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人教版(新教材）数学七年级下册公开课精做课件
第十章 二元一次方程组
10.4.2三元一次方程组的应用
复习导入
解三元一次方程组的基本思路是什么？
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
①代入消元法
②加减消元法
x+y+z=6，
2x+y=5，
6y=2z .
x=2，
y=1，
z=3 .
解得
10.4.2 三元一次方程组的应用 教学过程
幻灯片1：情境导入（3分钟）
问题引入：某商场销售A、B、C三种品牌的智能手机，上月共售出150台。其中A品牌销量是B品牌的2倍，C品牌销量比B品牌多10台。三种品牌各售出多少台？
提问引导：1. 题目中有几个未知量？2. 未知量之间有哪些数量关系？3. 能否用一元一次方程求解？若用方程组，需设几个未知数？引出三元一次方程组的应用场景。
幻灯片2：探究新知——列方程组步骤（10分钟）
步骤1：设未知数。设A、B、C品牌销量分别为x台、y台、z台。
步骤2：找等量关系，列方程。① 总销量：x+y+z=150；② A与B的关系：x=2y；③ C与B的关系：z=y+10。
步骤3：解方程组。师生共同求解：将②③代入①，得2y+y+(y+10)=150，解得y=35，进而得x=70，z=45。
步骤4：检验并作答。检验结果是否符合题意，得出A品牌70台、B品牌35台、C品牌45台。
幻灯片3：巩固练习（12分钟）
例题：甲、乙、丙三个数的和是26，甲数比乙数大1，甲数的2倍与丙数的和比乙数大18。求这三个数。
师生互动：1. 学生独立设未知数、找等量关系；2. 指名学生板书方程组；3. 共同求解并检验，强调解题规范。
幻灯片4：课堂小结（3分钟）
总结核心：列三元一次方程组解决实际问题的关键是找准多个未知量之间的等量关系，步骤为“设、列、解、验、答”。
易错提醒：注意检验结果的合理性，确保未知数的取值符合实际情境。
例2 在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60. 求a，b，c的值.
探索新知
把 a，b，c 看作未知数
把已知 x、y 值代入原式
a-b+c=0
4a+2b+c=3
25a+5b+c=60
分析：
怎样消元解方程组最简单?
a-b+c=0
4a+2b+c=3
25a+5b+c=60
①
②
③
解：根据题意，列得三元一次方程组
②-①，得
③-①，得
④与⑤组成二元一次方程组
a+b=1，
4a+b=10.
④
⑤
解这个方程组，得
a=3，
b=-2.
把a=2，b=-2代入①，得
因此a，b，c的值分别为3，-2，-5.
a+b=1. ④
4a+b=10. ⑤
c=-5.
例3 一个三位数，各数位上的数的和为14，百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的13. 如果把这个
?
三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99.求这个三位数.
解:设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z.
x+y+z=14
2x-y = 13z
?
100z+10y+x+99=100x+10y+z
解:设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z.
①
②
③
解这个方程组，得
y=7，
z=3.
x=4，
因此这个三位数是473.
x+y+z=14
2x-y = 13z
?
100z+10y+x+99=100x+10y+z
1.甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的 13 等于丙数的 12，求这三个数.
?
解:设甲、乙、丙三个数分别为x，y，z.
x+y+z=35
2x=y+5
13 y=12z
?
根据题意，列得三元一次方程组
解得
y=15，
z=10.
x=10，
因此，甲、乙、丙三个数分别为10，15，10.
【选自教材P111 练习第1题】
2.在等式 z=ax+by+c中，当x=1，y=2时，z=8；当x=2，y=1时，z=5；当x=-1，y=-1时，z=4；
求a，b，c的值.
a+2b+c=8，
2a+b+c=5，
-a-b+c=4.
①
②
③
解：根据题意，列得三元一次方程组
解这个方程组，得
b=2，
c=5.
a=-1，
【选自教材P111 练习第2题】
因此，a、b、c的值分别为-1，2，5.
1.解下列三元一次方程组:
y=2x-7，
5x+3y+2z=2，
3x-4z=4；
(1)
(2)
4x+9y=12，
3y-2z=1，
7x+5z= 194?.
?
解得
解得
2.解下列三元一次方程组:
2x+4y+3z=9，
3x-2y+5z=11，
5x-6y+7z=13.
(2)
(1)
x2?= y3?= z4?，
?
