资源简介

(共49张PPT)
人教版(新教材）数学七年级下册公开课精做课件
第7章 相交线与平行线
7.1.2 两条直线垂直
1.了解垂直、垂线的概念，掌握垂线的基本事实“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.
2.掌握垂线的性质“垂线段最短”，掌握点到直线的距离的概念，会度量点到直线的距离。
观察下面的图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？
你能再举出类似的实例吗？
知识点1 认识垂线和垂直
如图，固定木条a，转动木条b. 当b的位置变化时，a，b所成的∠α也会发生变化.
a
b
α
α
α
α
α
b
b
b
b
思考：当∠α=90°时，木条a，b所形成的其他三个角的度数是多少？
由对顶角和邻补角的性质可知，其他三个角的度数都是90°
文字表述：两条有斜率的直线互相垂直，当且仅当它们的斜率之积为-1。
幻灯片4 补充说明 特殊情况的垂直判定
注意：上述结论的前提是两条直线都存在斜率，平面中还有两类特殊的垂直直线，需要单独记忆：
1. 一条直线的斜率为0（水平直线，如$$y=3$$），另一条直线的斜率不存在（竖直直线，如$$x=2$$），此时两条直线互相垂直。
2. 总结：平面内两条直线垂直的完整判定
- 若两条直线都有斜率：$$l_1\perp l_2 \Leftrightarrow k_1\cdot k_2=-1$$
- 若一条直线斜率为0，另一条斜率不存在：两条直线垂直
幻灯片5 概念辨析 易错点强调
判断下列说法是否正确，加深理解：
1. 若两条直线的斜率之积为-1，则这两条直线一定垂直
2. 若两条直线垂直，则它们的斜率之积一定为-1 （反例：水平直线和竖直直线垂直，无此关系）
3. 若直线$$l_1$$斜率为2，直线$$l_2$$斜率为$$-\frac{1}{2}$$，则$$l_1\perp l_2$$
核心提醒：使用$$k_1\cdot k_2=-1$$判定垂直，必须先确认两条直线都有斜率。
幻灯片6 例题精讲 类型一：利用斜率判定两条直线是否垂直
例1：已知直线$$l_1:y=3x-1$$，$$l_2:y=-\frac{1}{3}x+2$$，判断$$l_1$$与$$l_2$$是否垂直。
解：由直线解析式可得，$$l_1$$的斜率$$k_1=3$$，$$l_2$$的斜率$$k_2=-\frac{1}{3}$$
计算斜率之积：$$k_1\cdot k_2 = 3\times(-\frac{1}{3}) = -1$$
根据垂直判定结论，可得：$$\boldsymbol{l_1\perp l_2}$$
例2：已知直线$$l_1:x=5$$，$$l_2:y=-2$$，判断两直线是否垂直。
解：直线$$l_1$$是竖直直线，斜率不存在；直线$$l_2$$是水平直线，斜率为0
根据特殊垂直判定，可得：$$\boldsymbol{l_1\perp l_2}$$
幻灯片7 例题精讲 类型二：利用垂直关系求直线的斜率/解析式
例3：已知直线$$l_1$$的斜率为$$k_1=-\frac{2}{3}$$，直线$$l_2$$与$$l_1$$垂直，求$$l_2$$的斜率$$k_2$$。
解：∵ $$l_1\perp l_2$$，且两条直线都有斜率
∴ $$k_1\cdot k_2 = -1$$，代入得：$$-\frac{2}{3} \cdot k_2 = -1$$
解得：$$\boldsymbol{k_2=\frac{3}{2}}$$
例4：求过点$$(2,1)$$，且与直线$$y=-2x+3$$垂直的直线的解析式。
解：步骤1：求所求直线的斜率
已知直线斜率$$k=-2$$，设所求直线斜率为$$k'$$，由垂直得：$$-2\cdot k'=-1 \Rightarrow k'=\frac{1}{2}$$
步骤2：用点斜式写解析式
过点$$(2,1)$$，斜率为$$\frac{1}{2}$$，则直线解析式为：$$y-1=\frac{1}{2}(x-2)$$，整理得$$\boldsymbol{y=\frac{1}{2}x}$$。
幻灯片8 课堂小结 梳理核心知识点
1. 核心定理：两条都有斜率的直线垂直 $$\boldsymbol{\Leftrightarrow}$$ 斜率之积为 $$\boldsymbol{-1}$$
2. 特殊情况：斜率为0的水平直线 斜率不存在的竖直直线，互相垂直
3. 解题思路：
- 判垂直：先看斜率是否存在，再算斜率之积
- 求斜率/解析式：由垂直关系列斜率等式，求解后代入点坐标计算
4. 数学思想：数形结合，将直线的位置关系转化为斜率的数量关系
幻灯片9 结束页
本节课重点：牢记两条直线垂直的斜率判定规律
核心公式：$$\boldsymbol{k_1\cdot k_2=-1}$$（两直线均有斜率）
课堂小结：垂直是相交的特殊形式，斜率的乘积关系是判断垂直的核心依据，掌握规律、规避易错点，就能熟练解决相关问题。
a
α
b
木条a与木条b垂直
一般地，当两条直线a，b相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说a与b相互垂直，记作“a⊥b”.
