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广东省广州市花都区2024--2025学年九年级上学期期末考试数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2025九上·花都期末）下列四个字母中，属于中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：D．
【分析】在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．
2．（2025九上·花都期末）下列事件中，属于随机事件的是（　　）
A．三角形的内角和是
B．负数大于正数
C．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的数字是6
D．明天太阳从西方升起
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、三角形的内角和是，是必然事件，不符合题意；
B、负数大于正数，是不可能事件，不符合题意；
C、抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的数字是6，是随机事件，符合题意；
D、明天太阳从西方升起，是不可能事件，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.
3．（2025九上·花都期末）在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：
故选：A．
【分析】根据弧长公式即可求出答案.
4．（2025九上·花都期末）已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：反比例函数的图象位于第一、三象限，
，
，
故选：D．
【分析】根据反比例函数图象与系数的关系即可求出答案.
5．（2025九上·花都期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（　　）
A． B．1 C．3 D．5
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
所以，
解得，
显然只有A选项符合题意．
故选：A．
【分析】根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
6．（2025九上·花都期末）某工厂今年1月份的产值为25万元，3月份的产值为36万元．若设平均每月增长的百分率为，则依题意可列出的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：依题意，得．
故选：C．
【分析】根据题意建立方程即可求出答案.
7．（2025九上·花都期末）如图，下列四个三角形中，与相似的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，，∴
∴
A、两边成比例，但夹角不相等，故A是错误的；
B、两边成比例，但夹角不相等，故B是错误的；
C、两边成比例，夹角相等，故C是正确的；
D、两边成比例，但夹角不相等，故D是错误的；
故答案为：C。
【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断，即可得出答案
8．（2025九上·花都期末）如图，在平面直角坐标系中，与是以为位似中心的位似图形，若，，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵与是以O为位似中心的位似图形，，
∴且相似比为，
∵点A的坐标为，
∴点C的坐标是，即，
故选：B．
【分析】根据位似性质即可求出答案.
9．（2025九上·花都期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，为水面截线，为桌面截线，，如果将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，则此时水面截线为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过O作，连接，
∴，
∵水面高度下降了，
∴，
∵，
∴，
∴.
故选：B．
【分析】过O作，连接，根据垂径定理可得，由题意可得，再根据勾股定理即可求出答案.
10．（2025九上·花都期末）如图，平面直角坐标系中，抛物线经过点和是抛物线上第四象限内一动点，过点作轴的垂线，垂足为，当取最大值时，点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线经过点和，
∴，
解得，
∴二次函数解析式为．
设点，则，且．
∴，
当时，有最大值，最大值为8，
∴．
故选：D．
【分析】根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式可得二次函数解析式为，设点，则，且．根据两点间距离可得，结合二次函数性质即可求出答案.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．（2025九上·花都期末）抛物线的顶点坐标是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵为抛物线的顶点式，
∴抛物线的顶点坐标为．
故答案为：．
【分析】根据二次函数顶点式性质即可求出答案.
12．（2025九上·花都期末）如图，、、是上三点，，则　 　．
【答案】
【知识点】角的运算；圆周角定理
【解析】【解答】解：与是同弧所对的圆心角和圆周角，
，
故答案为：．
【分析】
根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，即可得，代入数据计算即可解答．
13．（2025九上·花都期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在边上．若，．则的长为　 　．
【答案】4
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在边上，
，，
，
故答案为：．
【分析】根据旋转性质可得，，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．（2025九上·花都期末）已知点是反比例函数图象上的两点，则　 　．（填“>”，“=”或“<”）
【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：反比例函数中，，
∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵，
∴点A在第三象限、B在第一象限，
∴，
故答案为：．
【分析】根据反比例函数图象，性质与系数的关系即可求出答案.
