∠ACD=90°－ (α＋β)－(90°－α)= . 7. 如图，在△ABC中，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A=α，∠B=β(α＞β).(3)若BC∶AC=5∶3，S△BEC=9，则S△ABC= ；【解法提示】如解图①，过点E分别向BC，AC作垂线，垂足分别为F，G，∵CE为∠BCA的平分线，∴EF=EG，S△BEC= BC EF，S△ECA= AC EG，∵BC∶AC=5∶3，∴S△ECA= S△BEC= ，∴S△ABC=S△ECA＋S△BEC= .第7题解图① 解图①7. 如图，在△ABC中，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A=α，∠B=β(α＞β).(4)若∠A=2∠B，求证：AC＋AE=BC.证明：如解图②，在CB上截取CH=CA，连接EH，∵CE平分∠BCA，∴∠HCE=∠ACE，在△HCE和△ACE中，，∴△HCE≌△ACE(SAS)，∴HE=AE，∠CHE=∠A，解图②第7题解图②解图②∵∠A=2∠B，∴∠CHE=2∠B，∵∠CHE=∠B＋∠HEB，∴∠B=∠HEB，∴HB=HE，∴HB=AE，∴AC＋AE=HC＋HB=BC.(共24张PPT)第四单元 三角形微专题 手拉手模型模型特点 共顶点的两个非等腰三角形旋转证明过程 ①先确定共顶点；②再根据顶角找一对角相等；③再找等角的两边对应成比例结论 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似(即△ABD∽△ACE)图示一阶 认识模型图示变式 共顶点的两个等腰三角形(AD=AE，AB=AC)绕顶角旋转后，连接对应点构成的两个三角形全等(即△ABD≌△ACE)几何画板动态演示温馨提示：点击查看原文件例1 如图①，在Rt△ABC中，AB=BC，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，DE=AD，将△ADE绕点A逆时针旋转到图②位置，连接BD，CE，求证：△ABD∽△ACE.证明：∵∠B=90°，AB=BC，∴∠DAE=45°，∵DE=AD，∴∠DEA=∠DAE=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴ = = ，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE.题后反思将例1中的条件进行调整使得△BAD≌△BCE成立，请你完整描述出调整后题目.解：【题后反思】如解图①，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC，D，E分别是边AB，BC上的点，BD=BE，将△BDE绕点B逆时针旋转到解图②的位置，连接AD，CE，求证：△BAD≌△BCE.解图情形 作辅助线思路 对应图示已知共顶点的 相似三角形 补拉手线已知等腰直角三角形 构造三角形二阶 构建模型例2 如图，将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，连接BB′，过点D作DE⊥BB′，交BB′的延长线于点E，连接DB′，CE. 求的值.解：如图，连接BD，由旋转的性质，得AB=AB′，在正方形ABCD中，∠BAD=90°，AB=AD，设∠BAB′=α，∴∠AB′B= (180°－α)=90°－ ，∠B′AD=90°－α，∴∠AB′D= (180°－∠B′AD)=45°＋ ，∴∠EB′D=180°－∠AB′D－∠AB′B=180°－(45°＋ )－(90°－)=45°.∵DE⊥BB′，∴△DEB′是等腰直角三角形，∠EDB′=∠EB′D=45°，∴ = .∵AD=AB′，∴ = = .∵∠EDB′=∠CDB=45°，∴∠EDB′－∠B′DC=∠CDB－∠B′DC，即∠B′DB=∠EDC，∴△B′DB∽△EDC，∴ = = .∵四边形ABCD是正方形，∴ = ，∠CDB=45°，例3 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BD⊥AD，连接DC. 当点D在AC右侧时，求∠ADC的度数.作法提示：辅助线作法1—延长AD到点P，使得AP=BD，连接CP…辅助线作法2—过点C作CD的垂线，交AD的延长线于点P…根据提示，作出每一种辅助线，并选择其中一种完成解答.一题多解法解：辅助线作法1，如解图①：解图①选辅助线作法1，如解图①，记AC，BD的交点为O.∵∠ACB=90°，∴∠DBC＋∠BOC=90°，∵BD⊥AD，∴∠PAC＋∠AOD=90°，∵∠BOC=∠AOD，∴∠PAC=∠DBC，∵AP=BD，AC=BC，∴△APC≌△BDC(SAS)，∴CP=CD，∠ACP=∠BCD，∴∠ACD＋∠PCD=∠ACD＋∠ACB，∴∠PCD=∠ACB=90°，∴△PCD是等腰直角三角形，∴∠CDP=45°，∴∠ADC=135°.解图①解法二：辅助线作法2，如解图②：解图②选辅助线作法2，如解图②，记AC，BD的交点为O.∵∠ACB=90°，BD⊥AD，∴∠DBC＋∠BOC=90°，∠PAC＋∠AOD=90°，∵∠BOC=∠AOD，∴∠PAC=∠DBC，∵∠ACB=∠PCD=90°，∴∠ACB＋∠ACD=∠PCD＋∠ACD，∴∠ACP=∠BCD，∵AC=BC，∠PAC=∠DBC，∴△APC≌△BDC(ASA)，∴CP=CD，∴△PCD是等腰直角三角形，∴∠CDP=45°，∴∠ADC=135°.解图②三阶 应用模型1. 如图，△ABD与△ACE都是等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=90°，C为DB上一点，连接BE. 已知CB=5，DC=12，则CE的长为 .132. 如图，在矩形ABCD和矩形DEFG中，AB=1，AD=DE= ，DG=3，连接AG，BF，若BF= ，则AG的长为 . 【点拨】如解图，连接BD，DF， = = .在Rt△ABD中，tan∠ADB= ，∴∠ADB=30°.在Rt△DGF中，∠GDF=30°，∴△BDF∽△ADG，∴ = .解图【解析】如解图，连接BD，DF，∵四边形ABCD和四边形DEFG均为矩形，∴∠BAD=∠E=∠EDG=90°，EF=DG=3，FG=DE.∵AB=1，AD=DE= ，∴BD= =2，DF= =2 ，∴ = = .∵ = ，∴ = .在Rt△ABD中，解图∵tan∠ADB= = = ，∴∠ADB=30°.在Rt△DGF中，∵tan∠GDF= = ，∴∠GDF=30°，∴∠ADB=∠GDF，∴∠BDF=∠ADG，∴△BDF∽△ADG，∴ = = ，∵BF= ，∴AG= .