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人教版(新教材）数学七年级下册公开课精做课件
第7章 相交线与平行线
章末复习
相交线
两条直线相交
邻补角、对顶角
垂线及其性质
点到直线的距离
两条直线被第三条直线所截
同位角、内错角、同旁内角
平行线
平移
判定
性质
1.下面是本章学到的一些数学名词：邻补角、对顶角、垂直、平行、同位角、内错角、同旁内角、平移，你能用自己的语言描述它们吗？你能分别画一个图形表示它们吗？
2.两条直线相交形成的四个角具有怎样的位置关系和数量关系？
3.什么是点到直线的距离？你会度量吗？请举例说明.
4.怎样判定两条直线是否平行？平行线有什么性质？对比平行线的性质和直线平行的判定方法，它们有什么异同？
5.什么是命题？如何判断一个命题是正确的还是错误的？请结合具体例子说明.
6.图形平移时，连接各对应点的线段有什么关系？如何利用平移设计图案？
第7章 相交线与平行线章末复习教学过程
一、复习导入（10分钟） 师：同学们，之前我们分别学行线的判定和性质，谁能先来说说判定定理有哪些？ 生：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。 师：非常好，那性质定理又是什么呢？ 生：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。 师：大家掌握得很扎实。那大家思考一下，判定和性质的核心区别是什么？ 引导学生总结：判定是由角的关系推直线平行，性质是由直线平行推角的关系。 师：今天我们就运用这两类定理解决综合问题，看看它们如何协同发挥作用。
二、专题突破（20分钟） 1. 相交线相关计算 出示例题：如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠EOD=35°，求∠AOC的度数。 师：这道题涉及垂线和对顶角，大家先找出已知条件中的垂直关系，再推导角的度数。 生：OE⊥AB，所以∠AOE=90°，∠AOD=∠AOE - ∠EOD=55°，∠AOC和∠AOD是邻补角，所以∠AOC=125°？ 师：有没有不同思路？ 生：∠BOD和∠EOD互余，∠BOD=55°，∠AOC和∠BOD是对顶角，所以∠AOC=55°。 师：第二种思路更简洁，强调要灵活运用对顶角、邻补角和垂线的性质解题。 2. 平行线判定与性质综合运用 出示例题：如图，已知∠1=∠2，∠3=∠D，求证：BC∥DE。 引导学生分析：由∠1=∠2推出AB∥CD（内错角相等，两直线平行），再由AB∥CD推出∠3=∠BCD（两直线平行，内错角相等），结合∠3=∠D，得∠BCD=∠D，进而推出BC∥DE（内错角相等，两直线平行）。 强调：区分判定和性质的核心是“由角推平行”还是“由平行推角”，推理链条要完整。
三、易错辨析（10分钟） 师：本章学习中，大家容易出错的地方有哪些呢？我们一起来辨析。 1. 易错点1：混淆平行线的判定和性质。出示辨析题：“同位角相等”是判定还是性质？ 生：既可以是判定也可以是性质？ 师：纠正：“同位角相等，两直线平行”是判定；“两直线平行，同位角相等”是性质，关键看前提是角的关系还是平行关系。 2. 易错点2：平移中忽略“整体沿直线移动”。判断：“图形的一部分沿直线移动”是平移吗？ 生：不是，平移是整体移动。 3. 易错点3：垂线性质应用错误。强调“垂线段最短”是指线段长度最短，而非垂直线段本身。 让学生结合易错点，自查之前的作业或练习，加深印象。
四、课堂小结（5分钟） 师：通过今天的复习，大家对本章知识有了更系统的认识，谁能说说自己的收获？ 引导学生总结：1. 梳理了本章知识框架，明确了各知识点之间的联系；2. 掌握了相交线计算、平行线综合运用的解题方法；3. 认清了常见易错点，避免后续出错。 师：本章知识是几何推理的基础，希望大家课后继续巩固，灵活运用知识解决问题，为后续几何学习做好铺垫。
知识梳理
知识点1 相交线
1
2
A
B
C
D
O
4
3
找出图中的邻补角：
∠1和∠2，∠2和∠3，∠3和∠4，∠4和∠1都互为邻补角.
邻补角的性质：
邻补角互补
找出图中的对顶角：
对顶角的性质：
对顶角相等
∠1和∠3，∠2和∠4都互为对顶角.
