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人教版(新教材）数学七年级下册公开课精做课件
第十章 二元一次方程组
10.2.2.2用加减消元法解稍复杂的二元一次方程组
复习导入
观察下列方程组:
x + 6y = 0，
2x -6y = 9；
①
3x + 5y = 7，
3x -4y = -11；
②
2x + 4y = 8，
3x -2y = 6.
③
①②和③有什么不同
①②的两个方程中都有一个未知数的系数相等或互为相反数，③的两个方程中未知数的系数不具备这种特征.
如何用加减法解方程组①②
解方程组①，得
x = 3，
y = -0.5.
解方程组②，得
x =-3，
y = 2 .
方程组③也可以用加减法求解
用加减消元法解简单的二元一次方程组 教学过程
幻灯片1：复习导入（核心：衔接代入消元，引出新方法）
1. 回顾：什么是二元一次方程组？用代入消元法解方程组$\begin{cases}x + y = 5 \\ x - y = 1\end{cases}$，提问学生解题步骤。
2. 思考：观察此方程组，两个方程中y的系数互为相反数，能否不用代入，直接消去一个未知数？引出课题——加减消元法。
幻灯片2：探究新知（核心：掌握“系数相反”时的消元方法）
1. 分析方程组$\begin{cases}x + y = 5 ① \\ x - y = 1 ②\end{cases}$：①+②得，$(x + y) + (x - y) = 5 + 1$，化简得$2x = 6$，解得$x = 3$。
2. 代入求另一个未知数：将$x = 3$代入①，得$3 + y = 5$，解得$y = 2$。
3. 检验：把$x = 3$，$y = 2$代入原方程组，左右两边相等，确认解正确。
4. 小结：当两个方程中某一未知数系数互为相反数时，可将两方程相加消去该未知数。
幻灯片3：深化探究（核心：掌握“系数相同”时的消元方法）
1. 出示例题$\begin{cases}2x + 3y = 14 ① \\ 2x - y = 6 ②\end{cases}$，提问：x的系数相同，如何消去x？
2. 讲解：①-②得，$(2x + 3y) - (2x - y) = 14 - 6$，化简得$4y = 8$，解得$y = 2$。
3. 学生自主完成代入求x，教师巡视指导，强调去括号时符号变化。
4. 小结：当某一未知数系数相同时，可将两方程相减消去该未知数。
幻灯片4：归纳步骤与巩固（核心：梳理方法，初步应用）
1. 归纳加减消元法步骤：①观察系数，判断相加或相减；②消元得一元一次方程，求解；③代入求另一未知数；④检验。
2. 即时练习：解方程组$\begin{cases}3x + 2y = 13 \\ 3x - 2y = 5\end{cases}$，指名学生板演，师生共同订正。
3. 强调：加减消元的关键是“消去一个未知数”，转化为已学的一元一次方程求解。
探索新知
用加减法解方程组
2x + 4y = 8，
3x - 2y = 6.
能直接加减能消元
如果不能，要怎样解这个方程组呢
能否使两个方程中x(或y)的系数相等
(或互为相反数)呢
统一系数
最小公倍数
2和4的最小公倍数是4
①
②
②×2，得（3x - 2y）×2 = 6×2，
6x - 4y = 12
③
2x + 4y = 8，
6x - 4y = 12.
①
③
思考:能否使x的系数相等(或互为相反数)
例6 用加减法解方程组
3x-2y = 4，
7x+4y = 18.
①
②
② + ③，得
解：①×2，得
y = 1.
把 x = 2 代入①，得
6x - 4y = 8. ③
13x = 26，
x = 2.
3×2-2y = 4，
所以这个方程组的解是
x = 2，
y = 1.
………………变形
………………加减
………………求解
………………回代
……………写解
解这个方程组时，可以先消去x吗 如果可以，结果一样吗
3x-2y = 4，
7x+4y = 18.
3x-2y = 4，
7x+4y = 18.
①
②
④ - ③，得
解：①×7，得
x = 2.
将 y = 1 代入①，得
21x - 14y = 28. ③
26y = 26，
y = 1.
