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人教版(新教材）数学七年级下册公开课精做课件
第十章 二元一次方程组
章末复习
1.什么是二元一次方程 什么是二元一次方程的解 什么是二(三)元一次方程组 什么是二(三)元一次方程组的解
2.举例说明怎样用代入法和加减法解二元一次方程组 .
“代入”与“加减”的目的是什么
3.解三元一次方程组与解二元一次方程组有什么联系与区别 你能说一说“消元”的思想方法在解三元一次方程组中的体现吗
4.提出一个实际问题，并用二元或三元一次方程组解决它，你能说一说用方程组解决实际问题的基本思路吗
第十章 二元一次方程组 章末复习 教学过程
第一页：知识框架梳理（5分钟）
1. 引导学生回顾本章核心概念：二元一次方程（含定义、解的含义）、二元一次方程组（定义、解的判定），通过提问“如何判断一个方程是二元一次方程？”“方程组的解需要满足什么条件？”强化认知。2. 梳理核心解法脉络：代入消元法、加减消元法的核心思路（消元转化为一元一次方程），简要提及两种方法的适用场景对比。
第二页：典例解析——解法应用（15分钟）
1. 出示典型方程组：例1（适合代入法）$\begin{cases}x+2y=5\\3x-y=1\end{cases}$，引导学生口述代入消元步骤，强调“用含一个未知数的式子表示另一个未知数”的关键步骤；例2（适合加减法）$\begin{cases}2x+3y=12\\3x-2y=5\end{cases}$，带领学生分析如何调整系数使同一未知数系数相等/相反，规范加减消元操作。2. 总结易错点：移项忘变号、系数化1时计算失误，通过纠错提问强化注意事项。
第三页：典例解析——实际应用（20分钟）
1. 呈现实际问题：某车间有22名工人，每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？2. 引导学生按“设未知数→找等量关系→列方程组→求解→检验”步骤解题，强调配套问题中等量关系的构建技巧。3. 小结列方程组解应用题的核心：找准等量关系，规范解题步骤。
第四页：巩固提升与课堂小结（10分钟）
1. 快速练习：给出1-2道基础方程组求解和1道简单实际问题，学生限时完成后集体订正，检验复习效果。2. 课堂小结：师生共同回顾本章核心知识（概念、解法）和核心能力（解题、建模），强调“消元思想”和“建模思想”的重要性，帮助学生构建完整知识体系。
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解.
(二元一次方程的解有无数个)
例如: x=4，y=2 是方程 x+y=6 的一个解.
记作
x=4，
y=2 .
你还能找到其他的解
下列方程组中是二元一次方程组的是( )
A.
B.
C.
D.
3x+4y=6
5z-6y=4
x+4=2
x-y=4
x+y=2
x2-y2=8
x+y=2
- =
方程组中含有两个未知数，且含有每个未知数的项的次数都是 1，并且一共有两个整式方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组.
B
练 习
2 .已知 x = 1，y = -2 是关于 x、y 二元一次方程组
的解，求 a，b 的值.
解：
把 x = 1，y = -2 代入二元一次方程组得
a + 4 = 3，
1 + 2b = 4.
解得
a = -1
b = 1.5
ax - 2y = 3，
x - by = 4.
1.已知 x = 1，y = -2 满足 (ax - 2y - 3)2 + |x - by + 4| = 0，则 a + b =__________
-3.5
知识点二：二元一次方程组的解法
二元一次方程组
消元思想
代入消元法
加减消元法
知识点三：二元一次方程组的应用
①审
②设
③列
④解
⑤验
⑥答
审题，找题目中的__________
列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
设未知数
根据等量关系，列出相应的方程组
用“________法”或“________法”解方程组
检验所求未知数的值是否符合题意及实际意义
写出答案(包括单位名称)
等量关系
代入消元
加减消元
知识点四：三元一次方程（组）
三元一次方程组
概念
含未知数的项的次数都是 1
方程组中一共含有 3 个未知数
解法
化“三元”为“二元”
含有三个整式方程
消元
代入消元法
加减消元法
二元一次方程组
1.用代入法解下列方程组：
a=2b+3，
a =3b+20；
(1)
x-y=13，
x =6y-7；
(2)
x-y=4，
4x+2y =-1；
(3)
5x-y=110，
9y-x =110.
(4)
解：(1) 将①代入②得 2b+3=3b+20，解得b=-17.
所以这个方程组的解为
把 b=-17 代入①，得 a=-31.
①
②
a = -31，
b = -17.
1.用代入法解下列方程组：
a=2b+3，
a =3b+20；
(1)
x-y=13，
x =6y-7；
(2)
x-y=4，
4x+2y =-1；
(3)
5x-y=110，
9y-x =110.
(4)
①
②
解：(2) 由①得 x=13+y. ③
这个方程组的解为
把③代入②得 13+y=6y-7，y=4.
把y=4代入③得 x=17，
x = 17，
y = 4.
1.用代入法解下列方程组：
a=2b+3，
a =3b+20；
(1)
x-y=13，
x =6y-7；
(2)
x-y=4，
4x+2y =-1；
(3)
5x-y=110，
9y-x =110.
