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(共45张PPT)
人教版(新教材）数学七年级下册公开课精做课件
第7章 相交线与平行线
8.1 平方根-第1课时 平方根
5 + 6 =11
11- 6 = 5
11- 5 = 6
5 × 6 = 30
30÷6 = 5
30÷5 = 6
新课导入
52 = 25
互为逆运算
互为逆运算
25 = ( )2
逆运算
8.1 平方根-第1课时 教学过程幻灯片内容
第1页：情境导入
问题1：学校要新建一个正方形花坛，面积为25平方米，这个花坛的边长是多少？
问题2：若正方形花坛面积为16平方米、9平方米、1平方米，边长又分别是多少？
引导学生思考：已知正方形面积求边长，本质是找一个数，使其平方等于已知面积。引出课题——平方根。
第2页：探究新知（一）平方根的定义
观察：因为5 =25，(-5) =25，所以把5和-5叫做25的平方根；同理，4 =16，(-4) =16，4和-4是16的平方根。
定义：一般地，如果一个数x的平方等于a（x =a），那么这个数x叫做a的平方根（也叫二次方根）。
强调：a是被开方数，且a≥0（因为任何数的平方都非负）。
第3页：探究新知（二）平方根的性质
思考：1. 正数有几个平方根？它们的关系是什么？2. 0的平方根是多少？3. 负数有平方根吗？
总结性质：1. 正数有两个平方根，它们互为相反数；2. 0的平方根是0；3. 负数没有平方根。
第4页：探究新知（三）平方根的表示方法
正数a的两个平方根，一个记为√a，另一个记为-√a，合称±√a（读作“正、负根号a”）。
举例：25的平方根是±5，即±√25=±5；0的平方根记为√0=0。
第5页：巩固练习
1. 求下列各数的平方根：（1）100 （2）0.09 （3）4/9 （4）0
2. 判断对错：（1）-9的平方根是-3（ ）（2）1的平方根是1（ ）（3）√16=±4（ ）
第6页：课堂小结
1. 平方根的定义：x =a，则x是a的平方根；2. 平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数无平方根；3. 平方根的表示方法：正数a的平方根为±√a。
我们知道，已知一个数，通过平方运算可以求这个数的平方。反过来，如果已知一个数的平方，那么怎样求这个数呢？
思考
如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少？
探究新知
探究点1 平方根的概念和计算
如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少？
32 = 9，这个数可以是3；
(-3)2 = 9，这个数也可以是 -3。
除了3以外，还有没有别的数的平方等a于9呢？
因此，如果一个数的平方等于9，那么这个数是可以是 3或-3。
如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少？
32 = 9，这个数可以是3；
(-3)2 = 9，这个数也可以是 -3。
想一想： 3 和 -3有什么特征？
互为相反数，3和-3一起叫做±3.
3 和 -3互为相反数，是不是巧合呢？
根据以上发现，尝试填写表格。
x2 1 16 36 49
x
±1
±4
±6
±7
如果我们把上述填表的 x 的值分别叫做1，16，36，49， 的平方根，你能据此总结平方根的概念吗？
一般地，如果一个数x的平方等于a，即 x2 = a，那么这个数 x 叫作a的平方根或二次方根。
x2 1 16 36 49
x
±1
±4
±6
±7
x2=a
x叫作a的平方根
(±3)2 =9
±3是9的平方根
求一个数的平方根的运算，叫作开平方。
观察下面数字并连一连，看看你有什么发现？
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
+1
-1
+2
-2
+3
-3
平方
开平方
互为逆运算
根据互逆关系，可以求一个数的平方根。
归纳小结
如果一个数x的平方等于a，即 x2 = a，那么这个数 x 叫做a的平方根或二次方根。
求一个数的平方根的运算，叫做开平方。
平方与开平方互为逆运算。
平方
开平方
互为逆运算
例1 求下列各数的平方根：
(1) 64;
(3) 0.01;
解：
(1) 因为(±8)2=64，所以64的平方根是±8。
(3) 因为(±0.1)2=0.01，所以0.01的平方根是±0.1。
(2) 因为 ，所以 的平方根是 。
问题1：正数的平方根有什么特点？
正数有两个平方根，它们互为相反数。
a 0 0.01 0.25 1 4 9 ···
a的平方根
0
±0.1
±0.5
±1
±2
±3
···
探究点2 平方根的特征与表示方法
思考
问题2：0的平方根是多少？它有几个平方根？为什么？
0的平方根是0，并且只有1个平方根。 因为02=0，并且任何一个不为 0 的数的平方都不等于 0，所以 0 的平方根是 0.
a 0 0.01 0.25 1 4 9 ···
a的平方根 ···
0
±0.1
±0.5
±1
±2
±3
问题3：-1，-2，-3，-4这些数有没有平方根呢？为什么？
没有。正数的平方是正数，负数的平方也是正数，0 的平方是 0。即在我们所认识的数中，任何一个数的平方都不是负数。所以负数没有平方根.
a 0 0.01 0.25 1 4 9 ···
a的平方根 ···
0
±0.1
±0.5
±1
±2
±3
思考
总结
正数有两个平方根，它们互为相反数。
0的平方根是0。
负数没有平方根。
想一想：如何表示一个正数的平方根呢？
正数 a
正平方根记为：
负平方根记为：
被开方数
读作“正、负根号 a ”.
