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(共26张PPT)
第三单元　函　数
提升课12　反比例函数综合题
1
核心考点突破
2
分层作业本
核心考点突破
类型一　反比例函数与一次函数结合(4年3考)
例1　 如图，一次函数y=kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数
y=(m≠0)的图象交于点A(－1，6)，B(，a－3).
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
∵反比例函数y=的图象过点A(－1，6)，
∴将点A(－1，6)代入y=中，得6=，解得m=－6，
∴反比例函数的表达式为y=－.
∵点B在反比例函数的图象上，
∴将点B的坐标代入y=－中，得a－3=－，解得a=1，
∴B(3，－2)，
∵点A，B在一次函数的图象上，
∴将点A(－1，6)，B(3，－2)分别代入y=kx＋b中，
得解得
∴一次函数的表达式为y=－2x＋4；
一次函数的表达式为y=－2x＋4 .
(2)(面积定值)点C(0，c)为y轴上一动点，当S△ABC=2时，求c的值；
设一次函数y=kx＋b的图象与y轴交于点E，
在y=－2x＋4中，令x=0，则y=4，
∴E(0，4)，
∴S△ABC= |yE－yC| |xB－xA|= |4－c| |3－(－1)|=2，
解得c=3或c=5；
解：设一次函数y=kx＋b的图象与y轴交于点D，由(1)、(2)得B(3，－2)，
D(0，4)，
∵A(－1，6)，∴S△OAB=S△AOD＋S△BOD=×4×1＋×4×3=8，
设点M的坐标为(n，0)，
∴S△OAM=×6 |n|=3|n|，
∵S△OAM=3S△OAB，∴3|n|=3×8，解得n=－8或n=8，
∴点M的坐标为(－8，0)或(8，0)
一次函数的表达式为y=－2x＋4 .
(3)(面积比例关系)连接OA，OB，点M在x轴上，若S△OAM=3S△OAB，求点
M的坐标；
一次函数的表达式为y=－2x＋4 .
(4)(线段相等 2025苏州23题考法)连接OA，在x轴上是否存在一点G，使得
OA=GA？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.
解：存在，设点G的坐标为(p，0)，
∵A(－1，6)，
∴GA=，
∵OA==，OA=GA，
∴=，
解得p=－2或p=0(舍去)，∴点G的坐标为(－2，0).
练习1　(2025苏州23题8分)如图，一次函数y=2x＋4的图象与x轴，y轴分别
交于A，B两点，与反比例函数y=(k≠0，x＞0)的图象交于点C，过点B作
x轴的平行线与反比例函数y=(k≠0，x＞0)的图象交于点D，连接CD.
(1)求 A，B 两点的坐标；
解：(1)令y=0，则2x＋4=0，解得x=－2，
∴点A的坐标为(－2，0)，
令x=0，则y=4，
∴点B的坐标为(0，4)；
一次函数y=2x＋4 .
(2)若△BCD是以BD为底边的等腰三角形，求k的值.
∵CB=CD，CE⊥BD，∴BE=DE，
∵BD∥x轴，∴点D的纵坐标为4，
在y=中，令y=4，则4=，∴x=，
∴点D的坐标为(，4)，∴点C的坐标为(，8)，
(2)如解图，过点C作CE⊥BD，垂足为E，
∵点C在一次函数y=2x＋4的图象上，∴2×＋4=8，
解得k=16.
练习2　(2023苏州24题8分)如图，一次函数y=2x的图象与反比例函数y=(x
＞0)的图象交于点A(4，n).将点A沿x轴正方向平移m个单位长度得到点B，
D为x轴正半轴上的点，点B的横坐标大于点D的横坐标，连接 BD，BD的
中点C在反比例函数y=(x＞0)的图象上.
(1)求n，k的值；
解：(1)把点A(4，n)代入y=2x，得n=8，
∴A(4，8).
把点A(4，8)代入y=，得k=32；
一次函数y=2x ；反比例函数y=(x＞0).
(2)当m为何值时，AB OD的值最大？最大值是多少？
(2)∵点B的横坐标大于点D的横坐标，
∴点B在点D的右侧.
如解图，过点C作x轴的垂线，分别交AB，x轴于点E，F.
∵AB∥DF，∴∠B=∠CDF，
∵C为BD中点，∴BC=CD.
在△ECB和△FCD中，
∴△ECB≌△FCD(ASA)，
解图
∴BE=DF，CE=CF.
∵EF=yA=8，∴CE=CF=4，
∴C(8，4)，
∵点A沿x轴正方向平移m个单位长度得点B，∴B(m＋4，8)，
∴BE=DF=m－4，
∴D(12－m，0)，
∴OD=12－m，
∴AB OD=m(12－m)=－(m－6)2＋36.
∴当m=6时，AB OD的值最大，最大值为36.
解图
类型二　反比例函数与几何图形结合(2024.24)
例2　 已知点A(1，2)是反比例函数y=(k≠0)的图象上的
一点.
(1)(k的几何意义)如图①，△ABC的底边AB⊥y轴，顶点C在x轴上，点B在
y轴上，则△ABC的面积为 ；
图①
1
【解法提示】∵点A(1，2)是反比例函数y=(k≠0)
的图象上的一点，
∴k=1×2=2.∵AB⊥y轴，∴S△ABC=|k|=1.
(2)(k的几何意义)如图②， ABCD的顶点C在反比例函数y=的图象上，且
点A与点C关于原点对称，CB⊥x轴于点B，则 ABCD的面积为 ；
图②
4
【解法提示】如图，连接AC，∵点A(1，2)与点C关于原点对称，
∴AC过原点O. ∵四边形ABCD是平行四边形，CB⊥x轴，
∴AD⊥x轴，
∴S ABCD=4S△AOD=4×=4.
题后反思
反比例函数关于O点中心对称，也关于直线y=±x轴对称.因此，若遇到同
样对称的图形计算时，可计算局部，利用对称性进行计算即可.
(3)(和差法)如图③，点P在反比例函数y=(x＞0)的图象上，且AP∥x轴，
PB⊥x轴于点B，则四边形PAOB的面积为 ；
图③
2
【解法提示】如图，延长PA交y轴于点C，∵AP∥x轴，
∴AC⊥y轴，∵点A在函数y=(x＞0)的图象上，
∴S△ACO=×2=1.
∵PB⊥x轴，PC⊥y轴，点P在函数y=(x＞0)的图象上，
∴S矩形OBPC=3，∴S四边形PAOB=S矩形OBPC－S△ACO=3－1=2.
C
(4)如图④，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，点C(3，1)，将矩
形ABCD沿x轴负方向平移m个单位长度，当点E恰好落在反比例函数图象
上时，求m的值；
图④
∵四边形ABCD是矩形，∴点E是AC的中点.
∵点A(1，2)，C(3，1)，∴点E(2，).
∵将矩形ABCD沿x轴负方向平移m个单位长度，
∴平移后的点E′(2－m，)，
∵平移后的点E恰好落在反比例函数图象上，∴=，
解得m=；
(5)(2024苏州24题考法)如图⑤，点B(0，－2)，连接AB，点M为在线段AB
上方反比例函数y=图象的一动点，连接MB. 过点M作MN∥y轴交线段AB
于点N，求△MBN面积的最大值.
图⑤
∵A(1，2)，B(0，－2)，
∴易得直线AB的表达式为y=4x－2.
设M(m，)，
∵MN∥y，
∴点N的横坐标为m，
将x=m代入y=4x－2中，得y=4m－2，
∴N(m，4m－2)，
∴MN=－(4m－2)=－4m＋2，
∴S△MBN=m(－4m＋2)=－2(m－)2＋，
∴当m=时，S△MBN最大，最大值为，
∴△MBN面积的最大值为.
图⑤
练习3　 如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别
为(－4，0)和(0，－2)，现将线段AB平移得到线段DC(点A，B的对应点分
别为D，C)，反比例函数y=(x＞0)的图象恰好经过C(6，m)，D(n，p)两点.
(1)求该反比例函数的表达式；
解：(1)由平移的性质可知，p－m=0－(－2)=2，6－n=0－(－4)=4，
得n=2，∴k=6m=2p，
联立解得
∴C(6，1)，D(2，3)，
将点C(6，1)代入y=中，得k=6，
∴该反比例函数的表达式为y=；
由平移的性质可知，AB=CD，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
设BC所在直线的表达式为y=ax＋b(a≠0)，将点B(0，－2)，C(6，1)
代入，得解得
∴BC所在直线的表达式为y=x－2，
将y=0代入y=x－2中，得x=4，∴E(4，0)，
(2)连接AD，BC，BC与x轴交于点E，求点E到AD所在直线的距离.
(2)如解图，设AD交y轴于点M，连接ME，
解图
同理可得AD所在直线的表达式为y=x＋2，将x=0代入y=x＋2中，得
y=2，∴M(0，2).
在Rt△OAM中，由勾股定理，得AM==2，
设点E到AD所在直线的距离为h，
则在△AEM中，有AE OM=AM h，
∴×(4＋4)×2=×2×h，解得h=，
∴点E到AD所在直线的距离为.
解图
练习4　(2024苏州24题8分)如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
A(－2，0)，C(6，0)，反比例函数y=(k≠0，x＞0)的图象与AB交于点
D(m，4)，与BC交于点E.
(1)求m，k的值；
解：(1)∵A(－2，0)，C(6，0)，∴OA=2，OC=6，
∴AC=OA＋OC=8，∴BC=AC=8，
∵∠ACB=90°，C(6，0)，∴B(6，8)，
设AB所在直线的表达式为y=ax＋b(a≠0)，
把点A(－2，0)，B(6，8)分别代入y=ax＋b中，
得解得
∴AB所在直线的表达式为y=x＋2，