(4)
①
②
解：(3) 由①得 y=x-4. ③
把③代入②得 4x+2(x-4)=-1，
把 x = 代入③得 y=-4= .
x = .
这个方程组的解为
x = ，
y = .
1.用代入法解下列方程组：
a=2b+3，
a =3b+20；
(1)
x-y=13，
x =6y-7；
(2)
x-y=4，
4x+2y =-1；
(3)
5x-y=110，
9y-x =110.
(4)
①
②
解：(4) 由①得 y=5x-110.③
这个方程组的解为
把③代入②得 9(5x-110)-x=110，x=25.
把 x=25 代入③得 y=5×25-110=15.
x = 25，
y = 15 .
2.用加减法解下列方程组：
3m+b=11，
-4m-b=11；
(1)
0.6x-0.4y=1.1，
0.2x-0.4y =2.3；
(2)
4f + g=15，
3g-4f =-3；
(3)
0.5x+3y=-6，
0.5x+y =2.
(4)
解：(1) ①+②得 -m=22，m=-22.
这个方程组的解为
把 m=-22代入①得 -66+b=11，b=77.
b = 77，
m = -22 .
①
②
2.用加减法解下列方程组：
3m+b=11，
-4m-b=11；
(1)
0.6x-0.4y=1.1，
0.2x-0.4y =2.3；
(2)
4f + g=15，
3g-4f =-3；
(3)
0.5x+3y=-6，
0.5x+y =2.
(4)
解：(2) ①-②，得 0.4x=-1.2，x=-3.
①
②
把 x=-3代入①得 0.6×(-3)-0.4y=1.1，y= .
这个方程组的解为
x = -3，
y = .
2.用加减法解下列方程组：
3m+b=11，
-4m-b=11；
(1)
0.6x-0.4y=1.1，
0.2x-0.4y =2.3；
(2)
4f + g=15，
3g-4f =-3；
(3)
0.5x+3y=-6，
0.5x+y =2.
(4)
解：(3) ①+②，得 4g = 12，g= 3.
把 g = 3代入①得 4f +3=15，f=3.
这个方程组的解为
f = 3，
g = 3.
①
②
2.用加减法解下列方程组：
3m+b=11，
-4m-b=11；
(1)
0.6x-0.4y=1.1，
0.2x-0.4y =2.3；
(2)
4f + g=15，
3g-4f =-3；
(3)
0.5x+3y=-6，
0.5x+y =2.
(4)
解：(4) ①-②，得 3y-y = -6-2， y= -4.
把 y = -4代入②得 0.5x - 4=2， x=12.
这个方程组的解为
x = 12，
y = -4.
①
②
3.解下列方程组：
(1)
4(x-y-1)=3(1-y)-2，
+ =2；
(2)
6(x+y) -4(2x-y) =16.
- =-1，
解:
x = 2，
y = 3 ；
(1)
x = 2，
y = 2 .
(2)
*4. 解下列方程组：
3x-y+z=3，
2x+y-3z=11，
x+y+z=12；
(1)
5x-4y+4z=13，
2x+7y-3z=19，
3x+2y-z=18.
(2)
解：
x = ，
y = ，
z = ；
(1)
x = 5，
y = 0，
z = -3.
(2)
5. 1号仓库与2号仓库共存粮450 t.现从1号仓库运出存粮的60%，从2号仓库运出存粮的40%，结果2号仓库剩余粮食比1号仓库剩余粮食多30 t. 1号仓库与2号仓库原来各存粮多少吨
解：设 1 号仓库原来存粮 x t，2 号仓库原来存粮 y t.
由题意，得
解得
答: 1号仓库与2号仓库原来各存粮240吨、210吨.
x+ y = 450，
x×(1-60%)=y× (1-40%)-30.
6.王芳花19元买了若干支记号笔和中性笔，记号笔和中性笔的价格分别为5元/支和3元/支，王芳买了多少支记号笔 多少支中性笔
解：设王芳买了x支记号笔，y支中性笔.
依题意，得
所以
x=2，
y=3.
答：王芳买了2支记号笔，3支中性笔.
5x+ 3y=19.
因为x，y只能取正整数，
则
7. 为了提倡节约用水，某市根据居民每月的用水量实行阶梯水价：每户每月用水量不超过12m3时，按一级单价收费；超过12m3时，超过部分按二级单价收费.五月份张华家用水14m3，缴费37.6元；李明家水17m3，缴费47.2元.那么这个市一级水费、二级水费的单价分别是多少
解：设这个市一级水费、二级水费的单价分别为x元/m3、y元/m3.
依题意，得
12x+(14-12)y=37.6，
12x+ +(17-12)y=47.2.
解得
x=2.6，
y=3.2.
答：该市一级水费、二级水费的单价分别为2.6元/m3 、 3.2元/m3.
8. “冰墩墩”和“雪容融”分别是北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物.一家商店连续两个月销售规格为“10cm”的“冰墩墩”和“雪容融”摆件，销售情况如下表所示.