3x-2×1 = 4，
所以这个方程组的解是
x = 2，
y = 1.
②×3，得
21x +12y = 54. ④
与消去y相比，哪个计算更简便
加减法求二元一次方程技巧：同一未知数
系数相等
(或互为相反数)
否
找最小公倍数，系数变得相同或互为相反数
是
两式相减(或加)
例7 我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样
一道题:今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两.问牛、羊各直金几何
意思是:假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5 只羊，共值金8两.那么每头牛、每只羊分别值金多少两
分析：
5头牛的钱数+2只羊的钱数=10
2头牛的钱数+5只羊的钱数=8
解：设每头牛和每只羊分别值金x两和y两.
5x+2y=10，
2x+5y= 8 .
解：设每头牛和每只羊分别值金x两和y两.
5x+2y=10，
2x+5y= 8 .
②
①
④ -③ ，得
①×2，得
将 y = 代入①，得
10x+4y=20. ③
21y =20，
y = .
5x+2×=10 ，
所以这个方程组的解是
y = .
x = ，
②×5，得
10x+25y= 40. ④
x = .
答：每头牛和每只羊分别值金两和两.
(1) 怎样解下面的方程
代入法
x=-1
y=3.5
解得，
加减法
x=2
y=0.5
解得，
2x+y=1.5，
0.8x+0.6y=1.3；
x+2y=3，
3x-2y=5.
(2) 选择你认为简便的方法解决下面的问题.
我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足.问鸡兔各几何.”你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗 试找出问题的解.
解：设笼中有鸡x只，兔子y只.
依题意，得 解得
答：笼中有鸡23只，兔子12只.
x+y=35
2x+4y=94
x=23
y=12
1.把下列方程改写成用含 x 的式子表示 y 的形式:
(1) x+2y= 1；
(2) x+ y= 2；
(3) 5x-3y= x+2y；
(4) 2(3y-3) = 6x+4 .
解:（1） ； （2） .
（3） ； （4） .
①
②
所以这个方程组的解是
x = ，
y = .
把 x = 代入①，得 y = .
把①代入②，得 7x + 5(x+3) = 9.
解：(1)
解这个方程，得 x = .
y=x+3，
7x+5y =9；
(1)
2.用代入法解下列方程组:
①
②
所以这个方程组的解是
s = ，
t = .
把 s = 代入③，得 t = .
把③代入②，得 5s + 2(3s-5) = 15.
解：(2)由①，得 t =3s-5.③
解这个方程，得 s = .
3s-t=5，
5s+2t =15；
(2)
①
②
所以这个方程组的解是
x = 2，
y = -3.
把 y = -3 代入③，得 x = 2.
把③代入②，得 3 - 4y = 18.
解：(3)由①，得 .③
解这个方程，得 y = -3.
2x+3y=-5，
3x-4y =18；
(3)
①
②
把 t = 4 代入③，得 s = 12.
把③代入②，得 3 - 2t = 28.
由①，得 .③
解这个方程，得 t = 4.
(4)
3(x+y)-2(x-y) =28.
+=6，
解：(4)令 s=x+y , t=x-y
则方程组可化为
3s-2t=28.
2s+3t=36，
把 y = 4 代入⑥，得 x= 8.
把⑥代入⑤，得 12-y-y =4.
由④，得 x=12-y.⑥
解这个方程，得 y = 4.
(4)
3(x+y)-2(x-y) =28.
+=6，
所以
x + y =12，
x - y = 4.
④
⑤
所以这个方程组的解是
x = 8，
y = 4.
①
②
所以这个方程组的解是
u = 2，
t = .
把 u = 2 代入①，得3×2+2t = 7，t = .
①+②，得 9u = 18，u=2.
解：(1)
3. 用加减法解下列方程组:
3u+2t=7，
6u-2t=11；
(1)
①
②
所以这个方程组的解是
a = 1，
b = 1.
把 a = 1代入①，得 2×1 + b = 3，b=1.
解：(2)②-①，得 a = 1.③
2a+b=3，
3a+b =4；
(2)
①
②
所以这个方程组的解是
x = 1，
y = -1.