15．（2025九上·花都期末）一个不透明的箱子里装有4个红球和若干个白球，每个球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的球摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定于，估计箱子里白球的个数为　 　个．
【答案】16
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵摸到白球的频率稳定在，
∴估计摸到白球的概率为，
设白球有a个，根据题意，
得：，
解得，
经检验是分式方程的解，
∴估计箱子里白色小球的个数为．
故答案为：．
【分析】根据大量重复实验时，可以用频率的集中趋势来估计概率．设白球有a个，利用概率公式列出关于x的分式方程，解分式方程即可求解．
16．（2025九上·花都期末）如图，点是外接圆上的一个动点（点不与点，，重合），，．则下列结论：①是等边三角形；②；③以，，，为顶点的四边形的最大面积是；④若点在内运动时，始终满足，则点运动的路径长度为．其中正确的是　 　．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①③
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形的外接圆与外心；旋转的性质
【解析】【解答】解：①∵，
∴，
∴为等边三角形，故①正确；
②将绕点B顺时针旋转得到，如图：
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴在上，
∴，
故②错误；
∵是等边三角形，，
∴的面积为定值，
∴当P与相邻两点构成的三角形面积最大时，以A，P，B，C为顶点的四边形面积最大，
以题图为例，
∵，为定值，
∴当P到距离最大时，面积最大，
∴此时，，
∴C，O，P共线，
连接，交于D，如图：
∵为等边三角形，，
∴，
∵O为外接圆圆心，
∴，
∴，
∴；
故③正确；
④将绕点B顺时针旋转得到，如图：
∴，
由②知，为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴N在以A为圆心，为半径的圆弧上，
又∵，
∴N点为定点，
∴M点为定点，没有运动轨迹；
故④错误；
综上所述，正确的是①③．
故答案为：①③．
【分析】根据等边三角形判定定理可判断①；将绕点B顺时针旋转得到，根据旋转性质可得，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，再根据边之间的关系可判断②；根据等边三角形性质可得的面积为定值，当P与相邻两点构成的三角形面积最大时，以A，P，B，C为顶点的四边形面积最大，当P到距离最大时，面积最大，此时，，则C，O，P共线，连接，交于D，根据等边三角形性质可得，根据三角形外接圆性质可得，则，再根据四边形面积可判断③；将绕点B顺时针旋转得到，则，根据等边三角形性质可得，再根据边之间的关系可得，根据勾股定理逆定理可得，再根据角之间的关系可得，则N在以A为圆心，为半径的圆弧上，再根据边之间的关系即可求出答案.
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2025九上·花都期末）解方程： ．
【答案】解：原方程变形为
∴ ， ．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】注意用十字相乘法进行因式分解
18．（2025九上·花都期末）如图，为的直径，点在上，，直线与直径的延长线交于点．求证：是的切线．
【答案】证明：连接
是的切线
【知识点】三角形内角和定理；切线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】连接，格努等边对等角可得，根据角之间的关系可得∠COD，再根据三角形内角和定理可得∠OCD，再根据切线判定定理即可求出答案.
19．（2025九上·花都期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，．
（1）画出，使得它与关于原点对称；
（2）直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2），，
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于原点的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：由图可得，．
20．（2025九上·花都期末）已知是反比例函数图象上一点．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）若点是这个反比例函数图象上的点，连接（为坐标原点），过点作轴，求的面积．
【答案】（1）解：设反比例函数的解析式为．
∵是反比例函数图象上一点，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：∵点是这个反比例函数图象上的点，
∴，
∴，
∵轴，
∴的面积．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）设反比例函数的解析式为，根据待定系数法将点A坐标代入解析式即可求出答案.
（2）将点P坐标代入反比例函数解析式可得，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：设反比例函数的解析式为．
∵是反比例函数图象上一点，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：∵点是这个反比例函数图象上的点，
∴，
∴，
∵轴，
∴的面积．
21．（2025九上·花都期末）“读万卷书，行万里路．”阅读可以增长见识，拓展视野．某校九年级通过开展以“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动来了解学生的阅读情况，学生根据自己的爱好选择一类书籍（：政史类，：科技类，：文学类，：艺术类，：其他类）．根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示），请你根据图中信息，解答下列问题：
（1）在这项调查中，共调查了_______名学生；
（2）将条形统计图补充完整，其中扇形统计图中“”所在扇形圆心角的度数为______；
（3）在选择“”的学生中有2名女生，2名男生，现从这四名学生中随机选出两名学生做读书分享，请求出刚好选到相同性别学生的概率．
【答案】（1）80
（2）72
（3）解：画树状图如下：
∴共有12种等可能的结果数，其中刚好选到相同性别学生的结果为4种，
∴刚好选到相同性别学生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得调查的学生人数为：（名），
故答案为：80.
