资源简介

(共30张PPT)
第七单元　图形的变化
基础课28　尺规作图
章前复习思路
平面图形
立体图形
全等
变化
图形的变化
视图与投影
图形的对称、
平移与旋转
投影
几何体的三视图
立体图形的展开及还原
图形的平移
中心对称与旋转
要素
性质
定义、示意图
要素、性质
五种基本尺规作图
尺规作图
轴对称与折叠
轴对称图形与中心对称图形
节前复习导图
尺规作图
作一条线段等于已知线段
作一个角等于已知角
作角的平分线
作线段的垂直平分线
过一点作已知直线的垂线
过直线外一点作已知直线的平行线
过圆外一点作圆的切线
1
考点精讲
2
基础题练考点
3
分层作业本
考点精讲
一、尺规作图的定义：用无刻度的直尺和圆规作图
二、五种基本尺规作图的方法：
类型 图示 步骤 作图依据
作一条线段
等于已知线
段
1.作射线OP； 2.以点O为圆心， 为半径画弧，交
OP于点A，OA即为所求作的线段 圆上的点到圆心的
距离等于半径
a
类型 图示 步骤 作图依据
作一
个角
等于
已知
角 1.以点O为圆心，任意长为半径画弧，交∠α的两边
于点P，Q； 2.画一条射线O′A，以点O′为圆心，
为半径画弧，交O′A于点M； 3.以点M为圆心， 为半径画弧，与前弧相
交于点N； 4.过点N画射线O′B，∠AO′B即为所求作的角 三边分别
相等的两
个三角形
全等；全
等三角形
的对应角
相等
OP长(或OQ
长)
PQ长
类型 图示 步骤 作图依据
作角
的平
分线
1.以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点N，
交OB于点M； 2.分别以点 为圆心， 为半
径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P； 3.画射线OP，射线OP即为所求作角的平分线 三边分别
相等的两
个三角形
全等；全
等三角形
的对应角
相等
M，N
大于MN长
类型 图示 步骤 作图依据
作线
段的
垂直
平分
线 1.分别以点A，B为圆心，
为半径画弧，两弧相交于M，N两
点； 2.作直线MN，直线MN即为所求作线段
的垂直平分线 到线段两个端点距离
相等的点在这条线段
的垂直平分线上；两
点确定一条直线
大于AB
长
类型 图示 步骤 作图依据
过一
点作
已知
直线
的垂
线 点在直线上 1.以点P为圆心，任意长为半径向点P两
侧画弧，交直线于点A和点B； 2.分别以点A，B为圆心， 为半径画弧，两弧相交于M，N两
点； 3.作直线MN，直线MN即为所求作的垂
线 到线段两个端点距离
相等的点在这条线段
的垂直平分线上；两
点确定一条直线
大于
AB
长
类型 图示 步骤 作图依据
过一
点作
已知
直线
的垂
线 点在直线
外 1.任取一点M，使点M和点P在直线的两
侧； 2.以点P为圆心，PM长为半径画弧，交直
线于点A和点B； 3.分别以点A，B为圆心，大于AB长为半
径画弧，两弧相交于点N； 4.作直线PN，直线PN即为所求作的垂线 到线段两端距离相等
的点在这条线段的垂
直平分线上；两点确
定一条直线
三、2022课标新增
类型 图示 步骤 作图依据
过直线
外一点
作已知
直线的
平行线
(2022课
标新增)
1.在直线l上取一点A，作射线AP； 2.以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线AP和直线l于点B，C； 3.以点P为圆心，⑧ 长为半径画弧
交射线AP于点D； 4.以点D为圆心，⑨ 长为半径画弧交前弧
于点E； 5.作直线PE，则PE即为所求作的平行线 同位角相
等，两直
线平行；
两点确定
一条直线
AB(或AC)
BC
类型 图示 步骤 作图依据
过圆外
一点作
圆的切
线 (2022课
标新增)
1.连接PO，分别以点P，O为圆心，大于PO的长
为半径画弧，两弧交于点M，N； 2.作直线MN，交PO于点A； 3.以点A为圆心，⑩ 长为半径画
圆，交⊙O于点Q，R； 4.连接PQ，PR，则射线PQ，PR即为所求作的切
线 直径所对
的圆周角
是直角
OA(或AP)
基础题练考点
与尺规作图痕迹有关的证明及计算(4年5考)
命题点
1
1. 如图，在△ABC中，D是AB的中点，按以下步骤作图：①以点A为圆
心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②以点D为圆心，
AM长为半径作弧，交DB于点M′；③以点M′为圆心，MN长为半径作弧，
在∠BAC内部交前面的弧于点N′；④过点N′作射线DN′交BC于点E. 若
AC=4，则DE的长为 (　C　)
