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(共33张PPT)
第六单元　圆
基础课27　与圆有关的计算
节前复习导图
与圆有关
的计算
圆锥的相关计算
弧长公式
圆的周长
弧长
面积公式
圆的面积
扇形的面积
阴影部分
面积的计算
1
考点精讲
2
基础题练考点
3
分层作业本
考点精讲
一、弧长公式
1. 圆的周长：C=
2. 弧长：l=
2πr

二、面积公式
1. 圆的面积：S=
2. 扇形的面积：S扇形= 　 　=rl　
r为圆(或扇形)的半径，n°为弧所对的圆心角的度数，l是扇形的弧长
πr2

三、圆锥的相关计算(如图)
1. r为圆锥底面圆的半径，则底面圆的面积S= ，周长C=
2. r为圆锥底面圆的半径，n°为圆锥侧面展开图扇形的圆心角度数，l既为圆锥的母线
长，又为圆锥侧面展开图扇形的半径，则n=
3. h为圆锥的高，l为圆锥的母线长，r为圆锥底面圆的半径，则r2＋ =l2
4. 圆锥底面圆的周长为圆锥侧面展开图扇形的 ，即2πr=
5. 圆锥的侧面积为πrl
πr2
2πr

h2
弧长

四、阴影部分面积计算
1. 构造和差法：
S阴影=S△OBD＋S扇形DOC S阴影=S△ODC－S扇形DOE
S阴影=S扇形BOE＋S△OCE－S扇形
COD
2. 转化法：
基本图形 转化 转化后图形 面积
(CD∥AB) S阴影=S扇形COD
(EF⊥BC) S阴影=S扇形ECD＋S△EFC
基础题练考点
与弧长有关的计算(4年2考)
命题点
1
1. (2025四市联考一模)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是
的中点，且∠BCD=25°.若AB=6，则的长为 　 .(结果保留π)
π
2. (2025苏州14题3分)“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设
有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示.该摩天轮高128 m(即
最高点离水面平台MN的距离)，圆心O到MN的距离为68 m，摩天轮匀速
旋转一圈用时30 min.某轿厢从点 A 出发，10 min后到达点 B，此过程
中，该轿厢所经过的路径(即)长度为 m.(结果保留π)
40π
3. (2024苏州14题3分)铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个
花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一
个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，若
AB=2，则花窗的周长(图中实线部分的长度)= .(结果保留π)
8π
4. (2025 )曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功能是将活塞
的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动，其结构示意
图如图所示，当活塞在汽缸内往复运动时，通过连杆PQ带动曲轴做圆周
运动.静止时，活塞处于点Q′处，且O，P，Q′三点共线，当活塞运动到点
Q处时，完成一次进气过程，已知OP=40 mm，且完成一次进气过程，OP
扫过的扇形面积为 mm2，则完成一次进气过程中，连接点P运动的
路径长为 　 　　mm.

【解析】如解图，设QO与⊙O交于点M，完成一次进气过程，OP扫过的
扇形为扇形OPM，设∠POM=n°，∵完成一次进气过程，OP扫过的扇形
面积为 mm2，∴
，∴点P运动的路径长为=(mm).
圆锥的相关计算(2023.15)
命题点
2
5. (2025三区统考二模)给一个圆锥形零件的侧面涂漆，零件的尺寸要求如
图所示，则需要涂漆的面积为 cm2.(结果保留π)
6. (2025高新实验中学二模)圆锥的底面半径为14 cm，母线长为21 cm，则
该圆锥的侧面展开图的圆心角为 °.
72π
240
7. (2023苏州15题3分)如图，在 ABCD中，AB=＋1，BC=2，
AH⊥CD，垂足为H，AH=.以点A为圆心，AH长为半径画弧，与AB，
AC，AD分别交于点 E，F，G. 若用扇形AEF围成一个圆锥的侧面，记这
个圆锥底面圆的半径为r1；用扇形AHG围成另一个圆锥的侧面，记这个圆
锥底面圆的半径为r2，则r1－r2= 　 　　.(结果保留根号)

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，BC=AD=2，AH=，
AH⊥CD，∴HD=1，∴∠D=60°，∴∠DAB=120°，又∵AB=CD=＋
1，∴CH=，∴∠ACH=45°，∴∠EAF=45°，则的长为，则r2=，则r1－r2=.