即正数 a 的平方根表示为：
0的平方根记为 。
例如： 表
示9的平方根，
思考：什么数有平方根？为什么？
只有非负数才有平方根。
即当__________时， 有意义；
当__________时， 无意义。
a ≥ 0
a < 0
例2 下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由
(1) 0.36;
(2) -5;
(3) (-4)2.
解：
(1)因为0.36是正数，所以0.36有两个平方根。
(2)因为-5是负数，所以-5没有平方根。
(3) 因为(-4)2 =16是正数，所以(-4)2有两个平方根。
练习
1.判断题。
(1) 1的平方根是1；
(2) -1的平方根是-1；
(3) 0.5是0.25的一个平方根；
(4) 0的平方根是0；
解：
(1) 错，因为1是正数，所以1有两个平方根，是±1。
(2) 错，因为-1是负数，所以-1没有平方根。
(3) 对，因为(0.5)2=0.25，所以0.5是0.25的一个平方根。
(4) 对。
【教材P41 练习第1题】
2.求下列各数的平方根：
(2) 62
(3) 0.49
解：
(2) 因为62=36 ，(±6)2=36，所以62的平方根是±6。
(1) 因为 ，所以 的平方根是 。
(3) 因为(±0.7)2=0.49，所以0.49的平方根是±0.7。
【教材P42 练习第2题】
3.求下列各式中x的值：
(1) x2 = 25；
(2) 9x2 = 4；
(3) (x-1) 2 = 1；
解：
(1) 因为(±5) 2 = 25 ，所以x =±5。
(2) 9x2 = 4 可化简为 ，又因为 ，所以 。
(3) 因为(x-1) 2 = 1，则 x-1=±1，所以x = 0 或 x = 2。
【教材P42 练习第3题】
知识点1 平方根的定义及开平方
1.因为 ，所以81的平方根是____.
2.“的平方根是 ”用式子表示为( )
B
A. B. C. D.
3.若的平方等于5，则 等于( )
C
A. B.25 C. D.
4.下列说法不正确的是( )
C
A.6是36的平方根 B. 是36的平方根
C.36的平方根是6 D.36的平方根是
5.（16分）求下列各数的平方根：
（1）121；
解：因为 ，
所以121的平方根是 .
（2） ；
解：因为 ，
所以的平方根是 .
（3） ；
解：因为 ，
所以的平方根是 .
（4） .
解：因为 ，
所以的平方根是 .
6.（16分）求下列各式中 的值：
（1） ;
解： .
（2） ;
解：，， .
（3） ；
解：，， .
（4） .
解：,,，或 .
知识点2 平方根的性质
7.（1）若一个正数的一个平方根为 ，则它的另一个平方根为______;
（2）若一个正数的两个平方根分别为,，则___, ____.
0
8.下列数中没有平方根的是( )
D
A.0 B.2 C. D.
9.下列说法正确的是( )
D
A.任何非负数都有两个平方根 B.一个正数的平方根仍然是正数
C.只有正数才有平方根 D.负数没有平方根
10.若一个数的平方根等于它本身，则这个数是( )
A
A.0 B.1 C. D.4
11.（16分）［教材 例2变式］下列各数有没有平方根？如果有，求出
它的平方根；如果没有，说明理由.
（1）0.25；
解：因为0.25是正数，
所以0.25有两个平方根，
.
（2） ;
解：因为 是正数，
所以有两个平方根， .
（3） ；
解：因为 是正数，
所以 有两个平方根，
.
（4） .
解：因为 是负数，
所以 没有平方根.
12. 的平方根是( )
A
A. B. C. D.9
13.下列各数中,一定没有平方根的是( )
D
A. B. C. D.
14.下列说法中正确的是( )
B
A.是的平方根 B.的平方根是
C.0和1的平方根等于本身 D.非负数 的平方根是非负数
15.已知和7是正数的两个平方根，则 的值是( )
D
A.3 B.49 C.4 D.
16.若是的平方根，的一个平方根是2，则 的值为( )
C
A.0 B.8 C.0或8 D.0或
17.（8分）求下列各式中 的值：
（1） ;
解： ，
或 ，
或 .
（2） .
解：， ，
或 ，
或 .
18.（8分）已知的平方根为，的平方根为 ，求
的平方根.
解：的平方根为，的平方根为， ,
，解得，， ，
的平方根为 .
19.（8分）若有平方根，且满足，求 的平方根.
解： ，
或 ，
解得或 .
当时， ,不符合题意.
当时， ,符合题意.
，
,
即的平方根是 .
20.（8分）
（1）一个非负数的平方根是和 ，这个非负数是多少
解：根据题意,得，解得 .
这个非负数是 .
（2）已知和都是同一个数的平方根，求 的值.
解：分以下两种情况:,解得 ;
,解得 .
综上，或 .
课堂小结
平方根
概念：如果一个数x的平方等于a，即 x2 = a，那么这个数 x 叫做a的平方根或二次方根。
表示方法：正数a的平方根记为：
性质
正数有两个平方根，它们互为相反数
0的平方根是0
负数没有平方根
开平方：求一个数的平方根的运算。
平方与开平方互为逆运算
谢谢观看！

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