A. 1 B. C. 2 D.
C
2. (2025高新实验中学二模)如图，在△ABC中，AB=AC=5，观察尺规作图
的痕迹，若BE=2，则BC的长是(　C　)
A. 3 B. 4 C. 2 D. 5
C
3. (2025苏州15题3分)如图，∠MON = 60°，以 O 为圆心，2 为半径画
弧，分别交 OM，ON 于A，B 两点，再分别以A，B为圆心， 为半径画
弧，两弧在∠MON内部相交于点C，作射线OC，连接AC，BC，则
tan∠BCO= 　 　　.(结果保留根号)

【解析】如图，连接AB，交OC于点D，由题意得OA=OB=2，
AC=BC=，由作图步骤得，OC是∠MON的平分线，∴OC⊥AB，
BD=AB，∵∠MON=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=2，
∴BD=1，∴CD==，∴tan∠BCO=tan∠BCD===.
4. (2022苏州14题3分)如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=3，
AC=4，分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点
M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，
CF，则四边形AECF的周长为 .
10
【解析】∵BA⊥AC，AB=3，AC=4，∴BC==5，∵四边形
ABCD为平行四边形，∴AD=BC=5，根据作图步骤得，MN为AC的垂直平
分线，∴AE=CE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠EAC＋∠EAB=∠ECA＋
∠EBA=90°，∴∠EAB=∠EBA，∴AE=BE，∴AE＋CE=BE＋
CE=BC=5，同理可得，AF＋CF=AF＋DF=AD=5，∴四边形AECF的周长
为AE＋CE＋CF＋AF=10.
5. (2025 )如图，四边形ABCD是矩形，以点B为圆心，BC长为半径画
弧交AD于点E，连接BE，再以点C为圆心，CE长为半径画弧交BE于点
M，再分别以点M，E为圆心，大于ME长为半径画弧，两弧在BE的上方
交于点N，作射线CN交BE于点F.
(1)求证：AB=CF；
证明：由尺规作图得BE=BC，CF⊥BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AD∥BC，
∴∠BAE=∠CFB，∠AEB=∠FBC，BE=CB，
∴△ABE≌△FCB(AAS)，
∴AB=CF；
四边形ABCD是矩形，以点B为圆心，BC长为半径画弧，再以点C为圆
心，CE长为半径画弧，再分别以点M，E为圆心，大于ME长为半径画
弧，两弧在BE的上方交于点N，作射线CN交BE于点F.
(2)若CF=3，BC=5，求EF的长.
解：在Rt△BCF中，CF=3，BC=5，
∴BF==4，
∵BE=BC=5，
∴EF=BE－BF=1.
尺规作图
命题点
2
6. 如图，已知△ABC是直角三角形，∠A=90°，求作BC边
上的高AD.
解：如解图①~④所示，答案不唯一.
解图
7. (2025 )如图，在 ABCD中，连接AC，且AC⊥CD.
(1)请用尺规作图法，在BC上找一点E，使AE=AD；(保留作图痕迹，不
写作法)
解：解法一：如解图①，点E即为所求；(作法不唯一)
解图①
【作法提示】∵AC⊥CD，∴在Rt△ABC中，要使AE=AD，只需E为
BC的中点，即作BC的垂直平分线，作法：分别以点B，C为圆心，大
于BC长为半径画弧，过两弧交点作直线，与BC交于点E，连接AE，
点E即为所求.
