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人教版(新教材）数学七年级下册公开课精做课件
第十章 二元一次方程组
10.4.1三元一次方程组的解法
问题 在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛.积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2.按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场?
探索新知
思考
（1）题目中有几个未知量?
（2）题目中有哪些等量关系?
（3）如何用方程表示这些等量关系?
10.4.1 三元一次方程组的解法 教学过程
第1页：旧知回顾·铺垫导入
1. 提问：解二元一次方程组的核心思想是什么？（学生回答：消元）
2. 常用消元方法有哪些？（代入消元法、加减消元法）
3. 情境设问：足球赛中，某队10场比赛得18分，胜场数=平场数+负场数，设胜x、平y、负z，列出方程组：$\begin{cases}x+y+z=10\\3x+y=18\\x=y+z\end{cases}$，引导思考：含三个未知数的方程组如何解？
第2页：探究新知·消元转化
1. 核心思路：三元→二元→一元（类比二元方程组消元思想）
2. 实践操作：观察上述方程组，方程③用y、z表示x，代入①②消去x：
代入①得：$y+z+y+z=10$，化简为$2y+2z=10$（④）；代入②得：$3(y+z)+y=18$，化简为$4y+3z=18$（⑤）
3. 得到二元一次方程组$\begin{cases}2y+2z=10\\4y+3z=18\end{cases}$，学生独立求解得$y=3,z=2$，再代入③得$x=5$。
第3页：概念归纳·解法步骤
1. 三元一次方程组定义：含三个未知数，每个方程是一次方程的方程组。
2. 解法步骤：① 选适当方法消去一个未知数，转化为二元一次方程组；② 解二元一次方程组；③ 代入求第三个未知数。
第4页：典例巩固·方法应用
例：解方程组$\begin{cases}2x-3y+4z=3①\\3x-2y+z=7②\\x+2y-3z=1③\end{cases}$
1. 策略选择：由②得$z=7-3x+2y$（④），代入①③消去z（代入法最优）。
2. 学生跟随演算：代入后化简得$\begin{cases}-10x+5y=-25\\10x-4y=22\end{cases}$，解得$x=1,y=-3$，再求$z=-2$。
3. 小结：消元时优先选择系数简单或已用其他未知数表示的未知数。
这个问题的解必须同时满足上面的三个条件，因此，把这三个方程合在一起，写成
x + y + z = 22，
3x + y = 47，
x = 4z + 2 .
一个方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组.
三元一次方程组必须满足的三个条件：
方程组中一共含有三个未知数.
含有未知数的项的次数都是1.
含有三个整式方程.
(不一定每个方程都含有三个未知数)
x + y + z = 22，
3x + y = 47，
x = 4z + 2 .
解三元一次方程组的基本思路是什么？
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
消元的方法
代入消元法
加减消元法
例1 解三元一次方程组
3x + 4z = 7，
2x + 3y + z = 9，
5x - 9y + 7z= 8.
①
②
③
解:②×3+③，得
11x + 10z = 35.
④
①与④组成方程组
3x+4y=7，
11x+10z=35.
解这个方程组，得
x=5，
z=-2.
把x=5，z=-2代入②，得
2×5+3y-2=9，
y = 13.
?
因此，这个三元一次方程组的解为
y= 13?，
?
z=-2.
x=5，
还有其他解法吗?
+ 3y
- 9y
3x + 4z = 7，
2x + 3y + z = 9，
5x - 9y + 7z= 8.
①
②
③
解：由①，得
④
x=7?4z3
?
把④分别代入②③，得到关于y，z的二元一次方程组
2×7?4z3 + 3y + z = 9
?
5× 7?4z3 - 9y + 7z= 8
?
整理，得
9y-5z=13
z-27y=-11
解这个方程组，得
y= 13?，
?
z=-2
把z= -2代入④，得x=5
因此，这个三元一次方程组的解为
y= 13?，
?
z=-2.
x=5，
加减法比代入法更简单.
知识点1 三元一次方程组的定义及解
1.下列是三元一次方程组的是( )
D
A.&????????=????,&????????+????=????,&????+????+????=???? B.&?????????????+????=?????,&?????????????+????=????,&????=?????
C.&????+?????????=????,&????????????=????,&?????????????=???? D.&????+????=????,&????+????=????,&????+????=????
?
2.三元一次方程组&?????????=????,&?????????=????,&????+????=???? 的解是( )
?
D
A.&????=????,&????=????,&????=???? B.&????=????,&????=????,&????=???? C.&????=????,&????=????,&????=???? D.&????=????,&????=????,&????=????
?
知识点2 三元一次方程组的解法
3.解方程组&????????+?????????????=????,&??????????????+????????=????????,&????????+????+????????=???????? 最简便的消元方法是( )
?
B
A.先消去???? B.先消去???? C.先消去???? D.先消去常数项
?
4.解三元一次方程组&????+????+????=????,①&????????+????????+????=????????,②&?????????????+????=?????,③若要消掉未知数???? ，则应对方
程组进行的变形为( )
?
C
A.①+③，①×?????② B.①+③，③×????+②
C.②?①，②?③ D.①?②，①×?????③
?
5.已知方程组&?????????=?????,&?????????????=?????,&????+?????????=?????,消去未知数???? 后，得到的二元一次方程组
为_ _____________.
?
&?????????????=?????,&?????????=?????
?
6.（8分）解方程组：
（1）&?????????=????,①&?????????=????,②&????+????=????;③
?
解：①+②，得?????????=???? ，④
③+④,得????????=????，解得????=????，将????=????代入①,得????=????，将????=???? 代入
②，得????=?????.∴ 原方程组的解为&????=????,&????=????,&????=?????.
?
（2）&????????+????????+????=????????,①&????+????+????????=????,②&????????+?????????????=????????.③
?
解：①+③,得????????+????????=???????? ，④
②+③×????,得????????+????????=???????? ，⑤
联立④⑤，解得&????=????,&????=????,
将????,????的值代入①，得????=???? ，
∴ 原方程组的解为&????=????,&????=????,&????=????.
?
7.已知三元一次方程组&????+????=????,&????+????=?????,&????+????=????,则????+????+???? 的值是( )
?
A
A.3 B.4 C.5 D.6
8.已知????+?????????????????=????，且?????????????????+????????=????，则????:????:????= _______.
?
????:????:????
?
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