资源简介

(共42张PPT)
第四单元　三角形
基础课21　相似三角形(含位似)
节前复习导图
相似三角形
(含位似)
比例线段
比例的性质
黄金分割比例
平行线分线段成比例
相似多边形
定义
性质
图形的位似
相似三角形
定义
相似三角形
的判定及性质
判定三角形
相似的思路
1
考点精讲
2
基础题练考点
3
分层作业本
考点精讲
一、比例线段
1. 比例的性质
(1)性质1(基本性质)：如果 =，那么ad=
(2)性质2(合比性质)：如果=，那么= 　
(3)性质3(等比性质)：如果==…=(b＋d＋…＋n≠0)，那么=
bc

2. 黄金分割比例：如图①，若= 　 　，则线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段
AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，且=≈0.618，
简记为：==(注：一条线段上有两个黄金分割点)

图①
3. 平行线分线段成比例
(1)定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例(基本事实)，如图②，
当l3∥l4∥l5时，有= 　 　，= 　 　


如图④，当DE∥BC时，有==
(2)推论：
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.
如图③，当DE∥BC时，有=，=等
二、相似三角形
1. 定义：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形
2. 相似三角形的判定及性质
(1)判定
平行于三角形一边的直线和其他两边(或它们的延长线)相交，所截得的三角形与原三
角形相似 分别相等的两个三角形相似
两边成比例且 相等的两个三角形相似
三条边 的两个三角形相似
直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似
两角
夹角
成比例
(2)性质
相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于
相似三角形的周长比等于 ，面积比等于
相似比
相似比
相似比的平方
(3)判定三角形相似的思路
有平行截线——用平行线的性质，找等角
有一对等角，找另一对等角该角的两边对应成比例
有两边对应成比例，找夹角相等第三边也对应成比例
三、相似多边形
1. 定义：如果两个多边形的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形就叫做相
似多边形
2. 性质
(1)相似多边形的对应角相等，对应边的比等于
(2)相似多边形的周长比等于 ，面积比等于
相似比
相似比
相似比的平方
四、图形的位似
性质 1.位似图形是相似图形，具备相似图形的所有性质
2.任意一组对应点的连线或延长线相交于同一个点(位似中心)
3.位似图形上任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比
4.位似图形的对应边平行(或在一条直线上)
【满分技法】位似变化与坐标的关系：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中
心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的
点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(－kx，－ky)或(kx，ky)(注：有两种情况) 基础题练考点
平行线分线段成比例
命题点
1
1. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同时值的音
符及其他记号来记载音乐，如图，一条直线上的三个点A，B，C都在五线
谱的线上，若AB的长为3，则AC的长为(　C　)
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
C
2. (九下尝试与交流改编)如图，AB∥EF∥CD，AF∶AD=2∶5，若CE=9，则BE的长为 .
6
3. 如图，直线l1∥l2∥l3，分别交直线a，b，c于点A，B，C，D，E，F，
AD=3，DE=6.
(1)若AB=4.5，求BC的长；
解：(1)∵l1∥l2∥l3，
∴=，
∵AD=3，DE=6，AB=4.5，
∴=，
解得BC=9；
(2)若EF=10，求BE的长.
(2)∵l1∥l2∥l3，
∴=，即=，
解得BE=.
直线l1∥l2∥l3，AD=3，DE=6.
黄金分割
命题点
2
4. (九下练习改编)如图，乐器上的一根弦AB长度为80 cm，两个端点A，B
固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点
A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为 cm.(结
果保留根号)
(80
－160)
【解析】∵点C是靠近点B的黄金分割点，AB=80 cm，
∴AC=AB=×80=(40－40) cm，∵点D是靠近点A的黄金分割点，
AB=80 cm，∴DB=AB=×80=(40－40)cm，∴CD=AC＋BD－
AB=2(40－40)－80=(80－160)cm，∴支撑点C，D之间的距离为
(80－160)cm.
易错提醒
提醒：你发现了吗？一条线段的黄金分割点有两处哦!因此在解此类题目
时要注意分类讨论.
相似多边形
命题点
3
5. (九下思考与探索改编)如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则
a= 　　　　5，∠D= °.
5
135°
相似三角形的判定及性质(常在几何题中涉及)
命题点
4
类型一　A字型(4年3考)
6. (九下习题改编)如图，在△ABC中，D，E分别为AC，AB上的点，
AB=3AD，∠ADE=∠B，则△AED与四边形BCDE的面积之比为(　C　)
A. 1∶3 B. 1∶6 C. 1∶8 D. 1∶9
C
【解析】∵DE∥AB，∴∠BDE=∠ABD，△CDE∽△CAB，
∴===.
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBE，
∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，
∴==.∵BC=6，∴BE=BC=，∴DE=.
7. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB交BC于点E. 若AB=9，BC=6，则DE的长为(　C　)
A. B. 3 C. D. 4
C
8. 如图，已知∠A=70°，∠ADC=65°，AC2=AD AB，则∠B的度数
为 .
【解析】∵∠A=70°，∠ADC=65°，
∴∠ACD=180°－70°－65°=45°，
∵AC2=AD AB，∴=，∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD，∴∠B=∠ACD=45°.
45°
9. (九下复习题改编)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，延长AB
到点D，使BD=1，延长BC到点E，使BC=CE，连接DE交AC的延长线于点
F，若BE=2，则的值为 　 　.