第7题解图
在 ABCD中，连接AC，且AC⊥CD. 请用尺规作图法，在BC上找一点
E，使AE=AD；
解法二：如解图②，点E即为所求；
【作法提示】∵AC⊥CD，∴在Rt△ABC中，要使AE=AD，只需
AE=BE，即作∠EAB=∠B，作法：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分
别交AB，BC于点M，N，再以点A为圆心，BM长为半径画弧，交AB于点
P，以点P为圆心，MN长为半径画弧，两弧交于点Q，作射线AQ，交BC
于点E，点E即为所求.
解图②
在 ABCD中，连接AC，且AC⊥CD. 请用尺规作图法，在BC上找一点
E，使AE=AD；
解法三：如解图③，点E即为所求；
【作法提示】∵AC⊥CD，∴在Rt△ABC中，要使AE=AD，只需E为BC
的中点，即作以AB，AC为邻边的矩形，作法：以点C为圆心，AB长为半
径画弧，以点B为圆心，AC长为半径画弧，两弧在BC下方交于点F，连接
AF，交BC于点E，连接BF，CF，易得四边形ABFC为矩形，则E为BC的
中点，点E即为所求.
解图③
在 ABCD中，连接AC，且AC⊥CD，AE=AD.
(2)在(1)的条件下，连接DE，若AB=AE，求证：AE⊥DE.
证明：如图④，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，∴∠EAD=∠AEB，
∵AB=AE，∴∠B=∠AEB，∴∠B=∠EAD，
在△ABC和△EAD中，
∴△ABC≌△EAD(SAS)，
由题易得∠BAC=90°，
∴∠AED=∠BAC=90°，即AE⊥DE.
图④
无刻度直尺作图
命题点
3
8. (2025苏州附中零模)如图是边长为1的正方形网格，每个小正方形的顶
点叫格点，△ABC的顶点都在格点上.仅用无刻度的直尺，按要求画出下
列图形.
(1)△ABC的周长为 　　；
(2)如图，D，P分别是AB与竖格线和横格线的交点，画出点P关于过点D
竖格线的对称点Q；
【解法提示】由题意，得AB==5，BC=4，AC==，
∴△ABC的周长=5＋4＋=9＋.
9＋

解：如解图，点Q即为所求；
(3)请在图中画出△ABC的角平分线BE.
解:如解图，线段BE即为所求.
解图
(2)如图，D，P分别是AB与竖格线和横格线的交点，画出点P关于过点D
竖格线的对称点Q；
【解法提示】由题意，得AB==5，BC=4，AC==，
∴△ABC的周长=5＋4＋=9＋.
解：如解图，点Q即为所求；(共27张PPT)
第七单元　图形的变化
基础课30　图形的对称、平移与旋转
节前复习导图
图形的平移
轴对称图形与
中心对称图形
图形
判断步骤
图形的对称、
平移
与旋转
中心对称与旋转
1
考点精讲
2
基础题练考点
3
分层作业本
考点精讲
一、轴对称图形与中心对称图形
轴对称图形 中心对称图形
图形
判断步骤 1.找对称轴； 2.图形沿对称轴折叠； 3.对称轴两边的图形完全重合. 1.找对称中心；
2.图形绕对称中心旋转180°；
3.旋转前后的图形完全重合.
