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人教版(新教材）数学七年级下册公开课精做课件
第7章 相交线与平行线
8.3.2实数的简单运算
复习导入
2.有理数的运算顺序是怎样的？
1.对于有理数 a，它的相反数和绝对值分别是什么
有理数 a 的相反数是 -a
|a| =
a
当a > 0 时；
0
当a = 0 时；
-a
当a < 0 时
(1) 先乘方，再乘除，最后加减；
(2) 同级运算，从左到右进行；
(3) 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
实数的简单运算 教学过程幻灯片内容
幻灯片1：复习铺垫——衔接旧知
1. 回顾：实数包括哪些数？（有理数和无理数）
2. 提问：有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则还记得吗？（引导学生简要回顾，如加法交换律、结合律等）
3. 过渡：有理数的运算法则和运算律，对实数是否同样适用？今天我们就学习实数的简单运算。
幻灯片2：核心法则——实数运算的性质
1. 关键结论：有理数的运算法则、运算律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）在实数范围内仍然成立。
2. 特别提醒：实数运算中，涉及无理数时，通常先将其化为近似小数（保留合适位数），再进行计算；也可根据情况保留根号形式。
幻灯片3：实例演示——基础运算（一）
例1：计算下列各式（结果保留两位小数）
（1）√2 + 3.14 （2）π - 2.5 （3）√3 × 4
解析：（1）√2≈1.414，1.414+3.14≈4.55；（2）π≈3.142，3.142-2.5≈0.64；（3）√3≈1.732，1.732×4≈6.93（师生共同分步计算，强调近似值的保留标准）
幻灯片4：实例演示——基础运算（二）
例2：计算下列各式（保留根号形式）
（1）2√5 + 3√5 （2）√6 - 2√6 （3）3√2 × 2√3
解析：（1）同类二次根式可合并，2√5 + 3√5 = (2+3)√5 = 5√5；（2）√6 - 2√6 = (1-2)√6 = -√6；（3）系数相乘，根号部分相乘，3√2×2√3 = (3×2)×√(2×3) = 6√6（强调同类二次根式合并规则和根式乘法法则）
幻灯片5：巩固练习——实战应用
计算下列各式（1-2题保留两位小数，3-4题保留根号）
1. √7 - 1.2 2. 2π + 3.5 3. 4√3 - √3 4. 2√2 × 3√5（学生自主计算，师生共同订正，强化运算要点）
幻灯片6：课堂小结
1. 实数运算可沿用有理数的运算法则和运算律；
2. 无理数运算两种形式：近似小数计算（注意保留位数）、保留根号计算（同类根式可合并，根式乘法按规则计算）。
新课探究
(1) 的相反数是_______；-π的相反数是_______；
0的相反数是_______。
(2) =_______；|-π|=_______； |0|=_______。
0
0
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适用于实数。
填空，并说说你有什么发现？
探究点1 实数的相反数与绝对值
你能得出实数的相反数和绝对值的意义吗？
a 是一个实数，它的相反数为________，绝对值为_______。
一个正实数的绝对值是它本身；
一个负实数的绝对值是它的相反数；
0 的绝对值是 0。
|a| =
a，
当a > 0 时；
0，
当a = 0 时；
-a，
当a < 0 时
-a
a
一个实数的绝对值就是它在数轴上的对应点与原点的距离。
例1 (1)分别写出 的相反数；
(2)指出 分别是什么数的相反数；
解：
(1)因为
所以 的相反数为 。
(2)因为
所以 分别是 的相反数。
例1
(3)求 的绝对值；
(4)已知一个数的绝对值是 ，求这个数；
解：
(3) 因为
所以
(4) 因为
所以绝对值为 的数是 或 。
针对训练
填 表：
实数
相反数
绝对值
2
2
探究点2 实数的运算与近似计算
实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算。
在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
随着数的范围进一步扩充，负数也将可以进行开方运算。
1. 实数的简单运算
设 a，b，c 是任意实数，则
(1) a + b = （加法交换律）；
(2) (a + b) + c = （加法结合律）；
(3) a + 0 = 0 + a = ；
(4) a + (-a) = (-a) + a = ；
(5) ab = （乘法交换律）；
(6) (ab)c = （乘法结合律）；
b + a
a + (b + c)
a
0
ba
a(bc)
(7) a(b + c) = （乘法对于加法的分配律），
(b + c)a = （乘法对于加法的分配律）；
(8) 实数的减法运算规定为 a - b = a + ；
(9) 对于每一个非零实数 a，存在一个实数 b，满足 a · b = b · a = 1，我们把 b 叫作 a 的＿＿＿；
(10) 实数的除法运算（除数 b≠0），规定为 a÷b=a · ；
(11) 实数有一条重要性质：如果 a≠0，b≠0，那么 ab＿＿0.