1.邻补角、对顶角
对顶角 邻补角
特 征 ①两条直线相交形成的角 ②有公共顶点 ③没有公共边 ①两条直线相交而成的角
②有公共顶点
③有一条公共边
性 质 对顶角相等 邻补角互补
相同点 ①都是两条直线相交而成的角 ②都有一个公共顶点 ③都是成对出现的 不同点 ①有无公共边 ②两直线相交时，对顶角只有两对，邻补角有四对
2.垂线
（1）垂线的定义具有双重作用
①知线垂直得直角；
②知直角得线垂直.
如图，
①若 AB⊥CD，则∠AOD =∠AOC=∠BOC =∠BOD =90°；
②若∠AOD =90°，则 AB⊥CD.
A
B
C
D
O
（2）垂线的性质
①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
可以在已知直线上，也可以在已知直线外
“有”指存在，“只有”指唯一性
l
A
②垂线段最短.
P
l
O
A1
A2
A3
P
l
O
A1
A2
A3
（3）点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度.
线段PO的长即为点P到直线l的距离
垂线 垂线段 点到直线的距离
图示
区别
联系 垂线是一条直线
垂线段是一条线段
垂线段的长度，是一个数量
它们都与垂直有关
l
P
O
l
P
O
l
P
O
垂线、垂线段、点到直线的距离三者的区别和联系
3.同位角、内错角、同旁内角
B
A
F
E
1
4
2
3
D
C
5
8
6
7
找出图中的同位角：
∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8
找出图中的内错角：
∠3和∠5，∠4和∠6
找出图中的同旁内角：
∠3和∠6，∠4和∠5
三线八角
角的名称 位置特征 基本图形 形象记法 共同特征
同位角 截线：________ 被截线：______
内错角 截线：________ 被截线：______ 同旁内角 截线：________ 被截线：______ 同侧
同侧
F
Z
U
两侧
之间
同旁
之间
都没有公共顶点
1
5
3
5
3
6
知识点2 平行线
1.平行线的概念
（1）平行线基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
若点在直线上，不可能有平行线
存在且唯一
（2）平行线基本事实的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
a
b
c
符号语言：
如果 b∥a，c∥a，
那么 b∥c .
文字简述 符号语言 图示
同位角相等，两直线平行 ∵________（已知），∴a∥b
内错角相等，两直线平行 ∵________（已知），∴a∥b 同旁内角互补，两直线平行 ∵______________（已知），∴a∥b ∠1=∠4
∠1=∠2
∠1+∠3=180°
a
b
c
3
1
2
4
2.平行线的判定
3.平行线的性质
文字简述 符号语言 图示
两直线平行，同位角相等 ∵a∥b（已知），∴________
两直线平行，内错角相等 ∵a∥b（已知），∴________ 两直线平行，同旁内角互补 ∵a∥b（已知），∴______________ ∠1=∠4
∠1=∠2
∠1+∠3=180°
a
b
c
3
1
2
4
角的数量关系
线的位置关系
判定
性质
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
两直线平行
条件
结论
结论
条件
判定
性质
4.平行线的性质与判定的区别和联系
（1）定义法.
（2）基本事实的推论：若 a∥b，b∥c，则 a∥c.
（3）判定方法1：同位角相等，两直线平行.
（4）判定方法2：内错角相等，两直线平行.
（5）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.
（6）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
5.归纳：判断平行的方法
知识点3 定义、命题、定理
定义、命题、定理
定义
对数学对象进行清晰、明确的描述称为数学对象的定义
命题
分类
概念
可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述句叫作命题
真命题
经过推理证实的真命题叫作定理
假命题
形式
如果……那么……
证明
很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明
知识点4 平移
平移
概念
两要素
作图
性质
平移前后图形的形状和大小完全相同
对应线段平行(或在同一直线上)且相等
对应点所连线段平行(或在同一直线上)且相等
平移的方向、平移的距离
一定、二找、三作、四连
在平面内，将一个图形按某一方向移动一定距离
复习巩固
1.如图，直线 AB⊥CD，垂足为 O，直线 EF经过点 O，∠1 = 26°，求∠2，∠3，∠BOE 的度数.
解：∵AB⊥CD，
∴∠COB = 90°.
故∠2 = 90°-∠1 = 90°-26°= 64°.
∵∠3 与∠1 是对顶角，
∴∠3 =∠1 = 26°.
又∠BOE 与∠1 是邻补角，
∴∠BOE = 180°-∠1 = 180°-26°= 154°.
2.如图是一根弯形管道的平面示意图，其中的拐角∠ABC = 120°，∠BCD = 60°，这时说管道AB∥DC 对吗？为什么？
D C
A B
解：对.