阴影部分面积的计算
命题点
3
8. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=6，以点A为圆心，AD为半径的弧
交BC于点E，则阴影部分的面积为(　D　)
A. π B. π C. 2π D. 3π
D
【解析】根据题意得，AE=AD=6，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE=90°，BC∥AD，在Rt△ABE中，∵AB=3，AE=6，
∴sin∠AEB==，∴∠AEB=30°，∴∠DAE=∠AEB=30°，∴阴影部
分的面积为=3π.
9. (九上复习题改编)如图，在正方形ABCD中，AB=1，以
B为圆心，BA为半径作圆弧，交CB的延长线于点E，连接DE. 则图中阴影
部分的面积为(　D　)
一题多解法
A. ＋ B. C. ＋ D.
D
【解析】如解图，设AB，DE交于点F，根据题意得BE=AD，在正方形
ABCD中，∠FAD=∠ABC=90°，AD∥BC，∴∠ADF=∠BEF，
∴△ADF≌△BEF，∴S阴影部分=S阴影AEF＋S△ADF=S阴影AEF＋S△BEF=S扇形
ABE==.
解图
正方形ABCD中，AB=1，
图中阴影部分的面积.
解法二：在正方形ABCD中，∠ABC=90°，AB=1，
∴BE=1，∠ABE=90°，BC=CD=1，
∴BE＋BC=CE=2，
∴S阴影部分=S扇形ABE＋S正方形ABCD－S△DCE=＋1×1－×2×1 =.
10. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC
分别交于点D，E，连接AE，DE，若∠BED=45°，AB=2，则阴影部分的
面积为(　A　)
A. B. C. D. π
A
【解析】如解图，连接OE，OD，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°，
∵AB=AC，∴BE=CE，即E是BC的中点，∵O是AC的中点，∴OE是
△ABC的中位线，∴OE∥AB，OE=AB=1，∴S△AOD=S△AED，∴S阴影部分
=S扇形AOD，∵∠AEC=90°，∴∠AEB=90°，∵∠BED=45°，
∴∠AED=45°，∴∠AOD=90°，∵OA=OE=1，∴S阴影部分=S扇形
AOD==.
11. (九上复习题改编)(2025昆山多校联考一模)如图，在扇形AOB中，已知
∠AOB=90°，OA=，过的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别
为D，E，则图中阴影部分的面积为(　B　)
A. π－1 B. －1 C. π－ D. －
B
【解析】∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CDO=∠CEO=∠AOB=90°，
∴四边形CDOE是矩形，如图，连接OC，∵C是的中点，
∴∠AOC=∠BOC，∵OC=OC，∴△COD≌△COE(AAS)，∴OD=OE，
∴矩形CDOE是正方形，∵OC=OA=，∴OE=1，
∴S阴影部分=S扇形AOB－S正方形CDOE=－1×1=－1.
12. (九上复习题)如图，AB是⊙O的切线，连接OA，OB，OB交⊙O于点
C，若⊙O的半径为2，∠B=40°，则图中阴影部分的面积为 　 　　.

13. 如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，OD⊥AC，垂足为D，延
长OD与半圆O交于点E. 若AB=16，∠CAB=30°，则图中阴影部分的面积
为 　 　 .
－8）

【解析】如图，连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°，
∴∠AOC=120°，∵AB=16，∴OA=AB=8，∵OD⊥AC，
∠OAD=30°，OA=OC，∴OE为AC的垂直平分线，∴OD=4，
AD=CD=4，∴AC=2AD=8，∴S阴影部分=(S扇形AOC－
S△AOC)×=(－×8×4)×=－8.
14. (九上习题改编)如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC与
⊙O相切，切点为C，若∠ACD=120°，AB=2，则阴影部分的面积为 　
　　.
－

【解析】如图，连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∵∠ACD=120°，∴∠BCD=120°－90°=30°，∵DC与⊙O相切，OC
是⊙O的半径，∴∠DCO=90°，∴∠BCO=60°，∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠BOC=60°，∵AB=2，∴OC=1，在Rt△OCD中，∠D=90°－
60°=30°，∴OD=2OC=2，∴CD==，∴S阴影部分=S△OCD
－S扇形BOC=××1－=－.
