资源简介

(共20张PPT)
第二十一章 四边形
21.1.2 多边形及其内角和
学习目标
1.了解并掌握多边形的定义及有关概念，能区分凸凹多边形。
2.理解正多边形及其有关概念。
3.掌握对角线条数与多边形的边数之间的关系。
4.理解多边形内角和与外角和公式的推导过程。
学习重难点
理解多边形内角和与外角和公式的推导过程。
灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决实际问题。
难点
重点
新课导入
在实际生活中，除了三角形，还有许多由线段围成的图形，观察图片，你能找到由一些线段围成的图形吗？
在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形.
什么是四角形？
观察画某多边形的过程，类比四角形的概念，你能说出什么是多边形吗？
新课讲授
1.多边形的定义
在平面内，由一些线段首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形.
内角：多边形相邻两边组成的角
顶点
边
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角.
n边形有n个顶点，n条边，n个内角，2n个外角．
多边形按它的边数可分为：三角形，四边形，五边形等等.其中三角形是最简单的多边形.
根据图示，类比四角形的有关概念，说明什么是多边形的边、顶点、内角、外角．
与四边形类似，在多边形中，有的是凸多边形，有的不是凸多边形.今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形.
新课讲授
3.正多边形定义：
像正方形这样，各个角都相等，各条边都相等的多边形.
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
2.多边形对角线定义：
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
如图：在五边形ABCDE中，
从点A画五边形的对角线分别为AC，AD；
从点B画五边形的对角线分别为BE，BD；
从点C画五边形的对角线分别为CE，CA；
从点D画五边形的对角线分别为DA，DB；
从点E画五边形的对角线分别为EC，EB.
A
C
B
E
D
新课讲授
探究：请画出下列图形从某一顶点出发，引出的对角线.
三角形：一个顶点引出对角线0条，分成1个三角形；
四边形：一个顶点引出对角线1条，分成2个三角形；
五边形：一个顶点引出对角线2条，分成3个三角形；
六边形：一个顶点引出对角线3条，分成4个三角形；
八边形：一个顶点引出对角线5条，分成6个三角形.
多边形 三角形 四边形 五边形 六边形 八边形 n边形(n≥3)
从同一顶点引出的对角线条数 0 1 2 3 5 n-3
分割出的三角形个数 1 2 3 4 6 n-2
共有几条对角线 0 2 5 9 20 .
例题解读
1．图中的各个图形，是否是多边形？如果是，说出是几边形．
解：图①②④是多边形，图③不是多边形．
其中图①是四边形，图②是五边形，
图④是五边形．
2.画出下列图形的所有对角线.
4．下列属于正多边形的有(　　)
①等边三角形；②长方形；③正方形；④梯形；⑤圆
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
3.下列多边形中不是凸多边形的是（ ）
B
5.凸六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边数可能是多少？画出图形说明．
解：∵六边形截去一个角的边数有增加1、减少1、不变三种情况，∴新多边形的边数为7、5、6三种情况，
如图所示.
小结
多边形
定义
前提条件是在平面内
对角线
是多边形的一条重要线段，通常作对角线把多边形的问题转化为三角形或四边形的问题
正多
边形
定义既是判定也是性质
随 堂 小 测
1．下列说法中不正确的是(　　)
A．正多边形的各边都相等
B．各边都相等的多边形是正多边形
C．正三角形就是等边三角形
D．六条边、六个内角都相等的六边形都是正六边形
B
随 堂 小 测
2.把一张形状是多边形的纸片剪去其中一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（ ）
A. 六边形 B . 五边形 C.四边形 D.三角形
A
3.过八边形的一个顶点画对角线，把这个八边形分割成______个三角形.
六
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。(共23张PPT)
第二十一章 四边形
21.3.1 矩形
第2课时 矩形的判定
学习目标
学习重难点
难点
重点
1.经历矩形判定定理的探索过程，理解并掌握矩形的判定方
法.
2.能应用矩形判定解决简单的证明题和计算题.
经历矩形判定定理的探索过程，理解并掌握矩形的判定方法.
能应用矩形判定解决简单的证明题和计算题.
新课导入
如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化.
α
α
α
思 考
问题1 随着∠α 的变化两条对角线的长度将发生怎样的变化？
猜想：当∠α= 90°时，平行四边形是矩形.
问题2 当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？
猜想：当两条对角线相等时，平行四边形是矩形.
知识讲解
知识点1 矩形的判定（1）
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言：
如图，在平行四边形ABCD中，
∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形.
A
B
D
C
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = DC,AB ∥ DC，
∴∠ABC + ∠DCB = 180°.
又∵BC = CB，AC = DB，
∴ △ABC≌△DCB .
∴∠ABC = ∠DCB = 90°.
∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）.
已知：如图，在□ABCD中，AC ，DB是它的两条对角线， AC=DB. 求证：□ABCD是矩形.
A
B
D
C
证一证
前面我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角.它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？
新课导入
思 考
A
B
C
D
定理 有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言：
如图，在四边形ABCD中，
∵ ∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
知识点2 矩形的判定（2）
知识讲解
证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴四边形ABCD是矩形.
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
证一证
例1 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O ， △ABO是等边三角形， AB=4，求□ABCD的面积.
A
B
D
C
O
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA= OC，OB = OD.
又∵△ABO是等边三角形，
∴OA= OB=AB= 4，∴OA= OB=OC = OD= 4.
∴AC= BD= 2OA = 2×4 = 8.
∴□ABCD是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）.
∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角） .
例题解读
例1 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O ， △ABO是等边三角形， AB=4，求□ABCD的面积.
A
B
D
C
O
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AB 2 + BC 2 =AC 2 ,
∴BC= .
∴S□ABCD=AB·BC=4× = .
如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°.求∠OAB的度数.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD
又OA=OD，∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°
又∠OAD=50°，∴∠OAB=40°
练 习
例2 如图，平行四边形 ABCD各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH为矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
又AF，DF分别平分∠BAD，∠ADC，
∴∠DAF+∠ADF= ∠BAD+ ∠ADC= （∠BAD+∠ADC）=90°，∴∠F=90°.
同理∠H=∠AEB=90°，∴∠FEH=∠AEB=90°,
∴四边形EFGH是矩形.
如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD ， EC.
（1）求证：△ADC≌△ECD；
（2）若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形.
证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，∴∠B=∠ACB.
又∵四边形ABDE是平行四边形，
∴∠B=∠EDC，AB=DE，
∴∠ACB=∠EDC，∴△ADC≌△ECD.
A
D
C
E
B
练 习
如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD ， EC.
（1）求证：△ADC≌△ECD；
（2）若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形.