把点D(m，4)代入y=x＋2中，得m=2，
∴D(2，4)，
把点D(2，4)代入y=中，得k=8；
△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，A(－2，0)，C(6，0)，反比例函数
y=(x＞0)的图象与AB交于点D(2，4)，与BC交于点E.
(2)点P为反比例函数y=(k≠0，x＞0)图象上一动点(点P在D，E之间运
动，不与D，E重合)，过点P作PM∥AB，交y轴于点M，过点P作PN∥x轴，
交BC于点N，连接MN，求△PMN面积的最大值，并求出此时点P的坐标.
(2)如解图，延长NP交y轴于点Q，交AB于点L，
则∠NQM=90°，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵PN∥x轴，∴∠BLN=∠BAC=45°，
Q
L
∵AB∥MP，∴∠MPL=∠BLP=45°，
∴∠QMP=∠QPM=45°，∴MQ=PQ，
设P(t，)(2＜t＜6)，则PQ=t，PN=6－t，
∴MQ=PQ=t，
∴S△PMN=PN MQ=(6－t) t=－(t－3)2＋，
Q
L
∵－＜0，2＜t＜6，
∴当t=3时，S△PMN有最大值，最大值为，此时点P的坐标为(3，).(共17张PPT)
第三单元　函　数
基础课14　二次函数表达式的确定(含图象变化)
节前复习导图
二次函数表达
式的确定(含图像
变化)
二次函数
图象的变化
平移变化
对称变化
确定二次
函数表达式
二次函数表达式的三种形式
待定系数法求二次函数的表达式
1
考点精讲
2
基础题练考点
3
分层作业本
考点精讲
一、确定二次函数表达式
1. 二次函数表达式的三种形式
(1)一般式：y=ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)
(2)顶点式：y=a(x－h)2＋k(a≠0，a，h，k为常数)，其中顶点坐标为(h，k)
(3)交点式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0，a，x1，x2为常数)，其中x1，x2为抛物线与x轴交点
的横坐标
2. 待定系数法求二次函数的表达式　
表达式 已给出 对于二次函数表达式y=ax2＋bx＋c，若a，b，c中有一个未知，则代入二
次函数图象上任意一点坐标；若有两个未知，则代入二次函数图象上任
意两点坐标
表达式 未给出 当已知抛物线上任意三点时，通常设抛物线的一般式为y=ax2＋bx＋
c(a≠0)
表达式 未给出 当已知抛物线的顶点坐标或对称轴及最大(小)值时，通常设顶点式为
y=a(x－h)2＋k(a≠0)，其中顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线x=h
当已知抛物线与x轴的两个交点坐标或对称轴、抛物线与x轴的一个交点
时，通常设交点式为y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中抛物线与x轴的交点坐
标分别为(x1，0)，(x2，0)
二、二次函数图象的变化
1. 平移变化
(1)从图象上考虑：二次函数图象平移的实质是图象上点坐标的整体平移(以研究顶点
坐标为主)，平移过程中a不变，因此可先求出其顶点坐标，根据顶点坐标的平移求解
即可
(2)从表达式上考虑：二次函数图象平移的规律如下表：
平移前表
达式 平移方向(n＞0) 平移后表达式 简记
y=a(x－h)2
＋k(a≠0) 向左平移n个单位 左“＋”
右“－”
向右平移n个单位
向上平移n个单位 上“＋”
下“－”
向下平移n个单位
y=a(x－h＋n)2＋k(a≠0)
y=a(x－h－n)2＋k(a≠0)
y=a(x－h)2＋k＋n(a≠0)
y=a(x－h)2＋k－n(a≠0)
2. 对称变化　
原表达式 及顶点 变化形式 变化后 的a值 变化后的 顶点坐标 变化后的表达式
y=a(x－h)2 ＋k(a≠0)， 顶点坐标 为(h，k) 关于x轴对称 －a (h，－k) y=－a(x－h)2－k
关于y轴对称 a (－h，k) y=a(x＋h)2＋k
关于原点 O中心对称 －a (－h，－k) y=－a(x＋h)2－k
基础题练考点
二次函数表达式的确定(常在二次函数综合题中涉及)
命题点
1
1. 根据下列已知条件，求抛物线的表达式.
形式一　系数中有一个未知量
(1)已知抛物线y=2(x＋1)2＋c与y轴的交点坐标为(0，3)，求抛物线的
表达式；
解：(1)将点(0，3)代入y=2(x＋1)2＋c，
得3=2＋c，解得c=1，
∴抛物线的表达式为y=2(x＋1)2＋1=2x2＋4x＋3
形式二　系数中有两个未知量
(2)已知抛物线y=x2＋bx＋c的顶点坐标为(2，8)，求抛物线的表达式；
解：∵抛物线的顶点坐标为(2，8)，a=1，
∴抛物线的表达式为y=(x－2)2＋8=x2－4x＋12
(3)已知抛物线y=ax2＋bx－2的对称轴为直线x=，且经过点(－1，0)，求
抛物线的表达式；
解：∵抛物线y=ax2＋bx－2的对称轴为直线x=，且经过点(－1，0)，
∴解得
∴抛物线的表达式为y=x2－x－2
(4)已知抛物线y=ax2＋2x＋c经过点(－1，0)，(0，3)，求抛物线的表
达式；
解：∵抛物线经过点(0，3)，∴c=3，
∵抛物线经过点(－1，0)，
∴将点(－1，0)代入y=ax2＋2x＋3中，得a(－1)2＋2×(－1)＋3=0，
解得a=－1，
∴抛物线的表达式为y=－x2＋2x＋3
形式三　系数a，b，c均为未知量
(5)已知抛物线与x轴交于点(2，0)，(－1，0)，与y轴交于点(0，1)，求抛物
线的表达式；
解：∵抛物线与x轴交于点(2，0)，(－1，0)，
∴可设抛物线的表达式为y=a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
又∵抛物线与y轴交于点(0，1)，
将点(0，1)代入，得－2a=1，解得a=－，
∴抛物线的表达式为y=－(x－2)(x＋1)=－x2＋x＋1
(6)已知抛物线经过原点，且顶点坐标为(1，－1)，求抛物线的表达式；
解：∵抛物线的顶点坐标为(1，－1)，
∴可设抛物线的表达式为y=a(x－1)2－1(a≠0)，
又∵抛物线经过原点，
∴将点(0，0)代入，得a－1=0，解得a=1，
∴抛物线的表达式为y=(x－1)2－1=x2－2x
(7)如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且A(－1，
0)，OB=OC=3OA，求抛物线的表达式.
∵A(－1，0)，OB=OC=3OA，∴OA=1，OB=OC=3，
∴B(3，0)，C(0，－3)，
∴可设抛物线的表达式为y=a(x＋1)(x－3)(a≠0)，
将(0，－3)代入，得－3a=－3，解得a=1，
∴抛物线的表达式为y=(x＋1)(x－3)=x2－2x－3.
二次函数图象的变化
命题点
2
2. (九上思考与探索改编)已知抛物线y=(x－2)2＋2，请根据下列要求回答
问题.
(1)将抛物线先向左平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式为
，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的表达式为
；
(2)抛物线关于x轴对称的新抛物线的表达式为 ；
(3)若将该抛物线经过平移后得到的抛物线表达式为y=x2－6x＋10，则平移
的方式可以是
.(写出一种平移方式即可)
y=(x－
1)2＋2
y=(x－
1)2－1
y=－(x－2)2－2
先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度(答案
不唯一)(共33张PPT)
第三单元　函　数
提升课16　函数的实际应用
1
核心考点突破
2
分层作业本
核心考点突破
一阶　列函数表达式
方法一　待定系数法
1. (2025苏州7题改编)声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，
科学家测得一定温度下声音传播的速度v(m/s)与温度t(℃)部分对应数
值如表：
温度t(℃) －10 0 10 30
声音传播的速度
v(m/s) 324 330 336 348
研究发现v，t满足公式v=at＋b(a，b为常数，且a≠0)，则a= ，b= .
0.6
330
2. (八上问题改编)如图为某汽车油箱中剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)的
函数关系图，则y(升)关于x(千米)的函数表达式为 ，tan
α的实际意义是 .
y=－0.1x＋70
每千米的耗油量
【解析】∵机器狗的最快移动速度v与载重后总质量m成反比例关系，
∴可设v=，∵当m=60 kg时，v=5 m/s，∴k=vm=5×60=300，
∴机器狗的最快移动速度v关于载重后
总质量m的反比例函数表达式为v=.
3. (2025三区统考一模改编)机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的
机器装置，其最快移动速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数.已
知一款机器狗载重后总质量m=60 kg时，它的最快移动速度v=5 m/s，则机
器狗的最快移动速度v关于载重后总质量m的反比例函数表达式
为 .
v=