将下列常见图形对应的序号填在对应横线上：
a.等腰三角形，b.等边三角形，c.平行四边形，d.菱形，e.矩形，f.正方形，
g.正五边形，h.正六边形，i.圆
(1)轴对称图形有： ；
(2)中心对称图形有： ；
(3)既是轴对称图形又是中心对称图形：
abdefghi
cdefhi
defhi
二、图形的平移
要
素 平移方向和
性
质 1.平移前后，对应线段 (或共线)且相等，对应角相等
2.对应点所连线段
3.平移前、后的图形
平移距离
平行
平行或共线且相等
全等
三、中心对称与旋转
旋转 中心对称
定义 将一个图形绕一个定点旋转一
定角度，得到另一个图形 将一个图形绕一定点旋转180°后，得到
另一个图形
示意图
要素 旋转中心(点O) 对称中心(点O)
旋转角度(α) 旋转角度(α=180°)
旋转方向：逆时针旋转α，顺
时针旋转360°－α 旋转方向：180°(顺时针、逆时针均可)
性质 1.旋转前后的图形全等(对应线段
相等、对应角相等) 即△ABC≌△A′B′C′ 1.成中心对称的两个图形全等(对应线段
相等、对应角相等)
即△ABC≌△A′B′C′
2.对应点到旋转中心的距离相等 即OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′ 2.对称点到对称中心的距离相等
即OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′
四、中心对称与旋转
旋转 中心对称
性质 3.三组对应点分别与旋转中心连线
所成的角相等，且等于旋转角 即∠AOA′=∠BOB′=∠COC′=α 4.经过旋转得到的两个图形，旋转
中心在对应点所连线段的垂直平分
线上 3.对称点与对称中心连线夹角均为
180°即∠AOA′=∠BOB′=∠COC′=
180°
4.成中心对称的两个图形，对应点所
连线段都经过对称中心，而且被对称
中心所平分
总结：中心对称是旋转的特殊情况，图形旋转180°就是中心对称 基础题练考点
对称图形的识别(4年2考)
命题点
1
1. (2024苏州2题3分)下列图案中，是轴对称图形的是(　A　)
A
2. (2023苏州2题3分)古典园林中的花窗通常利用对称构图，体现对称美.下
面四个花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　C　)
3. (2025平江中学二模)下列图形中是中心对称图形的有(　B　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C
B
图形的平移
命题点
2
4. (2025高新区一模)如图， ABCD的边CD在x轴上，沿x轴正方向将
ABCD平移到 A′B′C′D′的位置.点C的坐标为(b，0)，点C′的坐标为(a，
0)，则点A平移的距离为(　C　)
A. a B. b C. a－b D. b－a
【解析】∵点C的坐标为(b，0)，点C′的坐标为(a，0)，∴CC′=a－b，∴点
A平移的距离为a－b.
C
5. (七下习题改编)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，
AB=3，将△ABC沿着BC向右平移2个单位长度得到△DEF，DE交AC于点
G，连接AD.
(1)∠DFE的度数为 ；
30°
(2)BF的长为 ，四边形ABFD的周长为 　；
【解析】∵∠BAC=90°，∠ACB=30°，AB=3，∴BC=2AB=6，由勾股
定理得AC==3，由平移的性质得AD=CF=BE=2，
DF=AC=3，∴四边形ABFD的周长为AB＋BC＋CF＋DF＋AD=3＋6＋2
＋3＋2=13＋3.
8
（13＋3）

∠BAC=90°，∠ACB=30°，AB=3，将△ABC沿着BC向右平移2个单位长度得到△DEF
在△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，AB=3，将△ABC沿着BC向右
平移2个单位长度得到△DEF.
(3)AC与DE的数量关系为 ，位置关系为 ；
AC=
DE
AC⊥DE
(4)的值为 　　，△GEC的面积为 　.


【解析】∵AD=BE=2，∴CE=BC－BE=4，
∵AD∥BC，∴△AGD∽△CGE，∴==，∴CG=AC，
∵DE∥AB，∴△GEC∽△ABC，∴=()2=，∵S△ABC=×3×3=，∴S△GEC=×=2.
图形的旋转(4年2考)
命题点
3
6. (八下尝试改编)如图，将△ABC绕点C顺时针旋转.
(1)如图①，△ABC旋转后得到△DEC，不添加辅助线，则图中的相等线
段有 ，图中相等的角有
；
AC=DC，CB=CE，AB=DE
∠A=∠EDC，
∠B=∠E，∠ACB=∠DCE，∠ACD=∠BCE
(2)如图②，若点D恰好落在AB边上，DE交BC于点F，∠ACB=90°，
∠B=30°.
①∠BDF的度数为 ；
【解析】∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴∠A=60°，
∵将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△DEC，
∴AC=DC，∠CDF=∠A，∴△ACD是等边三角形，
∴∠BDF=180°－∠ADC－∠CDF=60°.