【解析】如解图，过点B作BG∥CF交DE于点G，
∵BC=CE，BG∥CF，∴CF是△EBG的中位线，
∴CF=BG，在Rt△ABC中，AB=3，BC=BE=1，
∴AC==，设CF=x，则BG=2x，∵△BDG∽△ADF，
∴=，即=，解得x=，∴=.
解图
模型分析
1. 正A字型
条件：如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC(或
=).
图示：
结论：△ADE∽△ABC.
2. 斜A字型
条件：如图，在△ABC中，点D，E分别是边AC，AB上的点，∠AED=∠C
或∠ADE=∠B.
图示：
结论：△ADE∽△ABC.
类型二　8字型(2025.27涉及)
10. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且
DE∥BC，连接BE，CD交于点F，且=3，则的值为(　A　)
A. 9 B. 8 C. 4 D. 3
A
11. (九下练习改编)如图，在△ABC中，∠B=70°，∠C=30°，点D，E分
别是边BC，AC边上的点，连接DE并延长至点F，连接AF. 若EC=2EA，
ED=2EF，则∠FAB的度数为(　B　)
A. 100° B. 110° C. 120° D. 130°
B
12. (九下习题改编)如图，在4×4的网格中，已知每个小四边形都是边长
为1的正方形，A，B，C，D均在格点上，AB与CD相交于点P，则PC的长
为(　C　)
A. B. C. D.
C
【解析】如解图，设AB与网格线交于点R，取格点Q，连接RC，AQ，
BQ，则A，C，Q三点在同一条直线上，D，B，Q三点在同一条直线上，
根据题意得，AC=CQ=2，AQ=DQ=4，BQ=3，BD=1，∠Q=90°，
∴CD===2，∵RC∥BQ，∴△ARC∽△ABQ，
∴===，∴RC=BQ=，∵BD∥RC，∴△BPD∽△RPC，∴===，∴PC=CD=×2=.
解图
13. (2025 )如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点P从点B
出发沿BC方向运动到点C停止，点Q在BC的延长线上(包含点C)，且点Q和
点P关于点C对称，连接DP与AQ交于点O. 若AD=2，AB=，
∠ADC=120°，在点P从点B运动到点C的过程中，点O的运动路径长为
(　B　)
A. B. C. D.
B
模型分析
1. 正8字型
条件：如图，AC与BD交于点O，AB∥CD(或一组内错角相等).
图示：
结论：△AOB∽△COD.
2. 斜8字型
条件：如图，AC与BD交于点O，∠A=∠D(或∠B=∠C).
图示：
结论：△AOB∽△DOC.
答题规范
得分要点
类型三　其他类型
14. 如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC上，
DE与AC相交于点F. 若AB=18，BD=6，求CF的长.
解：∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴∠B=∠C=∠ADE=60°，
∴∠BAD＋∠ADB=120°，
∠ADB＋∠FDC=120°，
∴∠BAD=∠FDC，
又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD∽△DCF，
∴=，即=，∴CF=4.
由等边三角形性质推导出两组
对应角相等
对应顶点的字母写在对应的位
置上
利用相似三角形性质得出边的比
例关系
【模型链接】
一线三等角模型见本书P116微专题7
15. (九下习题改编)如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB=∠AED，
∠ABC=∠ADE，连接BD，CE，求证：△ACE∽△ABD.
证明：∵∠ACB=∠AED，∠ABC=∠ADE，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，=，
∵∠BAC＋∠BAE=∠DAE＋∠BAE，
∴∠CAE=∠BAD，
又∵=，∴△ACE∽△ABD.
【模型链接】
手拉手模型见本书P118微专题8
位似
命题点
5
16. (2025昆山多校联考一模)如图，O是△ABC内任意一点，D，E，F分别
为AO，BO，CO上的点，且△ABC与△DEF是位似三角形，位似中心为
O. 若AD=AO，则△ABC与△DEF的相似比为 　 　.

类型三 其他类型(常在几何题中涉及)
【解析】∵O是△ABC内任意一点，D，E，F分别为AO，BO，CO上的
点，且△ABC与△DEF是位似三角形，位似中心为O，AD=AO，
∴=，则△ABC与△DEF的相似比为.
相似三角形的实际应用
命题点
6
17. 一种燕尾夹如图①所示，图②是在闭合状态时的截面示意图，图③是
在打开状态时的截面示意图(此时AB∥CD)，相关数据如图(单位：cm).
从图②闭合状态到图③打开状态，点B，D之间的距离减少了(　B　)
A. 2 cm B. 3 cm C. 4 cm D. 5 cm
B
【解析】如解图，连接BD，由题意，得=，∠A=∠A，
∴△AEF∽△ABD，∴=，∴=，∴BD=5 cm，
∴点B，D之间的距离减少了5－2=3(cm).
解图(共21张PPT)
第四单元　三角形
基础课19　特殊三角形及其性质
节前复习导图
特殊三角形
及其性质
直角三角形
图形
边
角
边角关系
对称性
面积计算公式
重要线段
判定
等腰
三角形
图形
边
角
边角关系
对称性
面积计算公式
重要线段
1
考点精讲
2
基础题练考点
3
分层作业本
考点精讲
一、等腰三角形
图形 边 角 边角关系 重要线段 对称性 面积计算公式
两腰相等 两底角
相等 等边对等
角；等角
对等边 三线 合一 是轴对称
图形，有1
条对称轴 S= 　
三边相等 每一个
角 都等于
60° — 是轴对称
图形，有3
条对称轴 S=ah= 　 .
ah
a2
二、直角三角形
图形 边 角 边角关系 重要线
段 对称性 面积计算公式
1.两直角边互相垂直 2.勾股定理：若直角
三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则有a2＋b2=c2 两锐
角和
等于
90° 30°角所
对的直角
边是斜边
的一半 直角三
角形斜
边上的
中线等
于斜边
的一半 — S=ch= 　ah
　
ah
图形 边 角 边角
关系 重要线段 对称性 面积计算公式
1.两直角边
互相垂直 2.三边长的
比为
1∶1∶ 1.两锐角均为45° 2.两锐角和等于
90° 3.两底角相等 — 直角三角
形斜边上
的中线等
于斜边的
一半 是轴对
称图
形，有
1条对
称轴 S=a2=ch
=c2=ah
三、判定：
基础题练考点
等腰三角形的性质及判定(4年5考)
命题点
1
1. (2022苏州12题3分)定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样
的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC
的长为3，则腰AB的长为 .
6
(1)AB的长为 ；
(2)△ABC的面积为 　；
4

4

2. (八上例题改编)如图，在等腰△ABC中，∠ACB=120°，AC=BC，
BC=4.
【解法提示】∵在△ABC中，∠ACB=120°，AC=BC，∴∠A=∠B=30°，
∵△BCD为等腰三角形，∴∠BCD=∠B=30°或∠BCD=∠BDC=(180°－
∠B)=75°；若△BCD为等腰三角形，则BD=BC=4或BD=CD，此时
∠B=∠BCD=30°，如解图②，过点D作BC的垂线交BC于点G，
∴BG=BC=2，∴BD==.
综上所述，BD的长为4或.
在等腰△ABC中，∠ACB=120°，AC=BC，BC=4.
(3)D为AB上一点(不与点A，B重合)，连接CD，若△BCD是等腰三角形.
①∠BCD的度数为 ，BD的长为 ；
75°或30°
4或