A
D
C
E
B
(2)∵AB=AC,BD=CD，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°.
∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE平行且等于BD，
即AE平行且等于DC，∴四边形ADCE是平行四边形.
而∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.
练 习
矩形的判定方法 几何语言 图形
定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形 ∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°， ∴ 四边形ABCD是矩形.
定理 对角线相等的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中，∵AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形
定理 有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD中，∵∠A=∠B=∠C=90°， ∴四边形ABCD是矩形
A
B
C
D
A
B
D
C
A
B
D
C
总结归纳
随 堂 小 测
C
1.如图,直线EF∥MN,PQ交EF,MN于A,C两点,AB,CB,CD,AD分别是∠EAC, ∠MCA, ∠ ACN,∠CAF的角平分线,则四边形ABCD是（ ）
D
E
F
M
N
Q
P
A
B
C
A.菱形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定
2．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是(　　)
A．AB＝CD　　　
B．AD＝BC
C．AB＝BC
D．AC＝BD
D
3.下列命题是真命题的是（ ）
A.有一个角是直角的四边形是矩形
B.两条对角线相等的四边形是矩形
C.有三个角是直角的四边形是矩形
D.对角线互相垂直的四边形是矩形
C
4. 如图，在△ABC中，AD 为 BC 边上的中线，延长 AD 至 E，使 DE = AD，连接 BE，CE.
（1）试判断四边形 ABEC 的形状;
（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形 ABEC 是矩形？
解:（1）四边形 ABEC 是平行四边形．
（2）当△ABC 满足∠BAC＝90°时,四边形 ABEC 是矩形．
A
B
C
E
D
5.已知：如图，在 □ ABCD 中，M 是 AD 边的中点，且MB = MC. 求证：四边形 ABCD 是矩形.
证明：在□ ABCD 中，AB = CD，
∵M 是 AD 边的中点，∴MA = MD，且 MB = MC，
即△ABM≌△DCM，∴∠A =∠D.
又∵∠A +∠D = 180°，
∴∠A =∠D = 90°，∴四边形ABCD是矩形.
A
B
D
C
M
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形．
证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝ ∠BAC.
又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE＝∠CAE＝ ∠CAM,
∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝ (∠BAC＋∠CAM)＝90°.
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形．
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°,
∴四边形ADCE为矩形（有三个角是直角
的四边形是矩形）．(共25张PPT)
第二十一章 四边形
21.1 四边形及多边形
21.1.1 四边形及其内角和
学习目标
学习重难点
了解四边形的有关概念。
探索并证明四边形的内角和及外角和。
难点
重点
1.了解四边形的有关概念。
2.探索并证明四边形的内角和及外角和。
3.能运用四边形的内角和及外角和解决问题。
4.理解四边形不具有稳定性。
新课导入
在实际生活中，除了三角形，还有许多由线段围成的图形，观察图片，你能找到由一些线段围成的图形吗？
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.
什么是三角形？
观察画某四边形的过程，类比三角形的概念，你能说出什么是四边形吗？
新课讲授
1.四边形的定义
在平面内，由由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形.
思考：比较四边形的定义与三角形的定义，为什么要强调“在平面内”呢？怎样命名四边形呢？
这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，
而四点就有可能不在同一个平面内.
四边形用图形名称以及它的各个顶点的字母表示.
字母要按照顶点的顺序书写，可以按顺时针或逆时针的顺序.
内角：四边形相邻两边组成的角
顶点
边
外角：四边形的边与它的邻边的延长线组成的角.
有4个顶点，4条边，4个内角，8个外角．
根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是四边形的边、顶点、内角、外角．
在图（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边（例如CD)所在的直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形.今后，无特殊说明，所讨论的四边形都是凸四边形.
你能说出下图中两个四边形的异同点吗 ．
在图(2）中，画出边CD所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凹四边形.
2.四边形对角线定义：
连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线.
如图：在四边形ABCD中，
AC，BD是四边形ABCD的两条对角线，他们分别将四边形ABCD分为两个三角形.
A
C
B
D
新课讲授
问题1：你能说出三角形的内角和是多少度吗？
三角形的内角和是180°.
问题2：你知道长方形和正方形的内角和是多少度吗？
长方形和正方形的内角和都是360°.
问题3：我们知道，三角形的内角和等于180°，正方形、长方形的内角和都等于360°，
那么，任意画一个四边形，它的内角和为多少 你是怎样得到的 你能找到几种方法
方法解读
方法1:从一个顶点出发，如图1，连接AC，四边形的内角和为:2×180°=360°.
图1
方法解读
方法2:从边上一个点出发，如图2，在BC上任取一点E，连接AE，DE，则四边形的内角和为3×180°-180°=360°.
图2
方法解读
方法3:从四边形内一个点出发，如图3,在四边形内任取一点E，连接AE，BE，CE，DE,则四边形的内角和为:4×180°-360°=360°.
图3
方法解读
方法4:从四边形外一个点出发，如图4,在四边形外任取一点E，连接AE，BE，CE，DE,则四边形内角和为: 3×180°-180°=360°.
图4
四边形的内角和是360°.
例题解读
如图，在四边形每个顶点处各取一个外角（如∠1， ∠2， ∠3， ∠4），这四个外角的和是多少度？
四个顶点处，所有内角与外角（各一个）的总和是：4 × 180° = 720°。
因为内角和为360°，所以外角和 = 720° - 360° = 360°。
四边形的外角和是360°.
三角形三边长度确定后，形状和大小就唯一确定了。而四边形四边长度确定后，其形状并不唯一，可以改变相邻边的夹角，从而产生多种形状。 三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性。
请你再照样举一些生活中的例子！
四角形的不稳定性
练习
1．图中的各个图形，哪些是四边形？
解：图①是四边形．
2.画出下列图形的所有对角线.
3．在四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的外角之比为1∶2∶3∶4，那么∠C= ．　
72°
4．已知一个四边形，它的外角和的度数是 ．　
360°
5.学校有一块四边形试验田，分割成A，B两块，由图可知，x y= °．
3
小结
四边形
定义
前提条件是在平面内
对角线
是四边形的一条重要线段，通常作对角线把四边形的问题转化为三角形的问题
内外角和
具有不稳定性
随 堂 小 测
D
1.如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，∠ADE是四边形ABCD的一个外角．若∠B=75°，则∠ADE的度数为（ ）
A．125° B．105° C．90° D．75°
随 堂 小 测
2.如图，是一块四边形钢板缺了一个角，根据图中所标出的测量结果得所缺损的∠A的度数为 ．
75°
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。(共20张PPT)
第二十一章 四边形
21.3.2 菱形
第1课时 菱形的性质
学习目标
学习重难点
难点
重点
1.理解菱形的概念，了解它与平行四边形之间的关系.