15. 如图，半径是3的⊙O中，AB与⊙O相切于点B，射线AO与⊙O交于点
C，D，F是AB延长线上一点，且BF=3，连接DF，点E在⊙O上，连接
BE，∠A=30°.
(1)求∠E的度数；
解：如图，连接OB，CB，
∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO=90°，
∵∠A=30°，∴∠AOB=60°，
∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠OCB=60°，
∵，
∴∠E=∠DCB=60°；
半径是3的⊙O，AB与⊙O相切于点B，BF=3，∠A=30°.
(2)求证：DF是⊙O的切线；
证明：如图，连接OF，
∵OB=3，∠OAB=30°，
∴在Rt△OAB中，AB=OB=3，
∵BF=3，∴AB=BF，
∵OB⊥AF，∴OF=OA，
∴∠FOB=∠AOB=60°，∠OFA=∠A=30°，
∴∠DOF=∠OFA＋∠A=60°，
∴∠DOF=∠BOF=60°，
在△ODF和△OBF中，
，
∴△ODF≌△OBF(SAS)，
∴∠ODF=∠OBF=90°，即OD⊥DF，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
半径是3的⊙O，AB与⊙O相切于点B，BF=3，∠A=30°.
(3)求图中阴影部分的面积.
解：由(2)可得∠DOB=120°，
∴S扇形BOD=π×32=3π，
由(2)得△ODF≌△OBF，
∴DF=BF=3，
∴在Rt△ADF中，AD=DF=9.
∴S阴影部分=S△AFD－S△ABO－S扇形BOD=AD DF－AB OB－3π=×9×3－
×3×3－3π=9－3π.(共39张PPT)
第六单元　圆
基础课25　圆的基本性质
章前复习思路
确定圆
的条件
与圆有关的位置关系
点与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
点在圆内
点在圆上
点在圆外
相交
弦：垂径定理
角：圆周角定理及推论；
弦、弧、圆心角的关系
形：三角形的外接圆；
圆内接四边形；
正n边形和圆
相切
性质、判定
三角形的内切圆
※切线长及定理
相离
圆
与圆有关的计算
轴对称性
旋转不变性
中心对称性
圆的性质
圆锥的侧面展开图是扇形
扇形的弧长和面积计算
圆锥的相关计算
阴影部分面积计算
阴影部分常转化为扇形
节前复习导图
与圆有关的概念
圆内接
四边形
垂径定理
及其推论
定理
推论
三角形的外接圆
定义
圆心 O
性质
角度关系
正多边形
与圆
中心角
边心距
周长
面积
与圆有关的性质
对称性
旋转不变性
弧、弦、弦心距、圆心角的关系
定理
推论
圆周角定理
及其推论
定理
推论
圆的基本
性质
圆的概念
1
考点精讲
2
基础题练考点
3
分层作业本
考点精讲
一、圆的概念：在平面内把线段OP绕着端点O旋转1周，端点P运动所形成的图形叫做
圆.其中，点O叫做 ，线段OP叫做
二、与圆有关的概念(图①)
如图①，点A，B，C，D均在⊙O上，线段AB经过圆心O，且D为弧AB的中点，连接
AC，OC，OD. (任填一个符合要求的答案)
图①
圆心
半径
(1)图中 是圆周角， 是圆
心角(写出小于180°的角即可)
(2)图中 是弦，其中 是最长的弦
(3)图中 是优弧，
是劣弧
(4)图中和 ，和 ，和是等弧
∠BAC
∠AOC(或∠BOC或∠AOD或∠BOD或∠COD)
AC(或AB)
AB
(或或或或)
(或或或或)　


三、与圆有关的性质
1. 对称性：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，任何一条直径所在的直线都是它
的对称轴， 是它的对称中心
2. 旋转不变性：圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合
圆心
四、弧、弦、弦心距、圆心角的关系
1. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦
心距相等
2. 推论
(1)在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦
心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等
简记：在同圆或等圆中，圆心角相等 弧相等 弦相等 弦心距相等
(2)弧的度数等于它所对圆心角的度数
【满分技法】在同圆或等圆中，若=2则所对的圆心角(或圆周角)等于所对的圆心角(或圆周角)的2倍，但弦AB≠2CD
五、圆周角定理及其推论
1. 定理：
2. 推论
(1)
(2)半圆(或直径)所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦
是
【满分技法】
(1)一条弦对着两条弧，这两条弧所对的圆周角互补
(2)一条弧只对着一个圆心角，但却对着无数个圆周角
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
同弧或等弧所对的圆周角相等
直角(或90°)
直径
六、垂径定理及其推论(图②)
1. 定理：垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的弧(2022课标将
探索并证明垂径定理调整为考查内容)
2. 推论：平分弦(不是直径)的直径 于弦，并且 弦所对的弧
平分这条
平分这条
垂直
平分
【满分技法】根据圆的对称性，如图②所示，在以下五个结论中：
(1) ；(2) 　 =；(3)AE= ；(4)AB⊥CD；
(5)CD是直径，只要满足其中的两个结论，另外三个结论一定成立，即“知二推三”，
若由(3)(5)推其他3个结论应满足AB不是直径　
图②

BE

七、三角形的外接圆(图③)
1. 定义：经过三角形三个顶点的圆
2. 圆心O：外心(三角形外接圆圆心或三角形三条边的 的交点)
3. 性质：三角形的外心到三角形的 的距离相等
4. 角度关系：∠BOC=2∠A，∠BOC=360°－2∠A′
垂直平分线
三个顶点
【知识拓展】若在Rt△ABC中，a，b分别是Rt△ABC的两条直角边，c为斜边，则外
接圆半径r=
图③
八、圆内接四边形(图④)
1. 定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的
外接圆
2. 性质
(1)圆内接四边形的对角
(2)圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的
【满分技法】连接圆内接四边形的两条对角线，则必然存在两组相似三角形，
如图④，△ADF∽ ，△ABF∽
图④
互补
内对角
△BCF
△DCF
九、正多边形和圆
名称 公式 图例
中心角 正n边形的每个中心角θ为
R：半径　r：边心距
　a：边长　θ：中心角
边心距 正n边形的边心距r= 周长 正n边形的周长l=na 面积 正n边形的面积S= rl(l为正n边形的周长)

基础题练考点
圆周角定理及其推论(4年2考)
命题点
1
1. (九上练习改编)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，连接
OC，CD，BD. 若∠AOC=40°，则∠D的度数为(　D　)
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
D
2. (2025苏州中学集团一模)如图，已知过⊙O外一点A向⊙O作两条割线分
别交⊙O于点D，B和点E，C，其中AB＞AD，AC＞AE，经测量得知
∠A=30°30′3″，则的度数不可能是(　A　)
A. 61° B. 62° C. 63° D. 64°
A
3. (2022苏州13题3分)如图，AB是 ⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接
AC，AD. 若 ∠BAC=28°，则 ∠D= °.
62
4. (2024苏州12题3分)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠OBC=28°，则∠A= °.
62
垂径定理及其推论(2023.8)
命题点
2
5. 如图，工人师傅准备用一个内径为20 cm的塑料圆管截一段引水槽，槽
口宽度AB为16 cm，点O为圆心，OC⊥AB，则槽的深度CD为(　A　)
A. 4 cm B. 6 cm C. 8 cm D. 10 cm
A
【解析】∵塑料圆管的内径为20 cm，∴塑料圆管的半径为10 cm，即
OA=OC=10 cm，∵OC⊥AB，∴AD=DB=AB=8 (cm)，在Rt△ADO中，
由勾股定理，得OD==6 (cm)，∴CD=OC－OD=10－6=4
(cm).
6. (九上复习题改编)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，且
=4，过点C作CD⊥AB交⊙O于点D，连接DO并延长交AC于点E，则
∠CED度数为(　C　)
A. 36° B. 44° C. 54° D. 66°
C
【解析】如图，连接OC，∵ ，∴∠AOC=4∠BOC. ∵AB是
⊙O的直径，∴∠AOC＋∠BOC=180°，∴5∠BOC=180°，
∴∠BOC=36°，∴∠BAC=∠BOC=18°.∵CD⊥AB，
∴∠BOD=∠BOC=36°，∴∠AOE=∠BOD=36°，∴∠CED=∠AOE＋
∠BAC=36°＋18°=54°.