方法二　关系式法
4. (八下习题改编)若矩形的面积是10，相邻两边的长分别为x，y，则y关于
x的函数表达式为 .
5. 为了扩大小区绿化，物业人员计划种植一批水杉树，现有两种水杉树苗
可供选择，甲种树苗7元一棵，乙种树苗12元一棵，计划购买两种树苗共
48棵，设购买甲种树苗x棵，购买所有树苗的总费用为y元，则y与x之间的
函数表达式为 .
y=

y=576－5x(0≤x≤48)
6. (九下复习题改编)某店购进一批单价为40元的画册，如果按每本60元出
售，那么平均每天可售出100本，经试销统计发现，如果画册售价每降低1
元时，那么平均每天就能多售出10本(售价不低于成本价)，若降价x元，
求平均每天的利润w(元)与降价x(元)之间的函数表达式.
解：设画册降价x(0≤x≤20)元，平均每天的利润为w元，则平均每天的销
售量增加10x本.
由题意可得，销售量为(100＋10x)本，每本画册的利润为(60－x－40)元，
∴w=(60－x－40)(100＋10x)=(20－x)(100＋10x)=－10x2＋100x＋
2 000(0≤x≤20).
二阶　实际问题
类型一　费用利润问题(2022.25)
例1　 苏州碧螺春是中国十大名茶之一，某店家刘老板在
苏州碧螺春批发厂家选中特级碧螺春和一级碧螺春两种茶，决定从该厂家
进货并销售.刘老板计划两次购进碧螺春的数量和花费如下表：(两次单价
不变)
特级碧螺春(单位:斤) 一级碧螺春(单位:斤) 总花费(单位：元)
第一次 购进 15 20 19 000
第二次 购进 18 25 23 300
(1)求每斤特级碧螺春和一级碧螺春的进价各为多少元；
解：设每斤特级碧螺春的进价为x元，每斤一级碧螺春的进价为y元，
根据题意，得
解得
答：每斤特级碧螺春的进价为600元，每斤一级碧螺春的进价为500元
(2)经过前两次销售经验，店家刘老板计划再次购进特级碧螺春和一级碧
螺春共30斤，且特级碧螺春的数量不少于一级碧螺春数量的一半，则刘老
板至少要准备多少钱？
解：设进价总额为P元，购进特级碧螺春m斤，则购进一级碧螺春(30－m)
斤，根据题意得，P=600m＋500(30－m)=100m＋15 000，
由题意，得m≥(30－m)，
解得m≥10，
∵100＞0，∴P随m的增大而增大，
∴当m=10时，P取得最小值，P最小=16 000，
答：刘老板至少要准备16 000元.
(3)在实际销售过程中，该店发现每斤特级碧螺春售价为1 000元时，月销
量为18斤，每降价10元，月销售量增加3斤，设每斤特级碧螺春降价x元，
降价后的价格不低于成本价，特级碧螺春的月利润为w(元)，写出w与x之
间的函数表达式，并求出当每斤特级碧螺春的售价为多少元时，特级碧螺
春的月利润最大，最大月利润为多少元？
解：由题意，得w=(1 000－600－x)×(18＋x)=－x2＋102x＋7 200=－
(x－170)2＋15 870(0≤x≤400)，
∵－＜0，0≤x≤400，∴当x=170时，w有最大值，w最大=15 870，
∴每斤特级碧螺春的售价为1 000－170=830(元)，
答：w与x之间的函数表达式为w=－x2＋102x＋7 200(0≤x≤400)，当每
斤特级碧螺春的售价为830元时，特级碧螺春的月利润最大，最大月利润
为15 870元.
练习1　(2025苏州附中零模)中秋节是我国的传统节日.月饼是中秋节的美
食之一，月饼寓意着团圆和完美.“豆沙月饼”是某地的特色月饼，深受
当地人们的喜爱.某商店在中秋节来临之前，去当地的玉猫饼家订购普通
豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼两种进行试销.已知蛋黄豆沙月饼的单价是普通
豆沙月饼单价的2倍，用1 600元购进蛋黄豆沙月饼的数量比用700元购进
普通豆沙月饼的数量多50个.
(1)普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼的单价分别是多少？
解：(1)设普通豆沙月饼的单价是x元，则蛋黄豆沙月饼的单价是2x元，
根据题意得，－=50，
解得x=2，
经检验，x=2是所列分式方程的根，且符合题意，
∴2x=2×2=4，
答：普通豆沙月饼的单价是2元，蛋黄豆沙月饼的单价是4元；
普通豆沙月饼的单价是2元，蛋黄豆沙月饼的单价是4元.
(2)若某商店把蛋黄豆沙月饼以6元销售时，那么半个月可以售出200
个.根据销售经验，把这个蛋黄豆沙月饼的单价每提高2元，销量会相
应减少40个.将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最
大利润是多少？
(2)设售价定为t元，半个月获得的利润为y元，
根据题意得，y=(t－4)［200－］=－20(t－10)2＋720，
∵≤200，t≥6，∴6≤t≤16，
∵－20＜0，
∴当t=10时，y的最大值是720，
答：当售价定为10元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是
720元.
类型二　行程问题(2023.26)
例2　(2025常熟第一次适应性模拟)甲乙两名同事计划周末登“虞山”，
两人从山下同一地点出发，相约11：00之前到达山顶某景区，甲先出发，
中途休息一段时间后保持原速继续登山；乙晚出发40分钟，比甲早到达山
顶.从8：30开始计时，时长记为t分钟，甲、乙两人登山的路程记为y甲、y
乙.甲、乙两人登山的路程y甲、y乙与时长t之间的函数关系如图所示.
(1)乙到达山顶的时间为 ；
10∶30
(2)记甲的速度为v1，乙的速度为v2.
① 甲、乙两人的速度之比的值为 　 　 ；
【解法提示】∵v1==(米/分钟)，v2==(米/分钟)，
∴==.

(2)记甲的速度为v1，乙的速度为v2.
②已知甲的速度v1=80米/分钟，在乙登山的过程中，若|y甲－y乙|=2 000，求
t的值.
②∵a=60×80=4 800(米)，v2==×80=120(米/分钟)，
∴y乙=120(t－40)=120t－4 800(40≤t≤120)，
当0≤t≤60时，y甲=80t，
当60＜t≤90时，y甲=4 800，
当40≤t≤60时，|y甲－y乙|=80t－(120t－4 800)=2 000，
解得t=70(舍去)，
当60＜t≤90时，|y甲－y乙|=|4 800－(120t－4 800)|=2 000，
当90＜t≤150时，y甲=4 800＋80(t－90)=80t－2 400.
解得t=或t=(舍去)，
当90＜t≤120时，|y甲－y乙|=120t－4 800－(80t－2 400)=2 000，
解得t=110，
∴t=分钟或t=110分钟.
练习2　 如图①，长为6 cm的电动遥控车A和长为4 cm的电动
遥控车B，分别从跑道两端点M，N处同时出发相向而行，两车在跑道上
以相同的速度匀速运动，且跑道足够宽，当两车行驶到另一端点处时，停
止运动，设车的运动时间为x(s)，A，B两车车头之间的距离为y(cm)，y与
x的函数关系图象如图②.
(1)根据图象可知跑道MN的总长度为 cm，两车相遇用了 s；
50
20
(2)写出两车在跑道上行驶时，y关于x的函数表达式(写出自变量x的取值
范围)；
如图①，长为6 cm的电动遥控车A和长为4 cm的电动遥控车B，分别从跑道两端点M，N处同时出发相向而行，两车在跑道上以相同的速度匀速运动，且跑道足够宽，当两车行驶到另一端点处时，停止运动，设车的运动时间
为x(s)，A，B两车车头之间的距离为y(cm)，y与x的函数关系图象如图②.
(2)当0≤x＜20时，设y=kx＋b(k≠0)，
将(0，40)，(20，0)代入y=kx＋b(k≠0)中，
得
解得
∴y=－2x＋40(0≤x＜20).
当20≤x＜44时，设y=mx＋n(m≠0)，
将(20，0)，(44，48)代入y=mx＋n(m≠0)中，得
解得∴y=2x－40(20≤x＜44)；
当44≤x≤46时，设y=px＋q(p≠0)，
解得
∴y=x＋4(44≤x≤46)；
综上所述，
y=
将(44，48)，(46，50)代入y=px＋q(p≠0)中，得
(3)当A，B两车车头相距10 cm时，求x的值.
如图①，长为6 cm的电动遥控车A和长为4 cm的电动遥控车B，分别从跑道两端点M，N处同时出发相向而行，两车在跑道上以相同的速度匀速运动，且跑道足够宽，当两车行驶到另一端点处时，停止运动，设车的运动时间
为x(s)，A，B两车车头之间的距离为y(cm)，y与x的函数关系图象如图②.
(3)当0≤x＜20时，令y=10，则－2x＋40=10，
解得x=15；
当20≤x＜44时，令y=10，则2x－40=10，
解得x=25；当44≤x≤46时，不符合题意，
∴当A，B两车车头相距10 cm时，x的值为15或25.
类型三　抛物线型问题
例3　 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与
小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h=30t－5t2(0≤t≤6).
(1)小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多
少？
∵h=30t－5t2=－5(t－3)2＋45(0≤t≤6)，
∴当t=3时，h有最大值，最大值为45，
答：小球运动的时间是3秒时，小球最高，最大高度是45 m；
小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h=30t
－5t2(0≤t≤6).
(2)求小球落到地面时的运动时间；
解：令h=0，则30t－5t2=0，
解得t=0(舍去)或t=6，
∴小球落到地面时的运动时间为6 s
小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h=30t
－5t2(0≤t≤6). 小球运动的时间是3秒时，小球最高，最大高度是45 m.
(3)求小球从第1 s到第4 s运动的垂直路径长；
解：(3)由(1)得，第3s时小球运动到最高点，此时小球距离地面45 m，之
后小球开始竖直下落，
∴当t=1时，h=30×1－5×12=25(m)，
当t=4时，h=30×4－5×42=40(m)，
∴小球从第1 s到第4 s运动的垂直路径长为45－25＋45－40=25(m)
小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h=30t
－5t2(0≤t≤6).
(4)小明站在抛出的小球运动路线旁边离地24 m的看台上，在小球下落过
程中，他一伸手，刚好接住小球，小明伸出的手比看台的平面高出1 m，
求小球从抛出到小明接住小球用了多少时间？
解：由题意，得h=25m，
∴30t－5t2=25，
解得t=1或t=5，
∵小明是在小球下落的过程中接住小球，∴t=5 s，
∴小球从抛出到小明接住小球用了5 s.
练习3 投石车(如图①)是利用杠杆原理抛射石
弹的人力远射兵器，结构很简单，一根巨大的杠杆，长端是用皮套或是木
筐装载的石块，短端系上几十根绳索，当命令下达时，数十人同时拉动绳
索，利用杠杆原理将石块抛出.图②是某数学兴趣小组研制的抛石车，研
究发现：竖直向上抛出的石块的高度h(m)满足关系式h=－5t2＋v0t，其中
t(s)是石块运动的时间，v0(m/s)是石块被抛出时的速度.
新考法
跨物理学科
(1)若在调试阶段设定v0=10 m/s，求石块被抛出的最大高度；
解：(1)由题意得，当v0=10 m/s时，h=－5t2＋10t=－5(t2－2t＋1)＋5=－5(t
－1)2＋5.
∵a=－5＜0，
∴抛物线的开口向下，有最大值，
∴当t=1时，h最大值=5，
答：当t=1 s时，石块被抛出的高度最大，最大高度是5 m；
(2)①若被抛出的石块能达到的最大高度为20 m，则石块被抛出时的速度
应该是多少？
(2)①由h=－5t2＋v0t知，抛物线的对称轴为直线t=－=，
当t=时，h最大=－5 ()2＋v0 ==20，
整理，得=400，
解得v0=20或v0=－20(不符合题意，舍去)，
∴石块被抛出时的速度应该是20 m/s；
②按①中的速度抛出石块，若石块被抛出的高度有两次达到15 m，则小辉
认为：“两次达到高度为15 m之间的间隔时间为2 s.”请判断他的说法是
否正确，并说明理由.
②小辉的说法正确.理由如下：
由①得，h=－5t2＋20t，
当h=15时，15=－5t2＋20t，
解得t1=1，t2=3，
∵3－1=2(s)，
∴小辉的说法正确.(共38张PPT)
第三单元　函　数
基础课13　二次函数的图象与性质
节前复习导图
二次函数的
图象与性质
定义
开口方向
图象
对称轴
顶点坐标
增减性
最值
二次函数的
图象与性质
a的正负
决定开口方向
a,b的值决定
对称轴位置
c的正负决定
与y轴交点位置
二次函数图象
与a,b,c的关系
与方程(组)、不等式的关系
1
考点精讲
2
基础题练考点
3
分层作业本
考点精讲
二次函数的图象与性质
定义 形如y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数
开口方向 a＞0，开口向上 a＜0，开口向下
图象 (草图)
对称轴 1.直接运用公式x= 求解 2.配方法：将一般式化为顶点式y=a(x－h)2＋k，则对称轴为直线x=h 注：还可利用x=(其中x1，x2为抛物线上关于对称轴对称的两点的
横坐标)求解
－
顶点坐标 1.直接运用顶点坐标公式( ， 　 )求解
2.运用配方法将一般式转化为顶点式y=a(x－h)2＋k，则顶点坐标为(h，
k)
3.将对称轴x=x0代入函数表达式求得对应y0，则顶点坐标为(x0，y0)
－


