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人教版(新教材）数学七年级下册公开课精做课件
第十章 二元一次方程组
10.2.1.2用代入消元法解稍复杂的二元一次方程组
复习导入
1.什么是二元一次方程组？
方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组.
2.
y =3x ，
2x-y = 9，
①
x+5y = 8，
2x-y = 5，
②
2x+7y = 11，
3x-4y = 6
③
是二元一次方程组吗？①②和③有什么不同？
都是二元一次方程组.①②的两个方程中有一个未知数的系数是1或-1，而③没有.
用代入消元法解稍复杂的二元一次方程组 教学过程幻灯片
第1页：旧知回顾 导入新课
1. 提问回顾：上节课学习的代入消元法核心步骤是什么？（学生回答：变形→代入→求解→回代→检验）
2. 小练习：解方程组$\begin{cases}x + 2y = 5 \\ 3x - y = 1\end{cases}$，引导学生思考：选择变形哪个方程？为什么？（明确优先选系数为±1的未知数，简化计算）
3. 新课导入：展示方程组$\begin{cases}2x + 3y = 10 \\ 4x - 5y = 6\end{cases}$，提问：此方程组未知数系数均不为±1，还能用代入消元法吗？引出课题。
第2页：探究新知 例题讲解
例：用代入法解$\begin{cases}2x + 3y = 10 ① \\ 4x - 5y = 6 ②\end{cases}$
1. 探究变形策略：引导学生讨论，选择系数绝对值较小的方程变形（选①变形x），理由：减少分数运算。
2. 步骤演示：① 变形：由①得$2x = 10 - 3y$，即$x = \frac{10 - 3y}{2}$ ③；② 代入：将③代入②，得$4×\frac{10 - 3y}{2} - 5y = 6$，化简为$2(10 - 3y) - 5y = 6$；③ 求解：20 - 6y - 5y = 6，解得$y = \frac{14}{11}$；④ 回代：将$y = \frac{14}{11}$代入③，得$x = \frac{34}{11}$；⑤ 检验：代入原方程组验证左右两边相等。
第3页：巩固应用 变式训练
1. 对应训练：解方程组$\begin{cases}3x + 4y = 16 ① \\ 5x - 6y = 33 ②\end{cases}$，学生独立完成，教师巡视指导。
2. 易错点强调：变形时注意等式性质，代入时需加括号，计算后必检验。
3. 小组讨论：若先消去x，该如何变形？对比不同解法，总结最优策略。
第4页：课堂总结 核心梳理
1. 核心技巧：解稍复杂方程组，优先选系数绝对值较小的方程变形，实现“二元转一元”。
2. 步骤回顾：变形（选优）→代入（消元）→求解→回代→检验。
3. 思想提炼：深化“消元”思想，体会化未知为已知的转化思想。
3.如何用代入法解方程组①② 试着做一做.
y =3x ，
2x-y = 9，
①
x+5y = 8，
2x-y = 5，
②
2x+7y = 11，
3x-4y = 6
③
解方程组①，得
x = -9，
y = -27.
解方程组②，得
x = 3，
y = 1.
方程组③也可以用代入法求解
探索新知
例3 用代入法解方程组
2x-5y = -11，
9x+7y = 39.
所以这个方程组的解是
x = 3，
y = 2.
把 y = 3 代入③，得 x = 2.
把③代入②，得 9( y - )+7y = 39.
解：由①，得 x = y - . ③
解这个方程，得 y = 3.
①
②
方程①中x的系数的绝对值较小，可以考虑在方程①中用含y的式子表示x，再代入方程②.
解这个方程组时，可以先消去y吗？试试看.
2x-5y = -11，
9x+7y = 39.
2x-5y = -11，
9x+7y = 39.
所以这个方程组的解是
x = 2，
y = 3.
把 x = 2 代入③，得 y = 3.
把③代入②，得 9x + 7( x + ) = 39.
解：由①，得 y = x + . ③
解这个方程，得 x = 2.
