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(共19张PPT)
第二十章 勾股定理
20.1 勾股定理
第3课时 利用勾股定理作图或计算
学习目标
学习重难点
难点
重点
1.运用勾股定理处理几何中的问题.
2.运用勾股定理进行计算.
运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题．
灵活运用勾股定理进行计算.
回顾旧知
2.若一个直角三角形两条直角边长是3和2，那么第三条边长是多少？
3.若一个直角三角形两条边长是3和2，那么第三条边长是多少？
你能否画出第3题的图形来？
1.已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边.
知识讲解
问题1　在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．　
学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△A ′ B ′ C ′ 中，∠C=∠C ′=90°，AB=A′ B ′，AC=A′ C′ ．求证：△ABC≌△A ′B ′C′ ．
A
B
C
A
B
C′
′
′
证明：在Rt△ABC 和Rt△A ′B ′C ′中，∠C=∠C′=90°，根据勾股定理得
问题2　我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示 的点吗？
0
1
2
3
4
把握题意
找关键字词
链接相关知识
建立数学模型（建模）
分析：
13开方就是 ，如果一个三角形的斜边长为 的话，问题就可迎刃而解了.
发现
是直角边分别为2，3的直角三角形的斜边长.
0
1
2
3
4
l
A
B
C
O
提问
　　你能用语言叙述一下作图过程吗？
在数轴上找到点A，使OA=3;
作直线l⊥OA，在l上取一点B，使AB=2;
以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示 的点.
1
2
3
下面都是利用勾股定理画出的美丽图形：
“数学海螺”
例 如图，数轴上点A所表示的数为a，求a的值.
解：∵图中的直角三角形的两直角边长为1和2，
∴斜边长为 ，即－1到A的距离是 ，
∴点A所表示的数为 .
注意：求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，则所表示的数不是斜边长.
利用勾股定理表示无理数的方法:
（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.
（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.
归纳：
在数轴上作出表示 的点.
解：如图的数轴上找到点A，使OA=4,作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=1，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 的点.
即学即练
问题3 在如图所示的6×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，写出格点△ABC各顶点的坐标，并求出此三角形的周长．
解：由题图得A(2,2),B(-2,-1),C(3,-2).由勾股定理得
∴△ABC的周长为
归纳：勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.
随堂演练
1.如图，点C表示的数是(　　)
A．1 B. C．1.5 D.
D
随堂演练
2.如图，点A表示的实数是 （　　）
D
3.如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，画出一个三角形的长分别为 .
A
B
C
解：如图所示.
解：点A即为表示 的点.
4.在数轴上作出表示 的点.
5.如图，等边三角形的边长是6.求：
(1)高AD的长；
(2)这个三角形的面积.
解：(1)由题意可知，在Rt△ADB中，
AB＝6，BD＝ BC＝3，∠ADB＝90°.
由勾股定理，得AD＝
(2)S△ABC＝ BC·AD＝ ×6×3
＝
利用勾股定理
作图或计算
在数轴上表示出无理数的点
利用勾股定理解决网格中的问题
利用勾股定理解决图形计算问题
通常与网格求线段长或面积结合起来
有时用到方程思想
课堂小结(共20张PPT)
学习目标
学习重难点
难点
重点
1.掌握勾股定理逆定理的概念及勾股数.
2.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.
勾股定理逆定理的应用.
勾股定理逆定理的证明.
回顾旧知
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么
a2＋b2＝c2 .
问题引入
问题1 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
反过来，如果三角形的三条边满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方，那么这个三角形是不是直角三角形呢
·思考
画一画：用直尺和圆规分别画出边长分别为6cm，8cm，10cm以及2.5cm，6cm，6.5cm的两个三角形.
问：
（1）这两个三角形的三边长都有什么关系？
（2）这两个三角形都是直角三角形吗？用三角板或量角器检验一下.