增减性 a＞0时，在对称轴左侧，y随x的增
大而 ；在对称轴右侧，y随
x的增大而 a＜0时，在对称轴左侧，y随x的
增大而 ；在对称轴右
侧，y随x的增大而
最值 a＞0时，y有最 值 当x=－时，y的最小值为 a＜0时，y有最 值
当x=－时，y的最大值为
减小
增大
增大
减小
小
大


二、二次函数图象与a，b，c的关系　
a的正负决定开口方向 a＞0 开口
a＜0 开口
a，b的值决定 对称轴位置 b=0 对称轴为y轴
a，b同号 对称轴在y轴
a，b异号 对称轴在y轴
c的正负决定与 y轴交点位置 c=0 抛物线过原点
c＞0 抛物线与y轴交于 半轴
c＜0 抛物线与y轴交于 半轴
向上
向下
左侧
右侧
正
负
三、与方程(组)、不等式的关系
1. 二次函数与方程的关系
(1)方程ax2＋bx＋c=0的解是二次函数y=ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标值
(2)b2－4ac＞0 抛物线与x轴有两个交点 方程有两个不相等的实数根
(3)b2－4ac=0 抛物线与x轴有一个交点 方程有两个相等的实数根
(4)b2－4ac＜0 抛物线与x轴无交点 方程无解
2. 二次函数与一次函数交点和方程的关系
如图，抛物线y1=ax2＋bx＋c与直线y2=mx＋n相交于A，B两点，
方程ax2＋bx＋c=mx＋n的解是x1，x2(方程也可以化为ax2＋(b－m)x＋(c－n)=0)
基础题练考点
二次函数的概念及图象位置
命题点
1
1. 已知抛物线y=ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
x … －3 －2 －1 0 1 …
y … 8 5 4 5 8 …
(1)对称轴为直线 ，抛物线有最 (填“大”或“小”)值；
x=－1
小
x … －3 －2 －1 0 1 …
y … 8 5 4 5 8 …
(2)猜想抛物线的开口向 (填“上”或“下”)，抛物线与坐标轴的交
点情况为 ，在如图所示的
直角坐标系中作出该函数的图象；
上
抛物线与x轴没有交点，与y轴交于点(0，5)
画出函数图象如解图；
解图
(3)根据点的坐标特征可知，当x=1时，a＋b＋c= ，当x=0时，
c= ，结合对称轴可得a= ，b= .
8
5
1
2
二次函数的对称性(4年5考) ( 快答App 答疑高频考点
命题点
2
类型一　求对称轴及顶点坐标
2. 抛物线y=－x2＋4x＋1的对称轴为直线 ，顶点坐标为 .
3. 抛物线y=ax2＋2ax＋a－3(a≠0)的对称轴为直线 ，顶点坐标
为 .
x=2
(2，5)
x=－1
(－1，－3)
4 086次)
4. (2024苏州15题3分)二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过
点A(0，m)，B(1，－m)，C(2，n)，D(3，－m)，其中m，n为常数，则的值为 .
－

【解析】解法一：∵B，D两点的纵坐标相等，∴二次函数图象的对称轴为直线x==2，∴－=2，∴b=－4a，∴抛物线的表达式为y=ax2－4ax＋
c(a≠0)，把点A(0，m)，B(1，－m)，C(2，n)分别代入y=ax2－4ax＋c中，
得解得∴=－.
二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点A(0，m)，B(1，－m)，C(2，n)，D(3，－m)，其中m，n为常数，则的值为 .
－

解法二：将点A(0，m)，B(1，－m)，D(3，－m)分别代入y=ax2＋bx＋c(a≠0)中，得解得∴y=mx2－mx＋m，把点C(2，n)代入y=mx2－mx＋m中，得m×4－m×2＋m=n，解得
n=－m，∴==－.
类型二　利用对称性求点坐标
5. (1)已知抛物线y=ax2经过点(1，－2)，则该点关于抛物线的对称轴对称
的点的坐标为 ；
【解法提示】∵抛物线y=ax2的对称轴为y轴，
∴点(1，－2)关于抛物线的对称轴对称的点的坐标为(－1，－2).
(－1，－2)
(2)若抛物线y=a(x－5)2＋3(a≠0)与x轴的一个交点为(2，0)，求该抛物线与
x轴的另一个交点坐标；
解：∵抛物线的对称轴为直线x=5，且与x轴的一个交点坐标为(2，0)，
∴点(2，0)关于对称轴直线x=5对称的点的坐标为(8，0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(8，0)
(3)若抛物线y=ax2－2ax＋1(a≠0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线，
交抛物线于点B，求点B的坐标；
解：令x=0，则y=1，∴A(0，1)，∵－=1，由题意，得点A与点B关于对
称轴直线x=1对称，
∴点B的坐标为(2，1)
(4)已知抛物线的对称轴为直线x=1，点A与点B均在抛物线上，且两点的
纵坐标相等(点A在点B的左侧)，若AB=4，求点A与点B的横坐标.
解：抛物线的对称轴为直线x=1，AB=4，点A在点B的左侧，
∴点A的横坐标为1－2=－1，点B的横坐标为1＋2=3.
满分技法
1. 抛物线是轴对称图形，对称轴为y轴或平行于y轴的直线.
(1)y=ax2(a≠0)图象关于y轴对称；
(2)y=a(x－h)2＋k(a≠0)图象关于直线x=h对称；
(3)y=ax2＋bx＋c(a≠0)图象关于直线x=－对称；
(4)y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)图象关于直线x=对称.
2. 抛物线上纵坐标相同的两点必关于抛物线的对称轴对称，可根据对称轴
与其中一点坐标求出与之关于对称轴对称的另一点的坐标.
二次函数的增减性
命题点
3
类型一　利用增减性比较大小
6. 已知抛物线y=x2＋4x＋1.
(1)若抛物线经过(－1，y1)和(2，y2)两点，则y1 y2(填“＞”“＜”或
“=”)；
(2)若抛物线经过(－3，y1)和(1，y2)两点，则y1 y2(填“＞”“＜”或
“=”)；
(3)若抛物线经过(－6，y1)，(－5，y2)和(1，y3)三点，则y1，y2，y3的大小
关系为 ；
＜
＜
y2=y3＜y1
拓展设问
(4)若抛物线经过(－1，y1)和(m，y2)两点，且y1＜y2，求m的取值范围.
解：∵二次函数y=x2＋4x＋1图象的对称轴为直线x=－2，∴点(－1，y1)关于
对称轴对称的点为(－3，y1)，∵函数图象开口向上，∴当x＜－2时，y随x的
增大而减小，当x＞－2 时，y随x的增大而增大， ∵y1＜y2， ∴m＜－3或 m
＞－1.
类型二　利用增减性求取值范围
7. 如图，已知抛物线y=x2－2x－1.
(1)函数值y的取值范围是 ，当－3≤x≤0时，函数值y的取值范
围是 ；
【解法提示】∵该抛物线对称轴为直线x=－=1，且抛物线开口向上，
∴抛物线在x=1处取得最小值，最小值为y=－2，
∴函数值y的取值范围为y≥－2；
∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴－3≤x≤0在对称轴左侧，此时y随x的增大而减小，
∵当x=－3时，y=14，当x=0时，y=－1，
∴当－3≤x≤0时，函数值y的取值范围是－1≤y≤14.
y≥－2
－1≤y≤14
如图，已知抛物线y=x2－2x－1.
(2)若抛物线的函数值为2＜y＜3，则x的取值范围是
；
1－
＜x＜－1或
3＜x＜1＋