（2）D的人数为：（名），
∴补全条形统计图如下图：
扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为，
故答案为：；
【分析】（1）用A的人数除以其所占百分比得到被调查的学生人数；
（2）先用被调查的学生总人数减去A，B，C，E的人数得到D人数，然后再补全统计图，用360°乘以B所占百分比，即可求出扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数；
（3）画树状图得到所有的等可能结果数，从而得刚好选到相同性别学生的结果数，进而利用概率公式求解即可．
（1）解：（名），
即在这项调查中，共调查了80名学生．
故答案为：80；
（2）解：D的人数（名），
补全统计图如图所示：
，
，
即扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为．
故答案为：；
（3）解：作树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中刚好选到相同性别学生的结果为4种，
∴刚好选到相同性别学生的概率为．
22．（2025九上·花都期末）某校在开展综合实践活动中取得了丰硕成果．为了进一步推广宣传，学校在一块长方形场地布展，米，米．为了让展览效果更好，现将长方形场地划分为六个展区，展示六个小组的项目成果，在各展区之间留同样宽的长方形通道．如果六个展区的总面积为70平方米，求通道的宽度．
【答案】解：设通道的宽度为x米，则六个展区的长为米，宽为米，
由题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：通道的宽度为1米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设通道的宽度为x米，则六个展区的长为米，宽为米，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
23．（2025九上·花都期末）如图，在中，点在边上，且，，点是的中点，连接并延长，交于点，，交于点．
（1）求证：；
（2）求的值．
【答案】（1）证明：
（2）解：由（1）得
又
，点是的中点

【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据相似三角形性质可得，代值计算可得，根据平行线分线段成比例定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：
（2）解：由（1）得
又
，点是的中点
24．（2025九上·花都期末）在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到新抛物线，点为新抛物线上一点．
（1）直接写出平移后新抛物线的表达式；
（2）当时，记新抛物线与原抛物线组成的图象为，过点作轴的垂线，若直线与图象只有一个交点，求的取值范围；
（3）若点在原抛物线上的对应点为，连接，当为直角三角形，且为直角边，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）解∶根据题意，画出图象如下：
由，可得顶点坐标，
根据图象可得：
①当点与顶点重合时，
直线与图象只有一个交点，此时
②设与轴相交于点，令，得，
当直线经过点时，记直线与新抛物线的另一交点为，
根据对称性得
记新抛物线与正半轴的交点为，令，求得
（舍去）即由图可知，当时，直线与图象只有一个交点综上，的取值范围是或；
（3）解∶①当时，由图象可知，此时点在第一象限，
理由：由平移可知知点在轴上方，即在第一象限，
过点作轴于点于点，由平移，得，
，
，
，，
，
，
因为点，得，即，
又点在上，
得到，
即，解得（舍去），
所以，即点；
②当时，过点作轴于点于点，由平移，得，同①可证明，
，，
设，得，
又点在上，得到，
即，解得（舍去），
所以，即点，
根据平移得，
综上或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的平移变换；二次函数-特殊三角形存在性问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【解答】（1）解∶将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，
根据平移规律：上加下减，左加右减，可得新抛物线的解析式为：；
【分析】（1）根据函数图象平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
（2）求出顶点坐标，分情况讨论：当点与顶点重合时，直线与图象只有一个交点，此时；②设与轴相交于点，令，得，根据函数图象的对称性可得，记新抛物线与正半轴的交点为，将y=0代入可得，结合函数图象即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当时，由图象可知，此时点在第一象限，由平移可知知点在轴上方，即在第一象限，过点作轴于点于点，由平移，得，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，将点M坐标代入解析式可得，建立方程，解方程即可求出答案；②当时，过点作轴于点于点，由平移，得，同①可证明，则，，将点M'坐标代入解析式可得，建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解∶将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，
根据平移规律：上加下减，左加右减，可得新抛物线的解析式为：；
（2）解∶根据题意，画出图象如下：
由，可得顶点坐标，
根据图象可得：
①当点与顶点重合时，
直线与图象只有一个交点，此时
②设与轴相交于点，令，得，
当直线经过点时，记直线与新抛物线的另一交点为，
根据对称性得
记新抛物线与正半轴的交点为，令，求得
（舍去）即由图可知，当时，直线与图象只有一个交点综上，的取值范围是或；
（3）解∶①当时，由图象可知，此时点在第一象限，
理由：由平移可知知点在轴上方，即在第一象限，
过点作轴于点于点，由平移，得，
，
，
，，
，
，
因为点，得，即，
又点在上，
得到，
即，解得（舍去），
所以，即点；
②当时，过点作轴于点于点，由平移，得，同①可证明，
，，
设，得，
又点在上，得到，
即，解得（舍去），
所以，即点，
根据平移得，
综上或．
25．（2025九上·花都期末）如图，在中，，以点为圆心，作与直线相切，切点为点，连接．
（1）求的半径；
（2）延长交于点，点是射线上一点，若与相似，请求出的长；