2.经历菱形性质定理的探索过程.
3.能运用菱形的性质定理进行简单的计算与证明.
经历菱形性质定理的探索过程.
运用菱形的性质定理进行简单的计算与证明.
新课导入
下面几幅图中都含有一些平行四边形.观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征吗？
由上图中的这些平行四边形，你能发现它们有什么共同点吗？从边的角度想一想。
平行四边形
菱形
想一想
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
归纳
菱形是特殊的平行四边形.
菱形具有一般平行四边形的所有性质.
平行四边形不一定是菱形.
知识点1 菱形的定义
知识讲解
因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质．由于它的一组邻边相等，菱形是否也具有一般平行四边形不具有的特殊性质呢？如果有，是什么？
思 考
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质：
知识点2 菱形的性质
（1） 菱形的四条边都相等.
（2） 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条
对角线平分一组对角.
知识讲解
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC 与BD相交于点O.
求证:(1）AB = BC = CD =AD；（2）AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：（1）∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）.
又AB=AD，
∴ AB = BC = CD =AD.
证一证
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC 与BD相交于点O.
求证:(1）AB = BC = CD =AD；（2）AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：（2）∵AB=AD，∴△ABD是等腰三角形.
又四边形ABCD是菱形，∴OB=OD.
在等腰三角形ABD中， ∵OB=OD，
∴AO⊥BD，即AC⊥BD.
证一证
比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，我们发现，菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，而平行四边形通常只被分成两对全等三角形.
菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴.
由菱形两条对角线的长，你能求出它的面积吗？
S菱形ABCD= AC · BD
例1 如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD．求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）．
A　
B　
C　
D　
O　
例题解读
解：设AC，BD相交于点O.∵花坛ABCD的形状是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO=∠ABC=×60°= 30°.
在Rt△OAB中，AO=AB=×20=10（m），
BO= = == 10（m）
∴花坛的两条小路长 AC=2AO=20（m），
BD=2BO= 20≈ 34.64（m）.
花坛的面积 S菱形ABCD =4×S△OAB=AC·BD=200≈346.4（m2）.
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∠BAD=60°，BD=2，求菱形的边长AB和对角线AC的长.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴ AB = BD(菱形的四条边相等)，
∴ AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)，
OB=OD=BD =×2=1(菱形的对角线互相平分).
在等腰三角形ABC中，∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形.
∴AB = BD = 2.
A
C
D
O
B
练 习
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∠BAD=60°，BD=2，求菱形的边长AB和对角线AC的长.
A
C
D
O
B
在RtΔAOB中，由勾股定理，得
OA2+OB2=AB2，
∴ OA = = =
∴ AC = 2OA = （菱形的对角线互相平分）.
练 习
总结归纳
随 堂 小 测
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 （ ）
A.对角相等
B.对边相等
C.对角线互相垂直
D.对角线相等
C
2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交
于点O. 已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的长.
解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）.
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
OA2 + OB2 = AB2，
∴BO = .
∵四边形ABCD 是菱形，
∴BD=2BO= 2×3=6（菱形的对角线互相平分）.
∴BD 的长为 6 cm.
2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交
于点O. 已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的长.
3.已知：如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=2∠B.求证：△ABC是等边三角形.
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AD∥BC，∴∠BAD+∠B=180°.
又∵∠BAD=2∠B, ∴∠B=60°.
∵AB =BC，∴△ABC是等边三角形.
4.已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O.求证：AC，CA分别平分∠BAD和∠BCD，BD，DB分别平分∠ABC和∠ADC.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD ，AC⊥BD，
∴AC平分∠BAD，
同理：CA平分∠BCD，BD，DB分别平分∠ABC和∠ADC.(共21张PPT)
第二十一章 四边形
21.2.1 平行四边形及其性质
第2课时 平行四边形性质的应用
学习目标
学习重难点
难点
重点
1.进一步探索并掌握平行四边形的对角线的性质.
2.应用平行四边形的性质解决简单的几何问题.
3.知道两条平行线之间的距离处处相等.
知道两条平行线之间的距离处处相等.
应用平行四边形的性质解决简单的几何问题.
平形四边形的性质
性质
知识回顾
定义
两组对边分别平行的四边形
边
角
对边平行且相等
对角相等，邻角互补
对角线
对角线互相平分
知识讲解
知识点1 平行四边形性质的应用
探究 如图， ABCD的对角线AC,BD相交于点O，EF过点O
且与AB,CD分别相交于点E,F.
猜一猜 OE与OF有什么关系？
量一量 拿出手中的平行四边形纸片,测量两条线段的长度,
验证你的猜想是否正确
猜想
OE=OF.
如何验证你的猜想呢？
如图， ABCD的对角线AC,BD相交于点O，EF过点O且与AB,CD分别相交于点E,F.求证：OE＝OF.
证明：在 ABCD中，AB∥CD,
∴∠EAO＝∠FCO, ∠AEO＝∠CFO.
又OA＝OC，
∴△AOE≌△COF.
∴OE＝OF.
你还有其他证明方法吗？与同伴交流.
例2
练习
1. 在 ABCD 中，已知AB=5，BC=3，求它的周长.
如图所示，因为四边形ABCD是平行四边形，所以CD＝AB＝5，AD＝BC＝3，
所以 ABCD的周长为
AB＋BC＋CD＋AD
＝5＋3＋5＋3
＝16.
解：
2.如图，在 ABCD中，连接AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，则BC的长是(　　)
A. B．2 C．2 D．4
C
知识点2 平行线之间的距离
思考 如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形，转动其中的一张纸条，线段AD和BC的长度有什么关系？为什么？
由平行四边形的概念性质四边形ABCD是平行四边形，所以AD=BC.
C
B
F
E
A
D
若m // n，作 AB // CD // EF，分别交 m于A，C，E，交 n于B，D，F.
由平行四边形的性质得AB=CD=EF.
结论 两条平行线之间的平行线段相等.
m
n
由平行四边形的定义易知四边形ABCD，CDEF均为平行四边形.
归纳
若m // n，A，C，E是直线m上的点，AB⊥n，CD⊥n，EF⊥n.由图可知，线段AB，CD，EF的长就是m，n之间的距离，且为A，C，E到直线n的距离，故易得AB=CD=EF.
B
F
E
A
n
m
C
D
归纳：两条平行线间的距离是指两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离
性质:两条平行线之间的距离处处相等.