【解法提示】当y=2时，解得x=－1或x=3，当y=3时，
解得x=1－或x=1＋，
∵抛物线开口向上，
∴x的取值范围是1－＜x＜－1或3＜x＜1＋.
如图，已知抛物线y=x2－2x－1.
(3)当－2＜x≤3时，函数值y的取值范围是 ；
【解法提示】∵抛物线的对称轴为直线x=1，且开口向上，－2＜x≤3，
∴当x=1时，抛物线有最小值，最小值为y=－2，∵1－(－2)=3＞3－1=2，
且当x=－2时，y=7，∴当－2＜x≤3时，函数值y的取值范围是－2≤y＜7；
－2≤y＜7
如图，已知抛物线y=x2－2x－1.
(4)若点A，B是抛物线上两点(点A，B均在对称轴右侧)，且到对称轴的距
离分别为2个单位长度和3个单位长度，点Q为抛物线上点A，B之间(含点
A，B)的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围.
∵抛物线对称轴为直线x=1，点A，B到对称轴的距离分别为2，3，
且点A，B均在对称轴右侧，
∴点A，B的横坐标分别为3，4，
当x=3时，y=2，当x=4时，y=7，
∵点Q为抛物线上点A，B之间(含点A，B)的一个动点，
∴当3≤x≤4时，点Q的纵坐标yQ的取值范围为2≤yQ≤7.
题后反思
若将(4)中的条件“点A，B均在对称轴右侧”改为“点A在点B的左侧”，
求点Q的纵坐标yQ的取值范围.
解：∵点A，B为抛物线上两点(点A在点B的左侧)，
且到对称轴的距离分别为2个单位长度和3个单位长度，
∴点A的横坐标为－1或3，点B的横坐标为4，
∴点A坐标为(－1，2)或(3，2)，点B坐标为(4，7).
∵点Q为抛物线上点A，B之间(含点A，B)的一个动点，
∴当A，B在对称轴的同侧时，2≤yQ≤7；当A，B在对称轴的两侧时，－
2≤yQ≤7，
∴点Q的纵坐标yQ的取值范围为2≤yQ≤7或－2≤yQ≤7.
满分技法
抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)上的任意一点到其对称轴的距离记为d，则有：
d相等，y值相等；a＞0时，d越大，y值越大，d越小，y值越小；a＜0时，
d越大，y值越小，d越小，y值越大.
二次函数的最值
命题点
4
8. 如图，已知抛物线y=－x2＋2x＋3.
(1)当－2≤x≤0时，函数值y的最大值是 　　，最小值是 ；
(2)当2≤x≤4时，函数值y的最大值是 ，最小值是 ；
－5
4
－12
3
如图，已知抛物线y=－x2＋2x＋3.
(3)当0≤x≤3时，求函数值y的最大值和最小值之差.
∵抛物线y=－x2＋2x＋3，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，
∵0≤x≤3，且1－0＜3－1，
∴当x=1时，y取得最大值，最大值为4，
当x=3时，y取得最小值，最小值为0，
∴函数值y的最大值和最小值之差是4.
拓展设问
(4)若－2≤x≤m，函数值y的最大值和最小值分别是多少？
∵抛物线y=－x2＋2x＋3，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，
∵－2≤x≤m，∴m存在以下几种情况：
①当－2＜m≤1时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
当x=－2时，y取得最小值，最小值为－5，
当x=m时，y取得最大值，最大值为－m2＋2m＋3；
②当1＜m＜4时，此时函数图象位于对称轴的两侧，当x=－2时，y取得最
小值，最小值为－5，当x=1时，y取得最大值，最大值为4；
③当m=4时，此时函数图象位于对称轴的两侧，当x=－2或x=4时，y取得
最小值，最小值为－5，当x=1时，y取得最大值，最大值为4；
④当m＞4时，此时函数图象位于对称轴的两侧，当x=1时，y取得最大
值，最大值为4，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，当x=m时，y取得
最小值，最小值为－m2＋2m＋3.
二次函数图象与a，b，c的关系
命题点
5
9. 如图，抛物线y=ax2＋bx＋c，其对称轴为直线x=1.根据
图象，分析并判断下列结论，用“＞”“≥”“＜”“≤”或“=”填空.
根据图象判断a，b，c类
(1)a 0，b 0，c 0；
当x=±1，±2类
(2)a＋b＋c 0；(3)4a－2b＋c 0；
＞
＜
＜
＜
＞
当a，b，c三个缺一个类
(4)2a＋b 0；(5)c－a 0；
(6)2c－3b 0；
b2－4ac类
(7)b2－4ac 0.
=
＜
=
＞
如图，抛物线y=ax2＋bx＋c，其对称轴为直线x=1.
满分技法
根据函数图象判断相关结论：
结论形式 解题思路
2a＋b －与1比较
2a－b －与－1比较
a＋b＋c 令x=1，看纵坐标
a－b＋c 令x=－1，看纵坐标
满分技法
根据函数图象判断相关结论：
结论形式 解题思路
4a＋2b＋c 令x=2，看纵坐标
4a－2b＋c 令x=－2，看纵坐标
9a＋3b＋c 令x=3，看纵坐标
9a－3b＋c 令x=－3，看纵坐标
【解析】将关于x的方程ax2＋(2－k)x=b－c变形得ax2＋2x＋c=kx＋b，
∵抛物线y=ax2＋2x＋c与直线y=kx＋b的图象交于A，B两点，
∴方程ax2＋2x＋c=kx＋b的解是A，B两点的横坐标，
∴结合图象可得方程ax2＋2x＋c=kx＋b的解
是x1=－2，x2=1，
∴方程ax2＋(2－k)x=b－c的解是x1=－2，x2=1.
二次函数与方程的关系
命题点
6
10. 如图，抛物线y=ax2＋2x＋c与直线y=kx＋b的图象交于A，B两点，则关
于x的方程ax2＋(2－k)x=b－c的解是 .
x1=－2，x2=1(共19张PPT)
第三单元　函　数
基础课11　反比例函数的图象与性质
节前复习导图
反比例函数
的图象与性质
反比例函数与
方程（组）、不等式的关系
反比例函数
表达式的确定
待定系数法
利用反比例函数的比例系数k的几何意义求解
反比例系数k
的几何意义
k的几何意义
常见图形及结论
反比例函数
的图象与性质
表达式
k
图象
所在象限
图象特征
增减性
对称性
1
考点精讲
2
基础题练考点
3
分层作业本
考点精讲
一、反比例函数的图象与性质　
表达式 y=(k为常数，k≠0)或反比例函数图象上的点的横、纵坐标的乘积为常数，
即xy=k
k k 0 k＜0
图象 (草图)
②请画出草图
＞
所在象限 第一、三象限(x，y同号) 第 象限(x，y )
图象特征 图象无限接近坐标轴，但与坐标轴永不相交，即x≠0，y≠0
增减性 在每个象限内，y随x的增大
而 在每个象限内，y随x的增大而

对称性 关于直线y=x，y=－x成 对称；关于 成中心对称
二、四
异号
减小
增
大
轴
原点
【满分技法】
1. 在反比例函数中，y随x的大小而变化的情况，应分x＞0与x＜0两种情况讨论，而不
能笼统地说成“k＜0时，y随x的增大而增大”
2. 在同一平面直角坐标系中，若正比例函数与反比例函数图象有交点，则两个交点关
于原点对称
二、反比例函数系数k的几何意义
1. k的几何意义：如图，在反比例函数y=(k为常数，k≠0，x＜0)的图象上任取一点
P(a，b)，过这一点分别作x轴，y轴的垂线PM，PN与坐标轴围成的矩形PMON的面积
S=|ab|=
|k|
2. 常见图形及结论
三、反比例函数表达式的确定
1. 待定系数法
(1)设出反比例函数表达式为y=(k≠0)
(2)找出图象上一点P(a，b)代入y=中
(3)确定反比例函数表达式为y=
2. 利用反比例函数的比例系数k的几何意义求解：若题中已知面积时考虑用k的几何意
义.由面积得|k|，再结合图象所在象限判断k的正负，从而得出k的值，代入表达式即可
四、反比例函数与方程(组)、不等式的关系　
示意图 函数与方程(组) 函数与不等式(组)
利用数形结合思想可知，方程组
的解为一次函数y=ax
＋b(a≠0)的图象与反比例函数
y=(k≠0)图象的交点坐标值 利用数形结合思想可知，①不等
式＞ax＋b的解集为x＜xA或0＜
x＜xB；②不等式＜ax＋b的解
集为xA＜x＜0或x＞xB. xA，xB分
别为点A，B的横坐标
基础题练考点
反比例函数的图象与性质(4年4考，仅2024.7单独考查，其余
命题点
1
1. (八下练习改编)关于反比例函数y=，下列结论正确的是(　C　)
A. 图象位于第二、四象限
B. 图象与坐标轴有公共点
C. 图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小
D. 若图象经过点(a，a－3)，则a=4
C
在反比例函数综合题中涉及)( 快答App 答疑高频考点1428次)
2. (八下习题改编)已知反比例函数y=的图象与直线y=3x相交于A，B两
点，点B的坐标为(1，m)，则点A的坐标为(　B　)
A. (3，1) B. (－1，－3)
C. (－1，3) D. (1，－3)
【解析】将(1，m)代入y=3x，得m=3，∴点B的坐标为(1，3).
∵函数y=和y=3x的图象均关于原点对称，
∴点A与点B关于原点对称，∴点A的坐标为(－1，－3).
B
3. (八下复习题改编)若点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)在反比例函数y=
－的图象上.
(1)若0＜x1＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为 ；
(2)若x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为 ；
(3)若y3＜y1＜y2＜0，则x1，x2，x3的大小关系为 ；
(4)若y1＜y2＜0＜y3，则x1，x2，x3的大小关系为 .
y1＜y2＜y3
y2＜y3＜y1
x3＜x1＜x2
x3＜x1＜x2
4. (2024苏州7题改编)如图，点A为反比例函数y=－(x＜0)图象上的一点，
连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数y=(x＞0)的图象交于点B，则
的值为 .

【解析】如解图，过点A作AG⊥x轴于点G，过点B作BH⊥x轴于点H，则
∠AGO=∠OHB=90°，∴∠BOH＋∠OBH=90°，∵∠AOB=90°，∴∠AOG＋∠BOH=90°，
∴∠AOG=∠OBH，∴△AGO∽△OHB，∴=()2，
∵点A在反比例函数y=－的图象上，点B在反比例函数y=的图象上，
∴S△AGO=，S△BOH=2，∴()2==，∴=.
解图
反比例函数k的几何意义(2022.23)
命题点
2
5. 如图，点P是反比例函数y=(k≠0，x＜0)图象上一点，过点P作PA⊥y轴于点A，点B是点A关于x轴的对称点，连接PB，若△PAB的
面积为18，则k的值为 .
18
【解析】如图①，连接OP，∵点B是点A关于x轴的对称点，
∴OA=OB，∴S△AOP=S△POB=S△PAB，∵S△PAB=18，∴S△AOP=9，
∴|k|=18，∵反比例函数的图象在第三象限，∴k=18.
图①
如解图②，过点P作PC⊥x轴于点C，设BP交x轴于点D，则PC=AO=BO，
∵∠CDP=∠ODB，∠PCD=∠BOD，
∴△PCD≌△BOD，
∴S矩形AOCP=S△PAB=18，∴|k|=18，
∵反比例函数的图象在第三象限，∴k=18.
图②
如图，点P是反比例函数y=(k≠0，x＜0)图象上一点，过点P作PA⊥y轴于
点A，点B是点A关于x轴的对称点，连接PB，若△PAB的面积为18，则k的
值为 .
18
6. (2025苏州附中零模)如图，点A，D分别在函数y=－，y=的图象上，点
B，C在x轴上.若四边形ABCD为矩形，点D在第一象限，点E在线段AD
上，则△EBC的面积为 　 　.