（3）点是上一个动点，连接交直线于点．在点运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：四边形是平行四边形，
，
，
与直线相切于点，
，即，
在中，，
的半径为1；
（2）解：由题意知，为的直径，
，
在中，，
由勾股定理，
①当时，如图，
，即，
；
②当时，如图，
，即，
，
综上，的长为或．
（3）解：存在，理由如下
过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，过点作，交于点，如图，
，
，
，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
在中，
，
，
，
由点运动轨迹可知，当为直径时，最大，取得最大值，
此时，点与点重合，是的切线，
故

【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；切线的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得，则，再根据切线性质可得，即，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得CE，分情况讨论：①当时，②当时，根据相似三角形性质即可求出答案.
（3）过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，过点作，交于点，根据相似三角形判定定理可得，根据直线平行性质可得，根据相似三角形性质可得，根据边之间的关系可得，再根据直线平行性质可得，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据边之间的关系可得，由点运动轨迹可知，当为直径时，最大，取得最大值，此时，点与点重合，是的切线，根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：四边形是平行四边形，
，
，
与直线相切于点，
，即，
在中，，
的半径为1；
（2）解：由题意知，为的直径，
，
在中，，
由勾股定理，
①当时，如图，
，即，
；
②当时，如图，
，即，
，
综上，的长为或．
（3）解：存在，理由如下
过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，过点作，交于点，如图，
，
，
，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
在中，
，
，
，
由点运动轨迹可知，当为直径时，最大，取得最大值，
此时，点与点重合，是的切线，
故．
1 / 1广东省广州市花都区2024--2025学年九年级上学期期末考试数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2025九上·花都期末）下列四个字母中，属于中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025九上·花都期末）下列事件中，属于随机事件的是（　　）
A．三角形的内角和是
B．负数大于正数
C．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的数字是6
D．明天太阳从西方升起
3．（2025九上·花都期末）在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九上·花都期末）已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九上·花都期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（　　）
A． B．1 C．3 D．5
6．（2025九上·花都期末）某工厂今年1月份的产值为25万元，3月份的产值为36万元．若设平均每月增长的百分率为，则依题意可列出的方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025九上·花都期末）如图，下列四个三角形中，与相似的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025九上·花都期末）如图，在平面直角坐标系中，与是以为位似中心的位似图形，若，，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025九上·花都期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，为水面截线，为桌面截线，，如果将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，则此时水面截线为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025九上·花都期末）如图，平面直角坐标系中，抛物线经过点和是抛物线上第四象限内一动点，过点作轴的垂线，垂足为，当取最大值时，点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．（2025九上·花都期末）抛物线的顶点坐标是　 　．
12．（2025九上·花都期末）如图，、、是上三点，，则　 　．
13．（2025九上·花都期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在边上．若，．则的长为　 　．
14．（2025九上·花都期末）已知点是反比例函数图象上的两点，则　 　．（填“>”，“=”或“<”）
15．（2025九上·花都期末）一个不透明的箱子里装有4个红球和若干个白球，每个球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的球摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定于，估计箱子里白球的个数为　 　个．
16．（2025九上·花都期末）如图，点是外接圆上的一个动点（点不与点，，重合），，．则下列结论：①是等边三角形；②；③以，，，为顶点的四边形的最大面积是；④若点在内运动时，始终满足，则点运动的路径长度为．其中正确的是　 　．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2025九上·花都期末）解方程： ．
18．（2025九上·花都期末）如图，为的直径，点在上，，直线与直径的延长线交于点．求证：是的切线．
19．（2025九上·花都期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，．