（3）由（1）和（2），喜欢动脑筋的你能猜想到什么结论吗？
勾股定理的逆命题
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么
a2 + b2 = c2
勾股定理
如果三角形的三边长a，b，c满足
那么这个三角形是直角三角形.
a2 + b2 = c2
反过来
题设
题设
结论
结论
知识点1 勾股定理的逆定理
A'　
B'　
C' 　
？
三角形全等 　　
∠C是直角　　　
△ABC是直角三角形　　
A　
B　
C　
a
b
c
a
如何证明？
A　
B　
C　
a
b
c
A'　
B'　
C' 　
a
证明:画一个△A'B'C'，使∠ C'=90°，B'C'=a，C'A'=b.
∵ ∠ C'=90°，∴ A'B'2= a2+b2=c2，
∴ A'B' =c.
∴ △ ABC ≌△ A'B'C'（SSS）.
∴ ∠C=∠C'=90°.
BC=a=B'C'，CA=b=C'A'，AB=c=A'B'.
在△ABC和△A'B'C'中，
∴ △ ABC是直角三角形（直角三角形的定义）.
勾股定理的逆命题
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么
a2 + b2 = c2
勾股定理
如果三角形的三边长a，b，c满足
那么这个三角形是直角三角形.
a2 + b2 = c2
题设
题设
结论
结论
逆定理
（判定定理）
反过来
勾股定理逆定理的作用：
判定一个三角形是不是直角三角形．　
例1　判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a=8，b=15，c=17；
（2）a=14，b=13，c=15.
分析：只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方．
解：(1)
∵　82+152 =64+225=289，
　 172 =289，
∴　82+152 =172.
∴以8,15,17为边长的三角形是直角三角形．
　　像8，15，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．
解：(2)
∵142+132 =196+169=365，
　152 =225，
∴142+132 ≠152.
∴这个三角形不是直角三角形．
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15 ____ _____ ;
(3) a:b: c=3:4:5 _____ _____ .
是
是
不是
∠A=90°
∠C=90°
(2) a=1 b=1 c= ____ _____ ;
试一试
知识点2 利用勾股定理的逆定理解决实际问题
例2 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
1
2
N
E
P
Q
R
分析：
1.求“海天”号的航向就是求 的角度.
∠2
2.已知∠1的角度，则求出∠RPQ的
角度即可.
3.根据已知条件可求出三边，利用勾
股定理的逆定理判断∠RPQ是否为直角.
1
2
N
E
P
Q
R
解：根据题意得
PQ=16×1.5=24,
PR=12×1.5=18,
QR=30.
∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°.因此∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.
N
E
P
Q
R
1
2
归纳：解决实际问题的步骤： 构建几何模型(从整体到局部)； 标注有用信息,明确已知和所求； 应用数学知识求解.
练一练
A，B，C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C在B地的什么方向？
A
B
C
5cm
12cm
13cm
解：∵ BC2+AB2=52+122=169，
AC2 =132=169，
∴BC2+AB2=AC2，
即△ABC是直角三角形，
∠B=90°.
答：C在B地的正北方向．
随堂演练
1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，6
C．5，12，13 D．4，6，7
C
2.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是 （　　）
A．4 B．3 C．2.5 D．2.4
D
3.下列各组数是勾股数的是 ( )
A.6，8，10 B.7，8，9
C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132
A
解：由题意得：(a+b)(a-b)(a2+b2-c2)=0，∴a-b=0或a2+b2-c2=0.
4.已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足
，试判断△ABC的形状.
当a=b时，△ABC为等腰三角形;
当a≠b时，△ABC为直角三角形.
5.一个零件的形状如图所示，工人师傅量得这个零件各边尺寸如下(单位：dm)：AB=3，AD=4，BC=12，CD=13.且∠DAB=90°.
你能求出这个零件的面积吗？
解：如图，连接BD.在Rt△ABD中，
在△BCD中，
BD2+BC2=52+122=132=CD2.