【解析】∵点A，D分别在函数y=－，y=的图象上，
∴S矩形ABCD=3＋6=9，
∴S△EBC=BC AB=S矩形ABCD=.
反比例函数表达式的确定(4年4考，均在反比例函数综合题
命题点
3
7. (八下练习改编)已知反比例函数y=(k≠0).
(1)若函数图象经过点A(2，－4)，则反比例函数的表达式为 ；
(2)若函数图象经过点B(2m，1)，C(－1，m－3)，则反比例函数的表达式
为 .
y=－

y=

中涉及)(共31张PPT)
第三单元　函　数
提升课15　二次函数综合题
1
核心考点突破
2
分层作业本
核心考点突破
类型一　线段问题(2024.27)
例1　 如图①，已知二次函数y=－x2－2x＋3的图象与x轴
相交于A，B两点，其中点A在点B左侧，与y轴相交于点C. P是直线AC上
方的抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线，并与直线AC相交于点
Q，与x轴交于点D. 设点P的横坐标为m.
图①
一、表示点坐标
(1)点P的坐标为 ，
点D的坐标为 ，
点Q的坐标为 ；
(m，－m2－2m＋3)
(m，0)
(m，m＋3)
【解法提示】令y=0，得－x2－2x＋3=0，解得x1=－3，x2=1，∴A(－3，
0)，B(1，0)；令x=0，得y=3，∴C(0，3)；设直线AC的表达式为y=kx＋
b(k≠0)，将点A(－3，0)，C(0，3)代入y=kx＋b中，得解
得∴直线AC的表达式为y=x＋3，∵点P的横坐标为m，
∴点P纵坐标为－m2－2m＋3，∵PQ∥y轴，
∴点Q横坐标为m，则纵坐标为m＋3，∵PD∥y轴，
∴点D横坐标为m，纵坐标为0.
图①
二、表示线段长
图①
(2)PD的长为 ，QD的长为 ，PQ的长为
；
(3)点P到对称轴的距离为 ，CQ的长为 ；
－m2－2m＋3
m＋3
－m2
－3m
|m＋1|
－
m
(4)如图②，若PQ的长为2，求点Q的坐标；
图②
(4)由(1)得，A(－3，0)，B(1，0)，
∵P是直线AC上方的抛物线上的一个动点，
∴－3＜m＜0，
由(2)得，PQ的长为－m2－3m，令－m2－3m=2，
解得m=－1或m=－2，
由(1)得，Q(m，m＋3)，
当m=－1时，m＋3=2，当m=－2时，m＋3=1，
综上所述，点Q的坐标为(－1，2)或(－2，1)；
三、与线段数量关系有关的计算
(5)如图③，若PQ=DQ，求点P的坐标；
图③
(5)由(2)得，QD的长为m＋3，PQ的长为－m2－3m，
∵PQ=DQ，
∴－m2－3m=m＋3，解得m=－1或m=－3，
∵P是直线AC上方抛物线上的一个动点，
∴点P不与点A，C重合，
∴m的值为－1，
∴P(－1，4)；
(6)如图④，若AQ=2CQ，求点P的坐标；
图④
(6)∵PD∥y轴，∴=，
∵AQ=2CQ，∴=，
∴=，
由(1)得，点A坐标为(－3，0)，∴AO=3，
∴AD=2，∴OD=AO－AD=3－2=1，
∴m=－1，此时－m2－2m＋3=－1＋2＋3=4，
∴P(－1，4)；
四、线段最值
(7)如图⑤，过点P作x轴的平行线，与直线AC相交于点M，求△PQM周长
的最大值；
(7)由(2)得，PQ的距离为－m2－3m.
由PM∥x轴，得点M的纵坐标为－m2－2m＋3，
∵点M在直线AC上，设点M的坐标为(x，y)
∴x＋3=－m2－2m＋3，
∴x=－m2－2m，
图⑤
∴PM=－m2－2m－m=－m2－3m(－3＜m＜0)，
∴PQ=PM，∴MQ=PM=(－m2－3m)，
∴△PQM的周长为PQ＋PM＋MQ=－m2－3m－m2－3m＋
(－m2－3m)=－(2＋)(m＋)2＋，
∵－(2＋)＜0，－3＜m＜0，
∴当m=－时，△PQM的周长有最大值，最大值为；
图⑤
(8)如图⑥，连接BP交AC于点K，求的最大值.
图⑥
(8)如图，作BE⊥x轴交AC于点E，
E
由(2)得，PQ=－m2－3m，
∵B(1，0)，∴E(1，4)，∴BE=4，
∵PQ∥y轴，∴PQ∥BE，
∴∠PQK=∠KEB，
∵∠PKQ=∠BKE，∴△PQK∽△BEK，
∴=，∴==－m2－m=－(m＋)2＋，
∵－＜0，－3＜m＜0，
∴当m=－时，有最大值，最大值为.
练习1　 如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx(k≠0)与抛物
线y=x2－2交于A，B两点，且点A，B的横坐标分别为8，－2.点P是直线
AB下方抛物线上一动点，过点P作x轴的平行线，与直线AB交于点C，连
接PO，设点P的横坐标为m.
(1)若点P在x轴上方，当m为何值时，OC=CP；
解：∵直线y=kx(k≠0)与抛物线y=x2－2交于A，B两点，点A，B的横坐标分别为8，－2，
∴点A(8，6)，B(－2，－)，
∴直线AB的表达式为y=x.
设P(m，n)，则m2－2=n，
∵过点P作x轴的平行线，与直线AB交于点C，
∴C(n，n)，∴PC=m－n，
令x2－2=0，解得x1=4，x2=－4.
当点P在x轴上方时，4＜m＜8，n＞0，
∵OC=CP，OC==n，∴n=m－n，
∴n=m，∵m2－2=n，∴m2－2=m，
解得m=或m=(舍去)，∴当m=时，OC=CP；
练习1　 如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx(k≠0)与抛物
线y=x2－2交于A，B两点，且点A，B的横坐标分别为8，－2.点P是直线
AB下方抛物线上一动点，过点P作x轴的平行线，与直线AB交于点C，连
接PO，设点P的横坐标为m.
(2)若点P在x轴下方，求△POC周长的最大值.
(2)由(1)得P(m，n)，m2－2=n，
当点P在x轴下方时，－2＜m＜4，n＜0，
∵点C(n，n)，
∴OC=－n，OP===m2＋2，
∵PC=m－n，m2－2=n，
∴OP＋PC＋OC=m2＋2＋m－n－n=－(m－2)2＋9，
∵－＜0，
∴当m=2时，△POC的周长最大，最大值为9.
类型二　面积问题(4年2考)
例2　 如图，抛物线y=ax2＋bx＋3与x轴交于点A(－1，
0)，B(3，0)，与y轴交于点C.
一、求三角形、四边形面积
(1)如图①，连接AC，BC，求△ABC的面积；
图①
令x=0，则y=3，
∴点C的坐标为(0，3)，即OC=3，
∵A(－1，0)，B(3，0)，∴AB=4，
∴S△ABC=AB OC=×4×3=6；
(2)如图②，设抛物线的顶点为D，连接AC，CD，BD，求四边形ABDC的
面积；
图②
如图，y=ax2＋bx＋3与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C.
(2)将点A(－1，0)，B(3，0)代入y=ax2＋bx＋3中，
得解得
∴抛物线的解析式为y=－x2＋2x＋3=－(x－1)2＋4，
∴抛物线顶点D的坐标为(1，4)，
由(1)得，点C的坐标为(0，3)，
如解图①，连接AD交y轴于点G，
设AD所在直线的解析式为y=kx＋d(k≠0)，
将点A(－1，0)，D(1，4)代入y=kx＋d中，
得解得
∴AD所在直线的解析式为y=2x＋2，
令x=0，则y=2，
∴点G的坐标为(0，2)，∴CG=1，
∴S四边形ABDC=S△ADC＋S△ADB=CG |xD－xA|＋AB |yD|=9；
解图①
二、面积定值及最值
(3)如图③，P为第一象限内抛物线上一动点，连接AP，BP，当S△ABP=6
时，求点P的坐标；
图③
(3)由(2)得，抛物线的解析式为y=－x2＋2x＋3，
∴设点P的坐标为(t，－t2＋2t＋3)，
∵A(－1，0)，B(3，0)，∴AB=4，
∴S△ABP=×4×(－t2＋2t＋3)=6，整理，得－2t2＋4t=0，
解得t1=2，t2=0(不符合题意，舍去)，
当t=2时，－t2＋2t＋3=3，
∴点P的坐标为(2，3)；
(4)如图④，连接BC，若E是直线BC上方抛物线上一动点，连接EC，
EB，求△BCE面积的最大值；
图④
如图，y=ax2＋bx＋3与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C.
(4)由(1)得，点C坐标为(0，3)，
设直线BC的解析式为y=mx＋n(m≠0)，
将点B(3，0)，C(0，3)代入，得解得
∴直线BC的解析式为y=－x＋3，
如解图②，过点E作EF∥y轴交直线BC于点F，
解图②
由(2)得，抛物线解析式为y=－x2＋2x＋3，
设E(p，－p2＋2p＋3)，F(p，－p＋3)，
∴EF=－p2＋2p＋3－(－p＋3)=－p2＋3p，
∴S△BCE=EF xB=×(－p2＋3p)×3=－(p－)2＋，
∵－＜0，0＜p＜3，
∴当p=时，△BCE的面积最大，最大为；
三、面积等值、倍分关系
(5)如图⑤，F为第一象限内抛物线上一动点，连接OF，CF，BF，若
S△BOF=S△COF，求点F的坐标；
图⑤
(5)由(1)得，点C坐标为(0，3)，∴OB=OC=3，
设点F的坐标为(a，－a2＋2a＋3)，
∵S△BOF=OB yF=×3×(－a2＋2a＋3)，
S△COF=OC xF=×3a，
S△BOF=S△COF，
∴×3×(－a2＋2a＋3)=×3a，
即－a2＋2a＋3=a，
解得a=或a=(不符合题意，舍去)，
此时－a2＋2a＋3=a=，
∴点F的坐标为(，)；
图⑤
(6)如图⑥，Q是第四象限抛物线上一动点，连接AC，BC，AQ，BQ，若
S△QAB=2S△ABC，求点Q的坐标.
图⑥
如图，y=ax2＋bx＋3与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C.
(6)由题意得△QAB和△ABC同底，
∵S△QAB=2S△ABC，
∴△QAB中AB边上的高是△ABC中AB边上高的2倍，
图⑥
由(1)得OC=3.
∵点Q在第四象限，∴点Q的纵坐标为－6，
当y=－6时，－x2＋2x＋3=－6，
解得x1=1＋，x2=1－(不符合题意，舍去)，
∴点Q的坐标为(1＋，－6).
练习2　 如图，抛物线y=－x2－2x＋3交x轴于A，B两点(点A在
点B的左侧)，交y轴于点C，连接AC，BC.
(1)点N是线段AC上一动点，过点N作NN′⊥x轴于点N′，若
S△ANN′=S△ABC，求点N的坐标；
在y=－x2－2x＋3中，令x=0，则y=3，
∴C(0，3)，∴OC=3，
令－x2－2x＋3=0，
解得x1=1，x2=－3，