在等腰△ABC中，∠ACB=120°，AC=BC，BC=4.
(3)D为AB上一点(不与点A，B重合)，连接CD，若△BCD是等腰三角形.
②若E为AB上不同于D的一点，且BD=DE=AE，连接CE，判断△CDE的
形状，并证明.
证明：∵BD=DE=AE，由(1)得AB=4，
∴BD=DE=AE=，∴由(3)①得∠BCD=30°，
∴∠BDC=120°，BD=CD=，
如解图③，则∠EDC=60°，CD=DE，
∴△CDE是等边三角形.
解图
题后反思
你能发现△ACE的形状吗？给出你的理由吧!
△ACE是等腰三角形.
由(3)②得△CDE是等边三角形，则∠CEB=60°，
∴∠ACE=∠CEB－∠A=30°=∠A，
∴△ACE是等腰三角形.
3. (2025姑苏区立达中学二模)如图，等腰△ABC的腰长为2，顶角
∠A=45°，D是BC边上一动点，作DE⊥AB，垂足为E，作DF⊥AC，垂足
为F，连接EF，则S△DEF的最大值是 .

【解析】如解图①，连接AD，作BH⊥AC于点H，
∴AB=AC，∴DE＋DF=BH=2，
则△ABH是等腰直角三角形，∴BH=AH=AB=2，
∵S△ABC=AC BH=S△ABD＋S△ACD=AB DE＋AC DF，
△ABC为等腰三角形，
解图①
如解图②，过点F作FG⊥ED交ED的延长线于点G，
∵∠B=∠C=×(180°－∠A)=67.5°，
∴∠BDE=∠CDF=90°－67.5°=22.5°，∵∠CDG=∠BDE，
∴∠CDG=∠CDF=∠BDE=22.5°，∴∠FDG=45°，∴DG=FG，
设DG=FG=x，∴DF=x，∴DE=2－x，
∴S△DEF=DE FG=(2－x) x=－x2＋x，
∴当x=时，S△DEF有最大值，最大值是.
解图②
直角三角形的性质及判定(4年5考)
命题点
2
4. (八上习题改编)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是(　C　)
A. ∠A＋∠B=90° B.∠A∶∠B∶∠C=1：2：3
C. a=2，b=2，c=3 D. a=1，b=2，c=
5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CF是AB边上的中线，D，E分别
是AC，BC的中点，若DE=6，则CF的长为 .
C
6
6. (八上练习改编)如图，在△ABC中，∠A=90°，∠ABC=30°，AC=3，
动点D从点A出发，在AB边上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，连接
CD，设点D运动时间为t s，当△BCD的面积为3时，AD的长为 .
3
－
2
7. (2023苏州16题3分)如图，∠ABE=135°，∠BAC=90°，AB=AC=3.
过点C作CD⊥BC，延长CB到点E，使 BE=CD，连接AE，ED. ED=2AE，
则BE= 　 .(结果保留根号)
＋1
【解析】令AE=m，BE=n，则CD=3n，DE=2m，如解图，将△ABE绕点A
逆时针旋转90°，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ACD=∠ABE=135°，则点E的对应点落在CD上，记为F，连接AF，EF，则AF=AE=m，
CF=BE=n，又∵AE=AF，∠EAF=90°，∴EF=m，∵AB=AC=3，
∴BC=6，在Rt△CEF中，(6＋n)2＋n2=(m)2，在Rt△CDE中，(6＋n)2＋
(3n)2=(2m)2，两式联立可解得n=＋1或1－(负值不合题意，舍去)，
∴BE=＋1.
解图
【解析】如解图，作点D关于直线AB的对称点D′，此时D′E就是DF＋EF
的最小值，作EK⊥AB于点K，EG⊥DD′于点G，则四边形EGHK是矩形，
∴GH=EK，GE=HK，设AC=x，则BC=10－x，
8. (2025三区统考一模)如图，线段AB=10，C是线段AB上的一个动点，分
别以AC，BC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，等腰直角三角形BCE，
点F在线段AB上，连接DF，EF，DE，则△DEF周长的最小值为 .
5＋
5