7. 如图，在⊙O中，弦AB∥CD(弦AB，CD位于圆心两侧)，连接
AO，CO，过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，⊙O的半径为
6，若AB=6，CD=6，则∠AOC的度数为 .
105°
【解析】∵AB∥CD，OE⊥AB，OF⊥CD，∴E，O，F三点共
线.∵AB=6，CD=6，OA=OC=6，∴AE=AB=3，CF=CD=3，∴在
Rt△AOE中，sin∠AOE===；在Rt△COF中，
sin∠COF===，∴∠AOE=30°，∠COF=45°，∴∠AOC=180°
－30°－45°=105°.
圆内接四边形
命题点
3
8. (九上习题改编)如图，四边形ABCD内接于⊙O，C是
的中点，∠A=40°，连接BD，E为BC延长线上一点，则∠DCE的度数
为 °，∠CBD的度数为 °.
40
20
一题多解法
【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=40°，
∴∠BCD=180°－∠A=180°－40°=140°，
∴∠DCE=180°－∠BCD=40°.
∵C为的中点，∴CD=CB，
∴∠CBD=(180°－∠BCD)÷2=(180°－140°)÷2=20°.
解法二：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＋∠BCD=180°.
∵∠DCE＋∠BCD=180°，∴∠DCE=∠A=40°.
如图，连接AC，∵C是，∴∠CBD=∠CAD=∠BAC=∠A=20°.
四边形ABCD内接于⊙O，C是的中点，∠A=40°.
题后反思
若点A在优弧上移动，则∠A的平分线始终过C点吗？为什么？
解：∠A的平分线始终过C点.
理由如下：如图，∵C是的中点，
∴，
∴∠CAB=∠CAD，
∴AC平分∠DAB.
正多边形与圆
命题点
4
9. (2025苏州附中零模)如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切
于A，C两点，连接AO，CO，则∠AOC的度数是 .
144°
【解析】∵⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，
∴∠OAE=90°，∠OCD=90°，∴正五边形ABCDE的
每个内角度数为(5－2)×180°÷5=540°÷5=108°，
∴在五边形OAEDC中，∠AOC=540°－∠E－∠D－
∠OAE－∠OCD=540°－108°－108°－90°－90°=144°.
圆的性质综合题(4年2考)
命题点
5
10. (2024苏州25题10分)如图，△ABC中，AB=4，D为AB中点，
∠BAC=∠BCD，cos∠ADC=，⊙O是△ACD的外接圆.
(1)求BC的长；
解：∵∠BAC=∠BCD，∠B=∠B，
∴△BAC∽△BCD，∴=.
∵D是AB的中点，AB=4，∴AD=BD=AB=2，
∴=，解得BC=4，∴BC的长是4；
△ABC，AB=4，D为AB中点，∠BAC=∠BCD，cos∠ADC=，⊙O是
△ACD的外接圆.
(2)求⊙O的半径.
解：如图，过点A作AE⊥CD于点E，连接CO
并延长交⊙O于点F，连接AF，
∵在Rt△AED中，cos∠ADC==，
由(1)得，AD=2，
∴=，解得DE=1，
∟
E
F
∴在Rt△AED中，由勾股定理得，
AE==，
由(1)得，△BAC∽△BCD，BC=4，
∴==，
设CD=x，则AC=x，CE=x－1，
在Rt△ACE中，由勾股定理，得AE2＋CE2=AC2，
即()2＋(x－1)2=(x)2，
整理，得x2＋2x－8=0，
解得x1=2，x2=－4(舍去)，
∴CD=2，AC=2.
∵CF是⊙O的直径，
∴∠CAF=90°.
∵∠AFC=∠ADC，
∴sin∠AFC=sin∠ADC，
∴=，即=，
解得CF=，
∴⊙O的半径为.
11. (2023苏州25题改编)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直
径，AC=3，BC=4，CD平分∠ACB，交AB于点F，交⊙O于点D，连接
BD，作BE⊥CD，垂足为E.
(1)求证：△ACF∽△DCB；
证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACF=∠DCB，
∵∠CAF=∠CDB，
∴△ACF∽△DCB；
△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AC=3，BC=4，CD平分
∠ACB，BE⊥CD，垂足为E.