①
②
用代入法解二元一次方程组时变形的式子的选择技巧:
① 当方程组中含有用一个未知数表示另一个未知数的关系式时，直接代入；
② 当方程组中有未知数的系数为1或-1时，选择含有系数为1或-1的方程进行变形；
③ 当未知数的系数都不是1或-1时，一般选择未知数系数的绝对值较小的方程进行变形.
1.用代入法解下列方程组：
【选自教材P95 练习第1题】
4x-3y=-2，
5x+4y=13.
（1）
3m+2n=17 ，
2m-3n+6=0.
（2）
①
②
所以这个方程组的解是
x = 1，
y = 2.
把 x = 1 代入③，得 y = 2.
把③代入②，得 5x + 4( x + ) = 13.
解：(1) 由①，得 y = x + . ③
解这个方程，得 x = 4.
1.用代入法解下列方程组：
【选自教材P95 练习第1题】
4x-3y=-2，
5x+4y=13.
（1）
3m+2n=17 ，
2m-3n+6=0.
（2）
①
②
所以这个方程组的解是
m = 3，
n = 4.
把 m = 3 代入③，得 n = 4.
把③代入②，得 2m - 3(- m + ) +6=0.
(2) 由①，得 n =- m + . ③
解这个方程，得 m = 3.
例4 快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件.某快递员星期一的送件数和揽件数分别为 120件和45件，报酬为270元；他星期二的送件数和揽件数分别为 90件和 25件，报酬为185元.如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？
例4 快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件.某快递员星期一的送件数和揽件数分别为 120件和45件，报酬为270元；他星期二的送件数和揽件数分别为 90件和 25件，报酬为185元.如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？
分析:
送 120 件的报酬 + 揽 45 件的报酬 = 270，
送 90 件的报酬 + 揽 25 件的报酬 = 185.
分析:
送 120 件的报酬 + 揽 45 件的报酬 = 270，
送 90 件的报酬 + 揽 25 件的报酬 = 185.
解：设这名快递员每送一件的报酬是x元，每揽一件的报酬是y元.
120x+45y=270，
90x+25y=185.
由①，得
把③代入②，得
①
②
x= - y
③
90( - y)+25y=185.
解这个方程，得
y = 2.
把 y=2 代入③，得
x = 1.5 .
所以这个方程组的解是
x = 1.5，
y = 2.
答:这名快递员每送一件的报酬是1.5元，每揽一件的报酬是2元.
二元一次方程组
消去x
变形
解得x
用( - y)代替x，消去未知数x
代入
上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：
90x+25y=185
120x+45y=270
x= - y
代入
一元一次方程
90( - y)+25y=185
解得 y
y = 2
x = 1.5
一种商品分装在大、小两种包装盒内，3 大盒，4 小盒共装 108 瓶，2 大盒，3 小盒共装 76 瓶. 大、小包装盒每盒各装多少瓶
【选自教材P95 练习第2题】
分析:
3 大盒装的瓶数+ 4 小盒装的瓶数=108，
2 大盒装的瓶数+ 3 小盒装的瓶数=76.
解：设大包装盒每盒装 x 瓶，小包装盒每盒装 y 瓶.
3x+4y=108，
2x+3y=76.
解：设大包装盒每盒装 x 瓶，小包装盒每盒装 y 瓶.
3x+4y=108，
2x+3y=76.
①
②
由②，得
把③代入①，得
x=38- y
③
3(38- y)+4y=108.
解这个方程，得
y = 12.
把 y=12 代入③，得
x = 20 .
所以这个方程组得解是
x = 20，
y = 12.
答:大包装盒每盒装 20 瓶，小包装盒每盒装 12 瓶.
知识点1 用含一个未知数的式子表示另一个未知数
1.[廊坊期末] 已知方程，用含的式子表示 为( )
D
A. B. C. D.
2.已知方程，用含的式子表示 为____________；用含
的式子表示 为_ _________.