解图
∴D′H=DH=AC=x，GH=EK=BC=(10－x)，∴GE=HK=CH＋CK=5，
D′G=D′H＋GH=5，∴D′E=5，
∵∠DCA=45°，∠ECB=45°，DC=x，CE=(10－x)，
∴∠DCE=90°，DC＋CE=x＋(10－x)=5，
∴AH=CH=x，CK=BK=(10－x).
∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，
DD′⊥AB，EK⊥AB，
解图
∴在Rt△DCE中，
DE2=DC2＋CE2=x2＋(10－x)2=x2－10x＋50=(x－5)2＋25，
∴DE=，∴当x=5时，DE取得最小值，最小值为5，
∴此时DE＋DF＋EF=DE＋D′E=5＋5，
即△DEF周长的最小值为5＋5.
解图(共24张PPT)
第四单元　三角形
基础课17　线段、角、相交线与平行线
章前复习思路
解决问题
特殊
线段、角、相交线与平行线
直线和线段
角及角平分线
相交线、平行线
命题
直角三角形
全等、相似三角形的性质
全等、相似三角形的判定
实际应用
性质
面积
判定
角
边角关系
边
重要线段及直线(角平分线、中线、高线、中位线、
垂直平分线)
三角形
等腰三角形
全等、相似三角形
三角形
锐角三角函数
节前复习导图
命题
平行线
平行公理及推论
平行线的性质
与判定
线段、角、相
交线与平行线
度分秒的换算
余角、补角
角平分线
角及角
平分线
两个基本事实
线段的中点
线段的和与差
线段和直线
相交线
对顶角
邻补角
三线八角
点到直线的距离
垂线的性质
线段的垂直平分线
1
考点精讲
2
基础题练考点
3
分层作业本
考点精讲
一、线段和直线
1. 两个基本事实
(1)直线的基本事实：两点 一条直线
(2)线段的基本事实：两点之间 最短
确定
线段
2. 线段的中点：如图①，若有AM= = 　AB，则点M是线段AB的中点
图①
BM
3. 线段的和与差：如图②，在线段AC上取一点B，则有 ＋BC=AC；
AB= －BC；BC=AC－
图②
AB
AC
AB
二、角及角平分线
1. 度分秒的换算：1°= ，1′=60″，角的度、分、秒是60进制
2. 余角、补角
(1)余角：若∠1＋∠2= ，则∠1与∠2互为余角
(2)补角：若∠1＋∠2= ，则∠1与∠2互为补角
(3)性质：同角(等角)的余角 ，同角(等角)的补角
60′
90°
180°
相等
相等
3. 角平分线
(1)性质(定理)：
(2)逆定理：在一个角的内部，到角的两边距离 的点在这个角的平分线上
角平分线上的点到这个角两边的距离相等
相等
三、相交线(如图③)
图③
1. 对顶角
(1)举例：∠1与 是对顶角，∠2与 是对顶角
(2)性质：
2. 邻补角
(1)举例：∠1的邻补角是 ，∠3的邻补角是
(2)性质：一个角与它的邻补角之和等于
∠3
∠4
对顶角相等
∠2或∠4
∠2或∠4
180°
3. 三线八角
(1)同位角：∠1与 是同位角，∠2与 是同位角
(2)内错角：∠2与 是内错角，∠3与 是内错角
(3)同旁内角：∠2与 是同旁内角，∠3与 是同旁内角
4. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度
∠5
∠6
∠8
∠5
∠5
∠8
图③
5. 垂线的性质
(1)在同一平面内，过一点有且只有 条直线与已知直线垂直(基本事实)
(2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 最短
6. 线段的垂直平分线
(1)性质(定理)：
(2)逆定理：到线段两端 的点在线段的垂直平分线上
一
垂线段
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
距离相等
四、平行线　
1. 平行公理及推论
(1)公理：过直线外一点有且只有 直线与这条直线平行(基本事实)
(2)推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线 (基本事实)
一条
平行
2. 平行线的性质与判定
(1)两直线平行同位角 (注：判定是基本事实)
(2)两直线 内错角相等
(3)两直线平行同旁内角
相等
平行
互补
2. 两条平行线之间的距离处处相等
【满分技法】
1. 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
五、命题
1. 命题：“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行”
(1)该命题的条件是 ，结论是 ，
该命题是 命题(填“真”或“假”)
(2)“如果两条直线平行，那么这两条直线都与第三条直线平行”，该命题 (填
“是”或“不是”)(1)中命题的逆命题，该命题是 (填“真”或“假”)命题，证明的方法
是举反例
两条直线都与第三条直线平行
这两条直线平行
真
是
假
基础题练考点
线段和直线
命题点
1
1. (七上习题改编)已知线段AB，延长AB至点C，使BC=AB，D是线段AC
的中点.若DC=2，则AB的长为 .
角与角平分线
命题点
2
2. (2025高新区一模改编)若∠α=35°27′，则∠α的余角的度数
是 ，补角的度数是 .
3
54°33′
144°33′
3. (七上练习改编)如图，点O是直线AB上一点，OD平分∠AOC，点E在OD上，EF⊥OA，交OA于点F.
(1)若∠COD=35°，则∠AOD= ；
(2)若EF=3，则点E到OC的距离为 ，其依据是
.
35°
3
角平分线上的点到角
两边的距离相等
相交线(2022.5)
命题点
3
4. (2025 )如图，直线AB与CD交于点O，OF平分∠AOE，OD⊥OF. 若∠AOC=35°，则∠DOE的度数为(　A　)
A. 35° B. 40° C. 45° D. 55°
【解析】∵OD⊥OF，∴∠DOF=∠COF=90°，∴∠DOE＋∠EOF=∠COA＋∠AOF=90°.∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=∠EOF，∵∠AOC=35°，
∴∠DOE=∠AOC=35°.
A
5. (八上练习改编)如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接
BD. 若BD=3，CD=5，则AC的长为 .
【解析】∵△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，∴AD=BD，
∵BD=3，∴AD=BD=3，
∵CD=5，∴AC=AD＋CD=3＋5=8.
8
平行线的判定及性质(4年3考，1次和网格结合)
命题点
4
类型一　平行线的判定(2023.3和网格结合)
6. (七下练习改编)如图，下列条件：①∠DCA=∠CAF，②∠DCA=∠EDB，
③∠BAC＋∠DCA=180°，④∠CDB＋∠B=180°，其中能判断AB∥CD
的是(　C　)
A. ①②④ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③
C
类型二　平行线性质求角度(4年2考)
7. (2025苏州5题3分)如图，在A，B两地间修一条笔直的公路，从A地测得
公路的走向为北偏东70°.若A，B两地同时开工，要使公路准确接通，则
∠α的度数应为(　C　)
A. 100° B. 105° C. 110° D. 115°
C
【解析】如解图，由题意得，a∥b，
∴70°＋α=180°，∴α=110°.
解图
8. (2024苏州5题3分)如图，AB∥CD，若∠1=65°，∠2=120°，则∠3的度数为(　B　)
A. 45° B. 55° C. 60° D. 65°
【解析】解法一：∵AB∥CD，∠2=120°，
∴∠BAD=180°－∠2=60°.∵∠1=65°，
∴∠3=180°－∠1－∠BAD=55°.
B
如图，AB∥CD，若∠1=65°，∠2=120°，则∠3的度数为(　　)
【解析】解法二：∵AB∥CD，∠1=65°，∴∠ACD=∠1=65°，
∵∠2=∠ACD＋∠3，∠2=120°，
∴∠3=∠2－∠ACD=55°.
A. 45° B. 55° C. 60° D. 65°
B(共29张PPT)
第四单元　三角形
基础课20　全等三角形
节前复习导图
全等三角形
性质
概念
判定
SSS(边边边)
SAS(边角边)
ASA(角边角)
AAS(角角边)
HL
全等判定思路
1
考点精讲
2
基础题练考点
3
分层作业本
考点精讲
一、概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
二、性质
1. 全等三角形的对应边 ，对应角
2. 全等三角形的周长 ，面积
3. 全等三角形对应的中线、 、 、中位线都相等
相等
相等
相等
相等
高线
角平分线
三、判定
SSS(边边边) SAS(边角边) ASA(角边角) AAS(角角边) HL
三边分别相 等的两个三 角形全等 (基本事实)