(2)求证：AC＋BC=CD；
证明：如图，连接AD，过点A作AH⊥CD于点H，则
∠AHC=∠AHD=90°，
∵BE⊥CD于点E，
∴∠BEC=∠DEB=90°，
∴∠AHD=∠DEB，
∵AB是⊙O的直径，
∟
H
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACH=∠BCE=∠ACB=45°，∠ADH=∠DBE=90°－∠BDE，
∴∠CAH=∠ACH=45°，∠CBE=∠BCE=45°，
∴AH=CH，BE=CE，
∴在Rt△ACH和Rt△BCE中，由勾股定理得，AC==AH，
BC==CE，
∵∠AHD=∠DEB，∠ADH=∠DBE，
∴△AHD∽△DEB，
∵∠ACD=∠DCB，
∴，
∴AD=DB，
∵==1，
∴AH=DE，
∴AC=DE，
∴AC＋BC=DE＋CE=CD；
△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AC=3，BC=4，CD平分
∠ACB，BE⊥CD，垂足为E.
(3)求CF的长.
解：∵AC=3，BC=4，且AC＋BC=CD，
∴3＋4=CD，
∴CD=，
由(1)知，△ACF∽△DCB，
∴=，
∴CF===，
∴CF的长是.(共34张PPT)
第六单元　圆
提升课26　与圆有关的位置关系
节前复习导图
点与圆的
位置关系
点在圆外
点在圆上
点在圆内
直线与圆的
位置关系
相离
相切
相交
切线的性
质与判定
性质定理
判定定理
判定方法
三角形的
内切圆
定义
圆心O
性质
角度关系
与圆的位置
关系
切线长
切线长定理
1
考点精讲
2
核心考点突破
3
分层作业本
考点精讲
一、点与圆的位置关系(设⊙O的半径为r，平面内任意一点到圆心的距离为d)如图①
1. 点在圆外 d r，如点A
2. 点在圆上 d r，如点B
3. 点在圆内 d r，如点C　
图①
＞
=
＜
二、直线与圆的位置关系(设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d)
位置关系 相离 相切 相交
d与r的关系 d r d r d r
交点的个数 公共点 有且只有一个公共点 有 个公共点
示意图
＞
=
＜
没有
两
三、切线的性质与判定
1. 性质定理：圆的切线 于过切点的半径(或直径)
2. 判定定理：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
3. 判定方法
(1) 直线与圆有公共点：“有公共点，连半径，证垂直”：若已知直线经过圆上一点，则
连接这点和圆心得到半径，再证所作半径与这条直线垂直；
(2)直线与圆公共点未知：“公共点未知，作垂直，证半径”：若已知条件中不确定直线
与圆是否有公共点，则过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径的长
垂直
四、切线长：如图②，过圆外一点P有两条直线PA，PB分别与⊙O相切，这点和切点
之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长
五、切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，这两条切线长 ，这一点
和圆心的连线 两条切线的夹角.如图②，PA，PB为⊙O的切线，A，B为切
点，那么PA= ，∠APO= = 　∠APB
图②
相等
平分
PB
∠BPO
六、三角形的内切圆
1. 定义：与三角形各边都相切的圆
2. 圆心O：内心(三角形的内切圆圆心或三角形三个内角的 的交点)
3. 性质：三角形的内心到三角形的 的距离相等
4. 角度关系：如图③，∠BOC=90°＋∠BAC
角平分线
三条边
图③
【满分技法】若△ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆的半径为r，则S△ABC=(a＋b
＋c)r
核心考点突破
点、直线与圆的位置关系
命题点
1
例1　(九上练习改编)在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，O是BC边上的中
点.连接AO，以点O为圆心，r为半径作圆.
(1)若r=3，则点A与⊙O的位置关系是 ，直线AB与⊙O的
位置关系是 ；
(2)若r=4.8，则点A与⊙O的位置关系是 ，直线AB与⊙O
的位置关系是 ；
(3)若r=8，则点A与⊙O的位置关系是 ，直线AB与⊙O的
位置关系是 .
点A在⊙O外
相离
点A在⊙O外
相切
点A在⊙O内
相交
与切线判定有关的证明及计算(4年2考)
命题点
2
例2　(九上习题改编)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的
直线CD交BA的延长线于点D，且∠DCA=∠B，求证：CD是⊙O的切线.