②-③，得 7y = -7，y= -1.
解：(3) ①×2，得 4x-10y=14.③
2x-5y=7，
4x-3y =7；
(3)
把 y= -1代入①，2x -5×(-1)=7， 得 x=1.
解：(4)将原方程组整理，得
5x+y=2.
2x-9y=-18，
(4)
5x+y=2.
x-y=-3，
①
②
所以这个方程组的解是
x = 0，
y = 2.
① + ③，得 47x = 0，x= 0.
②×9，得 45x +9y=18.③
把 x= 0代入②，得y = 2.
4.某旅行社组织200人到花果岭和云水洞旅游.经统计，到花果岭旅游的人数比到云水洞的人数的2倍少1.到这两地旅游的人数各是多少
解：设到花果岭旅游的人数是x，到云水洞旅游的人数是 y.
根据题意，列得方程组
答：到花果岭旅游的人数是133，到云水洞旅游的人数是67.
x+y=200，
x=2y-1.
解这个方程组，得
x=133，
y=67.
5.一条船顺流航行，每小时行驶20km；逆流航行，每小时行驶16km.船在静水中的速度与水流速度分别是多少
解：设船在静水中的速度为 x km/h，水流速度为 y km/h.
根据题意，列得方程组
答：船在静水中的速度是 18 km/h，水流速度是 2 km/h.
x + y = 20，
x - y = 16.
解这个方程组，得
x=18，
y=2.
6.七年级(1)班的同学去参加科技体验活动，第一组有2人选择“九天揽月”活动，3人选择“深海探幽”活动，共花费130元；第二组有4人选择“九天揽月”活动，2人选择“深海探幽”活动，共花费140元.每张“九天揽月”和“深海探幽”活动的票价各为多少元
解：设每张“九天揽月”活动的票价为 x 元，每张“深海探幽”活动的票价为 y 元.
根据题意，列得方程组
答：每张“九天揽月”活动的票价为 20 元，每张“深海探幽”活动的票价为 30 元.
2x+3y=130，
4x+2y=140.
解这个方程组，得
x=20，
y=30.
把 x=5 代入①，得 y = 7.
解：(1)将原方程组整理，得
3x+20=5y.
3x-8=y，
①
②
把①代入②，得3x+20=5(3x-8).
解这个方程，得 x=5.
所以这个方程组的解是
x = 5，
y = 7.
3(x-1)=y+5，
3(x+5)=5(y-1)；
(1)
7.解下列方程组：
(2)
+ =，
+ =.
把 v=2 代入①，得 8u +9×2= 6，u= .
解：(2)将原方程组整理，得
24u+25v=14.
8u+9v=6，
①
②
①×3，得24u+27v=18.③
解这个方程，得 x=5.
所以这个方程组的解是
u = ，
v = 2.
③-②，得2v=4，v=2.
8.《孙子算经》中有这样一道题:“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何. ”意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺.请你解决这个问题.
解：设木头长 x 尺，绳子长 y 尺.
根据题意，列得方程组
答：木头长6.5尺.
y-x=4.5，
x- y=1.
解这个方程组，得
x=6.5，
y=11.
9.某市出租车起步价所包含的行驶里程不超过3km，超过3 km的部分按一定标准另外收取里程费.张华乘坐出租车出行，她第一次乘车行驶的路程为7km，起步价和里程费共计17.2元；第二次乘车行驶的路程为13km，起步价和里程费共计28元，你能由此计算出出租车的起步价和超过3km后的里程费收费标准吗？
解：设出租车的起步价为 x 元，超过 3 km 后的里程费收费标准为 y 元/km.
根据题意，列得方程组
答：出租车的起步价为 10元，超过 3 km 后的里程费收费标准为 1.8元/km.
x+(7-3)y=17.2，
x+(13-3)y=28.
解这个方程组，得
x=10，
y=1.8.