第2题解图解图3. 如图，在△ABC中，AB=AC=25，BC=30，在△ADE中，AD=AE= AB，DE=18，连接BD，M是BD的中点.【探索发现】(1)如图①，AD平分∠BAC，DE与AB交于点F，连接MF，则线段MF的长为 ； 【拓展迁移】(2)如图②，将△ADE绕点A顺时针旋转，N为线段DE的中点，连接MN，CD.①试猜想线段MN与CD的数量关系并证明；①MN= CD.证明：如图，连接BE，∵AB=AC=25，AD=AE= AB，∴AD=15，∵AD=AE，DE=18，BC=30，∴ = = = ，∴△ADE∽△ACB，∴∠EAD=∠BAC，∴∠EAB=∠DAC，∴△AEB≌△ADC(SAS)，∴BE=CD.∵M是BD的中点，N是DE的中点，∴MN是△BDE的中位线，∴MN= BE，∴MN= CD；②求线段MN的取值范围.(2)如图②，将△ADE绕点A顺时针旋转，N为线段DE的中点，连接MN，CD.②由①得MN= CD，∴要求MN的取值范围，只需求出CD的取值范围即可，由题可知，点D的运动轨迹为以点A为圆心，AD长为半径的圆，AD= AB=15，当点D在CA的延长线上时，CD的长最大，此时CD=AC＋AD=25＋15=40，∴MN=20；当点D在AC边上时，CD的长最小，此时CD=AC－AD=25－15=10，∴MN=5，综上所述，线段MN长的取值范围为5≤MN≤20.(共28张PPT)第四单元 三角形微专题 一线三等角模型模型特点 一条线上有三个相等的角证明过程 ①先找平角180°；②再找内角和180°；③结合条件中的等角，得到另一组等角结论1 两三角形相似(依据：两角分别相等的两个三角形相似)结论2 若一线三等角模型中有2条对应线段相等，则这两个三角形全等一阶 认识模型模型常见 图示 (除例题图外) 几何画板动态演示温馨提示：点击查看原文件几何画板动态演示温馨提示：点击查看原文件例1 如图，已知P是线段AB上一点，C，D为线段AB外同侧两点，连接AC，BD，CP，PD. 若∠1=∠2=∠3.(1)请证明：△ACP∽△BPD，并写出依据；证明：∵∠APC＋∠2＋∠BPD=180°(依据：平角是180°)，∠APC＋∠1＋∠C=180°(依据： )，∠1=∠2(已知)，∴∠BPD=∠C，∵∠1=∠3(已知)，∴△ACP∽△BPD(依据： )；三角形内角和是180°两角分别相等的两个三角形相似(2)请添加一组条件，使得△ACP≌△BPD，并写出证明过程及依据.解：添加条件：AP=BD(答案不唯一).证明：由(1)得∠C=∠BPD，在△ACP和△BPD中， ，∴△ACP≌△BPD(AAS)依据：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.∠1=∠2=∠3， ∴△ACP∽△BPD题后反思如图，其余条件不变，将“P是线段AB上一点，C，D为线段AB外同侧两点”改为“P是直线AB上一点，C，D为直线AB外异侧两点”，△ACP∽△BPD的结论还成立吗？请说明理由.解：成立.理由如下：∵∠1=∠2，∴∠CAP=∠DBP，∵∠1=∠3，∠1=∠C＋∠CPA，∠3=∠BPD＋∠CPA，∴∠C=∠BPD，∴△ACP∽△BPD.情形 作辅助线思路 对应图示图中存在一条直线，且直线上有一个直角 从直角两边上的已知点向直角顶点所在直线作垂线，构造一线三等角模型图中存在一条直线，且直线上有两个等角 在该直线上补上一个与前两个角相等的角二阶 构建模型例2 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为BC边上的点，连接AD，过点D作ED⊥DA交AB于点E，若BE=DE， = ，AC=20，求BD的长.解：如解图，过点E作EF⊥BC于点F，∟F∵∠ADE=90°，∴∠EDB＋∠ADC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ADC＋∠DAC=90°，∴∠EDB=∠DAC，∵EF⊥BC，∴∠EFD=90°，∴∠EFD=∠ACD，∴△EDF∽△DAC，∴ = ，∴ = ，∴DF=16，∵BE=DE，EF⊥BD，∴BF=DF=16，∴BD=32.∟F例3 学习“一线三等角相似三角形”时，老师给出了一道题：如图，在 ABCD中，AB=3，BC=4，∠B=60°，E是AB边上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC边于点F，连接DF，若∠EFD=60°，求AE的长.新考法解题策略开放甲同学：∠DEF=90°，可通过作两条垂线构造相似三角形.乙同学：∠B=60°，∠EFD=60°，有两个相等的角，再作一个等角就可以构造相似三角形.老师说：两位同学的想法都很好，请你任选一种方法解题.解：选择甲同学：如解图①，过点F作FM⊥AB于点M，过点D作DN⊥BA，交BA的延长线于点N，解图①∴∠EMF=∠DNE=90°，∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠MEF＋∠DEN=∠NDE＋∠DEN=90°，∴∠MEF=∠NDE，∴△EMF∽△DNE，∴ = = ，∵四边形ABCD为平行四边形，∠B=60°，∴AD∥BC，AD=BC=4，∴∠NAD=∠B=60°，∴AN= AD=2，DN= AD=2 ，∵∠DFE=60°，∠DEF=90°，∴∠EDF=180°－∠DFE－∠DEF=30°，∴tan∠EDF= = ，∴ = = = ，解图①∴EM= DN=2，设AE=x，则BM=AB－AE－EM=1－x，NE=AN＋AE=2＋x，在Rt△BMF中，MF=BM tan 60°= BM= － x，∵ = ，∴ = ，解得x= ，∴AE= .解图①选择乙同学：如解图②，延长BC至点G，连接DG，使∠G=60°，解图②∵∠B=∠EFD=60°，∴∠BFE＋∠BEF=∠BFE＋∠DFC=120°，∴∠BEF=∠DFC，∵∠B=∠G=60°，∴△BEF∽△GFD，∴ = = ，∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠EDF=180°－∠DEF－∠EFD=30°，∴DF=2EF，∴ = = = ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，CD=AB=3，∴∠DCG=∠B=∠G=60°，∴△DCG是等边三角形，∴CG=DG=CD=3，∴BG=BC＋CG=7，解图②∴GF=BG－BF=7－BF，∴ = = ，解得BF= ，BE= ，∴AE=AB－BE= .(任选一种即可)解图②三阶 应用模型1. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，E为线段AD上一点，且∠BED=∠BAC，过点C作CF∥BE交AD的延长线于点F. 求证：AE=CF.解：证明：如解图，延长AF至点J，使得AJ=BE，连接CJ，解图由题意得，∠BED=∠ABE＋∠BAE，∠BAC=∠BAE＋∠CAJ，∵∠BED=∠BAC，∴∠ABE=∠CAJ，在△ABE和△CAJ中，解图∴△ABE≌△CAJ(SAS)，∴AE=CJ，∠AEB=∠CJA，∵BE∥CF，∴∠BED=∠CFA，∵∠AEB＋∠BED=∠CFA＋∠CFJ，∴∠AEB=∠CFJ，∴∠CFJ=∠CJA，∴CJ=CF，∴AE=CF.解图2. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是线段BC上一点(不与点B，C重合)，连接AE，过点E作EF⊥AE，交CD于点F.(1)如图①，求证：△ABE∽△ECF；证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，∴∠BAE＋∠AEB=90°.∵EF⊥AE，∴∠AEF=90°，∴∠AEB＋∠CEF=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△ABE∽△ECF；(2)如图②，连接AC交EF于点G. 若BE=3，求EG的长；解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°.由(1)得△ABE∽△ECF，∴ = ，∵AB=6，BE=3，BC=8，∴ = ，解得CF= ，CE=BC－BE=5，2. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是线段BC上一点(不与点B，C重合)，连接AE，过点E作EF⊥AE，交CD于点F.如解图①，过点E作EM⊥BC交AC于点M，则EM∥AB，解图①∴ = ，即 = ，∴ = ，解得EM= ，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴EM∥CF，∴△CGF∽△MGE，∴ = ，在Rt△ECF中，EF= = ，设EG=x，则FG= －x，∴ = ，解得x= ，∴EG的长为 ；解图①(3)如图③，连接AC，过点C作CH⊥AC，交EF的延长线于点H. 若E是BC的中点，求CH的长.解：如解图②，过点H作HN⊥BC，交BC的延长线于点N.解图②2. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是线段BC上一点(不与点B，C重合)，连接AE，过点E作EF⊥AE，交CD于点F.∵CH⊥AC，∴∠ACH=90°.同(1)理可得，△ABC∽△CNH，∴ = ，即 = ，∴3NH=4CN.设CN=3x，则NH=4x，CH=5x.∵E是BC的中点，∴BE=CE= BC=4，第2题解图②解图②∴EN=CE＋CN=4＋3x.∵EF⊥AE，∴∠AEF=90°，同理可得，△ABE∽△ENH，∴ = ，即 = ，解得x= ，∴CH=5x=5× = .解图②(共29张PPT)第四单元 三角形微专题 遇到中点如何添加辅助线(3年1考)一阶 方法训练情形 作辅助线思路 对应图示遇等腰三角形， 想“三线合一” 知等腰三角形底边中点，连接顶角顶点与底边中点，构造中线，用“三线合一”遇斜边，想中线 知直角三角形斜边中点，连接直角顶点与斜边中点，构造中线，用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”情形 作辅助线思路 对应图示遇中点，想中位线 知三角形两边的中点，连接两个中点，构造中位线，用“三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半”情形 作辅助线思路 对应图示遇中点，想中位线 知三角形一边中点，在另一边取中点，连接两个中点或过中点作边的平行线，构造中位线，用“三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半”情形 作辅助线思路 对应图示遇中线，构倍长 知三角形一边上的中线，延长中线，构造全等三角形知三角形一边上的中点与另一边上点的连线，延长线段，构造全等三角形几何画板动态演示温馨提示：点击查看原文件例1 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，∠A=120°，过点D作DE⊥AC于点E，AE=2，求DE的长.【作辅助线思路】知AB=AC，D是BC的中点，连接 .解：如解图，连接AD，AD∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，∵∠A=120°，∴∠DAC=60°，∵DE⊥AC，∴∠ADE=30°，∵AE=2，∴DE=2 .题后反思你能求出S△ADE，S△CDE，S△ADC，S△ABC的比值吗？解：S△ADE∶S△CDE∶S△ADC∶S△ABC=1∶3∶4∶8.例2 如图，M为Rt△ABC斜边AB上的中点，∠ACB=90°，D为边BC延长线上一点，连接DM，若∠B=2∠D，AB=16，求CD的长.【作辅助线思路】知M为Rt△ABC斜边AB上的中点，连接 .CM解：如图，连接CM，∵∠ACB=90°，M为AB的中点，AB=16，∴CM=BM=AM=8，∴∠B=∠MCB，∵∠B=2∠D，∴∠MCB=2∠D，∵∠MCB=∠D＋∠DMC，∴∠D=∠DMC，∴CD=CM=8.例3 如图，在△ABC中，E，F分别是AC，AB的中点，连接BE，CF交于点G，求证： = .【作辅助线思路】知E，F分别是AC，AB的中点，连接 .EF证明：如解图，连接FE,∵F，E分别为AB，AC的中点，∴FE为△ABC的中位线，∴FE∥BC，EF=BC，∴△FEG△CBG,== .例4 如图，在△ABC中，BC=2AB，AD是BC边上的中线，过点B作BG⊥AD于点G，交AC于点E，若AD=BE=6，求AC的长.【作辅助线思路】 .