A
B
距离 区别 联系
点和点之间的距离
点到直线的距离
平行线之间的距离
P
∟
l
a
b
A
B
∟
都是指某一条线段的长度
比较归纳
问题延伸
P1
P2
P3
A
B
思考 如图，已知直线l∥AB，点P1，P2，P3都在l上△ABP1,△ABP2,△ABP3的面积是否相等？为什么？
面积相等，同底等高.
例3
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC.求证∠B=∠C.
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，过点A，D作AE⊥BC, DF⊥BC,垂足分别为E，F.
∵AE,DF的长都是平行线AD,BC之间的距离，
∴AE=DF.
又AB=DC，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF.∠B=30°，AB=8，
∴∠B=∠C.
证明：
练习
如图，已知直线a∥b，点A，B，C在直线a上，点D，E，F在直线b上，AB＝EF＝2，若△CEF的面积为5，则△ABD的面积为(　　)
A．2 B．4 C．5 D．10
C
分析 ∵直线a∥b，点A，B，C在直线a上，∴点D到直线a的距离与点C到直线b的距离相等．又∵AB＝EF＝2，∴△CEF与△ABD是两个等底等高的三角形．
∴S△ABD＝S△CEF＝5.故选C.
随堂演练
1.直线a上有一点A，直线b上有一点B，且a∥b.点P在直线a，b之间，若PA＝3，PB＝4，则直线a，b之间的距离(　　)
A．等于7 B．小于7
C．不小于7 D．不大于7
D
2.如图，设点P是 ABCD的边AB上任意一点，设△APD的面积为S1，△BPC的面积为S2，△CDP的面积为S3，则(　　)A．S3＝S1＋S2 B．S3＞S1＋S2C．S3＜S1＋S2 D．S3＝(S1＋S2)
A
3. 如图，点P、D在直线a上，点A、C在直线b上，a∥b,PB⊥b于点B，PA=15cm,PB=12cm,PC=13cm,CD=14cm,则直线a与b之间的距离是 cm.
12
拓展提升
1. 如图， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E.若AE=4，DE=2，AB=，则AC的长为( )
A. B.
C. D.
B
2. 如图， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD=12，若∠ADC=105°，∠ACD=30°，求 ABCD的周长.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD.
∵∠ADC=105°，∠ACD=30°，
∴∠DAB=75°，∠CAB=30°，∴∠DAO=45°.
如图，过点D作DH⊥AC，垂足为H，∴∠AHD=∠CHD=90°，
∴AH=DH=AD=，∴CD=2DH=12.
∴ABCD的周长为 2(12+12)=24+24.
平形四边形性质的应用
性质
课堂小结
对角线互相平分
边
两条平行线的性质
角
对边平行且相等
对角相等，邻角互补
两条平行线之间的距离处处相等
对角线(共22张PPT)
第二十一章 四边形
21.3.2 菱形
第2课时 菱形的判定
学习目标
学习重难点
难点
重点
1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理．
2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.
经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理．
会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.
复习导入
问题1 什么是菱形？
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
（1）菱形是轴对称图形；
（2）菱形的四条边都相等.
（3） 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条
对角线平分一组对角.
问题2 菱形有哪些性质？
根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形.除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形？
平行四边形的不少性质定理与判定定理都是互逆命题.受此启发,
猜想：对角线垂直的平行四边形是菱形.
下面我们一起证明这个结论.
新课导入
想一想
A
B
C
O
D
已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O ，AC⊥BD.求证：□ABCD是菱形.
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴OA=OC.
又AC⊥BD,
∴直线BD是线段AC的垂直平分线，
∴BA=BC，∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
证一证
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
知识点1 菱形的判定（1）
知识讲解
A
B
C
O
D
∵四边形ABCD是平行四边形（如图），
又∵AC⊥BD,
∴四边形ABCD是菱形.(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)
几何语言：
例1
例题解读
如图，在□ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别相交于点E，F.求证：四边形AFCE是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CF，∴∠1＝∠2.
又∠AOE＝∠COF，AO＝CO，
∴△AOE≌△COF.∴EO＝FO.
∴四边形AFCE是平行四边形，
又AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形.
A
B
C
O
D
已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB= ，OA=2，OB=1. 求证：□ ABCD是菱形.
证明：在△AOB中,
∵AB= ， OA=2，OB=1，
∴AB2=AO2+OB2.
∴ △AOB是直角三角形，∠AOB是直角.
∴AC⊥BD.
∴ □ABCD是菱形 (对角线垂直的平行四边形是菱形).
练 习
我们知道，菱形的四条边相等．反过来，四条边相等的四边形是菱形吗？
思 考
证一证
已知：四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵ AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
又AB=BC，
∴□ABCD是菱形.
知识点2 菱形的判定（2）
知识讲解
四边相等的四边形是菱形.
∵AB=BC=CD=DA（如图），
∴四边形ABCD是菱形(四边相等的四边形为菱形).
A
B
C
D
几何语言：
例2 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm.将△ABC沿射线BC方向平移10 cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．
证明：由平移变换的性质得CF＝AD＝10 cm，
DF＝AC.
例题解读
例2 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm.将△ABC沿射线BC方向平移10 cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．
∵∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，
∴AC＝DF＝AD＝CF＝10 cm，
∴四边形ACFD是菱形．
总结归纳
四边形
四条边都相等
判定
条件
对角线互相垂直
一组邻边相等
菱形
平行四边形
随 堂 小 测
1.在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（ 　 ）
A．∠ABC=90°
B．AC⊥BD
C．AB=CD
D．AB∥CD
B
2.如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断 ADCE是菱形的是(　　)
A. ∠BAC＝90°
B. ∠DAE＝90°
C. AB＝AC
D. AB＝AE
A
3.判断：
（1）对角线互相垂直的四边形是菱形. （ ）
（2）对角线垂直且平分的四边形是菱形 . （ ）
（3）对角线互相平分的平行四边形是菱形. （ ）
（4）一组邻边相等的四边形是菱形. （ ）
（5）有一条对角线平分一组对角的四边形
是菱形. （ ）
×
×
×
√
√
A
B
C
O
D
4.如图所示：在□ABCD中添加一个条件使其成为菱形：
添加方式1： .
添加方式2： .