知识点2 用代入法解未知数的系数不为1或 的二元一次方程组
3.用代入消元法解二元一次方程组 的过程中，下列变
形正确的是( )
B
A.由①，得 B.由①，得
C.由②，得 D.由②，得
4.解方程组 时，用代入法消去未知数___较好.
5.二元一次方程组用代入消元法消去，得到关于 的一
元一次方程为________.
6.（12分）用代入法解方程组：
（1）
解：由①，得 ，③
把③代入②，得 ，
解得，把 代入③，
得 .
原方程组的解是
（2）
解：由②，得 ，③
把③代入①，得，解得 ,
把代入③，得 .
原方程组的解是
（3）
解：由②，得 ，③
把③代入①，得，解得,把 代入③，得
.
原方程组的解是
知识点3 用代入法解二元一次方程组的应用
7.（4分）某班决定购买两种绿植，已知购买A种绿植3盆和B种绿植4盆
共需52元，购买A种绿植6盆和B种绿植5盆共需83元，问A种绿植和B种
绿植每盆各多少元？
解：设A种绿植和B种绿植每盆分别为元和 元，
依题意，得解得
答：A种绿植和B种绿植每盆分别为8元和7元.
8.（4分）胜利运输队有甲、乙两种型号的货车用来运输货物，已知2辆
甲型货车和3辆乙型货车一次可运输货物18吨，5辆甲型货车和6辆乙型
货车一次可运输货物39吨.则每辆甲型货车和每辆乙型货车一次分别能
运输货物多少吨？
解：设每辆甲型货车一次能运输货物 吨，每辆乙型货车一次能运输货
物 吨，
依题意，得解得
答：每辆甲型货车一次能运输货物3吨，每辆乙型货车一次能运输货物4吨.
9. 老师设计了一个解方程组的接力游戏:学习小组的四
个成员每人做一步，每人只能看到前一人的结果，并进行下一步计算，
再将结果传递给下一个人，用合作的方式完成该方程组的解题过程，过
程如图所示.合作中出现错误的同学是( )
B
A.甲 B.丙 C.乙和丁 D.甲和丙
10.已知，则， 的值分别为
( )
C
A.2； B.； C.2； D.；
11.方程组与有相同的解，则 ___.
5
12.（8分）某商场用14 500元以成本价购进甲、乙两种矿泉水共500箱，
矿泉水的成本价与销售价如表所示：
类别 成本价/（元/箱） 销售价/（元/箱）
甲 25 35
乙 35 48
（1）求购进甲、乙两种矿泉水各多少箱；
解：设购进甲种矿泉水箱，乙种矿泉水 箱.
依题意,得
解得
答:购进甲种矿泉水300箱,乙种矿泉水200箱.
（2）该商场售完这500箱矿泉水可获利多少元？
解： （元）.
答:该商场售完这500箱矿泉水可获利5 600元.
13.（12分） 数学课上，同学们用代入消元法解二元一次方程
组 下面是三名同学的解答思路，请你认真阅读并完成
相应的任务.#1
小彬：由①，同得 ____,③
将③代入②，得 ____，解得 ____,
将____代入③，得 ____.
小轩：由①，得 ____,③
将③代入②，得 ____，解得 ____,
将____代入③，得 ____.
小颖：将②变形，得 ,
即 .③
把①代入③,得____，解得 ____,
把____代入①，得 ____.
续表
（1）请将三名同学的解题思路补充完整；
解：；；；；4；；；； ；4；
；； ；4
（2）小轩和小颖都运用了整体代入法，小轩是将____看成一个整体，
小颖是将_________看成一个整体；
（3）请用小颖的方法解方程组
解：将②变形，得 ，
即 ，③
将①代入③，得，解得 .
把代入①，得 .
原方程组的解为
课堂小结
实际问题
转化
代入
求解
回代
写解
检验
二元一次方程组
消元思想
代入消元法
谢谢观看！

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