知AD是BC边上的中线，取CE的中点F，连接DF解：(遇中点，想中位线)如解图①，取CE的中点F，连接DF，F∵F是CE的中点，∴EF=CF，∵AD是BC边上的中线，∴D为BC的中点，∴DF为△BCE的中位线，BC=2BD，∴DF∥BE，DF= BE=3，∵AD⊥BG，∴∠ADF=∠AGE=90°，一题多解法∵BC=2AB，∴AB=BD，∴G为AD的中点∴ = =1，∴AE=EF，∴ = ，在Rt△ADF中，由勾股定理得，AF= =3 ，∴AC= AF= .F解法二【作辅助线思路】知AD是BC边上的中线，延长GD至点F，使得DF=DG，连接CF，解图②解：(遇中线，构倍长)如解图②，延长GD至点F，使得DF=DG，连接CF，∵BG⊥AD，∴∠AGB=∠BGD=∠AGE=90°，∴△ABG和△BDG均为直角三角形，∵AD是BC边上的中线，∴D为BC的中点，∴BD=CD，BC=2BD，又∵BC=2AB，∴AB=BD，又∵BG=BG，∴Rt△ABG≌Rt△DBG(HL)，∴AG=DG=DF=3，∴ = ，∵DG=DF，∠BDG=∠CDF，BD=CD，∴△BDG≌△CDF(SAS)，∴BG=CF，∠BGD=∠CFD，∴BG∥CF，解图②∴BE∥CF，∴△AEG∽△ACF，∴ = = = ，∴AC=3AE，EG= CF= BG，∴EG= BE= ，∵∠AGE=90°，∴在Rt△AEG中，由勾股定理得AE= = ，∴AC=3AE= .解图②题后反思在本题中，你都有哪些不同的辅助线作法？解：其他辅助线的作法：①如解图①，取BE的中点F，连接DF.解图①②如解图②，取AC的中点F，连接GF.解图②③如解图③，取CD的中点F，连接GF.解图③④如解图④，延长DB到点F，使得BF=BD，连接AF.解图④⑤如解图⑤，延长GE到点F，使得GF=BG，连接CF.解图⑤⑥如解图⑥，延长BG到点F，使得GF=BG，连接AF.解图⑥二阶 综合训练1. 如图，在△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交CB的延长线于点E，交AB于点F，若F是DE的中点，BF=3，则AF的长为 .92. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则 cos ∠BDE= . 3. 如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AC的中点，点E在AB上，且∠BCE=45°，连接DE，则∠ADE的度数为 .45°4. 如图，在 ABCD中，E是CD的中点，连接AE，BE，F是AE的中点，连接CF交BE于点G. 若CF=8，则FG的长为 .45. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，AE=2DE=3，BE=5，CE=4，则△ABC的面积为 .18【点拨】如解图，延长AD到点F，使DF=ED，连接CF，△BDE≌△CDF(SAS)，∴CF=BE，∴∠CEF=90°，S△ABC=2S△ADC.解图6. 在△ABC中，AB=AC，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转到AE的位置，使得∠DAE＋∠BAC=180°，连接BE，取BE的中点G，连接AG. 猜想AG与CD的数量关系，并证明.解：AG= CD. 证明如下：如解图①，延长BA至点M，使AM=AB，连接EM，解图①一题多解法∵G是BE的中点，∴AG= ME，∵∠BAC＋∠DAE=180°，∠BAC＋∠CAM=180°，∴∠DAE=∠CAM，∴∠DAC=∠EAM，∵AB=AM，AB=AC，∴AC=AM，∵AD=AE，∴△ADC≌△AEM(SAS)，∴CD=ME，∴AG= CD.解图①解法二：如解图②，记AD与BE交于点F，延长AG到点M，使得GM=AG，连接ME.易得△ABG≌△MEG(SAS)，AG= AM，∴∠ABG=∠MEG，AB=ME，∵AB=AC，∴AC=ME，设∠BAC=α，则∠DAE=180°－α，∴∠AFG＋∠AEG=α，第6题解图②解图②∵∠AFG=∠ABG＋∠BAD，∴∠ABG＋∠BAD＋∠AEG=α，∴∠MEG＋∠BAD＋∠AEG=α，∴∠MEG＋∠AEG=α－∠BAD，即∠AEM=α－∠BAD，又∵∠DAC=α－∠BAD，∴∠DAC=∠AEM，又∵AD=EA，∴△DAC≌△AEM(SAS)，∴CD=AM，第6题解图②解图②∴AG= CD.MEG(SAS)，AG= AM，∴∠ABG=∠MEG，AB=ME，∵AB=AC，∴AC=ME，设∠BAC=α，则∠DAE=180°－α，∴∠AFG＋∠AEG=α，∵∠AFG=∠ABG＋∠BAD，∴∠ABG＋∠BAD＋∠AEG=α，第6题解图②解图②∴∠MEG＋∠BAD＋∠AEG=α，∴∠MEG＋∠AEG=α－∠BAD，即∠AEM=α－∠BAD，又∵∠DAC=α－∠BAD，∴∠DAC=∠AEM，又∵AD=EA，∴△DAC≌△AEM(SAS)，∴CD=AM，∴AG= CD.第6题解图②解图②(共31张PPT)第四单元 三角形第20课时 特殊三角形及其性质节前复习导图特殊三角形及其性质等腰三角形等边三角形直角三角形等腰直角三角形图形边角边角关系对称性面积计算公式判定重要线段1考点梳理3江苏真题随堂练4分层作业本2多设问串核心考点梳理图形名称 等腰三角形 等边三角形 直角三角形 等腰直角三角形图形边 两腰 相等 三边相等 1.两直角边互相垂直 2.勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则有a2＋b2=c2 3.三角形的三边长为a，b，c，若满足a2＋b2=c2，则三角形为直角三角形图形名称 等腰三角形 等边三角形 直角三角形 等腰直角三角形角 两底角相等 每一个角都等于60° 两锐角和等于90° 1.两锐角均为45°2.两锐角和等于90°3.两底角相等边角关系 等边对等角； 等角对等边 — 30°角所对的直角边 是斜边的一半 —图形名称 等腰三角形 等边三角形 直角三角形 等腰直角 三角形 重要 线段 三线合一 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 对称性 是轴对称图形，有1条对称轴 是轴对称图形，有3条对称轴 — 是轴对称图形，有1条对称轴图形名称 等腰三角形 等边三角形 直角三角形 等腰直角三角形面积计算公式 S= 判定 aha2ab1. 如图，在等腰△ABC中，∠ACB=120°，AC=BC，BC=4.(1)AB的长为 ；4基础题固考点与等腰三角形有关的证明及计算多设问串核心(2)△ABC的面积为 ；4(3)D为AB上一点(不与点A重合)，连接CD，若△BCD是等腰三角形.1. 如图，等腰△ABC中，∠ACB=120°，AC=BC，BC=4.①∠BCD的度数为 ，BD的长为 ；75°或30°4或【解法提示】∵在△ABC中，∠ACB=120°，AC=BC，∴∠A=∠B=30°.∵△BCD为等腰三角形，∴∠BCD=∠B=30°或∠BCD= (180°－∠B)=75°；∵△BCD为等腰三角形，∴BD=BC=4或BD=CD，此时∠B=∠BCD=30°，如解图②，过点DG⊥BC于点G，∴BG= BC=2，∴BD= = .综上所述，BD的长为4或 .解图②若E为AB上不同于D的一点，且BD=DE=AE，判断△CDE的形状并证明.解：△CDE是等边三角形.1. 