∴A(－3，0)，B(1，0)，∴AB=4，
∴S△ABC=AB OC=6，
由点A，C坐标可得AC所在直线的表达式为y=x＋3，
∴设N(n，n＋3)(－3≤n≤0)，则AN′=n＋3，
∵OA=OC=3，∴∠OAC=45°，
∴NN′=AN′=n＋3，
当S△ANN′=S△ABC=2时，即S△ANN′=(n＋3)2=2，
解得n1=－1，n2=－5(舍去)，
∴N(－1，2)；
(2)将抛物线向左平移m(m＞0)个单位长度，与原抛物线的交点为点D，连
接AD，BD，AC与BD相交于点E，若△ADE与△BCE的面积差为1，求m
的值.
(2)如解图，由题意得，平移后的抛物线的表达式为
y=－(x＋m)2－2(x＋m)＋3=－x2－2x(m＋1)－m2－2m＋3，
解图
y=－x2－2x＋3交x轴于A，B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，连接AC，BC.
令－x2－2x＋3=－x2－2x(m＋1)－m2－2m＋3，
∴
∴D(－－1，－m2＋4)，
由(1)得，S△ABC=6，
∵S△ADE=S△ABD－S△ABE，S△BCE=S△ABC－S△ABE，
△ADE与△BCE的面积差为1，
解图
∴分两种情况讨论：
①当S△ADE－S△BCE=1时，S△ADE－S△BCE=S△ABD－S△ABE－(S△ABC－
S△ABE)=1，
即S△ABD－S△ABC=1，
∴×4(－m2＋4)－6=1，
解得m=－(舍去)或m=；
解图
②当S△BCE－S△ADE=1时，S△BCE－S△ADE=S△ABC－S△ABE－(S△ABD－
S△ABE)=1，
即S△ABC－S△ABD=1，
∴6－×4(－m2＋4)=1，
解得m=－(舍去)或m=，
综上所述，m的值为或.
解图(共29张PPT)
第三单元　函　数
基础课10　一次函数的图象与性质
节前复习导图
上加下减、左加右减
一次函数表达式的确定
一次函数的
图象与性质
一次函数
图象的平移
两直线在同一平面内
的位置关系
一次函数的
图象与性质
一次函数
k决定图象的倾斜
方向和增减性
b决定图象与
y轴的交点位置
图象
经过的象限
与坐标轴的交点
1
考点精讲
2
基础题练考点
3
分层作业本
考点精讲
一、一次函数的图象与性质
一次函数 y=kx＋b(k，b是常数，k≠0)(特别地，当b=0时，y=kx为正比例函
数，图象为过原点的一条直线) k决定图象的倾
斜方向和增减
性 k 0 从左向右看图象呈
上升趋势“/” y随x的增大而 k 0 从左向右看图象呈下降
趋势“\”
y随x的增大而
＞
增大
＜
减小
b决定图
象与y轴
的交点位
置 b 0 交点在 正半轴上 b=0 交 点在原点
上 b 0 交点在 负半轴上 b＞0 交 点在正半
轴上 b 0 交点在 原点上 b＜0 交
点在负半
轴上
图象 (草图) 请画出
草图 请画出
草图
＞
＜
=
经过的象
限 一、二、
三 一、三
一、二、四
二、三、
四
与坐标轴
的交点 与x轴的交点坐标为 (即令y=0)，与y轴的交点坐标为
(即令x=0) 一、
三、四
二、
四
(－
，0)
(0，b)
二、一次函数表达式的确定
1. 方法：待定系数法
2. 步骤
一设：设一次函数表达式为y=kx＋b(k≠0)
二列：找出函数图象上的两个点，分别代入y=kx＋b中，得到二元一次方程组
三解：解这个二元一次方程组，得到k，b的值
四还原：将所求待定系数k，b的值代入y=kx＋b中即可
【满分技法】 对于正比例函数y=kx(k≠0)，找出函数图象上的一点(非原点)，求出k即
可确定表达式
三、一次函数图象的平移
1. 直线y=kx＋b(k≠0) y=k(x＋m)＋b
2. 直线y=kx＋b(k≠0)
3. 直线y=kx＋b(k≠0)
4. 直线y=kx＋b(k≠0)
简记为“左加右减，上加下减”
y=k(x－m)＋b
y=kx＋b＋m
y=kx＋b－m
四、两条直线在同一平面内的位置关系
在同一平面直角坐标系中，已知直线y1=k1x＋b1(k1≠0)和y2=k2x＋b2(k2≠0).
1. 两条直线平行、重合或相交(垂直或关于垂直于坐标轴的直线对称)：
平行 重合 垂直 相交(关于垂直于坐标轴的直线对称) 系数 关系 k1=k2， b1≠b2 k1=k2， b1=b2 k1 k2=
－1 k1＋k2=0 b1=b2 b1=－b2 /
图象
关于y轴对
称
关于x轴对
称
关于垂直于坐标轴
的直线对称
2. 相交(一般情况)：
函数与方程(组) 函数与不等式(组)
方程k1x＋b1=0的解为一次函数
y1=k1x＋b1图象与x轴的交点的横坐
标 ①不等式k1x＋b1＞0的解集为一次函数y1=k1x＋b1
图象位于x轴上方自变量x的取值范围；
②不等式k1x＋b1＜0的解集为一次函数y1=k1x＋b1
图象位于x轴下方自变量x的取值范围
函数与方程(组) 函数与不等式(组)
方程组， 的解为一次函数y1=k1x＋b1与
y2=k2x＋b2图象的交点坐标值 不等式k1x＋b1＞k2x＋b2的解集为一次函数y1=k1x
＋b1图象位于一次函数y2=k2x＋b2图象上方自变
量x的取值范围
基础题练考点
一次函数的图象与性质(4年4考，1次单独考查，其余均为涉及)
命题点
1
1. (2022课标样例改编)世界各国的天气预报主要使用摄氏或华氏温标，学
生查阅资料，得到两种温标计量值如下表：
摄氏温度值x/℃ 0 10 20 30 40 50
华氏温度值y/℉ 32 50 68 86 104 122
华氏温度值y(℉)与摄氏温度值x(℃)之间的函数关系可能为(　B　)
A. 正比例函数 B. 一次函数
C. 二次函数 D. 反比例函数
B
满分技法
当看到一组数据中，x定量增加时，y也是定量增加或减少，则x和y之间存
在一次函数关系.
2. (八上习题改编)若a＜－1，则一次函数y=(a＋1)x＋2－a的图象可能是
(　D　)
D
3. 已知一次函数y=－x＋4.
(1)补全表格，并在如图所示的平面直角坐标系中画出函数图象；
x … －2 －1 0 1 …
y … 5 3 …
6
4
画出函数图象如解图；
解图
已知一次函数y=－x＋4.
解图
(2)一次函数的图象不经过第 象限；
三
(3)一次函数的图象与x轴的交点B的坐标为 ，与y轴的交点C的
坐标为 ，△BOC的面积为 ；
(4)若一次函数的图象过点(x1，－2)，(x2，4)，
则x1 x2.(填“＞”“＜”或“=”)
(4，0)
(0，4)
8
＞
4. (2025苏州12题3分)过A，B两点画一次函数y=－x＋2的图象，已知点A
的坐标为(0，2)，则点B的坐标可以为 (填一个符合
要求的点的坐标即可).
(1，1)(答案不唯一)
一次函数表达式的确定(4年4考，1次单独考查，其余均为涉及)
命题点
2
5. 已知正比例函数y=kx(k≠0)，且y随x的增大而减小，写出一个满足上述
条件的k的值为 .
－1(答案不唯一)
6. 已知一次函数y=kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象如图
所示.
(1)(待定系数法)该一次函数的表达式为 ；
【解析】∵一次函数的图象经过(0，1)，(1，3)两点，
∴将(0，1)，(1，3)分别代入y=kx＋b中，
得解得
∴该一次函数的表达式为y=2x＋1.
y=2x＋1
题后反思
小明说，在如图所示的一次函数图象中，x从1变成2时，函数值从3变为
5，增加了2，因此该一次函数中k的值是2.小明这种确定k的方法有道理
吗？说说你的认识，并用这种方法求一次函数表达式.
解：小明的说法有道理，当x增加1时，y值的增量为k(x＋1)＋b－(kx＋b)=k；
当自变量由x1变为x2时，因变量y的变化量为y2－y1=kx2＋b－(kx1＋b)=kx2
－kx1=k(x2－x1)，则=k.
∵一次函数的图象经过(0，1)，(1，3)两点，∴b=1，
∵x从0变成1时，y从1变成3，∴k==2，
∴该函数的表达式为y=2x＋1.
(2)(平移求表达式)将该函数图象向下平移3个单位长度，得到的新函数表
达式为 ；
(3)该函数图象经过平移后得到的新函数图象的表达式为y=2x＋5，则平移
方式正确的是(　C　)
A. 向下平移2个单位长度
B. 向下平移4个单位长度
C. 向左平移2个单位长度
D. 向左平移4个单位长度
y=2x－2
C
温馨提示
斜率为k1与斜率为k2的两条直线垂直时，有k1 k2=－1，但该结论不能直
接在解答题中使用哦!
(4)(根据图象位置关系求表达式)与该函数图象平行且过点(－1，－5)的一
次函数的表达式为 ；与该函数图象垂直且过点(4，1)的一次
函数的表达式为 .
y=2x－3
y=－
x＋3
7. (2024苏州13题3分)直线l1：y=x－1与x轴交于点A，将直线l1绕点A逆时
针旋转15°，得到直线l2，则直线l2对应的函数表达式是 .
【解析】设直线l1：y=x－1与x轴的夹角为α，∵k=1，∴tan α=k=1，
∴α=45°.在y=x－1中，令y=0，则x－1=0，解得x=1，∴A(1，0)，
∵将直线l1绕点A逆时针旋转15°，∴旋转后直线与x轴的夹角=45°＋15°=60°，∴k新=tan 60°=，将A(1，0)代入y－y0=k新(x－x0)中，
得y－0=(x－1)，即y=x－.
y=
x
－

满分技法
定义直线y=kx＋b中，k为斜率，k=［其中(x1，y1)，(x2，y2)为直线上
任意不相同的两点］，
求直线(或一次函数图象)绕某定点旋转后对应直线的函数表达式的步骤：
1. 求原直线与x轴的夹角：由斜率k=tan α得夹角α的值；
2. 确定旋转后直线的斜率：依据旋转方向(顺/逆)和旋转角度β，计算新倾
斜角α新(逆时针旋转时α新=α＋β，顺时针旋转时α新=α－β)，再由k新=tan α
新得到新的斜率；
3. 求旋转后直线的函数表达式：用点斜式y－y0=k新(x－x0)［其中(x0，y0)
为旋转不动点］，整理得旋转后直线的函数表达式.
一次函数与方程(组)、不等式的关系(常在函数综合题中涉及)
命题点
3
8. (八上练习改编)在平面直角坐标系中，函数y=－x＋2与y=mx＋n(m，n
为常数，m≠0)的图象如图所示，结合函数图象，回答下列问题.
(1)关于x的方程mx＋n=0的解为 ，关于x的不等式mx＋n＞0的
解集为 ；
(2)不等式mx＋n＞－x＋2的解集为 ；
x=－3
x＞－3
x＞－1
(3)关于x，y的方程组的解为 　 　.