（1）画出，使得它与关于原点对称；
（2）直接写出点的坐标．
20．（2025九上·花都期末）已知是反比例函数图象上一点．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）若点是这个反比例函数图象上的点，连接（为坐标原点），过点作轴，求的面积．
21．（2025九上·花都期末）“读万卷书，行万里路．”阅读可以增长见识，拓展视野．某校九年级通过开展以“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动来了解学生的阅读情况，学生根据自己的爱好选择一类书籍（：政史类，：科技类，：文学类，：艺术类，：其他类）．根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示），请你根据图中信息，解答下列问题：
（1）在这项调查中，共调查了_______名学生；
（2）将条形统计图补充完整，其中扇形统计图中“”所在扇形圆心角的度数为______；
（3）在选择“”的学生中有2名女生，2名男生，现从这四名学生中随机选出两名学生做读书分享，请求出刚好选到相同性别学生的概率．
22．（2025九上·花都期末）某校在开展综合实践活动中取得了丰硕成果．为了进一步推广宣传，学校在一块长方形场地布展，米，米．为了让展览效果更好，现将长方形场地划分为六个展区，展示六个小组的项目成果，在各展区之间留同样宽的长方形通道．如果六个展区的总面积为70平方米，求通道的宽度．
23．（2025九上·花都期末）如图，在中，点在边上，且，，点是的中点，连接并延长，交于点，，交于点．
（1）求证：；
（2）求的值．
24．（2025九上·花都期末）在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到新抛物线，点为新抛物线上一点．
（1）直接写出平移后新抛物线的表达式；
（2）当时，记新抛物线与原抛物线组成的图象为，过点作轴的垂线，若直线与图象只有一个交点，求的取值范围；
（3）若点在原抛物线上的对应点为，连接，当为直角三角形，且为直角边，求点的坐标．
25．（2025九上·花都期末）如图，在中，，以点为圆心，作与直线相切，切点为点，连接．
（1）求的半径；
（2）延长交于点，点是射线上一点，若与相似，请求出的长；
（3）点是上一个动点，连接交直线于点．在点运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：D．
【分析】在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．
2．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、三角形的内角和是，是必然事件，不符合题意；
B、负数大于正数，是不可能事件，不符合题意；
C、抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的数字是6，是随机事件，符合题意；
D、明天太阳从西方升起，是不可能事件，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：
故选：A．
【分析】根据弧长公式即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：反比例函数的图象位于第一、三象限，
，
，
故选：D．
【分析】根据反比例函数图象与系数的关系即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
所以，
解得，
显然只有A选项符合题意．
故选：A．
【分析】根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：依题意，得．
故选：C．
【分析】根据题意建立方程即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，，∴
∴
A、两边成比例，但夹角不相等，故A是错误的；
B、两边成比例，但夹角不相等，故B是错误的；
C、两边成比例，夹角相等，故C是正确的；
D、两边成比例，但夹角不相等，故D是错误的；
故答案为：C。
【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断，即可得出答案
8．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵与是以O为位似中心的位似图形，，
∴且相似比为，
∵点A的坐标为，
∴点C的坐标是，即，
故选：B．
【分析】根据位似性质即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过O作，连接，
∴，
∵水面高度下降了，
∴，
∵，
∴，
∴.
故选：B．
【分析】过O作，连接，根据垂径定理可得，由题意可得，再根据勾股定理即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线经过点和，
∴，
解得，
∴二次函数解析式为．
设点，则，且．
∴，
当时，有最大值，最大值为8，
∴．
故选：D．
【分析】根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式可得二次函数解析式为，设点，则，且．根据两点间距离可得，结合二次函数性质即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵为抛物线的顶点式，
∴抛物线的顶点坐标为．
故答案为：．
【分析】根据二次函数顶点式性质即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】角的运算；圆周角定理
【解析】【解答】解：与是同弧所对的圆心角和圆周角，
，
故答案为：．
【分析】
根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，即可得，代入数据计算即可解答．
13．【答案】4
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在边上，
，，
，
故答案为：．
【分析】根据旋转性质可得，，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：反比例函数中，，
∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵，
∴点A在第三象限、B在第一象限，
∴，
故答案为：．
【分析】根据反比例函数图象，性质与系数的关系即可求出答案.