证明：如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB＋∠B=90°.
又∵OA=OC，
∴∠CAB=∠ACO，
∵∠DCA=∠B，
∴∠DCO=∠ACO＋∠DCA=∠CAB＋∠B=90°，
即CD⊥OC.
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线.
例3　(九上练习改编)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，O
为AB上一点，且3AO=AB，以OA为半径作⊙O，求证：BC是⊙O的切线.
∟
H
证明：如图，过点O作OH⊥BC于点H，
∴∠OHB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴OH∥AC，
∵∠A=60°，
∴∠HOB=60°，∠B=30°，
∴OH=OB，
∵3AO=AB，
∴OA=OB，
∴OH=OA，
∴OH是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线.
练习1　 如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过点A作AB⊥OP，
垂足为点C，交⊙O于点B，连接BO并延长交PA的延长线于点D，连接PB.
证明：如图，连接OA，
∵AB⊥OP，OB=OA，
∴∠BOP=∠AOP，
在△OBP与△OAP中，
(1)求证：PB为⊙O的切线；
∴△OBP≌△OAP(SAS)，
∵PA是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，
∴∠OAP=90°，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∴OB⊥PB，
∵OB是⊙O的半径，
∴PB是⊙O的切线；
PA为⊙O的切线，A为切点，过点A作AB⊥OP，垂足为点C.
(2)若OB=3，OD=5，求OP的长.
解：∵OD=5，OA=OB=3，
∴BD=OD＋OB=8，在Rt△AOD中，AD==4，
∵PA，PB为⊙O的切线，
∴PA=PB，
在Rt△DBP中，PD2=PB2＋BD2，
即(PB＋4)2=PB2＋82，解得PB=6，
∴在Rt△OBP中，OP===3.
练习2　(2025苏州25题10分)如图，在四边形ABCD中，BD=CD，
∠C=∠BAD. 以AB为直径的⊙O经过点D，且与边CD交于点E，连接AE，
BE.
(1)求证：BC为⊙O的切线；
证明：∵BD=CD，
∴∠C=∠DBC，
又∵∠C=∠BAD，
∴∠BAD=∠DBC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD＋∠DBA=90°，∴∠DBC＋∠DBA=90°，
即∠CBA=90°，
∴AB⊥BC，
∵OB为⊙O的半径，
∴BC为⊙O的切线；
四边形ABCD，BD=CD，∠C=∠BAD. AB为直径.
(2)若AB=，sin∠AED=，求BE的长.
解：如图，过点D作DF⊥BC，垂足为F，
∟
F
∵，∴∠ABD=∠AED，
∴sin∠ABD=sin∠AED=，
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=，sin∠ABD=，
∴AD=1，BD=3，
∵DF⊥BC，AB⊥BC，∴DF∥AB，
∴∠BDF=∠ABD，∴sin∠BDF=sin∠ABD=，
在Rt△BDF中，∠BFD=90°，BD=3，sin∠BDF=，
∴BF=，
∵BD=CD，DF⊥BC，∴BC=2BF=，
∵四边形ABED内接于⊙O，
∴∠DAB＋∠BED=180°，
∵∠C=∠BAD，∴∠CEB=∠C，∴BE=BC=.
∟
F
练习3　(2022苏州24题8分)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是的中
点，CD与AB交于点E，F是AB延长线上的一点，且CF=EF.
(1)求证：CF为⊙O的切线；
证明：如图①，连接OC，OD，
∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC.
∵FC=FE，∴∠FCE=∠FEC.
∵∠OED=∠FEC，∴∠OED=∠FCE.
∵AB是⊙O的直径，D是的中点，∴∠DOE=90°，
∴∠DOE=90°，∴∠OED＋∠ODC=90°，
图①
∴∠FCE＋∠OCD=90°，即∠OCF=90°，
∴OC⊥CF.
∵OC为⊙O的半径，∴CF为⊙O的切线；
AB是⊙O的直径， D是的中点，CF=EF.
(2)连接BD，取BD的中点G，连接AG. 若CF=4，BF=2，求AG的长.
解：如图②，过点G作GH⊥AB，垂足为H，
设⊙O的半径为r，则OF=r＋2.