函数y=－x＋2与y=mx＋n(m，n为常数，m≠0)的图象如图所示.
【解析】二元一次方程组可转化为
观察图象可得，函数y=－x＋2和y=mx＋n的交点横坐标为－1，
将x=－1代人y=－x＋2，得y=3，
∴这两个函数图象的交点坐标为(－1，3)，
∴原方程组的解为(共30张PPT)
第三单元　函　数
基础课9　平面直角坐标系及函数初步
章前复习思路
解决问题
应用
研究函数的一般路径
平面直角坐标系及函数初步
坐标系中点的特征
函数及其概念
一次函数
反比例函数
二次函数
函数解析式
图象
性质
图象平移
与方程(组)、不等式的关系
①增减性；②对称性；③最值
建模思想
数形结合思想
点变换的坐标特征
函数的应用
函 数
坐标系中点的距离
节前复习导图
各象限内
坐标轴上
各象限角平分线上
与坐标轴垂直的直线上的点
点的坐
标特征
点到坐标轴及点到点之间的距离
平面直角
坐标系
及函数初步
函数的概念
函数的表示方法及画法
函数自变量的取值范围
函数及其概念
点变换的
坐标特征
对称点的
坐标特征
点平移的
坐标特征
函数值
1
考点精讲
2
基础题练考点
3
分层作业本
考点精讲
一、点的坐标特征
各象限内 第一象限：x＞0，y＞0
第二象限：
第三象限：
第四象限：
注：坐标轴上的点不属于任何象限
x＜0，y＞0
x＜0，y＜0
x＞0，y＜0
坐标轴上 x轴上的点M1的纵坐标为
y轴上的点M2的横坐标为
原点O的坐标为
各象限角平
分线上 点A1(x1，y1)在第一、三象限角平分线上，则
x1=y1
点A2(x2，y2)在第二、四象限角平分线上，
则
0
0
(0，0)
x2=－y2
与坐标轴垂
直的直线上
的点 垂直于x轴的直线m上的点的 坐标相同
垂直于y轴的直线n上的点的 坐标相同
横
纵
二、点变换的坐标特征
1. 对称点的坐标特征
(1)P(a，b) P′(a，－b)
(2)P(a，b) P′
(3)P(a，b) P′ 口诀：关于谁(x轴或y轴)对称谁不变，另
一个变号，关于原点对称都变号
【知识拓展】
点(a，b)关于直线x=m对称的点的坐标为(2m－a，b)
点(a，b)关于直线y=n对称的点的坐标为(a，2n－b)
(－a，b)
(－a，－b)
中点坐标公式：若M(a，b)，N(c，d)为坐标系中任意两点，则MN的中点坐标为
()
2. 点平移的坐标特征 　
点P的坐标 平移方式 平移后点P′
的坐标 口诀
(x，y) 向左平移a个单位长度 (x－a，y) 左右平移
横坐标：左减右加
向右平移a个单位长度 (x＋a，y)
向上平移b个单位长度
上下平移
纵坐标：上加下减
向下平移b个单位长度
(x，y＋b)
(x，y－b)
3. 点到坐标轴及点到点之间的距离
(1)如图④，点P(a，b)到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ，到原点的距离为
图④
|b|
|a|
(2)如图⑤，在x轴(y=0)或平行于x轴的直线：y=b(b≠0)上的两点P1(x1，b)，P2(x2，b)间
的距离是|x1－x2|
图⑤
(3)如图⑥，在y轴(x=0)或平行于y轴的直线：x=a(a≠0)上的两点P1(a，y1)，P2(a，y2)间
的距离是|y1－y2|
图⑥
【知识拓展】
如图⑦，点P(a，b)到平行于x轴的直线y=m的距离为 ，点P(a，b)到平行于y
轴的直线x=n的距离为
图⑦
如图⑧，已知坐标平面内任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则
P1P2== 　 　
|b－m|
|a－n|

图⑧
4. 函数及其概念
(1)函数的概念：一般地，在一个变化过程中的两个变量x和y，如果对于x的每一个
值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量
(2)函数的表示方法及画法
表示方法：列表法、 、图象法
画法：列表→描点→连线
解析式法
(3)函数自变量的取值范围
函数表达式的形式 自变量的取值范围 注：在实际问题
中，自变量的取值
范围应使该问题有
实际意义
含有分式 y=
含有二次根式 y=
含有分式＋ 二次根式 y=
y=
x≠2
x≥0
x≥0且x≠1
x＞0
(4)函数值：y是x的函数，如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值
(5)研究函数性质的三个维度：①增减性；②对称性；③最值
基础题练考点
平面直角坐标系中点的坐标特征 (常在函数题中涉及)
命题点
1
1. 在平面直角坐标系中，已知点A(2－a，3a＋1)，请完成下列问题.
(1)若点A在x轴上，则a的值为 ；
(2)若点A在第一象限，则a的取值范围是 ；
(3)若点B的坐标为(5，－1)，且直线AB∥y轴，则点A的坐标为 .
－

－
＜a＜2
(5，－8)
(2)点A关于直线x=3对称的点的坐标为 ，点A关于直线y=
对称的点的坐标为(2，－1)；
2. (八上练习改编)在平面直角坐标系中，已知点A(2，3)，请完成下列
问题.
(1)点A关于x轴对称的点的坐标为 ，关于y轴对称的点的坐标
为 ，关于原点对称的点的坐标为 ；
(2，－3)
(－2，3)
(－2，－3)
(4，3)
1
(－2，－3)
(3)连接OA，将线段OA绕原点顺时针旋转180°，点A的对应点B的坐标
为 ；
(4)将点A先向上平移2个单位长度，再向左平移5个单位长度得到的点C的
坐标为 ，连接AC，则线段AC的中点坐标为 .
(－3，5)
(－
，4)
点到坐标轴及点到点之间的距离 (常在函数题中涉及)
命题点
2
3. (八上复习题改编)在平面直角坐标系中，已知点M(m＋1，2m－4)，请
完成下列问题.
(1)若点M在第二、四象限的角平分线上，则点M到x轴的距离为 ，到
y轴的距离为 ，点M到直线x=1的距离为 ，点M到直线y=1的距
离为 ，点M与点(－1，1)之间的距离为 ；
2
2
1
3
3

3. (八上复习题改编)在平面直角坐标系中，已知点M(m＋1，2m－4)，请
完成下列问题.
(2)若点M到原点O的距离为2，则m的值为 .
【解析】∵点M(m+1，2m-4)到原点O(0，0)的距离为2，
∴(2)2=(m＋1)2＋(2m－4)2，
解得m1=1，m2=，∴m的值为1或.
1或

函数自变量的取值范围
命题点
3
4. (2025三区统考二模)在函数y=中，自变量x的取值范围是 .
5. 函数y=中自变量x的取值范围是 .
x≠0
x＞2
分析判断函数图象(2022.15)
命题点
4
6. (八上复习题改编)已知A，B两地相距80 km，甲、乙两人沿同一条路从
A地匀速前往B地，l1，l2分别表示甲、乙两人离开A地的距离s(km)与时间
t(h)之间的关系，其函数关系图象如图所示.
图象分析
(1)下列说法正确的是(　D　)
A. 乙出发1.5 h后，甲才出发
B. 甲的速度为40 km/h，乙的速度为20 km/h
C. 经过 h后，甲、乙两人相距20 km
D. 甲比乙提前3 h到达B地
D
图象转化
(2)从两人出发直至均到达B地的过程中，能表示甲、乙两人之间距离d(m)
随时间t(h)变化的函数关系图象是(　C　)
C
7. (2025昆山八校联考零模)如图①，P为菱形ABCD对角线AC上一动点，E
为边CD上一定点，连接PB，PE，BE. 图②是点P从点A匀速运动到点C
时，△PBE的面积y随AP的长度x变化的关系图象(当点P在BE上时，令
y=0)，则菱形ABCD的周长为(　C　)
A. 8 B. 8 C. 20 D. 24
C
【解析】由图象可知，当x=0时，即点P与点A重合，此时S△ABE=12，
∴S菱形ABCD=2S△ABE=24；当x=8时，此时点P与点C重合，即AC=8，
如解图，连接BD，交AC于点O，则BD⊥AC，OA=OC=4，OB=OD，
∴S菱形ABCD=AC BD=24，∴BD=6，∴OB=OD=3，∴AB==5，
∴菱形ABCD的周长为4×5=20.
解图
8. (2022苏州15题3分)一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开
进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至
容器中的水全部排完.在整个过程中，容器中的水量y(升)与时间x(分钟)之
间的函数关系如图所示，则图中a的值为 .

【解析】根据图象可知，只打开进水管时，进水速率为30÷3=10升/分
钟，再打开出水管时，容器水量下降，则出水速率为(30－20)÷(8－3)=2
升/分钟，∴只打开出水管时出水速率为12升/分钟，则在关闭进水管后，
容器排完水需20÷12=分钟，∴a=8＋=.

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