概念引入
概念引入
两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足.
记法：
AB⊥CD，垂足为 O.
A
B
C
D
O
两条直线垂直是相交的一种特殊情况.
画图时，通常在垂足处标上垂直符号“ ”
A
B
C
D
O
符号语言：
因为 ∠AOD＝90°，
所以 AB⊥CD.
反之，
因为 AB⊥CD，
所以 ∠AOD=90°.
思考：判断两条直线互相垂直的关键是什么？
只要找到两条直线相交形成的四个角中有一个角是直角.
垂线的定义具有双重作用：
①知线垂直得直角；
②知直角得线垂直.
①若 AB⊥CD，则∠AOD =∠AOC=∠BOC =∠BOD =90°；
②若∠AOD =90°，则 AB⊥CD.
A
B
C
D
O
练习1 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O.若∠1=54°，则∠2的度数为（ ）
A.26°
B.36°
C.44°
D.54°
分析：
EO⊥CD
∠COE=90°
∠1=54°
∠2=180°-∠1-∠COE
B
用三角尺画：
落：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合.
移：沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点.
画：沿已知点所在的直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线.
1
2
3
探究 用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线.
知识点2 垂线的基本事实（垂线的性质1）
l
A
1.落
2.移
3.画
1条
（1）经过直线上一点 A 画 l 的垂线，
这样的垂线能画几条？
l
B
1.落
2.移
3.画
1条
（2）经过直线外一点 B 画 l 的垂线，
这样的垂线能画几条？
l
A
用量角器画：
点 A 在直线 l 上
l
B
点 B 在直线 l 外
垂线的性质1
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
可以在已知直线上，也可以在已知直线外
“有”指存在，“只有”指唯一性
例2 如图，过点P画出射线AB或线段AB的垂线.
（1）
（2）
（3）
画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线.
知识点3 垂线的性质2——垂线段最短
思考
如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何让挖渠能使渠道最短？
实际问题
数学问题
如图，P点是直线l外一点，PO⊥l，垂足为O，称PO为点P到直线l的垂线段.
P
l
O
A是直线l上除点O外一点，连接PA，测量并比较线段PO与PA的长度，你能得出什么结论？
A
垂线的性质2
P
l
O
A
连接直线外一点与直线上各点的所有线段，垂线段最短.
简单说成：垂线段最短.
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.
线段 PO 的长度是点 P 到直线 l 的距离
垂线段只垂线上的一部分，它是线段，一端是一个点，另一端是垂足.
现在你知道该如何修建水渠了吗？
练习2 如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=4cm，BC=3cm，AB=5cm.
（1）点B到直线AC的距离是_____cm；
（2）点C到直线AB的距离是_____cm.
3
（1）连接直线外一点与直线上各点有无数条线段，但垂线段只有一条.
（2）垂线是一条直线，长度不可以度量，而垂线段是一条线段，长度可以度量.
（3）垂线段是几何图形，而点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，是一个数量.
特别提醒
垂线 垂线段 点到直线的距离
图示
区别
联系
垂线是一条直线
垂线段是一条线段
垂线段的长度，是一个数量
它们都与垂直有关
l
P
O
l
P
O
l
P
O
垂线、垂线段、点到直线的距离三者的区别和联系
随堂练习
【选自教材P6“练习”】
1.当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条直线有什么位置关系？为什么？
两条直线相交所成的四个角的和为360°，四个角相等，即每个角都等于90°，根据垂直的定义，这两条直线互相垂直.