如图，等腰△ABC中，∠ACB=120°，AC=BC，BC=4.证明：∵BD=DE=AE，由(1)得，AB=4 ，∴BD=DE=AE= ，∴由(2)得此时∠BCD=30°，∴∠BDC=120°，CD=BD= ，(3)D为AB上一点(不与点A重合)，连接CD，若△BCD是等腰三角形.如解图③，则∠EDC=60°，CD=DE，∴△CDE是等边三角形.解图③题后反思你能判断△ACE的形状吗？给出你的理由吧!解：△ACE是等腰三角形.由(3)②得，△CDE是等边三角形，则∠CEB=60°，∴∠ACE=∠CEB－∠A=30°=∠A，即△ACE是等腰三角形.与直角三角形性质有关的证明及计算2. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，连接CD.(1)如图①，若AC=3，BC=4；①AB= ；5一题多设问②CD= ；③点C到AB的距离为 . (2)如图②，若∠B=30°，AC=2.①AB= ；②E为BC边上一点，若△DBE为直角三角形，则DE的长为 .41或2. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，连接CD.综合题明考法与特殊三角形性质相关的计算3. 如图①，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，F为CA的延长线上一点，过点F作FG⊥BC于点G ，交AB于点E.图①一题多设问(1)求证：AD∥FG；证明：∵AB=AC，D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∵FG⊥BC，∴AD∥FG；(2)求证：△AFE是等腰三角形；图①AB=AC，D为BC边的中点，FG⊥BC ，AD∥FG解：证明：∵AB=AC，D是边BC的中点，∴∠BAD=∠CAD，由(1)知，AD∥FG，∴∠F=∠CAD，∠AEF=∠BAD，∴∠F=∠AEF，∴AF=AE，∴△AFE是等腰三角形(3)若∠C=60°，BC=8，E为AB的中点，求BG的长；图①解：∵∠C=60°，AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，AB=BC=8，∵FG⊥BC，∴∠BEG=90°－∠B=30°，∵E是AB的中点，∴BE= AB=4，在Rt△BEG中，∠BEG=30°，∴BG= BE=2；AB=AC，D为BC边的中点，FG⊥BC ，AD∥FG(4)若AE=BE，求证：EF=2EG；图①解：证明：如图，过点A作AH⊥FG于点H，∟H∵FG⊥BC，∴∠AHE=∠BGE=90°，由(2)知，AE=AF，∴FH=EH，在△AEH和△BEG中， ，AB=AC，D为BC边的中点，FG⊥BC ，AD∥FG∴△AEH≌△BEG(AAS)，∴EH=EG，∴EH=EG=FH，∴EF=2EG图①∟H(5)如图②，连接CE，若CE平分∠ACB，M为CB延长线上的一点，且CE=ME，∠BEM=22.5°，BE= ，求DG的长.图②解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE= ∠ACB= ∠ABC，∵CE=ME，∴∠BCE=∠M= ∠ABC，∵∠ABC=∠M＋∠BEM，∴∠BEM=∠M= ∠ABC，∴BM=BE= ，AB=AC，D为BC边的中点，FG⊥BC ，AD∥FG∵∠BEM=22.5°，∴∠EBG=2∠BEM=45°，∵EG⊥BG，∴∠BEG=∠EBG=45°，∴BG=EG，∵BG2＋EG2=BE2=2，∴BG=EG=1，∵∠ACB=∠EBG=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，图②∵D是BC的中点，∴AD=BD=CD，∵ME=CE，EG⊥BC，∴CG=MG= ＋1，∵CG=CD＋DG=BD＋DG=BG＋DG＋DG= ＋1，∴1＋2DG= ＋1，∴DG= .图②江苏真题随堂练等腰三角形(3年4考)命题点11. (2023宿迁5题)若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是( C )A. 70° B. 45° C. 35° D. 50°2. (2022宿迁5题)若等腰三角形的两边长分别为3 cm和5 cm，则这个等腰三角形的周长是( D )A. 8 cm B. 13 cmC. 8 cm或13 cm D. 11 cm或13 cmCD3. (2025扬州6题)在如图的房屋人字梁架中，AB=AC，点D在BC上，下列条件不．能．说明AD⊥BC的是( B )A. ∠ADB=∠ADC B. ∠B=∠CC. BD=CD D. AD平分∠BAC4. (2023淮安11题)若等腰三角形的周长是20 cm，一腰长为7 cm，则这个三角形的底边长是 cm.B65. (2024南京14题)如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是中线，将DA绕点D顺时针旋转60°得到DE，连接BE，则S△BDE= . 【解析】如解图，过点E作EH⊥BC交BC延长线于点H，∵△ABC是等边三角形，AD是中线，∴BD=2，AD=2 ，AD⊥BC，∵将DA绕点D顺时针旋转60°得到DE，∴DE=AD=2 ，∠ADE=60°，∴∠EDH=30°，∵EH⊥BC，∴EH= DE= ，∴S△BDE= BD EH= ×2× = .∟H直角三角形(3年3考)( 快答App 答疑高频考点4 964次)命题点26. (2023扬州7题)在△ABC中，∠B=60°，AB=4，若△ABC是锐角三角形，则满足条件的BC长可以是( C )A. 1 B. 2 C. 6 D. 8C7. (2025连云港12题)如图，长为3 m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8 m，则梯子顶端的高度h为 m.2.48. (2022淮安16题)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AC边上的一点，过点D作DF∥AB，交BC于点F，作∠BAC的平分线交DF于点E，连接BE. 若△ABE的面积是2，则 的值是 . 【解析】在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，∵△ABE的面积是2，∴点E到AB的距离为 ，∵在Rt△ABC中，点C到AB的距离为 = ，∴点C到DF的距离为 ，∵DF∥AB，∴△CDF∽△CAB，∴ = = ，∴CD=2，DF= ，∵AE平分∠CAB，∴∠BAE=∠CAE，∵DF∥AB，∴∠DEA=∠BAE，∴∠DAE=∠DEA，∴DE=DA=AC－CD=1，∴EF=DF－DE= －1= ，∴ = .