2x-y+2z=27；
解得
解得
3.在等式y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=-2；当x=-1时，y=20；当x= 32 与x= 13 时，y的值相等.求a，b，c的值.
?
解：根据题意，得三元一次方程组
解得
因此a的值为6，b的值为-11，c的值为3.
4.一个三位数，十位上的数等于百位上的数的2倍，百位上的数的3倍减去个位上的数等于十位上的数的14，且各数位上的数的和为11.求这个三位数.
?
解:设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z .
根据题意，列得三元一次方程组
解得
因此这个三位数是245.
5.甲地到乙地全程是 3.3 km，由一段上坡路、一段平路、一段下坡路组成.如果保持上坡每小时走3 km，平路每小时走4km，下坡每小时走5 km，那从甲地到乙地需 51 min，从乙地到甲地需 53.4 min. 从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程各是多少?
解:设从甲地到乙地时，上坡的路程是x km，平路的路程是y km，下坡的路程是 z km.
根据题意，列得三元一次方程组
解得
答:从甲地到乙地时，上坡的路程是1.2 km，平路的路程是0.6 km，下坡的路程是1.5 km.
知识点 三元一次方程组的简单应用
1.某市举行中学生足球联赛，比赛的计分规则为：胜1场得3分，平1场
得1分，负1场得0分.某中学足球队在12场比赛中，平和负的场数之和等
于胜的场数，共得20分.设该队在联赛中胜????场，平????场，负???? 场，则可列
三元一次方程组为_ _______________.
?
&????+????+????=????????,&????+????=????,&????????+????=????????
?
2.［教材????????????????例2变式］已知????=????????????+????????+????，当????=?????时，????=???? ；
当????=????时，????=????；当????=????时，????=????.则????=___，????=____，????= ___.
?
1
?????
?
3
3.（4分）某校七年级有3个班，已知一班、二班的平均人数与三班人数
之和为45，二班、三班的平均人数与一班人数之和为48，一班、三班的
平均人数与二班人数之和为47，求三个班的总人数.
解：设一班、二班、三班的人数分别为????，????，???? ，则
&????????(????+????)+????=????????,&????????(????+????)+????=????????,&????????(????+????)+????=????????,解得&????=????????,&????=????????,&????=????????,
则????+????+????=????????+????????+????????=???????? .
答：三个班的总人数为70.
?
4.（4分）［教材???????????????? 例3变式］一个三位数，如果把它的个位数字与百
位数字交换位置，那么所得的新数比原数小99，且各位数字之和为14，
十位数字是个位数字与百位数字之和，求这个三位数.
?
解：设这个三位数的百位数字为????,十位数字为????,个位数字为???? ，由题意，
得&????????????????+????????????+?????(????????????????+????????????+????)=????????,&????+????+????=????????,&????+????=????,
解得&????=????,&????=????,&????=????, 所以这个三位数是473.
?
5.如图，前两个天平已保持平衡，现要求在第三个天平的右边只放“ ”，
要使之保持平衡，则应放( )
B
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
6. 北魏数学家张丘建被称“算圣”，他所著的《张丘建算
经》中记载了各种计算，其中有一题：今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱
三，鸡雏三值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？译：一
只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，三只小鸡值1钱.现用100钱买100只鸡
（三种鸡都要买），请问能买公鸡、母鸡、小鸡各多少只？设买公鸡????
只，母鸡????只，小鸡???? 只，则下列不符合题意的选项是( )
?
D
A.&????=????,&????=????????,&????=???????? B.&????=????,&????=????????,&????=???????? C.&????=????????,&????=????,&????=???????? D.&????=????????,&????=????,&????=????????
?
7.（8分）学校现准备采购若干英语簿、数学簿以及作文本，已知采购2
本英语簿、2本数学簿、1本作文本需要2.8元；采购4本英语簿、8本数
学簿、2本作文本需要7.2元，那么采购200本英语簿、300本数学簿、
100本作文本需要多少钱？
解：设1本英语簿????元，1本数学簿????元，1本作文本???? 元，
由题意，得&????????+????????+????=????.????,①&????????+????????+????????=????.????,②
②?①×????，得????????=????.????，∴????=????.???? .
将????=????.????代入①，整理得????????+????=???? .
∴????????+????????+????=????.????.∴????????????????+????????????????+????????????????=????????????(????????+????????+????)=???????????? .
答：采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要320元.
?
课堂小结
三元一次方程组的应用
构造三元一次方程组确定待定系数
列三元一次方程组解决实际问题
谢谢观看！

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