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17.3 一元二次方程根的判别式
第十七章 一元二次方程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
一元二次方程根的判别式
知1－讲
知识点
一元二次方程根的判别式
1
1. 定义一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)根的情况由b2-4ac 来确定. 我们把b2-4ac 叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ=b2-4ac.
知1－讲
特别提醒
确定根的判别式时，需先将方程化为一般形式，确定a，b，c后再计算；使用一元二次方程根的判别式的前提是二次项系数不为0.
知1－讲
2. 一元二次方程根的情况与根的判别式的关系
(1)Δ>0 方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)有两个不相等的实数根.
(2)Δ=0 方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)有两个相等的实数根.
(3)Δ<0 方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)没有实数根.
知1－练
用根的判别式判别下列方程根的情况：
(1)2x2＋3x－4=0； (2)16y2＋9=24y；
(3)5(x2+1) －7x=0.
例1
解题秘方：先计算根的判别式的值，再根据其正负性判断根的情况.
知1－练
解：∵ Δ=32－4×2×(－4) =41>0，
∴原方程有两个不相等的实数根 .
(1)2x2＋3x－4=0；
(2)16y2＋9=24y；
将原方程化为 16y2－24y+9=0.
∵ Δ=(－24) 2－4×16×9=0，
∴原方程有两个相等的实数根 .
知1－练
解：将原方程化为 5x2 － 7x+5=0.
∵ Δ= (－ 7) 2 － 4×5×5=49 － 100= － 51<0，
∴原方程无实数根 .
(3)5(x2+1) －7x=0.
知1－练
方法点拨
利用根的判别式判别一元二次方程根的情况的步骤：
(1)把所给的一元二次方程化为一般形式；
(2)确定 a， b， c 的值；
(3) 计算 b2－4ac的值；
(4) 根据 b2－4ac 的值与 0 的大小关系判别 .
知1－练
关于 x 的一元二次方程(a ＋ 2) x2－3x＋1=0 有实数根，则 a 的取值范围是( )
A. a ≤ 且 a ≠ －2 B. a ≤
C. a< 且 a ≠ －2 D. a<
例2
知1－练
解：∵关于 x 的一元二次方程
(a ＋ 2) x2 － 3x ＋ 1=0 有实数根，
∴ Δ ≥ 0 且 a ＋ 2 ≠ 0. ∴(－ 3) 2 － 4(a ＋ 2)×1 ≥ 0 且
a ＋ 2 ≠ 0，解得 a ≤ 且 a ≠ － 2．
答案：A
解题秘方：紧扣根的判别式与根的情况的关系进行解答 .
知1－练
特别提醒
应用 Δ 的前提是二次项系数不为 0.
当待求的字母出现在二次项系数中，而无法判定方程为一元二次方程时，就需要进行分类讨论 .
一元二次方程根的判别式
根的
情况
Δ=b2－4ac
根的判别式
Δ>0，有两个不相等
的实数根
Δ=0，有两个相等
的实数根
Δ<0，无实数根
有实
数根

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