∴△BCD为直角三角形，∠DBC=90°.(共33张PPT)
第二十章 勾股定理
20.1 勾股定理
第1课时 勾股定理
学习目标
学习重难点
难点
重点
1.了解勾股定理的文化历史背景，会用面积法验证勾股定理.
2.掌握勾股定理的内容，能用勾股定理解决一些简单问题.
1.掌握勾股定理的内容.
2.会用勾股定理进行简单的计算.
勾股定理的验证.
情境导入
思考 你见过这个图案吗？它由哪些我们学过的基本图形组成？
　　国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术
会议．2002年在北京召开了第24届国际数学家大会．如
图就是大会会徽的图案．
问题1 三个正方形A，B，C的面积有什么关系？
　　毕达哥拉斯(约前580—约前500年),古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家.有一次他在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了A，B，C三个正方形面积之间的数量关系，进而发现直角三角形三边的某种数量关系．
A
B
C
知识讲解
知识点1 勾股定理的发现
问题1 三个正方形A，B，C的面积有什么关系？
发现
两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积.
每块砖都是等腰直角三角形哦
SA+SB=SC
C
B
A
由这三个正方形A，B，C的边长构成的等腰直角三角形三条边长之间有怎样的特殊关系？
A
B
C
发现
等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
问题2 在网格中的一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形是否也有类似的面积关系？
A
B
C
A
C
B
正方形A的面积 正方形B的面积 正方形C
的面积
R
Q
P
9
16
？
如何求SC 的大小？有几种方案？
小方格的边长为1.
图1
A
Q
C
C
用“割”的方法
B
SC
图1
A
B
C
C
用“补”的方法
SC
图1
A
B
C
图2
每个小方格代表1个单位面积
（1）在图中，正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积.
正方形B的面积是____个单位面积.
正方形C的面积是____个单位面积.
9
9
9
？
A
B
C
用“割”的方法：
把正方形C分割成4个直角边为整数的三角形
=18
图2
A
B
C
=18
用“补”的方法：
把正方形C看成边长为6的正方形面积的一半
图2
A
B
C
图2
每个小方格代表1个单位面积
（1）在图中，正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积.
正方形B的面积是____个单位面积.
正方形C的面积是_____个单位面积.
9
9
9
18
正方形 A的面积
正方形B的面积
正方形C的面积
图1
图2
9
16
25
9
9
18
（1）填写下表：
（2）结论:SA+SB=SC
（3）归纳：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
A
B
C
图1
A
B
C
图2
问题3 通过前面的探究活动，猜一猜，直角三角形三边之间应该有什么关系？
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
（两直角边的平方和等于斜边的平方.）
a
b
c
如何验证呢？
知识点2 勾股定理的证明
如图我国古代证明该命题的“赵爽弦图”.
赵爽指出：按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四.以勾股之差自相乘为中黄实.加差实，亦成弦实.
四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）.　　
赵爽弦图
a
b
b
c
a
b
c
证法1 赵爽利用弦图证明
a
a
b
c
∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
赵爽弦图
b-a
证明：
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.
证法2 毕达哥拉斯证法
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
=4× ab+c2
=c2+2ab，
例1 如图，根据所给条件分别求两直角三角形中未知边的长.
例题讲解
B
C
A
8
6
D
E
F
17
15
(1) (2)
解:(1)在 Rt△ABC 中，根据勾股定理，AB2=AC2+BC2=82+62=100，
所以AB=10.
(2)在Rt△DEF中，根据勾股定理，DE2+EF2=DF2，从而DE2=
DF2-EF2=172-152=64，所以 DE=8.
例2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的
对边分别是a，b，c.
(1)已知a＝b＝6，求c；
(2)已知c＝3，b＝2，求a；
(3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b.
(1)∵∠C＝90°，a＝b＝6，
∴由勾股定理，得
(2)∵∠C＝90°，c＝3，b＝2，
∴由勾股定理，得
(3)∵∠C＝90°，a∶b＝2∶1，∴a＝2b.
又c＝5，由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52，
解得b＝
解：
归纳 公式变形：
方程思想.