∵∠ABC = 120°，∠BCD = 60°，
∴∠ABC +∠BCD = 120°+ 60°= 180°.
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）.
3. 判断题.
（1）a，b，c 是直线，若 a∥b，b∥c，则a∥c； （2）a，b，c 是直线，若 a⊥b，b⊥c，则a⊥c.
正确
错误
4. 根据下列语句画出图形：
（1）过线段 AB 的中点 C ，画 CD⊥AB ；
（2）点 P 到直线 AB 的距离是 3 cm，过点 P 画直线 AB 的垂线；
（3）过三角形 ABC 内的一点 P，分别画 AB，BC，AC 的平行线.
解：如图：
5. 如图，某人骑自行车自 A 处沿正东方向前进，至 B 处后，行驶方向改为东偏南 15°，行驶到 C 处仍按正东方向行驶，画出继续行驶的路线.
解：如图所示：
A
B
15°
C
6.如图，∠1 = 30°，∠B = 60°，AB⊥AC.
（1）∠DAB +∠B 等于多少度？
（2）AD 与 BC 平行吗？AB 与DC 平行吗？
解：（1）∵AB⊥AC，∴∠2 = 90°.
则∠DAB +∠B =∠1 + ∠2 + ∠B
= 30°+ 90°+ 60°= 180°.
（2）由（1）∠DAB +∠B = 180°，得AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）.
AB与CD不一定平行，如图中虚线所示.
2
7.如图，平行线 a，b 被直线 c 所截，若知道∠1~∠8 中一个角的度数，能否求出其他角的度数？如果能，用其中一个角表示出其他各角.
解：知道∠1~∠8中的一个角的度数，能求出其他角的度数，如用∠1表示其他各角. ∠2 = 180°-∠1，∠3 = ∠1，∠4 = 180°-∠1，∠5 =∠1，∠6 = 180°-∠1，∠7 =∠1，∠8 = 180°-∠1.
综合运用
8.选择题.
（1）如图（1），点 E 在 AC 的延长线上，下列条件中能判断 AB∥CD 的是（ ）.
（A）∠3=∠4
（B）∠1=∠2
（C）∠D =∠DCE
（D）∠D +∠ACD = 180°
B
（1）
（2）如图（2），∠1 +∠2 = 180°，∠3 = 108°，则∠4 的度数是（ ）.
（A）72°
（B）80°
（C）82°
（D）108°
（2）
A
9. 图中所示为防护网的示意图，它可看成由两组平行线组成，你能通过检验一些角的大小来验证其中的线段平行吗？说出你的做法.
解：可根据内错角相等，两直线平行，也可以利用同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行等来判断.
10. 如图，∠AOB 内有一点 P .
（1）过点 P 画出 PC∥OB，交 OA 于点 C，画 PD∥OA，交 OB 于点 D；
（2）写出图中相等的角；
（3）写出图中互补的角.
A
B
O
P
4
3
6
5
10
7
8
9
1
2
D
C
解：（1）如图所示.
①∠1=∠O =∠6 =∠4=∠8 =∠10；
②∠2=∠3=∠5=∠7=∠9.
（2）①中的角与②中的角各分别相等.
（3）①中任一个角与②中任一个角互补.
11.如图，直线l1∥l2，AB⊥l2，CD⊥l1，AB和CD平行吗？为什么？
解：AB∥CD.理由如下：
∵l1∥l2，
∴∠CAB+∠ABD=180°（两直线平行，同旁内角互补）.
又AB⊥l2，∴∠ABD=90°.
∴∠CAB=90°.∴AB⊥l1.
又CD⊥l1，
∴AB∥CD.
12.完成下面的证明.
（1）如图（1），点 D，E，F 分别是三角形ABC 的边 BC，CA，AB 上的点，DE∥BA，DF∥CA.求证∠FDE =∠A.
证明：∵DE∥BA，
∴∠FDE=_______（ ）.
∵DF∥CA，
∴∠A=_______（ ）.
∴∠FDE=∠A.
∠BFD
两直线平行，内错角相等
∠BFD
两直线平行，同位角相等
（1）
（2）如图（2），AB 和 CD 相交于点 O，∠C =∠COA，∠D =∠BOD .求证 AC∥DB .
证明：∵∠C =∠COA，∠D =∠BOD，
且∠COA =∠BOD（ ），
∴∠C = ________.
∴AC∥DB（ ）.
对顶角相等
∠D
内错角相等，两直线平行
（2）
13.指出下列命题的题设和结论，并判断它们是正确的还是错误的.如果是错误的，举出一个反例.