AC⊥BD
AB=BC
5.如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，AC＝8，DB＝6，求证：四边形ABCD是菱形．
证明：在平行四边形ABCD中，
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴ ，
∵32+42＝52，
∴OD 2+OA 2＝AD 2，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
6.如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2．
（1）求证：AE＝CF．
（2）若BE＝ED时，求证：四边形EBFD是菱形．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵∠1＝∠2，
∴∠AED＝∠CFB，
在△ADE与△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF；
证明：（2）∵∠1＝∠2，
∴DE∥BF．
由（1）知，△ADE≌△CBF，
∴DE＝BF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
又BE＝ED，
∴平行四边形EBFD是菱形．
6.如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2．
（1）求证：AE＝CF．
（2）若BE＝ED时，求证：四边形EBFD是菱形．
7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，F在DE上，且AF＝CE＝AE，试探索当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？
解：当∠B＝30°时，四边形ACEF是菱形．
理由：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠EAC＝60°，
∵ED垂直平分BC，∴EB＝EC，∠BDE＝90°，
∴∠BED＝60°，∠B＝∠ECD＝30°，
∴∠FEA＝60°，∠ECA＝60°，
∵AF＝CE＝AE，∴△AEF是等边三角形，△EAC是等边三角形，
∴AF＝EF＝EC＝CA，
∴四边形ACEF是菱形．(共21张PPT)
第二十一章 四边形
21.2.3 三角形的中位线
学习目标
学习重难点
难点
重点
1.掌握三角形中位线的定义和三角形中位线的定理.
2.能熟练运用三角形中位线的定理.
掌握三角形中位线的定义和三角形中位线的定理.
能熟练运用三角形中位线的定理.
新课导入
思 考
　　我们在研究平行四边形时，经常采用把平行四边形转化为三角形的问题，反过来，能否用平行四边形研究三角形呢？
知识讲解
知识点1 三角形的中位线定义
　　如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC 的中点，连接DE. 像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线．
A　
B　
C　
D　
E　
一个三角形有几条中位线？
猜想DE与BC之间有什么位置关系和数量关系？
A　
B　
C　
D　
E　
思 考
DE//BC，
证一证
A　
B　
C　
D　
E　
F　
证明：如图，延长DE到点F，使EF=DE，连接FC，DC，AF.
∵AE=EC，DE=EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴ CF DA.
∴CF BD.
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DF BC.
又 DE=DF,
∴DE ∥BC，且DE=BC.
∥
=
∥
=
∥
=
在△ABC中， D，E分别是边AB，AC的中点，求证：DE∥BC，且DE= BC .
知识讲解
知识点2 三角形的中位线定理
　　三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
A　
B　
C　
D　
E　
几何语言：
∵ DE是△ABC的中位线,
∴ DE//BC.
一个三角形有三条中位线，这三条中位线将原三角形分割成四个全等的小三角形；
每个小三角形的周长都是原三角形周长的____
每个小三角形的面积都是原三角形面积的____.
B
中位线是两个中点的连线，而中线是一个顶点和对边中点的连线。
C
A
F
E
D
A
C
B
三角形的中位线与三角形的中线有什么区别？
思 考
例1 （1）如图，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，若AB=10cm，AC=8cm，BC=12cm，则EF=____，DF=____，DE=____，△DEF的周长为______ .
5cm
4cm
6cm
15cm
例题解读
例1 （1）如图，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，若AB=10cm，AC=8cm，BC=12cm，则EF=____，DF=____，DE=____，△DEF的周长为______ .
5cm
4cm
6cm
15cm
例题解读
B
D
A
E
C
例1 （2）△ABC中,D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°, ∠B=70°,则∠AED=_____.
60°
如图，已知 D，E，F 分别是边 AB，BC，AC 上的中点，求证：四边形 DECF 是平行四边形.
D
A
B
C
E
F
证明： ∵ D，E ，F分别是边 AB，BC，AC 上的中点，
∴ DE，DF是△ABC的中位线，
∴
∴四边形 DECF 是平行四边形.
练 习
例题解读
例2 如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点. 求证:四边形EFGH是平行四边形.
分析:因为各边中点，所以可设法应用三角形的中位线定理找
到四边形EFGH的对边之间的关系.因为四边形的一条对角线可以
把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC或BD，
构造“三角形中位线”的基本图形后得证.
证明:如图，连接AC.
在△DAC中，∵H，G分别是DA，CD的中点，
∴HG是△ACD的中位线，
∴HG∥AC，HG=AC(三角形的中位线定理).
同理，EF∥AC，EF=AC，∴HG∥EF，且HG=EF，
∴四边形EFGH是平行四边形.
总结归纳
2.三角形的中位线定理
A　
B　
C　
D　
E　
在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，
DE∥BC，且DE=BC .
如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC 的中点，连接DE. 像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线．
1.三角形的中位线定义
随 堂 小 测
1.如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？为什么？
解：能在图中画出3个平行四边形，如图，连接DE，EF，FD，则四边形BFED，DECF，DFEA即为所画的3个平行四边形.
2.如图，直线l1∥l2，在l1，l2上分别截取AD，BC，使AD=BC，连接AB，CD.AB和CD有什么关系？为什么？
解：AB CD.
理由：∵ l1∥l2，即AD∥BC
又AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AB CD
∥
=
∥
=
3.如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC.怎样测出A，B两点间的距离？根据是什么？
解：分别取AC，BC的中点D，E，连接DE，并量出DE的长，则AB=2DE.
根据三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
4.如果四边形ABCD是平行四边形，AB=6，且AB的长是□ABCD周长的 ，那么BC的长是多少？
解：∵AB=6，且AB的长是□ABCD周长的，
∴□BCD的周长是：6÷=32.
又∵平行四边形对边相等，
∴BC=（32–6×2）÷2=10.
答：BC的长是10.
5.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD=36，AB=11，求△OCD的周长.
解：∵□ABCD的对角线互相平分，
（OC=AC，OD=BD），且和为36，
∴OC+OD=（AC+BD）=×36=18，
又∵□ABCD的对边相等，∴DC=AB=11，
∴△OCD的周长=OC+OD+CD=18+11=29.
答：△OCD的周长为29.(共23张PPT)
第二十一章 四边形
21.2.2 平行四边形的判定
学习目标
学习重难点
难点
重点
1.探索并证明平行四边形的判定定理.
2.能熟练运用平行四边形的判定定理去计算和证明.
探索并证明平行四边形的判定定理.
能熟练运用平行四边形的判定定理去计算和证明.
复习导入
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等；
平行四边形的对角线互相平分.