15．【答案】16
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵摸到白球的频率稳定在，
∴估计摸到白球的概率为，
设白球有a个，根据题意，
得：，
解得，
经检验是分式方程的解，
∴估计箱子里白色小球的个数为．
故答案为：．
【分析】根据大量重复实验时，可以用频率的集中趋势来估计概率．设白球有a个，利用概率公式列出关于x的分式方程，解分式方程即可求解．
16．【答案】①③
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形的外接圆与外心；旋转的性质
【解析】【解答】解：①∵，
∴，
∴为等边三角形，故①正确；
②将绕点B顺时针旋转得到，如图：
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴在上，
∴，
故②错误；
∵是等边三角形，，
∴的面积为定值，
∴当P与相邻两点构成的三角形面积最大时，以A，P，B，C为顶点的四边形面积最大，
以题图为例，
∵，为定值，
∴当P到距离最大时，面积最大，
∴此时，，
∴C，O，P共线，
连接，交于D，如图：
∵为等边三角形，，
∴，
∵O为外接圆圆心，
∴，
∴，
∴；
故③正确；
④将绕点B顺时针旋转得到，如图：
∴，
由②知，为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴N在以A为圆心，为半径的圆弧上，
又∵，
∴N点为定点，
∴M点为定点，没有运动轨迹；
故④错误；
综上所述，正确的是①③．
故答案为：①③．
【分析】根据等边三角形判定定理可判断①；将绕点B顺时针旋转得到，根据旋转性质可得，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，再根据边之间的关系可判断②；根据等边三角形性质可得的面积为定值，当P与相邻两点构成的三角形面积最大时，以A，P，B，C为顶点的四边形面积最大，当P到距离最大时，面积最大，此时，，则C，O，P共线，连接，交于D，根据等边三角形性质可得，根据三角形外接圆性质可得，则，再根据四边形面积可判断③；将绕点B顺时针旋转得到，则，根据等边三角形性质可得，再根据边之间的关系可得，根据勾股定理逆定理可得，再根据角之间的关系可得，则N在以A为圆心，为半径的圆弧上，再根据边之间的关系即可求出答案.
17．【答案】解：原方程变形为
∴ ， ．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】注意用十字相乘法进行因式分解
18．【答案】证明：连接
是的切线
【知识点】三角形内角和定理；切线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】连接，格努等边对等角可得，根据角之间的关系可得∠COD，再根据三角形内角和定理可得∠OCD，再根据切线判定定理即可求出答案.
19．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2），，
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于原点的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：由图可得，．
20．【答案】（1）解：设反比例函数的解析式为．
∵是反比例函数图象上一点，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：∵点是这个反比例函数图象上的点，
∴，
∴，
∵轴，
∴的面积．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）设反比例函数的解析式为，根据待定系数法将点A坐标代入解析式即可求出答案.
（2）将点P坐标代入反比例函数解析式可得，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：设反比例函数的解析式为．
∵是反比例函数图象上一点，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：∵点是这个反比例函数图象上的点，
∴，
∴，
∵轴，
∴的面积．
21．【答案】（1）80
（2）72
（3）解：画树状图如下：
∴共有12种等可能的结果数，其中刚好选到相同性别学生的结果为4种，
∴刚好选到相同性别学生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得调查的学生人数为：（名），
故答案为：80.