【点拨】设AE=m，BE=n，则CD=3n，DE=2m，如解图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，连接AF，EF，在Rt△CEF中，(6＋n)2＋n2=( m)2，在Rt△CDE中，(6＋n)2＋(3n)2=(2m)2，两式联立可解得n.9. (2023苏州16题)如图，∠BAC=90°，AB=AC=3 .过点C作CD⊥BC，延长CB到点E，使BE= CD，连接AE，ED. 若ED=2AE，则BE= .(结果保留根号)＋1解图【解析】设AE=m，BE=n，则CD=3n，DE=2m，如解图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ACD=∠ABE=135°，则点E的对应点F落在CD上，连接AF，EF，则AF=AE=m，CF=BE=n，∵AE=AF，∠EAF=90°，∴EF= m，∵AB=AC=3 ，∴BC=6，在Rt△CEF中，(6＋n)2＋n2=( m)2，在Rt△CDE中，(6＋n)2＋(3n)2=(2m)2，两式联立可解得n= ＋1或1－ (负值不合题意，舍去)，∴BE= ＋1.解图(共30张PPT)第四单元 三角形第18课时 线段、角、相交线与平行线章前复习思路解决问题特殊线段、角、相交线与平行线直线和线段角与角平分线相交线、平行线命题等边三角形直角三角形全等、相似三角形的性质全等、相似三角形的判定实际应用性质面积判定角边角关系边重要线段及直线(角平分线、中线、高线、中位线、垂直平分线)三角形等腰三角形等腰直角三角形全等、相似三角形三角形锐角三角函数节前复习导图互逆命题平行线平行公理及推论平行线的判定平行线的性质线段、角、相交线与平行线度分秒的换算余角、补角角平分线角与角平分线两个基本事实线段的中点线段的和与差线段和直线相交线对顶角邻补角三线八角点到直线的距离垂线的性质线段的垂直平分线1考点梳理2江苏真题随堂练3分层作业本考点梳理一、线段和直线1. 两个基本事实(1).直线的基本事实：两点 一条直线(2).线段的基本事实：两点之间 最短想一想：什么是基本事实？初中几个部分九大基本事实是什么？2. 线段的中点：如图①，若有AM= = AB，则点M是线段AB的中点3. 线段的和与差：如图②，在线段AC上取一点B，则有 ＋BC=AC；AB= －BC；BC=AC－ 确定线段BM ABACAB二、角与角平分线1. 度分秒的换算：1°= ，1′=60″，角的度、分、秒是60进制2. 余角、补角(1).余角：若∠1＋∠2= ，则∠1与∠2互为余角(2).补角：若∠1＋∠2= ，则∠1与∠2互为补角(3).性质：同角(等角)的余角 ，同角(等角)的补角 60′90°180°相等相等3. 角平分线(1).性质(定理)： (2).逆定理：在一个角的内部，到角的两边距离 的点在这个角的平分线上角平分线上的点到这个角两边的距离相等相等三、相交线1. 对顶角(1).举例：如图③，∠1与 是对顶角，∠2与 是对顶角(2).性质： 2. 邻补角(1).举例：如图③，∠1的邻补角是 ，∠3的邻补角是 (2).性质：一个角与它的邻补角之和等于 图③∠3∠4对顶角相等∠2，∠4∠2，∠4180°3. 三线八角(如图④)(1).同位角：∠1与 是同位角，∠2与 是同位角(2).内错角：∠2与 是内错角，∠3与 是内错角(3).同旁内角：∠2与 是同旁内角，∠3与 是同旁内角4. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度5. 垂线的性质(1).在同一平面内，过一点有且只有 条直线与已知直线垂直(基本事实)(2).直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 最短∠5∠6∠8∠5∠5∠8一垂线段图④6. 线段的垂直平分线(1).性质(定理)： (2).逆定理：到线段两端 的点在线段的垂直平分线上线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等距离相等四、平行线 1. 平行公理及推论(1).公理：过直线外一点有且只有 直线与这条直线平行(基本事实)(2).推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线 (基本事实)一条平行2. 平行线的性质与判定(1).两直线平行同位角 (判定是基本事实)(2).两直线 内错角相等(3).两直线平行同旁内角 【满分技法】1.同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；2. 两条平行线之间的距离处处相等相等平行互补五、命题命题：“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行”1. 该命题的条件是 ，结论是 ，该命题是 命题(填“真”或“假”)；2. “如果两条直线平行，那么这两条直线都与第三条直线平行”，该命题 (填“是”或“不是”)(1)中命题的逆命题，该命题是 (填“真”或“假”)命题，证明的方法是举反例两条直线都与第三条直线平行这两条直线平行真是假江苏真题随堂练线段、直线命题点11. 请写出下列生活实例所蕴含的数学原理.(1)把一条弯曲的公路改直，可以缩短路程： ；(2)植树时，先定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在一条直线上： .两点之间，线段最短两点确定一条直线2. (新苏科七上例题改编)如图，线段AB=4，延长AB到点C，使BC=2AB，点D是线段AC的中点.(1)线段AD与CD的数量关系： ；(2)BC= ；(3)AC= ；(4)AD= ，CD= ；(5)BD= .AD=CD812662角与角平分线命题点23. (2024常州5题)如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点 P在 ∠AOB的平分线上，则( A )A. d1与 d2一定相等B. d1与 d2一定不相等C. l1与 l2一定相等D. l1与 l2一定不相等A4. (新苏科七上习题改编)如图，∠AOC=∠BOD=90°，∠AOD=126°.(1)图中共有 个角；(2)图中互余的角有 对，为 ；(3)∠AOB= °；(4)∠COD= °；62∠AOB与∠BOC，∠BOC与∠COD3636【解析】图中共有6个角， ∠AOB与∠BOC，∠BOC与∠COD互余，∠AOB=36°，∠COD=36°.(5) ∠BOC= °；【解析】由(3)得∠AOB=36°，∵∠AOC=90°，∴∠BOC=∠AOC－∠AOB=54°.54解法二：由(4)得∠COD=36°，∵∠BOD=90°，∴∠BOC=∠BOD－∠COD=54°.