在Rt△OCF中，由勾股定理，得42＋r2=(r＋2)2，
∟
H
图②
解得r=3.
∵GH⊥AB，∴∠GHB=90°.
∵∠DOE=90°，∴∠GHB=∠DOE，
∴GH∥DO，∴=.
∵G为BD中点，∴BG=BD，
∴BH=BO=，GH=OD=，
∴AH=AB－BH=6－=，
∴AG===.
与切线性质有关的证明及计算(2023.27涉及)
命题点
3
例4　如图，已知AD为⊙O的直径，点C，E在⊙O上，且∠CED=30°，
过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点B，连接AC. 若BC=，求AC的长.
解：如图，连接OC，
由题意得，∠CAD=∠CED=30°，
∴∠COD=2∠CED=60°，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠OCB=90°，
∴∠B=90°－∠COB=30°=∠CAD，
∴AC=BC=.
例5　(九上例题改编)如图，直线l与⊙O相切于点A，AB是⊙O的直径，点
C，D在l上，且位于点A两侧，连接BC，BD，分别与⊙O交于点E，F，连
接EF，AE，AF.
(1)求证：∠BAF=∠CDB；
证明：∵直线l与⊙O相切于点A，AB是⊙O的直径，
∴AB⊥CD，
∴∠BAC=∠BAD=90°，
∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，
∵∠BAF＋∠ABD=90°，∠CDB＋∠ABD=90°，
∴∠BAF=∠CDB；
直线l与⊙O相切于点A，AB是⊙O的直径.
(2)若⊙O的半径r=6，AD=9，AC=12，求EF的长.
解：在Rt△ABD中，∵AB=2r=12，AD=9，
∴BD==15，
在Rt△ABC中，∵AB=12，AC=12，
∴BC==12，
∴CD=AC＋AD=21，
∵∠ABF=∠DBA，∠AFB=∠BAD，
∴△BAF∽△BDA，
∴=，即=，
解得BF=，
∵∠BEF=∠BAF，∠BAF=∠CDB，∴∠BEF=∠CDB，
∵∠EBF=∠DBC，∴△BEF∽△BDC，
∴=，即=，
解得EF=，
即EF的长为.
练习4　(2025 )如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点O
作AC的平行线交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作⊙O的切线与BA的延
长线交于点F.
(1)求证：DF∥BC；
证明：∵△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵DE∥AC，∴∠DEB=90°，
∵OD是⊙O的半径，DF是⊙O的切线，
∴∠FDO=90°，∴∠DEB=∠FDO，
∴DF∥BC；
△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点O作AC的平行线交⊙O于点D.
(2) 若BC=8，DO=5，求AF的长.
一题多解法
解：如图，延长CA交DF于点H，
H
∵∠FDO=∠CED=∠C=90°，
∴四边形CEDH是矩形，
∴∠CHD=90°，CH=DE，
∵BC=8，DO=5，∴AB=10，
∴在Rt△ABC中，AC==6，
∵O是AB的中点，DE∥AC，∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=AC=3，CE=BC=4，
∴DE=OD＋OE=8，
∴CH=8，
∴AH=CH－AC=2，
∵sin F= =，
∴=，
解得AF = .
H
△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点O作AC的平行线交⊙O于点D.
若BC=8，DO=5，求AF的长.
解法二：∵∠DEB=∠FDO=90°，∠EOB=∠DOF，
∴△EOB∽△DOF，∴=，
∵DO=BO=5，∴AB=10，
又∵BC=8，∴AC==6，
∵O是AB的中点，DE∥AC，∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=AC=3，∴=，∴OF=，∴AF=OF－OA= －5=.
切线长和切线长定理
命题点
4
例6　(九上练习改编)如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，
F，G，且AB∥CD，连接OB，OC，若OB=6 cm，OC=8 cm，则BE＋CG
的长等于(　D　)
A. 13 cm B. 12 cm C. 11 cm D. 10 cm
D
练习5　(九上复习题改编)如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切
点，AC是⊙O的直径，连接AB，若∠P=50°，则∠BAC= .
25°
三角形的内切圆
命题点
5
例7　(九上复习题改编)如图，在△ABC中，AB＋AC=BC，AD⊥BC于点
D，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则的值
为 　 　　.

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