2.如图，分别过点P画直线AB，CD的垂线，并量出点P到直线AB的距离.
A
C
B
D
P
O
线段PO的长度即为点P到直线AB的距离.
3.如图，在三角形ABC中，∠C=90°.
（1）分别指出点A到直线CB，点B到直线AC 的距离是哪些线段的长度；
（2）三条边 AB，AC，CB中哪条边最长？为什么？
A
C
B
（1）点A到直线BC的距离、点B到直线 AC的距离分别是线段AC，BC的长;
（2）根据“垂线段最短”，可知线段AB最长.
知识点1 垂直的定义
（第1题）
1.如图，已知，若 ，则 的度
数为( )
B
A. B. C. D.
（第2题）
2.如图，直线和相交于点， .若
，则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
3.如图，已知直线，相交于点 ，下列条件
中不能说明 的是( )
C
A.
B.
C.
D.
知识点2 垂线的画法
4.［教材探究变式］下列选项中，用三角尺过点画的垂线 ，画
法正确的是( )
C
A. B. C. D.
5.（4分）［教材例2变式］如图，已知和一点，过点 画
两边的垂线.
解：画图如图所示.
知识点3 垂线的基本事实
6.在同一平面内，经过直线外一点画 的垂线，能画出( )
A
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
（第7题）
7. 如图，王师傅为了检验门框 是否
垂直于地面，在门框的上端 处用细线悬挂一铅锤，
看门框是否与铅锤线重合.若门框 垂直于地面，
则会与重合，否则与 不重合.请你用所学
的数学知识说明道理：__________________________
___________________________.
在同一平面内，过一点有且
只有一条直线与已知直线垂直
知识点4 垂线段最短
（第8题）
8.如图，点到直线 的垂线段是( )
B
A.线段 B.线段 C.线段 D.线段
9.在跳远比赛中，某同学从点 处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示，
测量线段 的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短
距离），依据的数学原理是____________.
垂线段最短
（第9题）
知识点5 点到直线的距离
10.［教材P 6练习T 2变式］下列图形中线段的长度表示点到直线
的距离的是( )
C
A. B. C. D.
11.［教材P 6练习T 3变式］ 如图，已知点在直线上， ，
于点，连接，则点到 的距离是线段____的长度.
（第12题）
12.［教材P 6练习T 3变式］如图， 于点
，于点 ，下列关系式中一定成立的
是( )
C
A. B.
C. D.
13. 在直线上任取一点，过点作射线，，使 ，
当 时， 的度数是( )
D
A. B. C. 或 D. 或
（第14题）
14. 如图是光的反射定律示意图，
，， 分别是入射光线、反射光线和法线,
为反射面（提示：反射角和入射角分别是反射
光线和入射光线与法线的夹角，且反射角等于入
射角，法线垂直于反射面）.若 ，
则 的度数为_____.
15.（8分）［教材 思考变式］如图，平原
上有，，， 四个村庄，为解决当地缺
水问题，政府准备投资修建一个蓄水池.
（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池
的位置，使它到四个村庄的距离之和最小；
解：如图，点 即为蓄水池的位置.
（2）计划把河水引入蓄水池 中，怎样开渠最短？画图并说明理由.
解：如图， 即为所求.理由如下：连接直线外一点与直线上各点的所
有线段中，垂线段最短.
16.（8分）如图，已知直线,， 相交于点
，,且平分， .
（1）求 的度数；
解：因为,相交于点 ,
所以 .
因为,所以 ,
即 ,
所以 .
（2）是 的平分线吗？说明你的理由.
解：是 的平分线,理由如下:
因为是 的平分线,
所以 .
又因为 ,
所以 ,
所以 ,
所以是 的平分线.
17.（12分） 按如图的方法折纸，然后回答问题：
（1）与 垂直吗？为什么？
解： .理由如下：
由折叠可知 .
又因为 ，
所以 ，
即 .所以 .
（2）与 有何关系？
解：由（1）知 ，
故与 互余.
（3）与，与 分别有何关系？
解：与互补，与 互补.
1.垂直的定义：一般地，当两条直线a，b相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说a与b相互垂直，记作“a⊥b”.
2.垂线的定义：两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足.
3.垂线的画法：用三角尺和量角器画已知直线的垂线.
4.垂线的性质
（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
（2）垂线段最短.
5.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