一题多解法4. 如图，∠AOC=∠BOD=90°，∠AOD=126°.(6)∠BOC的余角的度数为 ，补角的度数为 .36°126°4. 如图，∠AOC=∠BOD=90°，∠AOD=126°.5. (2022连云港10题)已知∠A的补角为60°，则∠A= °.6. (2024南京13题)如图，点A，O，B在同一条直线上，OD是∠AOC的平分线，OE是∠BOC的平分线.若∠AOE=162°，则∠BOD= °.120108【解析】∵OD是∠AOC的平分线，∴∠COD= ∠AOC，∵OE是∠BOC的平分线，∴∠EOC= ∠BOC，∴∠COD＋∠EOC= ∠AOC＋ ∠BOC，即∠DOE= ∠AOB=90°，∵∠AOE=162°，∴∠AOD=∠AOE－∠DOE=72°，∴∠BOD=180°－∠AOD=108°.相交线命题点37. (2024常州7题)如图，推动水桶，以点 O为支点，使其向右倾斜.若在点A处分别施加推力 F1，F2，则 F1的力臂 OA大于 F2的力臂 OB. 这一判断过程体现的数学依据是( A )A. 垂线段最短B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C. 两点确定一条直线D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行A8. (新苏科七上练习改编)如图，直线AB，CD相交于点O，∠POC=∠AOC，∠BOD=25°.(1)∠AOC= °；(2)∠POC= °；(3)OC是 的平分线，∠AOP= °；(4)∠BOC= °；2525∠AOP50155(5)∠BOP= °；(6)∠AOD= °.1301558. (新苏科七上练习改编)如图，直线AB，CD相交于点O，∠POC=∠AOC，∠BOD=25°.9. (新苏科七上练习改编)如图，点P是直线l外一点，PO⊥l于点O. 点A，B，C在直线l上，连接PA，PB，PC.(1)线段PO，PA，PB，PC中最短的线段为 ；(2)若PO垂直平分BC，PB=4，则PC= .PO4平行线的判定与性质(3年8考)命题点410. (2024宿迁4题)如图，直线AB∥CD，直线MN分别与直线AB，CD交于点E，F，且∠1=40°，则∠2等于( C )A. 120° B. 130°C. 140° D. 150°C11. (2025扬州7题)如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G. 若∠ABE=130°，∠CDF=150°，则∠EGF的度数是( C )A. 60° B. 70° C. 80° D. 90°C新考法跨物理学科12. (新苏科七下练习改编)如图，下列条件：①∠DCA=∠CAF；②∠DCA=∠EDB；③∠BAC＋∠DCA=180°；④∠CDB＋∠B=180°.其中能判断AB∥CD的是( C )CA. ①④ B. ②③④C. ①③④ D. ①②③13. (2024盐城6题)小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若∠1=55°，则∠2的度数为( B )A. 25° B. 35° C. 45° D. 55°B【解析】如解图，∵对顶角相等，∠1=55°，∴∠ABC=∠1=55°，∵∠BAC=90°，∴∠ACB=180°－90°－55°=35°.∵直尺相对的两边平行，∴∠2=∠ACB=35°.解图14. (2025连云港11题)如图，AB∥CD，直线AB与射线DE相交于点O. 若∠D=50°，则∠BOE= °.【点拨】∵AB∥CD，∴∠AOE=∠D，∠BOE=180°－∠AOE.130命题(3年1考)命题点515. 下列语句中，是真命题的是( D )A. 两个锐角的和是钝角B. 同旁内角相等，两直线平行C. 过一点作直线a的垂线D. 同角的余角相等D16. (2024宿迁11题)命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是 .同位角相等，两直线平行(共23张PPT)第四单元 三角形第23课时 解直角三角形及其应用节前复习导图解直角三角形及其应用锐角三角函数与相似三角形的实际应用仰角、俯角坡度（坡比）、坡角方向角锐角三角函数定义特殊角的三角函数值1考点梳理2江苏真题随堂练3分层作业本考点梳理1. 定义：如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A为△ABC中的一个锐角，则∠A的正弦：sin A== ∠A的余弦：cos A== ∠A的正切：tan A== 我们把锐角∠A的正弦、余弦和正切统称为∠A的三角函数 图① 一、锐角三角函数2. 特殊角的三角函数值示意图α 30° 45° 60°sin α ________cos α _______ ________tan α ________ 1 _________ 二、锐角三角函数与相似三角形的实际应用1. 仰角、俯角：如图②，图中仰角是 ，俯角是 2. 坡度(坡比)、坡角：如图③，坡角为 ，坡度(坡比)i=tan α= 3. 方向角：如图④，A点位于O点的 方向，B点位于O点的 方向，C点位于O点的 方向 图④【易错警示】东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向∠1∠2α 北偏东30°南偏东60°北偏西45°(或西北)江苏真题随堂练解直角三角形(3年2考)命题点11. (2023常州15题)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D在边AB上，连接CD. 若BD=CD， = ，则tan B= . 2. (2023宿迁16题)如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.A，B，C三点都在格点上，则 sin ∠ABC= . 【解析】如解图，连接AC，∵每个小正方形边长均为1，∴AC== ，AB= =2 ，BC= = ，∴AC2＋BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴ sin ∠ABC= = = .锐角三角函数的实际应用命题点2类型一 解一个直角三角形3. (2024南通14题)社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度.