(基本事实)

(基本事实)






两边及其夹角
分别相等的两个
三角形全等
两角及其夹边
分别相等的两个
三角形全等
两角分别相等
且其中一组等角
的对边相等的两
个三角形全等
斜边和一条
直角边分别相
等的两个直角
三角形全等
四、全等判定思路
1. 已知两边
(1)找夹角→SAS
(2)找直角→HL或SAS
(3)找第三边→SSS
2. 已知一边和一角
(1)边为角的对边→找另一角→AAS
(2)边为角的邻边
找夹角的另一边→SAS
找夹边的另一角→ASA
找边的对角→AAS
3. 已知两角
(1)找夹边→ASA
(2)找其中一角的对边→AAS
【易错警示】
1. “SSA”不能判定两个三角形全等；
2. “HL”是判定两个直角三角形全等的特有方法，对于一般三角形不适用.
基础题练考点
类型一　平移型(2025.21涉及)
1. (八上例题改编)如图，点A，B，D，E在同一条直线上，AC=DF，
AC∥DF，BC∥EF. 若AE=7BD=7，求AB的长.
命题点
全等三角形的判定及性质(每年1~3道)( 快答App 答疑高频考
点1292次)
答题规范
得分要点
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(AAS)，∴AB=DE，
∵AE=7BD=7，∴BD=1.
∴AE=AB＋BD＋DE=2AB＋1=7，
∴AB=3.
解：∵AC∥DF，BC∥EF，
∴∠A=∠FDE，∠ABC=∠DEF，
利用平行线性质得两组对应角相等
按照顺序依次罗列出对应关系并写出判定定理，得到相应三角形全等
利用全等三角形性质得出结论
2. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E是BC的中点，过点
E作EG⊥AC交AC于点G，延长EG至点D，使DG=EG，过点D作DF∥AC交
BC的延长线于点F.
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(1)证明：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∴BA⊥AC.
∵ED⊥AC，∴AB∥DE，
∴∠B=∠DEF.
∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE，∠EDF=∠EGC=90°.
∵DG=EG，∴CG是△EDF的中位线，
∴点C是EF的中点，∴EC=CF.
∵点E是BC的中点，∴BE=EC，
∴BE=CF，
∴BE＋EC=EC＋CF，即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(ASA)；
(2)连接AD，若AB=3，AC=4，求四边形ABFD的周长.
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E是BC的中点，EG⊥AC，DG=EG，作DF∥AC.
(2)解：如图，连接AE，
∵AB=3，AC=4，∠BAC=90°，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC==5.
∵由(1)证得△ABC≌△DEF，
∴EF=BC=5，DF=AC=4.
∵E是BC的中点，C是EF的中点，
∴BE=EC=CF=AE=.
∵ED⊥AC，DG=EG，
∴AC是DE的垂直平分线，
∴AD=AE=，
∴C四边形ABFD=AB＋BE＋EC＋CF＋DF＋AD=3＋＋＋＋4＋=17.
模型分析
解题思路：
(1)找等边：加(或减)共线部分，得到对应边相等；
(2)找等角：利用平行线性质找对应角相等.
类型二　轴对称型(4年4考)
3. (八上复习题改编)如图，△ABD≌△ACE，若AE=3，AB=6，求CD
的长度.
解：∵△ABD≌△ACE，AE=3，AB=6，
∴AD=AE=3，AC=AB=6，
∴CD=AC－AD=6－3=3.
4. (2024苏州20题6分)如图，△ABC中，AB=AC，分别以B，C为圆心，大
于BC长为半径画弧，两弧交于点D，连接BD，CD，AD，AD与BC交于
点E.
(1)求证：△ABD≌△ACD；
(1)证明：由作图知BD=CD，
在△ABD 和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD(SSS)；
(2)若BD=2，∠BDC=120°，求BC的长.
如图，△ABC中，AB=AC.
(2)解：∵△ABD≌△ACD，∠BDC=120°，
∴∠BDA=∠CDA=∠BDC=60°，
∵BD=CD，AB=AC，
∴DA⊥BC，BE=CE，
∴BE=BD sin∠BDA=2×=，
∴BC=2BE=2.
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于
点D，过点D作DE⊥AB于点E.
(1)求证：△ACD≌△AED；
(1)证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴CD=ED，
∵在Rt△ACD和Rt△AED中，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)；
(2)若AC=4，BC=3，求CD的长.
(2)解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB==5，
由(1)得△ACD≌△AED，∴AE=AC=4，CD=ED，
∴BE=AB－AE=5－4=1，
设CD=DE=x，则BD=3－x，
在Rt△BDE中，BE2＋DE2=BD2，即12＋x2=(3－x)2，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE⊥AB.
解得x=，∴CD=.
模型分析
1. 有公共边
2. 有公共顶点
解题思路：
(1)找等边：找公共边、中点、等底角、相等边、线段的和差等条件得到
对应边相等；
(2)找等角：找公共角、对顶角、垂直找直角、等腰等条件得到对应角
相等.
类型三　中心对称型(4年2考)
6. 如图是小明和小颖玩跷跷板时的示意图，点O是跷跷板AB的中点，支柱
OE与地面垂直，且OE的长度为50 cm，当小明到水平线CD的距离AM为
40 cm时，小颖到地面的距离BF为 cm.
90
7. (2025高新区一模)如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D，C，
AE∥BF，且AE=BF. 求证：AC=BD.
证明：∵ED⊥AB，FC⊥AB，∴∠ADE=∠BCF=90°.
∵AE∥BF，∴∠A=∠B，
在△ADE与△BCF中，
∴△ADE≌△BCF(AAS)，
∴AD=BC，∴AC=BD.
模型分析
1. 共顶点
2. 不共顶点
解题思路：
(1)找等边：加(或减)共线部分，得到对应边相等；
(2)找等角：对顶角相等或利用平行线性质找对应角相等.
类型四　其他模型(2024.8涉及)
8. (八上例题改编)如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一点，AC⊥CE，
AB=CD，求证：BC=DE.
证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，
∴∠ACE=∠B=∠D=90°.
∵∠BCA＋∠DCE＋∠ACE=180°，∠ACE=90°，
∴∠BCA＋∠DCE=90°.
∵∠BCA＋∠A＋∠B=180°，∠B=90°，
∴∠BCA＋∠A=90°，∴∠DCE=∠A，
在△ABC和△CDE中，
∴△ABC≌△CDE(ASA)，∴BC=DE.
【模型链接】
一线三等角模型见本书P116微专题7
9. (九下练习改编)如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，连接AD，点
A，D，E在同一直线上，连接BE，求∠AEB的度数.
解：∵△ABC，△DCE为等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=∠CDE=∠CED=60°，
∴∠ACB－∠DCB=∠DCE－∠DCB，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，∠CEB=∠ADC=180°－∠CDE=120°，
∴∠AEB=∠CEB－∠CED=60°.
10. (八上练习改编)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的
点，且∠EAF=45°.连接EF，判断BE，DF，EF之间的数量关系，并证明.
解：EF=BE＋DF.
证明：如解图，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到
△ABF′，
则∠F′AB=∠FAD，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE＋∠FAD=45°，
解图
∴∠EAF′=∠F′AB＋∠BAE=45°，
∴∠EAF′=∠EAF.
在△AEF和△AEF′中，
∴△AEF≌△AEF′(SAS)，
∴EF=EF′，
又∵EF′=BE＋BF′=BE＋DF，
∴EF=BE＋DF.
解图(共34张PPT)
第四单元　三角形
提升课22　解直角三角形及其应用
节前复习导图
解直角三角形
及其应用
锐角三角函数
与相似三角形的实际应用
仰角、俯角
坡度（坡比）、坡角
方向角
锐角
三角函数
定义
特殊角的三角函数
1
考点精讲
2
核心考点突破
3
分层作业本
考点精讲
一、锐角三角函数
1. 定义：如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A为△ABC中的一个锐角.
2. 则∠A的正弦：sin A== 　 　　　∠A的余弦：cos A== 　 　