销售量/件 销售额/元
冰墩墩 雪容融 第1个月 100 40 12320
第2个月 160 60 19360
分别求“冰墩墩”和“雪容融”摆件的零售价格.
销售量/件 销售额/元
冰墩墩 雪容融 第1个月 100 40 12320
第2个月 160 60 19360
解：设“冰墩墩”和“雪容融”摆件的零售价格分别为x元、y元.
依题意，得
100x+40y=12320，
160x+60y=19360.
解得
x=88，
y=88.
答：“冰墩墩”和“雪容融”摆件的零售价格都为88元.
9. 甲、乙两人都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔2min 相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔6min 相遇一次.已知甲比乙跑得快，甲、乙两人跑一圈各需要多少分钟
解：设甲1min跑x圈，乙1min跑y圈.
依题意，得
2x+2y=1，
6x-6y=1.
解得
x=，
y= .
甲：1÷ =3 (min)
乙：1÷ =6 (min)
答：甲、乙两人跑一圈各需要3min、6min.
10. 《九章算术》中有这样一道题:“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何.”意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛(斛是过去的一种量器)，1个大容器和5个小容器的总容量为2斛.大、小容器的容量分别是多少斛
解：设大容器的容量为x斛，小容器的容量为y斛.
依题意，得
5x+y=3，
x+5y=2.
解得
x=，
y= .
答:大容器的容量为斛，小容器的容量为斛.
11.现有1角、5角、1元硬币各 10 枚，从中取出 15枚，共值7元.1角、5角、1元硬币各取多少枚
解：设1角、5角、1元的硬币分别取x枚、y枚、z枚.
由题意，得
①-②，得0.9x+0.5y=8，
x+y+z=15，
0.1x+0.5y+z=7.
①
②
因为x，y，z都小于等于10，且只能取正整数，
答：应取5枚1角，7枚5角和3枚1元的硬币.
x = 5，
y = 7 ，
z = 3 .
所以
12.某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型电脑每台6000元，B型电脑每台4000元，C型电脑每台2500元.某中学现有资金100500元，计划全部用于从这家电脑公司购进36台两种型号的电脑，请你设计几种不同的购买方案供这所学校选择，并说明理由.
解:因为学校只购进两种型号的电脑，所以分三种情况讨论.
(1)若只购买A型，B 型两种型号的电脑，设购买A型电脑x台，B型电脑y台.
则
解得 不合题意，舍去.
x+y=36，
6000x+4000y=100500.
x=-21.75，
y=57.75.
(2)若只购买A型，C 型两种型号的电脑，设购买A型电脑x台，C型电脑z台.
则
解得
x+z=36，
6000x+2500z=100500.
x=3，
z=33.
(3)若只购买B型，C 型两种型号的电脑，设购买B型电脑y台，C型电脑z台.
则
解得
y+z=36，
4000y+2500z=100500.
y=7，
z=29.
故有两种不同的购买方案：
方案一：购买 A 型电脑3 台，C 型电脑 33 台.
方案二：购买 B 型电脑7 台，C 型电脑 29 台.
知识梳理
两
1
加减
三
核心考点巩固
考点1 二元一次方程（组）及其解
1.下列不是二元一次方程组的有( )
C
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.已知是关于，的二元一次方程，则 的值为
( )
A
A.1 B. C. D.2
3.已知是二元一次方程的一组解，则 的值是
___.
3
4.方程组的解为 则☆和*表示的数分别为____.
5,1
考点2 解二元一次方程组
5.用加减法解方程组时，若要消去 ，则应( )
D
A. B.
C. D.
6.若关于，的方程组中的值比 的相反数大2，则
的值是( )
D
A.1 B. C. D.
7.（8分）解方程组：
（1）
解：，得 ，③
，得，解得 ，
将代入①，得 ，
原方程组的解为
（2）
解：，得，把代入①，得 ，解
得 ，
原方程组的解为
考点3 二元一次方程（组）的应用
8. [成都中考] 中国古代数学著作《九章算术》中记载了
这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百.今并买一
顷，价钱一万.问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；
劣田7亩价值500钱.今合买良、劣田1顷（100亩），价值10 000钱.问良
田、劣田各有多少亩？设良田为亩，劣田为 亩，则可列方程组为
( )
A
A. B.
C. D.
9.某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克
荔枝，每个小箱装3千克荔枝.若该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场
销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为( )
C
A.8 B.9 C.10 D.11
10.（8分）[广西中考] 自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾
游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）
优惠.小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的
高速费享受的优惠如下：
湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段
周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折
（1）周六小悦一家从湖南 市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境
内特定路段和其他路段的高速费原价分别为元、元和 元.求此行程的
高速费实付多少元？
解：此行程的高速费实付 元.
（2）周日他们从A市到 市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；
周一从市原路返回到A市，高速费实付95.95元.求此行程中A市与 市
间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元.
解：设特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和 元，
由题意，得
解得
答：此行程中A市与 市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费
原价分别是45.9元和55.1元．
谢谢观看！

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