如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为60°，BC=6 m，则旗杆AC的高度为 m.6类型二 解两个直角三角形考向1 母子型(3年2考)图形 示例常考关 系式 AB=AD－BD 在Rt△ACD和Rt△BCD中，CD=CD CE=BD，AB=BE＋AE=CD＋AE4. (2023盐城14题)如图①，位于市区的“铁军”雕塑“大铜马”是盐城市标志性文化名片，如图②，线段AB表示“铁军”雕塑的高，点B，C，D在同一条直线上，且∠ACB=60°，∠ADB=30°，CD=17.5 m，则线段AB的长约为 m.(计算结果保留整数，参考数据： ≈1.7)155. (2024盐城15题)如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面30 m的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为37°，再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6 m至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为45°，则教学楼AB的高度约为 m.(精确到1 m，参考数据： sin37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)17【解析】如解图，记射线PQ交AB的延长线于点H，由题意可知，PQ⊥AB，AH=30，PQ=26.6，∴∠AHP=90°，在Rt△BHQ中，∠BQH=45°，∴QH=BH. 在Rt△AHP中，∠APH=37°，∴tan∠APH= ，即 =tan 37°，∴QH=BH= －26.6，∴AB=AH －BH=30－(－26.6)≈17 m.即教学楼AB的高度约为17 m.解图6. (2024宿迁24题)双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七凤塔构成.某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如下表：测量七凤塔高度 测量工具 测角度、 皮尺等 活动形式 以小组为单位测量示意图 测量步骤及结果 第6题图 如图，步骤如下：①在C处使用测量仪测得塔的顶部点B的仰角∠BDG=37°；②沿着CA方向走到E处，用皮尺测得CE=24米；③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BFG=45°.… 已知测角仪的高度为1.2米，点C，E，A在同一水平直线上.根据以上信息，求塔AB的高度.(参考数据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)解：由题意可知△BFG为等腰三角形，则BG=FG，在Rt△BDG中，tan∠BDG= = = = ≈0.75，解得BG≈72，∴AB=BG＋AG=BG＋DC≈72＋1.2=73.2(米).∴塔AB的高度大约为73.2米.考向2 背靠背型(3年1考)图形 示例常考关 系式 BC=BD＋CD AE=CD，BC=BE＋CE=BE＋AD AE=DF，BC=BE＋EF＋FC=BE＋AD＋FC7. (2023南通7题)如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角α为30°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，无人机与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为( B )BA. 140 m B. 160 mC. 180 m D. 200 m【点拨】如图，过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，BD=AD·tan 30°，在Rt △ACD中，CD=AD·tan 60°.D8. (2025宿迁23题)小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点A、B处，选取河对岸的一块石头C作为测量点(点A、B、C在同一水平面内)，小明同学在点A处测得∠BAC为42°，小军同学在点B处测得∠ABC为61°，两人之间的距离AB为60米，求此河流的宽度.(参考数据： sin 42°≈0.67，tan 42°≈0.90，sin 61°≈0.87，tan 61°≈1.80)解：如图，作CD⊥AB于点D，设河流的宽度CD为x米，在△ACD中，AD= ，在△BCD中，BD= ，∵AB=60，∟D∴AD＋BD= ＋ =60，解得x≈36，答：此河流的宽度约为36米.考向3 实物型(3年2考)9. (2024淮安23题)拉杆箱是外出旅行常用工具.某种拉杆箱的示意图如下图所示(滚轮忽略不计)，箱体截面是矩形BCDE，BC的长度为60 cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直线上.如图①，当拉杆伸出一节(AB)时，AC与地面夹角∠ACG=53°；如图②，当拉杆伸出两节(AM，MB)时，AC与地面夹角∠ACG=37°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同，求每节拉杆的长度.(参考数据： sin 53°≈ ， sin 37°≈ ，tan 53°≈ ，tan 37°≈ )解：如图①，过点A作AF⊥CG于点F，设每节拉杆长度为x，则AC=60＋x，∵在Rt△ACF中， sin ∠ACF= ，∴AF=(60＋x) sin 53°.∟F第9题解图②则AC=60＋2x，在Rt△ACH中，∵ sin ∠ACH = ，∴AH=(60＋2x) sin 37°，∵两种情况下把手A点到地面的高度相等，∴AF=AH，∴(60＋x) sin 53°=(60＋2x) sin 37°，如图②，过点A作AH⊥CG于点H，∟H解得x≈30，答：每节拉杆的长度约为30 cm. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第四单元 微专题 一线三等角模型.pptx 第四单元 微专题 手拉手模型.pptx 第四单元 微专题 遇到中点如何添加辅助线.pptx 第四单元 第18课时 线段、角、相交线与平行线.pptx 第四单元 第19课时 一般三角形及其性质.pptx 第四单元 第20课时 特殊三角形及其性质.pptx 第四单元 第21课时 全等三角形.pptx 第四单元 第22课时 相似三角形及其应用.pptx 第四单元 第23课时 解直角三角形及其应用.pptx
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