例3 求下列图中字母所表示的正方形的面积.
225
400
A
225
81
B
A=225+400=625
B=225-81=144
两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理.为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票.
我国是最早了解勾股定理的国家之一.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中.
· 趣味拓展 ·
把一个正方形的面积分成若干个小正方形的面积的和，不断地分下去，就可以得到一棵美丽的勾股树．
勾股定理的演示
1.下列说法中,正确的是 （ ）
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
C
2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .
8 cm
10 cm
36 cm
随堂演练
3.求下列直角三角形中未知边的长度．　　
A
B
C
4
6
x
C
B
A
5
10
x
解:(1)x=2.
(2)x=5.
4.如图，在平面直角坐标系中，有两点的坐标分别为(2，0)和(0，3)，则这两点之间的距离是________.
5.如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
解：在△ABC中，作AD⊥BC，垂足为点D，设BD＝x，则CD＝14－x.由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，所以152－x2＝132－(14－x)2.解得x＝9.所以BD＝9.在Rt△ABD中，
AD2＝AB2－BD2＝152－92＝144，所以AD＝12.所以S△ABC＝ BC·AD＝ ×14×12＝84.
课堂小结
内容
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角
勾股定理(共16张PPT)
第二十章 勾股定理
20.1 勾股定理
第2课时 勾股定理的实际应用
学习目标
学习重难点
难点
重点
能应用勾股定理解决简单的实际问题.
会运用勾股定理解决简单的实际问题．
从实际问题中抽象出直角三角形，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系.
情境导入
这节课我们就来学习用勾股定理解决实际问题.
知识讲解
知识点1 利用勾股定理解决实际问题
　　例1　一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
已知条件有哪些？
观察
1.木板能横着或竖着从门框通过吗？
2.这个门框能通过的最大长度是多少？
不能
3.怎样判定这块木板能否通过木框？
求出斜边的长，与木板的宽比较.
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，
AC2=AB2+BC2=12+22=5．
　　AC= ≈2.24．
因为AC大于木板的宽2.2 m，所
以木板能从门框内通过．
例2 如图，一架2.6 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4 m. 如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m,那么梯子底端B也外移0.5 m吗
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，
∴OB=1.
在Rt△COD中，根据勾股定理，得
OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,
∴梯子的顶端沿墙下滑0.5 m时，梯子底端并不是也外移0.5 m，而是外移约0.77 m.
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；
（2）构造直角三角形；
（3）利用勾股定理等列方程；
（4）解决实际问题.
数学问题
直角三角形
勾股定理
实际问题
转化
造
构
利用
决
解
归纳：
练习 如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC=60 m，AC=20m.求A，B两点间的距离（结果取整数）.
解:
随堂演练
1.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行(　　)
A．8米
B．10米
C．12米
D．14米
B
2.如图，一棵大树在一次强台风中距地面5 m处折断,倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12 m,这棵大树在折断前的高度为( )
A.10 m
B.15 m
C.18 m
D.20 m
C
3.一个长方形零件（如图）,根据所给的尺寸(单位：mm),求两孔中心A，B之间的距离.
A
B
90
160
40
40
解： 过A作铅垂线，过B作水平线，两线交于点C，则
∠ACB=90°，
AC=90-40=50（mm）
BC=160-40=120（mm)
由勾股定理有：
AB2=AC2+BC2=502+1202
=16900（mm2)
∵AB＞0,
∴AB=130(mm)
答：两孔中心A，B的距离为130mm.
A
B
90
160
40
40
C
4.今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，
适与岸齐．问水深、葭长各几何？
A
B
C
　　分析：
可设AB=x,则AC=x+1，
有AB2+BC2=AC2，
可列方程，得x2+52= ，
即水深12尺、葭长13尺.
解得x=12．
5.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为(　　)
A．0.7米
B．1.5米
C．2.2米
D．2.4米
C
课堂小结
用勾股定理解决实际问题
要点：构造直角三角形

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