∠A的正切：tan A==
我们把锐角∠A的正弦、余弦和正切统称为∠A的三角函数

图①
3. 特殊角的三角函数值 　
示意图
α 30° 45° 60°
sin α
cos α
tan α 1





二、锐角三角函数与相似三角形的实际应用
1. 仰角、俯角：如图②，图中仰角是 ，俯角是
∠1
∠2
2. 坡度(坡比)、坡角：如图③，坡角为 ，坡度(坡比)i=tan α=
α

3. 方向角：如图④，A点位于O点的 方向，B点位于O点的
方向，C点位于O点的 方向
【易错警示】东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指
北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向
北偏东30°
南偏东
60°
北偏西45°(或西北)
核心考点突破
解直角三角形(2025.24涉及)
命题点
1
例1　(九下练习改编)如图，∠ABC=α，过点A作AC⊥BC于点C，过点C作
CD⊥AB于点D，则下列不能表示tan α的是(　B　)
A. B. C. D.
B
练习1　如图，△ABC的三个顶点都在网格的格点上，每个小正方形的边
长是1，则cos∠ACB= 　 .

解直角三角形的实际应用(4年2考)
命题点
2
例2　(2025高新区一模)中国古代运用“土圭之法”判别四季.如图①的圭
表所示，夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于
夏至和冬至日影长度的平均数.如图②，在示意图中，产生日影的杆子MN
垂直于地面，MN长10尺.在某地夏至日正午时分，杆子MN在太阳光线MP
照射下产生的日影为NP；
在该地冬至日正午时分，杆子MN在太阳光线
MQ照射下产生的日影为NQ. 已知∠MPN=73.4°，∠MQN=26.6°.求春分和秋分时日影的长度.(结果精确到0.1尺，参考数据：sin 26.6°≈0.45，cos 26.6°≈0.89，tan 26.6°≈0.50，sin 73.4°≈0.96，cos 73.4°≈0.29，tan 73.4°≈3.35)
解：∵在Rt△MNP中，∠MPN=73.4°，MN=10尺，
∴NP==≈≈2.99(尺)，
∵在Rt△MNQ中，∠MQN=26.6°，MN=10尺，
∴NQ==≈=20(尺)，
∴春分和秋分时日影的长度为≈11.5(尺).
答：春分和秋分时日影的长度约为11.5尺.
模型分析
模型 模型分析 模型 模型分析
背
靠
背
型 基础模型 AB=AD＋BD 母
子
型 基础模型 AD=AC－CD
模型演变 AB=AD＋CE
＋BF 模型演变 FG=AD＋DC，
BG=BC＋AF
例3 (2025 )为了遮阳和防雨可以借助汽
车或树木搭建如图①所示的“天幕”，如图②是搭建后的截面示意图，将
天幕撑开，用绳子分别拉直天幕一侧CE后系在车顶点A处，拉直另一侧
CF后用地钉系在地面上的点P处，CD是垂直于地面的天幕支撑杆，可通
过调整绳子所系的位置调节天幕的展开角∠ECF，
新考法
真实问题情境
已知CE=CF=3 m，车顶到地面的距离AB为1.7 m，CD与EF垂直.若将天幕撑开到最大时，天幕的展开角∠ECF=150°，拉直CE所需的绳子AE的长为2 m，求拉直CF所需的绳子PF的长.(结果保留一位小数，参考数据：sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26，tan 75°≈3.73)
易得四边形ABDG是矩形，
∴DG=AB=1.7 m，
∵CE=CF=3 m，CD⊥EF，∴CD平分∠ECF，
∵∠ECF=150°，∴∠ACG=∠DCP=∠ECF=75°，
∵AC=AE＋CE=2＋3=5(m)，
∴在Rt△ACG中，CG=AC cos∠ACG=5×cos 75°≈5×0.26=1.3(m)，
∴CD=CG＋DG=1.3＋1.7=3(m)，
∴在Rt△CDP中，CP=≈≈11.54(m)，
解：如解图，过点A作AG⊥CD于点G，
解图
∴PF=CP－CF=11.54－3≈8.5(m).
答：拉直CF所需的绳子PF的长约为8.5 m.
练习2　(2023苏州23题8分)四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质
解决问题.如图是某篮球架的侧面示意图，BE，CD，GF为长度固定的支
架，支架在A，D，G处与立柱AH连接(AH垂直于MN，垂足为H)，在B，
C处与篮板连接(BC所在直线垂直于MN)，EF是可以调节长度的伸缩臂(旋
转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四边形
ABCD的形状，以此调节篮板的高度).
已知AD=BC，DH=208 cm，测得∠GAE=60°时，点C离地面的高度为288 cm.调节伸缩臂EF，将∠GAE由60°调节为54°，判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高(或降低)了多少？(参考数据： sin 54°≈0.8，cos 54°≈0.6)
解：如解图①，当∠GAE=60°时，过点C作CK⊥AH交AH所在直线于
点K，
∵BC⊥MN，AH⊥MN，∴BC∥AH.
∵AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠ADC=∠GAE.
∵点C离地面的高度为288 cm，DH=208 cm，
∴DK=288－208=80(cm)，
当∠GAE=60°时，得∠CDK=60°，
∴CD==160(cm).
解图①
如解图②，当∠GAE=54°时，过点C作CK′⊥AH交AH所在直线于点K′，
解图②
∴∠CDK′=54°，
∴DK′=CD cos 54°≈160×0.6=96(cm).
∵DK′－DK=96－80=16(cm)，
∴点C离地面的高度升高了，升高了约16 cm.
练习3　(2024苏州23题8分)图①是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，
竖直固定杆AB⊥BC，活动杆AD可绕点A旋转，CD为液压可．伸．缩．支撑杆，
已知AB=10 cm，BC=20 cm，AD=50 cm.