问题二 平行四边形具有哪些性质？
问题一 平行四边形的定义是什么？
定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等；
问题二 我们得到的这些逆命题都成立吗？
平行四边形的对角线互相平分。
问题一 你能说出上述三条性质的逆命题吗？
逆命题2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
逆命题3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
逆命题1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
新课导入
如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
对角线互相平分的四边形是平行四边形．　　
　 证明：∵　OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠COB，
∴ △AOB≌△COD．
∴ ∠OAB=∠OCD．
∴ AB∥CD．
同理AD∥BC．
∴ 四边形ABCD是平行四边形．
证一证
　　证明：如图，连接BD．
∵　AB=CD，AD=BC，BD是公共边，
∴　△ABD≌△CDB．
∴　∠1=∠2，∠3=∠4．
∴　AB∥DC，AD∥BC．
∴　四边形ABCD是平行四边形．
如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
两组对边分别相等的四边形是平行四边形．　　
D
A
B
C
1
2
3
4
证一证
D
A
B
C
两组对角分别相等的四边形是平行四边形．　　
证一证
　　证明：∵　多边形ABCD是四边形，
∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°．
又∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴∠A+∠B=180°，
∠B+∠C=180°．
∴AD∥BC，AB∥DC．
∴四边形ABCD是平行四边形．
如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C∠B=∠D．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
D
A
B
C
知识讲解
知识点1 平行四边形的判定定理（1）
（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
例1 如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC 上的两点，并且 AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO.
∵AE=CF，
∴AO-AE=CO-CF，即EO=FO.
又BO=DO，∴四边形BFDE是平行四边形.
例题解读
如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？
练习
解：四边形BFDE是平行四边形．
理由：在 ABCD中，∠ABC＝∠ADC，∠A＝∠C.
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠CBE＝ ∠ABC，
∠CDF＝∠ADF＝ ∠ADC，
∴∠CDF＝∠ADF＝∠ABE＝∠CBE.
∵∠DFB＝∠C＋∠CDF，∠BED＝∠ABE＋∠A，
∴∠DFB＝∠BED，∴四边形BFDE是平行四边形．
我们知道，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形，如果只考虑四边形的一组对边，他们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？
思 考
我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等。反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？
思 考
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证一证
证明：如图，连接AC.
∵AB∥CD，∴∠1=∠2.
又AB=CD，AC=CA，
∴△ABC≌△CDA.
∴BC=DA.
∴四边形ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形.
1
2
知识讲解
知识点2 平行四边形的判定定理（2）
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？
A
B
C
D
A
B
C
D
一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形.
思 考
例题解读
　　例2　如图，在□ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．
求证：DE BF．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB CD，EB∥FD.
又EB= AB，FD= CD，
∴EB DF.
∴四边形EBFD是平行四边形.
∴DE BF.
练习
如图，在四边形ABCD中，对角线 AC,BD 相交于点 O，OA=OC. BA⊥AC，DC⊥AC.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
C
D
B
┐
┐
O
证明：∵ BA⊥AC，DC⊥AC，∴∠BAC=∠DCA=90 ，
∴ AB//CD.
∵∠BAC=∠DCA，OA=OC，∠AOB=∠COD,
∴ △AOB≌△COD,
∴AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
总结归纳
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
平行四边形的5种判定方法
1.不能判定四边形ABCD为□的条件是( )
A.AD∥BC，AD=BC B.∠A=∠C，∠B=∠D
C.AB=CD，AD=BC D.AB∥CD，AD=BC
D
随 堂 小 测
　　2.如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF．求证：AB∥EF．
　　证明：∵　AB=DC，AD=BC，
∴　四边形ABCD是平行四边形．
∴　AB∥DC．
又∵　DC=EF，DE=CF，
∴　四边形DCFE也是平行四边形．
∴　DC∥EF．
∴　AB∥EF．
3.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点.求证：BE=DF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO=OB，AO=OC，
又E，F分别是OA，OC的中点，
∴EO=FO，
在△DOF与△BOE中，
DO=BO，∠DOF=∠BOE，FO=EO，
∴△DOF≌△BOE，
∴BE=DF.
4.为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了，你能说出其中的道理吗？
解：由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可知，两条直铺的铁轨互相平行.
5.如图，在□ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足.求证：四边形AFCE是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF，
又∠AED=∠CFB=90°，
∴△AED≌△CFB，
∴AE=CF.
又∵∠AEF=∠CFE=90°，
∴ AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形.(共29张PPT)
第二十一章 四边形
21.2.1 平行四边形及其性质
第1课时 平行四边形的性质
学习目标
学习重难点
难点
重点
1.了解平行四边形的定义.
2.探索并掌握平行四边形的边、角、对角线等性质.
掌握平行四边形的边、角、对角线等性质.
探索并掌握平行四边形的边、角、对角线等性质.
情景导入
平行四边形是常见的图形，小区的伸拉门、庭院的竹篱笆、载重汽车的防护栏，都有平行四边形的形象，你还能列举一些其他的例子吗？
如下图，平行四边形在生活中无处不在.
知识讲解
知识点1 平行四边形的定义
2.平行四边形用“ ” 表示，如图，平行四边形ABCD记
作“ ABCD” ( 要注意字母顺序).
1.定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
A
B
C
D
平行四边形的两个要素：
1.是四边形
2.两组对边分别平行
解读
平行四边形的定义的两种含义：
1.作为性质
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB ∥ CD，AD ∥ BC.
2.作为判定
∵AB ∥ CD，AD ∥ BC，∴四边形ABCD是平行四边形.
解读
如图，DC∥GH ∥ AB，DA∥ EF∥ CB，图中的平行四边形有多少个？将它们表示出来.
D
A
B
C
H
G
F
E
K
解：∵DC∥GH ∥ AB，DA∥ EF∥ CB，
∴根据平行四边形的定义可以判定图中共有9个平行四边形，即 AEKG, ABHG, AEFD, GKFD, BEKH, CHKF, BEFC, CDGH, ABCD.
例1
如图， ABCD中，EF∥GH∥BC，MN∥AB，则图中平行四边形的个数是(　　)
A．13
B．14
C．15
D．18
练习
D
知识点2 平行四边形边、角的性质
探究 根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么关系？它的角之间有什么关系？用直尺和两角器量一量，和你的猜想一致吗？
A
B
C
D
猜想
对边相等，平行四边形对角相等.
如何进行证明呢？
追问 要证明两条线段、角相等，可以利用什么有关的内容进行转化？
构造全等三角形
证一证
已知：四边形ABCD是平行四边形.
求证:AD=BC,AB=CD,∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC.
证明：如图，连接AC.∵四边形ABCD是
平行四边形,∴AD∥BC，AB ∥ CD,
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
又∵AC是△ABC和△CDA的公共边，
∴ △ABC≌△CDA,
∴AD=BC，AB=CD，∠ABC=∠ADC.
∵∠BAD=∠1+∠4，∠BCD=∠2+∠3，∴∠BAD=∠BCD.
A
B
C
D
1
4
3
2
如果不添加辅助线，你能否证明其对角相等？
证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC，AB ∥ CD,
∴∠A+∠B=180°，
∠A+∠D=180°，
∴∠B=∠D.
同理可得∠A=∠C.
