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人教版(新教材）数学七年级下册公开课精做课件
第7章 相交线与平行线
8.3.1实数的概念及分类
复习导入
________和________统称为有理数.
整数
分数
有理数
整数
分数
正整数
0
负整数
正分数
负分数
思考： 这样的无限不循环小数，它们是有理数吗？
8.3.1 实数的概念及分类 教学过程幻灯片内容
幻灯片1：情境引入——回顾旧知，引发思考
1. 回顾：我们已学过哪些数？（整数、分数，统称有理数）有理数可以怎样表示？（整数和分数都可以化为有限小数或无限循环小数）
2. 提问：边长为1的正方形，其对角线长度是多少？（√2）√2是有理数吗？（引导学生发现√2是无限不循环小数，无法化为整数或分数）
幻灯片2：核心概念——实数的定义
1. 定义：有理数和无理数统称为实数。即实数包括有理数（有限小数或无限循环小数）和无理数（无限不循环小数）。
2. 实例辨析：下列数中哪些是实数？哪些是无理数？（3.14、π、-5、1/3、√3）（明确：均为实数；π、√3是无理数，其余是有理数）
幻灯片3：探究新知——实数的分类（一）
按定义分类：
实数 有理数（有限小数或无限循环小数） 整数（正整数、0、负整数）分数（正分数、负分数） 无理数（无限不循环小数，如π、√2、√3等）
幻灯片4：探究新知——实数的分类（二）
按性质符号分类：
实数 正实数 正有理数（正整数、正分数）正无理数（如√2、π等） 0 负实数 负有理数（负整数、负分数）负无理数（如-√3、-π等）
幻灯片5：巩固练习——分类应用
把下列各数填入相应的集合内：-3、0、√5、3.1415、1/6、-√2、π/2
1. 有理数集合：{ } 2. 无理数集合：{ } 3. 正实数集合：{ } 4. 负实数集合：{ }（师生共同分析，强调无理数的判断关键是“无限不循环”）
幻灯片6：课堂小结
1. 核心概念：实数是有理数和无理数的统称，无理数是无限不循环小数。
2. 两种分类：按定义分为有理数和无理数；按性质符号分为正实数、0、负实数。
问题1 把下列有理数写成小数的形式，你发现了什么？
新课探究
探究点1 实数的概念及分类
整数可以写成小数点后为0的小数。
它们都可以化成有限小数或无限循环小数的形式.
发 现
有理数
整数
分数
有限小数或无限循环小数
任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。
任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
想一想：所有的数都可以写成有限小数和无线循环小数的形式吗？
它们都是无限不循环小数
无理数
无理数
正无理数
负无理数
无理数是不能写成两个整数之比(分数)的数，它和有理数一样，都是现实世界中客观存在的量的反映.
有理数与无理数的区别：
有理数 无理数
是有限小数或无限循环小数
是无限不循环小数
都能写成分数的形式（正数可以看成分母是1的分数）
不能写成分数的形式
(1)开方开不尽的数，如 ， 等；
(2) π及化简后含有π的式子，如π，2-π等；
(3)有规律但不循环的小数，如1.212212 221…（相邻的两个1之间依次多一个2）等；
(4)有理数和无理数的和、差，如 ， 等；
常见的无理数有哪些：
溯源
我国古人对无理数已经有了很多认识。《九章算术》中用“面”来表示开平方开不尽的数。
刘徽在其著作《九章算术注》中，不仅记录了包含无理数运算的问题，而且给了用有限小数无线逼近无理数的算法“求微数法”。
有理数
整数
自然数
负数
分数
无理数
实数
有理数和无理数统称实数
思考：
仿照有理数的分类，你能对实数进行分类吗？
按概念分
按大小分
实数
有理数
无理数
正有理数
0
负有理数
正无理数
负无理数
有限小数或无限循环小数
无限不循环小数
按概念分
负实数
正实数
数实
正有理数
负有理数
0
正无理数
负无理数
按大小分
实数分类的原则：
分类可以有不同的方法，但要按同一标准，不重复不遗漏。
典例精析
将下列各数填入相应的括号内
有理数集合：
无理数集合：
整数集合：
分数集合：
正实数集合：
负实数集合：
…
…
…
…
…
…
我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢
你能在数轴上画出 吗？
0
2
1
3
-1
-2
正无理数a
a个单位长度
负无理数
- b(b>0)
b个单位长度
探究点2 实数与数轴上的点的对应关系
以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于π。如图，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的点由原点O到达点 O'。点O' 对应的数是多少？
1
3
2
4
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
O'
O
从图中我们可以看出OO'的长就是这个圆的周长π，所以对应点O' 对应的数就是π，数轴上的点O'就表示无理数π。
几何画板
以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点就表示 ，与负半轴的交点就表示 。(为什么？)
-1
-2
0
2
1
3
每一个实数都可以用数轴上的_________来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个_______．
实数
实数
数轴上的点
一一对应
-1
-2
0
2
1
3
4
一个点
探究点3 实数的大小比较
-1
-2
0
2
1
3
-3
4
(1) 回想一下，在数轴上如何比较两个有理数的大小？
(2) 猜想一下， 和 谁比较大？为什么
数轴上右边的数比左边的数大.