10.为举办“我和我的祖国”文艺会演，学校为七年级(1)班表演诗朗诵的5名男生和3名女生租用演出服的总费用是190元；为七年级(2)班表演小合唱的11名男生和12名女生租用演出服的总费用是580元.如果每套男、女生演出服的租用费分别相同，每套男、女生演出服的租用费各是多少钱？
解：设每套男、女生演出服的租用费各是 x 元、y 元.
根据题意，列得方程组
答：每套男、女生演出服的租用费各是 20元、30 元
5x+3y=190，
11x+12y=580.
解这个方程组，得
x=20，
y=30.
11. 2 台大型收割机和 5 台小型收割机同时工作 2 h 共收割小麦 3.6 hm2，3 台大型收割机和 2 台小型收割机同时工作 5 h 共收割小麦 8 hm2.1 台大型收割机和 1 台小型收割机每小时各收割小麦多少公顷
解：设 1 台大型收割机每小时收割小麦 x hm2，1 台小型收割机每小时收割小麦 y hm2.
根据题意，列得方程组
答：1 台大型收割机每小时收割小麦 0.4 hm2，1 台小型收割机每小时收割小麦 0.2 hm2.
2(2x+5y)=3.6，
5(3x+2y)=8.
解这个方程组，得
x=0.4，
y=0.2.
12.我国明代数学家程大位(1533-1606)所著《算法统宗》中记载了“二果问价”问题:
九百九十九文钱，甜果苦果买一千.
甜果九个十一文，苦果七个四文钱.
试问甜苦果几个，又问各该几个钱.
意思是:九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个.已知十一文钱可以买九个甜果，四文钱可以买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？每个甜果、苦果分别卖多少文钱？请你解决这个问题.
解：十一文钱可以买九个甜果，则买一个甜果需 文钱；四文钱可以买七个苦果，则买一个苦果需 文钱.
设甜果买了 x 个，苦果买了 y 个.
根据题意，列得方程组
x+y=1000，
解这个方程组，得
x=657，
y=343.
答：甜果买了 657 个，苦果买了 343 个.每个甜果卖 文钱，每个苦果卖 文钱.
知识点1 用加减法解同一个未知数的系数成倍数关系的方程组
1.用加减法解二元一次方程组时，必须使这两个方程中同一个未知数的
系数( )
D
A.都为1 B.相等 C.互为相反数 D.绝对值相等
2.解方程组若用加减法消去 ，则需要进行的变形为
( )
C
A. B. C. D.
3.用加减消元法解方程组 时，下列方法中无法消元的
是( )
D
A. B.
C. D.
4.（8分）用加减法解方程组：
（1）
解：，得,解得，将 代入②，得
,解得 原方程组的解是
（2）
解：，得,解得 ，
将代入①，得,解得 原方程组的解是
知识点2 用加减法解同一个未知数的系数不成倍数关系的方程组
5.已知方程组在利用加减法消去 时方法正确的是
( )
A
A. B.
C. D.
6.[石家庄月考] 利用加减消元法解方程组 嘉嘉说：
“要消去，可以将.”淇淇说：“要消去 ，可以将
.”关于嘉嘉和淇淇的说法，下列判断正确的是( )
B
A.嘉嘉对，淇淇不对 B.嘉嘉不对，淇淇对
C.嘉嘉和淇淇都对 D.嘉嘉和淇淇都不对
7.（8分）用加减法解方程组：
（1）
解：，得 ,③
，得 ,④
，得,解得 ，
将代入②，得,解得 .
原方程组的解是
（2）
解：，得 ,③
，得 ,④
，得,解得 ，
将代入①，得,解得. 原方程组的解是
知识点3 用加减法解二元一次方程组的应用
8. 《九章算术》是我国古代经典数学著作，奠定了中国
传统数学的基本框架.书中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、
小器五容二斛，问大、小器各容几何？”译文：“今有大容器5个，小容
器1个，总容积为3斛；大容器1个，小容器5个，总容积为2斛.问大、小
容器的容积各是多少斛？”该问题中的大容器容积为___斛，小容器容积
为___斛.
课堂小结
实际问题
二元一次方程组
消元思想
代入消元法
加减消元法
变形
谢谢观看！

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