60°
∠ACB=90°，∠B=30°.
②△EFC与△CDE的面积之比为 ；
【解析】由题易得∠CFE=180°－∠B－∠BDF=90°，
∴CF⊥DE，易得BD=CD，BF=CF，
设DF=a，则CF=a，EF=3a，∴=，
∴=，∴△EFC与△EDC的面积之比为3∶4.
③若AC=3，则DE的长为 ，点A的运动轨迹长为 .
3∶4
6
π
7. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，D是BC
上一点，连接AD，∠BAD=15°，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到
AE，连接BE交AC于点F，则CF的长度为 　 　　.

【解析】如图，延长BC至点G，使CG=BC，连接AG，EG，
∵CA=CB=CG，∠ACB=90°，
∴△ABG为等腰直角三角形，AB=AG，
∵∠BAG=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠GAE，由旋转的性质得AD=AE，
∴△ABD≌△AGE(SAS)，
∴BD=GE，∠ABC=∠AGE=45°，
∴∠CGE=90°，
G
∵∠ACB=90°，∴CF∥GE，∴CF是△BGE的中位线，
∴CF=GE，
∵∠BAC=45°，∠BAD=15°，
∴∠DAC=30°，在Rt△ACD中，
∵tan 30°=，∴=，解得CD=，∴BD=3－，
∴CF=GE=BD=.
G
8. (2025工业园区一模)如图，在△ABC中，∠BAC=64°，∠C=36°.将
△ABC绕点A按逆时针方向旋转后得△ADE，AE与BD相交于点F. 当
DE∥AB时，∠AFD= °.
76或14
【解析】如图①，在△ABC中，∵∠BAC=64°，∠C=36°，
∴∠ABC=180°－64°－36°=80°，
∴∠ADE=∠ABC=80°，
∵AB∥DE，∴∠BAD＋∠ADE=180°，
∴∠BAD=100°，
∵AD=AB，∴∠ADF=40°，
∵∠EAD=∠CAB=64°，
∴∠AFD=180°－40°－64°=76°；
如图②，∵AB∥DE，∴∠BAD=∠ADE=80°，
∵AD=AB，∴∠ADF=∠ABD=50°，∴∠EDF=∠ADE＋∠ADF=80°＋50°=130°，∵∠E=∠C=36°，
∴∠AFD=180°－36°－130°=14°.
综上所述，∠AFD=76°或∠AFD=14°.
9. 如图，四边形ABCD是边长为5的菱形，AC与BD交于点O，将△BCD绕
点B顺时针旋转，得到△BEF，∠DBF=α(0°＜α＜360°).
(1)如图①，当点F第一次落在对角线AC上时，求OB与BF的数量关系以及
α的值；
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB=OD=BD，
∴∠BOF=90°，BD=2OB，
由旋转的性质得BF=BD，∴BF=BD=2OB，
∴在Rt△BOF中，∠BFO=30°，
∴∠OBF=90°－∠BFO=90°－30°=60°，
∴α=60°；
四边形ABCD是边长为5的菱形，将△BCD绕点B顺时针旋转，得到
△BEF，∠DBF=α(0°＜α＜360°).
(2)如图②，当α＞180°，且EF∥BD时，EF与AD交于点G. 试判断四边形
BDGF的形状，并说明理由.