A
B
C
D
利用平行四边形的定义
1.有关四边形的问题常常转化为三角形问题解决；
2.平行四边形的一条对角线把平行四边形分成两个全等的三角形.
A　
B　
C　
D　
方法归纳
四边形
问题
转化
三角形
问题
转化思想
性质1 平行四边形的对边相等.
性质2 平行四边形的对角相等.
平行四边形的性质
1. ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB＝CD，AD＝BC.
2. ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D.
符号语言
A
B
C
D
文字语言
图形语言
知识讲解
知识点3 平行四边形的对角线的性质
探究 如图，在 ABCD中，连接AC，BD，
并设它们相交于点O，
A
B
C
D
猜一猜 OA与OC，OB与OD有什么关系？
O
量一量 拿出手中的平行四边形纸片,测量四条线段的长度,
验证你的猜想是否正确
猜想
OA=OC，OB=OD.
如何验证你的猜想呢？
已知，如图， ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O.
求证：OA＝OC, OB＝OD.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∴∠1＝∠2, ∠3＝∠4.
∴△AOD≌△COB.
∴OA＝OC，OB＝OD.
你还有其他证明方法吗？与同伴交流.
证一证
性质3 平行四边形的对边角线互相平分.
平行四边形的性质
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
符号语言
A
B
C
D
O
平行四边形的两条对角线把平行四边形分成了面积相等的4个三角形.
如图，在 ABCD 中，AB=10, AD=8,AC⊥BC.求BC,CD,AC,OA的长，以及 ABCD的面积.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ BC＝AD=8，CD＝AB=10，
∵AC⊥BC,
∴△ABC是直角三角形.
根据勾股定理，AC== =6.
∴ OA＝OC= AC=3,
=BC·AC=8×6=48.
例1
例题解读
平行四边形的两组对边分别平行且相等；
平行四边形的两组对角相等；
平行四边形的邻角互补;
平行四边形的对角线互相平分.
归纳
练习
1. 在 ABCD 中，已知AB=5，BC=3，求它的周长.
如图所示，因为四边形ABCD是平行四边形，所以CD＝AB＝5，AD＝BC＝3，
所以 ABCD的周长为
AB＋BC＋CD＋AD
＝5＋3＋5＋3
＝16.
解：
2.如图，在 ABCD中，连接AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，则BC的长是(　　)
A. B．2 C．2 D．4
C
随堂演练
1.如图,在△ABC中，DE∥AB，FD∥BC，EF∥AC，则图中平
行四边形的个数为 (　 )
A.1　 B.2　
C.3　 D.4
C
2.在□ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A=135°，则∠MCD的度数是（ ）
A .45° B. 55° C. 65° D. 75°
A
A
B
C
M
D
3.如图，在 ABCD中，BM是∠ABC的平分线，交CD于点M，且MC＝2， ABCD的周长是14，则DM等于(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
C
4.如图，四边形ABCD是平行四边形，∠B=56°. 求：
(1) ∠ADC和∠BCD的度数；
(2) AB和BC的长度.
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝56°，
∴∠ADC＝∠B＝56°，
∠BCD＝180°－∠B＝180°－56°＝124°.
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝25，BC＝AD＝30.
A
B
C
D
30
25
5.在 ABCD中，∠DAB的平分线分边BC为3 cm和4 cm两部分，求 ABCD的周长
解：分情况讨论如下：
如图①.BE＝3 cm，CE＝4 cm.∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC.∴∠DAE＝∠AEB.
∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE.
∴∠BAE＝∠AEB. ∴AB＝BE＝3 cm.
∴ ABCD的周长＝(3＋3＋4)×2＝20(cm)．
6.在 ABCD中，∠DAB的平分线分边BC为3 cm和4 cm两部分，
求 ABCD的周长.
如图②.BE＝4 cm，CE＝3 cm.
同理可得AB＝BE＝4 cm.
∴ ABCD的周长＝(4＋4＋3)×2＝22(cm)．
7.已知 ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周 长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.
∵△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，
∴AB－AD＝5cm.
又∵ ABCD的周长为60cm，∴AB＋AD＝30cm，
则AB＝CD＝17.5cm,AD＝BC＝12.5cm.
平形四边形的性质
性质
课堂小结
定义
两组对边分别平行的四边形
边
角
对边平行且相等
对角相等，邻角互补
对角线
对角线互相平分(共19张PPT)
第二十一章 四边形
21.3.3 正方形
学习目标
学习重难点
难点
重点
1.理解正方形的概念.
2.探索并证明正方形的性质，了解平行四边形、矩形、菱形
之间的联系和区别.
理解正方形的概念.
探索并证明正方形的性质，了解平行四边形、矩形、菱形
之间的联系和区别.
新课导入
正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角.因此，正方形既是矩形，又是菱形.
正方形也是矩形，所以它具有矩形的性质，四个角相等，对角线相等.
正方形也是菱形，所以正方形也具有菱形的性质，即正方形的四条边相等，对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.
正方形是轴对称图形吗？有几条对称轴？
正方形是轴对称图形，有4条对称轴.
思 考
思 考
正方形有哪些性质？如何判定一个四边形是正方形？
把它们写出来，并和同学们交流一下。
知识点1 正方形的性质
知识讲解
正方形的四个角都是直角；
正方形的四条边都相等；
正方形的对角线相等，并且互相垂直平分；
正方形是轴对称图形，它有四条对称轴.
知识点2 正方形的判定
知识讲解
判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两条：
（1）先证它是矩形，再证它有一组邻边相等；
（2）先证它是菱形，再证它有一个角为直角.
例1
例题解读
求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于O.
求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形.
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴AC＝BD，AC⊥BD，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°，
OA＝OB＝OC＝OD，
∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，
并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学们讨论一下.
思 考
平行四边形
菱
形
正方形
平行四边形
矩形
正方形
例2
例题解读
如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，AE=BF=CG=DH，求证：四边形EFGH是正方形.
已知：如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，AE=BF=CG=DH.
求证：四边形EFGH是正方形.
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=DA.
又AE=BF=CG=DH，
∴EB=FC=GD=HA.
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，
例2
例题解读
如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，AE=BF=CG=DH，求证：四边形EFGH是正方形.
已知：如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，AE=BF=CG=DH.
求证：四边形EFGH是正方形.
∴HE=EF=FG=GH，
∴四边形EFGH是菱形.
∵△AEH≌△BFE，
∴∠2=∠3.
又∠1+∠2=90°，∴∠1+∠3=90°，
∴∠HEF=180°-（∠1+∠3）=90°.
∴四边形EFGH是正方形.