（2）D的人数为：（名），
∴补全条形统计图如下图：
扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为，
故答案为：；
【分析】（1）用A的人数除以其所占百分比得到被调查的学生人数；
（2）先用被调查的学生总人数减去A，B，C，E的人数得到D人数，然后再补全统计图，用360°乘以B所占百分比，即可求出扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数；
（3）画树状图得到所有的等可能结果数，从而得刚好选到相同性别学生的结果数，进而利用概率公式求解即可．
（1）解：（名），
即在这项调查中，共调查了80名学生．
故答案为：80；
（2）解：D的人数（名），
补全统计图如图所示：
，
，
即扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为．
故答案为：；
（3）解：作树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中刚好选到相同性别学生的结果为4种，
∴刚好选到相同性别学生的概率为．
22．【答案】解：设通道的宽度为x米，则六个展区的长为米，宽为米，
由题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：通道的宽度为1米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设通道的宽度为x米，则六个展区的长为米，宽为米，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
23．【答案】（1）证明：
（2）解：由（1）得
又
，点是的中点

【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据相似三角形性质可得，代值计算可得，根据平行线分线段成比例定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：
（2）解：由（1）得
又
，点是的中点
24．【答案】（1）
（2）解∶根据题意，画出图象如下：
由，可得顶点坐标，
根据图象可得：
①当点与顶点重合时，
直线与图象只有一个交点，此时
②设与轴相交于点，令，得，
当直线经过点时，记直线与新抛物线的另一交点为，
根据对称性得
记新抛物线与正半轴的交点为，令，求得
（舍去）即由图可知，当时，直线与图象只有一个交点综上，的取值范围是或；
（3）解∶①当时，由图象可知，此时点在第一象限，
理由：由平移可知知点在轴上方，即在第一象限，
过点作轴于点于点，由平移，得，
，
，
，，
，
，
因为点，得，即，
又点在上，
得到，
即，解得（舍去），
所以，即点；
②当时，过点作轴于点于点，由平移，得，同①可证明，
，，
设，得，
又点在上，得到，
即，解得（舍去），
所以，即点，
根据平移得，
综上或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的平移变换；二次函数-特殊三角形存在性问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【解答】（1）解∶将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，
根据平移规律：上加下减，左加右减，可得新抛物线的解析式为：；
【分析】（1）根据函数图象平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
（2）求出顶点坐标，分情况讨论：当点与顶点重合时，直线与图象只有一个交点，此时；②设与轴相交于点，令，得，根据函数图象的对称性可得，记新抛物线与正半轴的交点为，将y=0代入可得，结合函数图象即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当时，由图象可知，此时点在第一象限，由平移可知知点在轴上方，即在第一象限，过点作轴于点于点，由平移，得，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，将点M坐标代入解析式可得，建立方程，解方程即可求出答案；②当时，过点作轴于点于点，由平移，得，同①可证明，则，，将点M'坐标代入解析式可得，建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解∶将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，
根据平移规律：上加下减，左加右减，可得新抛物线的解析式为：；
（2）解∶根据题意，画出图象如下：
由，可得顶点坐标，
根据图象可得：
①当点与顶点重合时，
直线与图象只有一个交点，此时
②设与轴相交于点，令，得，
当直线经过点时，记直线与新抛物线的另一交点为，
根据对称性得
记新抛物线与正半轴的交点为，令，求得
（舍去）即由图可知，当时，直线与图象只有一个交点综上，的取值范围是或；
（3）解∶①当时，由图象可知，此时点在第一象限，
理由：由平移可知知点在轴上方，即在第一象限，
过点作轴于点于点，由平移，得，
，
，
，，
，
，
因为点，得，即，
又点在上，
得到，
即，解得（舍去），
所以，即点；
②当时，过点作轴于点于点，由平移，得，同①可证明，
，，
设，得，
又点在上，得到，
即，解得（舍去），
所以，即点，
根据平移得，
综上或．
25．【答案】（1）解：四边形是平行四边形，
，
，
与直线相切于点，
，即，
在中，，
的半径为1；
（2）解：由题意知，为的直径，
，
在中，，
由勾股定理，
①当时，如图，
，即，
；
②当时，如图，
，即，
，
综上，的长为或．
（3）解：存在，理由如下
过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，过点作，交于点，如图，
，
，
，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
在中，
，
，
，
由点运动轨迹可知，当为直径时，最大，取得最大值，
此时，点与点重合，是的切线，
故

【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；切线的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得，则，再根据切线性质可得，即，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得CE，分情况讨论：①当时，②当时，根据相似三角形性质即可求出答案.
（3）过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，过点作，交于点，根据相似三角形判定定理可得，根据直线平行性质可得，根据相似三角形性质可得，根据边之间的关系可得，再根据直线平行性质可得，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据边之间的关系可得，由点运动轨迹可知，当为直径时，最大，取得最大值，此时，点与点重合，是的切线，根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：四边形是平行四边形，
，
，
与直线相切于点，
，即，
在中，，
的半径为1；
（2）解：由题意知，为的直径，
，
在中，，
由勾股定理，
①当时，如图，
，即，
；
②当时，如图，
，即，
，
综上，的长为或．
（3）解：存在，理由如下
过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，过点作，交于点，如图，
，
，
，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
在中，
，
，
，
由点运动轨迹可知，当为直径时，最大，取得最大值，
此时，点与点重合，是的切线，
故．
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