解：四边形BDGF为菱形，
理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADB=∠BDC，
由旋转的性质得BD=BF，∠F=∠BDC，
∴∠F=∠ADB，
∵EF∥BD，
∴∠F＋∠DBF=180°，
∴∠ADB＋∠DBF=180°，
∴DG∥BF，
∵EF∥BD，
∴四边形BDGF是平行四边形，
又∵BD=BF，
∴平行四边形BDGF为菱形.(共18张PPT)
第七单元　图形的变化
基础课29　视图与投影
节前复习导图
视图与投影
常见几何体的
三视图、展开图及还原
正方体的
展开图类型
一四一型
二三一型
二二二型
三三型
投影
平行投影
中心投影
三视图的概念
主视图
左视图
俯视图
1
考点精讲
2
基础题练考点
3
分层作业本
考点精讲
一、投影
平行投影：由平行光线形成的投影，分正投影和斜投影，如太阳光的照射
中心投影：由同一点(点光源)发出的光线形成的投影，如灯光的照射
二、三视图的概念
主视图：在正面内得到的由 观察物体的视图
左视图：在侧面内得到的由 观察物体的视图
俯视图：在水平面内得到的由 观察物体的视图
前向后
左向右
上向下
三、常见几何体的三视图、展开图及还原
1. 主视图与俯视图要长对正，主视图与左视图要 ，左视图与俯视图要

2. 看得见部分的轮廓线画成 线，看不见部分的轮廓线画成 线
高平齐
宽
相等
实
虚
【满分技法】
四、正方体的展开图类型　
1.一四一型：(巧记：中间四个面，上下各一面) 2.二三一型：(巧记：中间三个
面，一二隔河见) 3.二二二型：(巧记：中间
两个面，楼梯天天见) 4.三三型：(巧记：中
间没有面，三三连一
线)
注：图中每两个颜色相同的面为相对面
【满分技法】正方体的表面展开图中不可能出现图形“ ”“ ”“ ”；若出现
图形“ ”，则另两面必须在两侧，可借助此方法来排除错误选项
基础题练考点
三视图(2023.4)
命题点
1
类型一　三视图的判断
1. 下列几何体中，主视图是三角形的是 (　C　)
C
2. 如图是由长方体和圆柱体组成的几何体，则它的左视图是(　B　)
B
3. 鲁班锁是一种源于中国古代的木工工艺，最经典的是六柱孔
明锁(如图①)，其中一柱如图②所示，其主视图是(　A　)
A
4. 下面选项中由四个小正方体搭建的几何体，左视图与主视图完全一样的
是 (　D　)
D
5. 如图，是由几个小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表
示在该位置的小正方体的个数，则这个几何体的左视图是(　B　)
B
类型二　三视图还原几何体(2023.4)
6. (2023苏州4题3分)今天是父亲节，小东同学准备送给父亲一个小礼物.已
知礼物外包装的主视图如图所示，则该礼物的外包装不．JP可能是(　D　)
A. 长方体 B. 正方体 C. 圆柱 D. 三棱锥
D
7. (2025苏州附中零模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体为(　B　)
B
判断平面图形旋转后的几何体(2025.2)
命题点
2
8. (2025苏州2题3分)如图，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转
一周后形成的几何体是(　A　)
A
立体图形的展开与折叠
命题点
3
9. (2025高新区一模)如图是一个几何体的平面展开图，则这个几何体是
(　A　)
A
10. (七上习题改编)将“共建平安校园”六个汉字分别写在某正方体的表面
上，如图是它的一种展开图，则在原正方体上，与“共”字所在面相对的面
上的汉字是(　A　)
A. 校 B. 安 C. 平 D. 园
A(共24张PPT)
第七单元　图形的变化
提升课31　轴对称与折叠
节前复习导图
轴对称
与折叠
轴对称
折叠
定义
示意图
要素
性质
定义
示意图
要素
性质
1
考点精讲
2
核心考点突破
3
分层作业本
考点精讲
轴对称 折叠
定义 把一个图形沿着某一条直线折叠，如
果它能够与另一个图形重合，那么就
说这两个图形关于这条直线对称，这
条直线叫做对称轴 将一个图形沿某一直线进行对折，
这样的过程叫做折叠
示意图
要素 对称轴 折痕
轴对称 折叠
性质 1.轴对称实质就是将对称轴一侧
的图形沿对称轴进行折叠 1.折叠的实质是轴对称，位于折痕两侧的
图形关于折痕成
2.对称轴两侧的图形 ，
对应边、角、线段、周长、面积
都分别相等 2.折叠前后的两部分图形 ，对应
边、角、线段、周长、面积都分别相等
3.对应点所连接的线段被对称
轴 3.折叠后对应点的连线被折痕

总结：折叠就是
轴对称
全等
全等
垂直平分
垂直平
分
轴对称
核心考点突破
对称与折叠的基本性质
命题点
1
例1　(八下复习题改编)如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，连接
AE，作点B关于AE的对称点F，连接AF，EF. 解决下列问题：
(1)四边形ABEF中相等的线段有 ；
(2)四边形ABEF中相等的角有
；
(3)全等的图形为△ABE≌ ；
(4)连接BF，AE⊥BF的依据是
.