(1)如图②，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD的长度(结
果保留根号)；
解：(1)如解图①，过点C作CE⊥AD于点E，
解图①
则∠AEC=90°，
由题意得，∠A=∠B=90°，
∴四边形ABCE是矩形，
∴AE=BC=20(cm)，CE=AB=10(cm)，
∴DE=AD－AE=30(cm)，
∴CD==10(cm)；
解图①
(2)如图③，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度α，且
tan α=(α为锐角)，求此时可伸缩支撑杆CD的长度(结果保留根号).
AB⊥BC，AD可绕点A旋转，已知AB=10 cm，BC=20 cm，AD=50 cm.
(2)如图，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，交AD′于点G，
易得四边形ABFG是矩形，
∴∠AGD=90°，FG=AB=10 cm，BF=AG，
∵在Rt△AGD中，tan α==，∴DG=AG，
根据勾股定理，得AG2＋DG2=AD2，
即AG2＋(AG)2=502，
F
解得AG=40 cm，
∴DG=AG=30 cm，BF=AG=40 cm，
∴DF=DG＋FG=40 cm，
∵BC=20 cm，∴CF=BF－BC=20 cm，
∴在Rt△CFD中，CD===20 (cm).
F
练习4　 如图①是某起钉器，图②是起钉器在起钉时的截面示
意图，起钉盒可看作矩形ABCD，点D落在底座GH上(底座厚度忽略不
计)，起钉时∠CDH=15°.已知AD=AN=2 cm，MN=12 cm，
∠MND=135°，且N，A，D三点共线.
(1)求起钉时∠NDG的大小；
解：(1)∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDH＋∠NDG=90°.
∵∠CDH=15°，
∴∠NDG=75°；
∠CDH=15°，∠NDG=75°.已知AD=AN=2 cm，MN=12 cm，
∠MND=135°，且N，A，D三点共线.
(2)求起钉时点M到底座GH的距离.(结果保留到小数点后一位，参考数
据：sin 15°≈0.26，cos 15°≈0.97)
(2)如解图，过点M作ME⊥GH于点E，
过点N分别作NQ⊥ME于点Q，NF⊥GH于点F，
∴∠DNF=90°－∠NDG=90°－75°=15°.
解图
∵N，A，D三点共线，AD=AN=2 cm，
∴ND=AD＋AN=4 cm，
∴在Rt△DNF中，NF=ND cos 15°≈4×0.97=3.88(cm).
易得四边形QEFN为矩形，
∴QE=NF=3.88 cm.
∵∠MND=135°，
∴∠MNQ=135°－90°－15°=30°，
解图
∵MN=12 cm，
∴在Rt△MNQ中，MQ=MN sin 30°
=6(cm)，
∴ME=MQ＋QE=6＋3.88≈9.9(cm)，
答：起钉时点M到底座GH的距离约为9.9 cm.
解图
练习5 (2025姑苏区立达中学二模)学科综合
创新考法
跨物理学科
我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象(如图①)，
我们把n=称为折射率(其中α代表入射角，β代表折射角).
观察实验
为了观察光线的折射现象，设计了图②所示的实验，即通过细管MN可以
看见水底的物块C，但不在细管MN所在直线上，图③是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得BF=12cm，DF=16cm.
(1)求入射角α的度数；
解：(1)如解图，过点D作DG⊥AB，垂足为G，
由题意得，四边形DGBF是矩形，
∴DG=BF=12 cm，BG=DF=16 cm，
在Rt△DGB中，tan∠BDG===，
∴∠BDG=53°，
∴∠PDH=∠BDG=53°，
∴入射角α的度数为53°；
解图
BF=12cm，DF=16cm.
(2)若BC=7 cm，求光线从空气射入水中的折射率n.(参考数据：sin
53°≈，cos 53°≈，tan 53°≈)
BF=12cm，DF=16cm.
(2)∵BG=16 cm，BC=7 cm，∴CG=BG－BC=9(cm)，
在Rt△CDG中，∵DG=12 cm，
∴DC===15(cm)，
∴sin β=sin∠GDC===，
由(1)得∠PDH=53°，∴sin∠PDH=sin α≈，
∴折射率n=≈=，
∴光线从空气射入水中的折射率n约为.(共19张PPT)
第四单元　三角形
基础课18　一般三角形及其性质
节前复习导图
一般三角形
及其性质
三角形
的分类
按边分
按角分
三角形
边、角关系
三边关系
角的关系
边角关系
三角形中的
特殊线段及直线
中线
高线
角平分线
中位线
垂直平分线
三角形
的性质
1
考点精讲
2
基础题练考点
3
分层作业本
考点精讲
一、三角形的分类
1. 按边分
(1)三边都不相等的三角形
(2)等腰三角形
底≠腰的等腰三角形
2. 按角分：锐角三角形、 、钝角三角形
等边三角形
直角三角形
二、三角形的性质：三角形具有稳定性
三、三角形的边、角关系
1. 三边关系：三角形任意两边之和 第三边，任意两边之差 第三边
【满分技法】判断给定的三条线段能否组成三角形，只要判断两条较短线段的和是否
大于最长线段
2. 角的关系
(1)内角和定理：
大于
小于
三角形三个内角和等于180°
(2)外角和：三角形的外角和为
(3)内、外角关系
任意一个外角 与它不相邻的两个内角之和
任意一个外角 任何一个与它不相邻的内角
360°
等于
大于
3. 边角关系：同一个三角形中，等边对 ，大边对大角；等角对等边，大角对
大边
等角
四、三角形中的特殊线段及直线　
特殊线
段/直
线 性质(文
字语言) 示意图(图形
语言) 数学表示(符号语言) 拓展延伸
线
段 中
线 AD是
△ABC
的中线 ∵AD是△ABC的中线 ∴BD= = BC，
S△ABD=S△ACD=S△ABC 三角形三条中线的交
点为三角形的重心
高
线 AD是
△ABC
的高线 ∵AD是△ABC的高线 ∴AD⊥ (∠ADB=∠ADC=90°) 三角形的三条高线所
在的直线的交点为三
角形的垂心
CD