ab + ac
ba + ca
(-b)
倒数
≠
(1) 先乘方、开方，再算乘除最后加减；
(2)同级运算，从左到右进行；
(3) 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
实数的运算顺序
例2 计算
解：
解：
(加法结合律)
(分配律)
针对训练
计算
解：
解：
2. 实数的近似计算
在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计算结果的近似值时，一般先用近似有限小数(例如，比计算结果要求的精确度多取一位)去代替无理数，再进行计算，最后对计算结果四舍五入。
例3 计算 (结果保留小数点后两位)：
解：
在近似计算时，计算过程中有时也使用“去尾法”，即用近似有限小数去代替无理数时，直接舍去要保留数位的下一位数字，最后对计算结果四舍五入。
练习
1.求下列各数的相反数与绝对值：
【教材P56 练习第1题】
解：
相反数
绝对值
2.计算：
解：
解：
【教材P56 练习第2题】
3.计算 (结果保留小数点后两位)：
【教材P56 练习第3题】
解：
解：
1.在下列各数中，哪些是有理数 哪些是无理数
解：
复习巩固
有理数：
无理数：
2.把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小(用“<”连接)：
解：
0
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
3.求下列各数的绝对值：
解：
4.计算(结果保留小数点后两位)：
解：
5.计算：
解：
综合运用
6. (1) 有没有最小的正整数？有没有最小的整数？
(2) 有没有最小的有理数？有没有最小的无理数？
(3) 有没有最小的正实数？有没有最小的实数？
解：
(1) 有最小的正整数1，没有最小的整数。
(2) 没有最小的有理数，没有最小的无理数。
(3) 没有最小的正实数，没有最小的实数。
7.写出所有符合下列条件的数：
(1) 小于 的所有正整数；
(2) 大于 且小于 的所有整数；
(3) 绝对值小于 的所有整数；
解：
(1) 小于 的所有正整数：
6、5、4、3、2、1
(2) 大于 且小于 的所有整数：
-3、-2、-1、0、1、2、3
(3) 绝对值小于 的所有整数：
-2、-1、0、1、2
8.如图，长方形内两个正方形的面积分别为3 cm2，1 cm2。
(1) 求长方形的周长；
(2) 求图中两块阴影部分的面积和。
3cm2
1cm2
解：
(1) 设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b。
由题意得
a2=3
b2=1
由边长的实际意义，解得
长方形周长为
答：长方形的周长为
a
b
8.如图，长方形内两个正方形的面积分别为3 cm2，1 cm2。
(1) 求长方形的周长；
(2) 求图中两块阴影部分的面积和。
3cm2
1cm2
解：
a
b
(2)由(1) 得 ,
两块阴影部分的面积和为
答：图中两块阴影部分的面积和为
拓广探索
9.已知数 0.101 001 000 100 001···，它的特点是：从左向右看，相邻的两个1之间依次多一个0。这个数是有理数还是无理数？为什么？
答:这个数是无理数，因为从它的特点看，它是一个无限不循环小数。
知识点1 实数的相反数、绝对值
1. 的相反数是( )
A
A. B. C. D.
2. 的绝对值为( )
C
A. B. C. D.
3. 的相反数为___,绝对值为___.
4
4
4.如图，在数轴上，点表示，点与点 位于原点的两侧，且与原点
的距离相等，则点 表示的数是______.
5.数轴上与原点的距离等于 个单位长度的点表示的数是______.
6.（16分）［教材 例1变式］ 求下列各数的相反数和绝对值.
（1） ；
解：的相反数是，的绝对值是 .
（2） ；
解：的相反数是，的绝对值是 .
（3） ；
解：的相反数是，的绝对值是 .
（4） .
解：，的相反数是 ， 的绝对值是
.
知识点2 实数的运算
7.计算 的结果是( )
A
A.3 B.7 C. D.
8.下列计算正确的是( )
C
A. B.
C. D.
9.（24分）计算：
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
（3） ；
解： .
（4） ；
解： .
（5） ；
解： .
（6） .
解：
.
知识点3 实数的近似计算
10.用计算器计算精确到
（1） _____;
（2） _____;
（3） _____.
8.46
0.91
1.55
11.下列各组数中，互为相反数的一组是( )
C
A.与 B.与
C.与 D.与
12.在，，， 中，绝对值最小的数是( )
C
A.4.1 B. C. D.
13.下列四个命题，正确的有( )
①有理数与无理数之和是有理数；
②有理数与无理数之和是无理数；
③无理数与无理数之和是无理数；
④无理数与无理数之积是无理数.
A
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
14.若取，计算 的结果约是( )
B
A. B. C.144.2 D.
15.［教材习题变式］大于 的所有负整数是___________.
,,
16.如图，数轴上，两点对应的实数分别是1和，若点是 的中
点，则点 所对应的实数为_________.
17.（8分）计算：
（1） ;
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
18.（8分）［教材习题 变式］如图，将长方形
分成四个区域，其中， 两个正方形区域的面积分
别是3和9.
（1）求长方形的周长；
解： 正方形和正方形的面积分别为3和9， 正方形和正方形 的
边长分别是和 长方形的长为，宽为3， 长方形的周长为
.
（2）求图中阴影部分的面积.
解： .
19.（8分）
（1）定义新运算：对于任意实数，，都有 ，
如：.求 的值;
解： .
（2）请你定义一种新运算，使得实数和 在你定义的新运算下
结果为20，写出你定义的新运算，并写出计算过程.
解：定义： （答案不唯一），
.
课堂小结
实数的简单运算
相反数
运算
绝对值
因为a与b互为相反数，所以a+b=0
字母
表示
|a| =
当a > 0 时；
0
当a = 0 时；
-a
当a < 0 时
a
适用有理数的运算法则及相应性质
求实数的近似值
用近似的有限小数代替无理数，再计算
谢谢观看！

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