AB=AF，BE=FE
∠BAE=∠FAE，∠ABE=∠AFE，
∠AEB=∠AEF
△AFE
轴对称图形的对称轴，是任何一对对应
点所连线段的垂直平分线
例2　(八下复习题改编)如图，在矩形ABCD中，E为BC边上的一点，将
△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接BF. 解决下列问题：
(1)图中折叠前的部分与折叠后的部分相等的线段有
；
(2)图中折叠前的部分与折叠后的部分相等的角有
；
(3)全等的图形为△ABE≌ ；
AB=AF，
BE=FE
∠ABE=∠AFE，
∠BAE=∠FAE，∠AEB=∠AEF
△AFE
在矩形ABCD中，E为BC边上的一点，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连
接BF.
(4)连接BF交AE于点O，发现折痕AE可看作垂直平分线：AE⊥ ，
BO= ，依据是 ；
(5)折痕可看作角平分线：∠BEA= ，∠BAE= ，依
据：对称线段所在的直线与折痕的夹角相等.
BF
FO
折痕垂直平分折叠前后两个对应点的连线
∠FEA
∠FAE
折叠的相关证明与计算(4年4考)
命题点
2
类型一　利用折叠出现的直角三角形求解(4年3考)
例3　如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=9，点E，F分别在边AD，BC
上，将四边形ABFE沿EF折叠，点B的对应点B′恰好落在CD边的中点处，
则BF的长为 .
5
【解析】∵AB=6，且B′是CD边的中点，
∴B′C=CD=AB=3，由折叠可知，B′F=BF，
设BF=B′F=x，则CF=9－x.在Rt△CFB′中，∵B′F2=CF2＋B′C2，
∴x2=(9－x)2＋32，解得x=5，∴BF=5.
练习1　如图，对折矩形纸片ABCD，使得AD与BC重合，得到折痕EF，
把纸片展平.沿过点B的直线再折叠一次纸片，使点A的对应点A′落在EF
上，得到折痕BM，连接MF，若MF⊥BM，AB=6 cm，则AD的长
是 　　cm.
5

【解析】∵四边形ABCD为矩形，AB=6 cm，∴∠A=90°，
由折叠的性质，得BE=DF=3 cm，A′B=AB=6 cm，∠A′EB=90°，∠ABM=∠A′BM，在Rt△A′BE中，
∵A′B=2BE，∴∠BA′E=30°，∴∠A′BE=60°，
∴∠ABM=30°，∠AMB=60°，
∴AM=AB tan 30°=6×=2cm，
∵MF⊥BM，∴∠BMF=90°，∴∠DMF=30°，∴∠DFM=60°，
∴DM=DF tan 60°=3×=3cm，
∴AD=AM＋DM=2＋3=5cm.
方法解读
1. 利用折叠出现的直角三角形求解
情形：折叠中顶点落在边上得到直角三角形.
结论：在Rt△CFB′中，利用勾股定理，得x2=a2＋(b－x)2.
方法总结：由于矩形的四个内角均为直角，故折叠后
易出现与设问相关联的直角三角形，可利用勾股定理
或三角函数列方程求解.
结论：在Rt△CFB′中，利用勾股定理，得x2=a2＋(b－x)2.
类型二　利用折叠出现的等腰三角形求解(2022.16)
例4　(2022苏州21题6分)如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对
应点为点E，AE与CD交于点F.
(1)求证：△DAF≌△ECF；
证明：将矩形ABCD沿对角线AC折叠，
则AD=BC=EC，∠D=∠B=∠E=90°，
在△DAF和△ECF中，
∴△DAF≌△ECF(AAS)；
将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E，AE与CD交于点F.