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
总结归纳
随 堂 小 测
1.（1）把一个长方形纸片如图那样折一下，就可以裁出一个正方形纸片，为什么？
解：由折叠可知：
∠B＝∠D＝90°，∠DAB＝90°，
∴四边形ABCD是矩形.
又AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
（2）如果是一个长方形木板，如何从中裁出一个最大的正方形木板呢？
解：在长方形木块较长的一边上截取一段等于较短的一条边长，即可得到最大的正方形木板。
2.满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？
（1）对角线互相垂直且相等的平行四边形.（ ）
（2）对角线互相垂直的矩形.（ ）
（3）对角线相等的菱形.（ ）
（4）对角线互相垂直平分且相等的四边形.（ ）
是
是
是
是
3.如图，四边形ABCD是一块正方形场地，小华和小芳在AB边上取定了一点E，测量知EC=30m，EB=10m.这块场地的面积和对角线长分别是多少？
解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°.
在Rt△BEC中，BC= ==20（m），
连接AC，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=20（m），
AC= ==40（m）
S正方形ABCD=BC2 = （20）2=800（m2）
所以正方形的对角线长40m，面积为800m2.
4.如图，等边三角形AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上， 且∠CEF＝45°.求证：矩形ABCD是正方形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°.
∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°.
∵∠CEF＝45°，∴∠CFE＝∠CEF＝45°.
∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°.
∴△AEB≌△AFD(AAS).∴AB＝AD.
∴矩形ABCD是正方形．(共24张PPT)
第二十一章 四边形
21.3.1 矩形
第1课时 矩形的性质
学习目标
学习重难点
难点
重点
1.理解矩形的概念，了解其与平行四边形之间的关系.
2.探索并证明矩形的性质定理.
3.应用矩形的性质定理解决相关问题.
探索并证明矩形的性质定理.
应用矩形的性质定理解决相关问题.
新课导入
问题1 下面图片中都含有一些特殊的平行四边形.观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
问题2 你还能举出一些生活中的例子吗？
观察下图，把平行四边形的一个内角变为90°，这时的
平行四边形是什么图形？
∟
新课导入
思 考
知识讲解
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.
知识点1 矩形的定义
(1）矩形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗
矩形具有一般平行四边形的所有性质.
(2）矩形是轴对称图形吗 如果是,它有几条对称轴
矩形是轴对称图形，它有2条对称轴.
(3）你认为矩形还具有哪些特殊的性质 与同伴交流.
矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等，等等.
新课导入
想一想
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形.
∴∠ABC=∠CDA，∠BCD=∠DAB(矩形的对角相等)，
AB∥DC(矩形的对边平行).∴∠ABC+∠BCD=180°.
又∵∠ABC = 90°，∴∠BCD = 90°.
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°.
已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB相交于点O.求证：
（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°；
（2）AC=DB.
A
B
C
D
O
证一证
(2)∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC(矩形的对边相等).
在△ABC和△DCB中，
∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC= CB，
∴△ABC≌△DCB. ∴AC=DB.
已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB相交于点O.求证：
（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°；
（2）AC=DB.
A
B
C
D
O
知识讲解
定理 矩形的四个角都是直角.
定理 矩形的对角线相等.
知识点2 矩形的性质
如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？由此你能得到怎样的结论？
解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC = BD(矩形的对角线相等)，
BE= DE= BD，AE=CE= AC (矩形对角线相互平分)，
∴BE= AC.
C
D
E
A
B
新课导入
知识讲解
知识点3 直角三角形斜边上的中线的性质
定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
如图，矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4 ．求矩形对角线的长．
A　
B 　
C 　
D 　
O 　
例1
∴AC与BD相等且互相平分，
∴OA=OB.
又∠AOB=60°，
∴ 矩形的对角线长为 AC=BD=2OA=8.
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=AB=4cm，
∴△OAB是等边三角形，
例题解读
解：∵四边形ABCD是矩形.
∴∠DAB=90°（矩形的四个角都是直角），
AC = BD(矩形的对角线相等)，
OA= OC= AC，OB = OD = BD(矩形对角线互相平分).
例1 如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5 ，求这个矩形对角线的长.
A
B
C
D
O
练 习
例1 如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5 ，求这个矩形对角线的长.
A
B
C
D
O
∴OA = OD.
∵∠AOD=120°，
∴∠ODA=∠OAD= (180°- 120°)=30°.
∴BD = 2AB = 2 ×2.5 = 5.
你还有其他解法吗？
练 习
例1 如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5 ，求这个矩形对角线的长.
A
B
C
D
O
另解：∵四边形ABCD是矩形.
∴AC = BD(矩形的对角线相等)，
OA=OC= AC，OB =OD = BD(矩形对角线互相平分).∴OA=OB.
又∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°.∴△OAB是等边三角形.
∴OA=AB=2.5. ∴AC=BD=2OA=5.
练 习
例2 如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE.
解：如图，连接EG，DG.
∵BD，CE是△ABC 的高，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°.
∵点G是BC的中点，
∴EG＝ BC，DG＝ BC.∴EG＝DG.
又∵点F是DE的中点，∴GF⊥DE.
如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°. 点D是AB边的中点. 试判断△BCD的形状，并说明理由.
解：△BCD为等边三角形.
∵∠ACB=90°，点D是AB的中点，
∴CD=AB=BD
在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴∠B=90°-∠A=60°.
在△CBD中，CD=BD，∠B=60°，
∴△BCD为等边三角形.
练 习
总结归纳
2.矩形的性质
（1）矩形的四个角都是直角.
（2）矩形的对角线相等.
（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
1.矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.
随 堂 小 测
1.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF的长是(　　)
A．2.2 cm
B．2.3 cm
C．2.4 cm
D．2.5 cm
D
A.2条 B.4条 C.5条 D.6条
A
B
C
D
O
D
2.如图,在矩形ABCD中，对角线AC ， BD交于点O，已知∠AOB=60°，AC=16,则图中长度为8的线段有（ ）
3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF的长是(　　)
A．2.2 cm
B．2.3 cm
C．2.4 cm
D．2.5 cm
D
4.下列说法错误的是（ ）
A. 矩形的对角线互相平分
B. 矩形的对角线相等
C. 有一个角是直角的四边形是矩形
D. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
C
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD＝3cm，则EF＝____cm.
3
6．已知：如图，矩形ABCD中，AB长8 cm，对角线比AD长4 cm.求AD的长及点A到BD的距离AE．
解：设AD＝x cm，则对角线长(x＋4)cm，
在Rt△ABD中，由勾股定理得x2＋82＝(x＋4)2，
解得x＝6，则AD＝6 cm.
利用面积公式，可得AE·DB＝AD·AB，
解得AE＝4.8 cm.

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