BC
特殊线
段/直线 性质(文字语
言) 示意图(图形
语言) 数学表示(符号语
言) 拓展延伸
线
段 角平 分线 AD是△ABC
的角平分线
∵AD是△ABC的
角平分线 ∴∠BAD=
=∠BAC (1)三角形三条内角平分线
的交点为三角形的内心
(2)内心到三角形三边距离
相等
∠C
AD
特殊线
段/直线 性质 (文字语言) 示意图(图形
语言) 数学表示(符号语
言) 拓展延伸
线
段 中位
线 DE是△ABC
的中位线 ∵DE是△ABC的
中位线 ∴DE∥BC，
DE= 　BC 【适用情况】在三角形中
遇到某一边中点时，常构
造三角形中位线，可简单
地概括为“已知中点找中位
线”
特殊线
段/直线 性质(文字语言) 示意图(图
形语言) 数学表示(符号语言) 拓展延伸
直
线 垂直 平分 线 DE是△ABC中
BC边上的垂直
平分线(中垂线)
∵DE是△ABC中BC边
上的垂直平分线 ∴DE⊥BC，
BE= ，
BD= (1)外心：三角形的三
条边的垂直平分线的
交点
(2)外心到三角形三个
顶点的距离相等
CE
CD
基础题练考点
三角形及边角关系
命题点
1
1. (八上练习改编)下列各组数中，能构成三角形三边长的是(　C　)
A. 1，1，2 B. 2，3，6
C. 1，2，2 D. 3，4，7
2. (八上讨论改编)空调安装在墙上时，一般都会用三角形支架进行固定，
这种固定方法应用的几何原理是 .
C
三角形具有稳定性
3. (八上例题改编)如图，在△ABC中，D为BC上一点，连接AD，已知
∠B=42°，∠C=36°，∠BAD=66°.
(1)∠BAC的度数为 ，∠ADC的度数为 ；
(2)△ABC的形状为 三角形(填“钝角”“锐角”或“直角”)；
102°
108°
钝角
如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=36°，∠BAD=66°.
(3)AD，CD的大小关系为 ，AD，AB的大小关系为
.
【解析】由(1)得∠ADC=108°，∵∠C=36°，∴∠DAC=180°－∠ADC
－∠C=36°=∠C，∴AD=CD，∠ADB=∠C＋∠DAC=72°＞∠B，
∴AD＜AB.
AD=CD
AD＜
AB
三角形中的重要线段(常在几何题中涉及)
命题点
2
4. (八上复习题改编)如图，在△ABC中，CD是△ABC的中线，点E，F分
别是AC，DC的中点.若EF=2，则BD的长为(　B　)
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
B
5. (八上练习改编)如图，在△ABC中，AB=8，BC=6，CE⊥AB于点E，
AD⊥BC于点D，则的值为(　B　)
A. B. C. D.
【解析】∵AB=8，BC=6，AB，BC边上的高分别为CE，AD，
∴S△ABC=AB CE=BC AD，∴×8CE=×6AD，∴=.
B
【解析】如图，延长AE交BC于点F，∵∠B=40°，∠DAE=20°，
∴∠AFC=∠B＋∠BAF=60°，∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACE=∠FCE，
∵CD⊥AF，∴△ACF是等腰三角形，
∴∠EAC=∠AFC=60°.
6. (八上习题改编)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点A
作AE⊥CD于点E，若∠B=40°，∠DAE=20°，则∠EAC的度数为(　D)
A. 45° B. 50° C. 55° D. 60°
D
F
7. (2025姑苏区振华中学二模)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB
于点E. 若AC=2，DE=1，则S△ACD= .
1
【解析】如图，过点D作DF⊥AC，垂足为F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF=1，∵AC=2，
∴S△ACD=AC DF=×2×1=1.
F
8. (八上习题改编)如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高
线，点D在点E的左侧，已知AE=2，DE=1，若S△ABC=8，则CE的长
为 .
【解析】∵S△ABC=8，∴BC AE=8，即×BC×2=8，解得BC=8，
∵AD是边BC上的中线，∴CD=BC=4，∵DE=1，
∴CE=CD－DE=3.
3
9. 如图，在△ABC中，DE，FG分别是边AB，BC的垂直平分
线，连接BE，BF. 若∠ABC=70°，则∠EBF的度数为 .
【解析】∵DE，FG分别是边AB，BC的垂直平分线，∴BE=AE，BF=CF，
∴∠A=∠ABE，∠C=∠CBF，∴∠CBF＋∠ABE=∠C＋∠A=180°－
∠ABC=110°，∴∠EBF=∠CBF＋∠ABE－∠ABC=110°－70°=40°.
40°

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