大， 在数轴上对应的点在原点的右边，而 在数轴上对应的点在原点的左侧。
你还有其他方法比较这几个实数的大小吗？
对数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.
负实数 ＜ 零 ＜ 正实数
比较下面几个实数的大小，并用“<”连接：
解：取近似值进行比较
所以
-3 < -1.732 < 2 < 2.236 < 3.142
即
比较实数大小的常用方法：
（1）利用法则比较大小；
（2）利用估算（取近似值，估算范围）比较大小；
（3）利用平方法比较大小；
（4）利用数轴比较大小；
（5）利用作差法比较大小.
总结
比较大小：
＞
＜
对应训练
典例精析
如图
-2
-3
-1
1
0
2
-4
(1) 在数轴上标出-π， ， 所对应点的大致位置。
(2) 根据数轴比较 -π， ， 的大小。
右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。
练习
1.判断题。
(1) 无限小数都是无理数；
【教材P54 练习第1题】
(2) 无理数都是无限小数；
(3) 用根号表示的数都是无理数；
(4) 所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示有理数；
(5)所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数。
×
无限循环小数是有理数
√
×
是有理数
×
数轴上的点表示有理数或无理数。
√
2.在0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的平方根与立方根中，哪些是有理数？哪些是无理数？
【教材P54 练习第2题】
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
平方根
立方根
0
±1
0
1
有理数
无理数
0
±1
±2
±3
3.把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小(用“<”连接)：
【教材P54 练习第3题】
-2
-3
-1
1
0
2
-4
知识点1 无理数的定义
1.下列各数中，是无理数的是( )
D
A. B.3.14 C.0 D.
2.[广州中考] 下列四个选项中，是负无理数的是( )
A
A. B. C.0 D.3
3.下列说法正确的是( )
D
A.无限小数是无理数
B.有根号的数是无理数
C.无理数是含根号且开方开不尽的数
D.无限不循环小数是无理数
4.下列各数：，，，0，，，
（相邻的两个1之间依次多一个0），其中不能写成两个整数之比的有___
个.
3
知识点2 实数的定义及分类
5.下列说法正确的是( )
D
A.正实数和负实数统称实数 B.正数、0和负数统称有理数
C.带根号的数和分数统称实数 D.无理数和有理数统称实数
6.把下列各数的序号填在相应的横线上.
，，，，，
（相邻的两个2之间依次多一个1）， .
有理数：__________；
无理数：________；
正实数：__________；
负实数：________.
②④⑤⑦
①③⑥
①⑤⑥⑦
②③④
知识点3 实数与数轴的关系
7.与数轴上的点是一一对应关系的是( )
D
A.自然数 B.有理数 C.无理数 D.实数
8.如图，数轴上表示 的点是( )
C
A.点 B.点 C.点 D.点
9.[唐山期中] 如图，正方形的面积为3，顶点在数轴上，且点
表示的数为2，数轴上有一点在点的左侧，若，则点 表示
的数为________.
知识点4 实数的大小比较
10.[湖南中考] 下列四个数中，最大的数是( )
A
A.3.5 B. C.0 D.
11.下列四个数中，比 小的数是( )
C
A.1 B.0 C. D.
12. 请写出一个比 小的无理数：__________________.
（答案不唯一）
13.（4分）［教材P 54 练习T3变式］把下列实数表示在数轴上，并将它
们用“ ”连接起来：
，，，0， .
解：如图.
用“ ”连接为 .
14. 下列说法正确的是( )
D
A.是分数 B. 是无理数
C.是有理数 D. 是有理数
15.［教材 思考变式］[南充中考] 如图，把直径为1个单位长度的圆
从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点 对应的数是2，则
滚动前点 对应的数是( )
D
A. B. C. D.
16.如图，在数轴上点和点 之间的整数是( )
B
A.1和2 B.2和3 C.3和4 D.4和5
17.按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是64，则输出的 的值
是____.
课堂小结
实数
概念
分类
实数的大小比较
实数与数轴上的点一一对应
无限不循环小数又叫做无理数.有理数和无理数统称实数
有理数
无理数
正有理数
负有理数
正无理数
负无理数
有限小数或无线循环小数
无限不循环小数
0
开方开不尽的数
π
有规律不循环的数
谢谢观看！

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