（1）两个角的和等于平角时，这两个角互为补角；
（2）同旁内角相等，两直线平行；
（3）两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.
题设
题设
题设
结论
结论
结论
真命题
假命题
真命题
（2）反例：如图，∠1和∠2是同旁内角，∠1=∠2，直线a与直线b不平行.
14.如图是两个整体图案的局部，分别指出其中的基本图形，并说明怎样由基本图形平移得到整个图案.
解：第一个图案中的基本图形是
第二个图案中的基本图形是
拓广探索
15. 如图，这是一套住房的平面图，图中有许多相交线和平行线. 量量你家的住房，选择适当的比例尺，画出它的平面图. 你能自己设计一个户型吗？
15.一张台球桌的桌面如图所示，一个球在桌面上的点 A 滚向桌边 PQ，碰着 PQ 上的点 B 后便反弹而滚向桌边RS，碰着 RS 上的点 C 便反弹而滚向点 D. 如果 PQ∥RS，AB，BC，CD 都是直线，且∠ABC 的平分线 BN 垂直于 PQ，∠BCD 的平分线 CM 垂直于 RS，那么，球经过两次反弹后所滚的路径 CD 是否平行于原来的路径 AB？
解：如图所示：CD∥AB. 理由如下：
∵QP∥RS，∴∠1=∠6（两直线平行，内错角相等）.
又 BN⊥QP，MC⊥RS，
∴∠1+∠3=90°，∠8+∠6=90°.
∴∠3=∠8（等角的余角相等）.
由 BN⊥QP 可知，∠1+∠3 =∠2+∠4=90°.
又由BN平分∠ABC，∴∠3=∠4.
同理可得∠7 =∠8.
∴∠3+∠4 = 2∠3，∠7+∠8 = 2∠8，
∴∠3+∠4 = ∠7+∠8.
即∠CBA = ∠DCB，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）.
知识梳理
相等
最短
一条
相等
互补
相等
核心考点巩固
考点1 相交线
（第1题）
1.如图，直线，被直线 所截，下列角中，大小与
相等的是( )
A
A. B. C. D.
（第2题）
2.如图，下列结论正确的是( )
B
A.与是邻补角 B.与 是同位角
C.与是同旁内角 D.与 是内错角
3.如图，河道的同侧有, 两个村庄，计划铺设一条管道将河水引至
， 两个村庄，下面的四个方案中，管道长度最短的是( )
A
（第3题）
A. B. C. D.
（第4题）
4.如图，直线，相交于点， 平分
， .若
，则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
考点2 平行线
（第5题）
5.[苏州中考] 如图，在， 两地间修一条笔直的公路，
从地测得公路的走向为北偏东 .若， 两地同时
开工，要使公路准确接通，则 的度数应为( )
C
A. B. C. D.
（第6题）
6.如图，，若 ， ，则
的度数为( )
B
A. B. C. D.
（第7题）
7.如图，在下列给出的条件中，不能判定
的是( )
A
A. B.
C. D.
8. 光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相
同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图是从玻璃杯底部发
出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底
面平行.若 ， ，则 ______.
（第8题）
9.（4分）中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷.如图①是
一个“互”字，如图②是由图①抽象出的几何图形，其中 ，点
，，在同一条直线上，点，， 在同一条直线上，且
，.求证： .
证明：延长交于点 ．
， .
又 ，
， ，
．
又 ，
，
．
考点3 定义、命题、定理
10.下列命题中，是真命题的是( )
C
A.相等的两个角是对顶角
B.同位角相等
C.若，则
D.若一个数能被2整除，则它也能被4整除
（第11题）
11.如图，已知，直线与直线 有交点，命题
“内错角相等”是一个假命题，下列选项可以作为反例的
是( )
D
A.与 B.与 C.与 D.与
考点4 平移
（第12题）
12.如图，已知线段是由线段 平移得到的，
且，，则三角形
的周长是( )
D
A. B. C. D.
13.如图，把直角梯形沿方向平移到梯形 ，
，， ，则阴影部分的面积是_______.
（第13题）
14.（12分）如图，将方格纸中的三角形 先向右平移2格得到三角形
，再将三角形向上平移3格得到三角形，设与 相交
于点 .
（1）画出三角形和三角形，并标出点 ；
解：如图.
（2）图中与既平行又相等的线段有________，图中与 相等的
角有__________________________;
,
,,,
（3）若 , ，求和 的度数.
解：由平移可知 ，
，
，
.
由平移可知 ，
，
.
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