(2)若∠FCE=40°，求∠CAB的度数.
解：∵△DAF≌△ECF，
∴∠DAF=∠ECF=40°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，
∴∠EAB=∠DAB－∠DAF=90°－40°=50°，
∵由折叠的性质得∠EAC=∠CAB，
∴∠CAB=25°.
练习2　如图，已知矩形纸片的宽为2，将矩形纸片沿MN折叠，得到重合
部分△AMN，若∠MAN=45°，求△AMN的面积.
解：如图，过点M作MP⊥AN于点P，
∵纸条为矩形，∴MB∥AN，
∴∠1=∠ANM，
由折叠的性质可知∠1=∠AMN，∴∠AMN=∠ANM，
∴∠AMN=∠ANM，∴△AMN是等腰三角形.
∵∠MAN=45°，MP=2，
∴AN=AM===2，
∟
P
∴S△AMN=AN MP=×2×2=2.
方法解读
2. 利用折叠出现的等腰三角形求解
情形：折叠中利用角平分线(折痕)性质得到等腰三角形.
结论：△BFD为等腰三角形，DF=BF=x，AF=b－x.
方法总结：当折痕过特殊四边形对边或对角线时，
可利用角平分线(折痕)与平行线(特殊四边形的对边)
的性质得到等腰三角形，再利用等腰三角形的性质求解.
类型三　利用折叠出现的全等、相似图形求解
例5　如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，将△BCE沿直线CE对折，使
点B落在对角线AC上的点F处，连接DF. 若点E，F，D在同一条直线上，
AE=2，求DF的长.
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠ADC=∠B=∠DAE=90°，
由折叠的性质得，CF=BC，∠CFE=∠B=90°，EF=BE，
∴CF=AD，∠CFD=90°，
∴∠ADE＋∠CDF=∠CDF＋∠FCD=90°，
∴∠ADE=∠FCD，
在△ADE和△FCD中，
∴△ADE≌△FCD(ASA)，∴DF=AE=2.
例6　如图，在菱形ABCD中，AD=5，BD=8，点E，F分别是边AB，BC上
的点，连接EF，交对角线BD于点P，将△BEF沿EF折叠，使点B落在对
角线BD上的点B′处，连接AB′，若AB′=DB′，求BP的长.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA=5，∠ABD=∠CBD.
根据折叠的性质，得EF垂直平分BB′，∴BP=B′P.
∵AB′=DB′，AB=AD，∴∠B′DA=∠B′AD=∠ABD，
∴△B′AD∽△ABD，
∴=，即=，
解得B′D=，∴BB′=8－=，
∴BP=BB′=.
练习3　如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴上，点B的
坐标为(4，0)，将△BOC沿OC折叠，点B的对应点F落在OD边上.若点E的
坐标为(0，5)，求点D的坐标.
解：如解图，设CD交y轴于点G，
∵点B的坐标为(4，0)，点E的坐标为(0，5)，
∴OB=4，OE=5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OBC=90°，
根据折叠的性质，得OF=OB=4，∠OFE=∠OBC=90°，
∠FCO=∠BCO，
∴EF==3，
根据题意，得OG∥BC，
∴∠EOC=∠BCO，
解图
∴∠ECO=∠EOC，
∴EC=EO，
又∵∠CGE=∠OFE=90°，∠CEG=∠OEF，
∴△CGE≌△OFE(AAS)，
∴EG=EF=3，CG=OF=4，
∴AD=OG=OE＋EG=8，
∵AD∥OG，
∴∠ADO=∠FOE，
∴tan∠ADO=tan∠FOE，
∴=，即=，
解图
∴OA=6，
∴点D的坐标为(－6，8).
方法解读
3. 利用折叠出现的全等、相似求解
情形：折叠中常出现的全等、相似模型.
(1)如图①，正8字、斜A字模型.
图①
结论：①“正8字”：△AFE∽△CFD；②“斜A字”：△AFE∽△ABC.

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