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第6讲　功与功率　动能定理
热点一　功、功率的分析与计算
例1 (2025·山东济宁高三期末)如图所示,某滑雪场安装了一条长直“魔毯”运送滑雪者上山,“魔毯”与水平面的夹角为16°,表面与其他物品的动摩擦因数均为0.75,其最高点与最低点之间的距离为100 m,“魔毯”始终匀速运行,额定功率为40 kW。忽略“魔毯”与冰面的摩擦及其质量,成年人(含装备)平均质量约为70 kg,sin 16°=0.28,cos 16°=0.96,g=10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A.一个成年人乘“魔毯”上山过程中克服重力做功约为7.0×104 J
B.一个成年人乘“魔毯”上山过程中克服摩擦力做功约为1.96×104 J
C.若“魔毯”同时承运100个成年人,则其最大运行速率约为2 m/s
D.若“魔毯”以1 m/s速率运行,则最多可以同时承运50个成年人
答案　C
解析　最高点与最低点之间的距离L=100 m,一个成年人乘“魔毯”上山过程中克服重力做功WG=mgLsin 16°=1.96×104 J,故A错误;“魔毯”始终匀速运行,一个成年人乘“魔毯”上山过程中所受静摩擦力大小为Ff=mgsin 16°=196 N,一个成年人乘“魔毯”上山过程中摩擦力做正功,大小为Wf=FfL=1.96×104 J,故B错误;若“魔毯”同时承运100个成年人,则P=100mgsin 16°·v1,得v1=2 m/s,故C正确;若“魔毯”以v2=1 m/s速率运行,设最多可以同时承运N个成年人,则P=Nmgsin 16°·v2,解得N=204,故D错误。
例2 (多选)(2025·江西南昌一模)一辆机车在水平路面上从静止开始做直线运动,其加速度随时间变化的图像如图甲所示,机车牵引力F和车速倒数的关系图像如图乙所示,机车前进过程中所受阻力大小恒定,t=t0时刻机车达到额定功率,之后保持该功率不变,下列说法正确的是(　　)
A.所受恒定阻力大小为1.5×105 N
B.机车运动的额定功率为6×106 W
C.机车匀加速运动的时间为30 s
D.机车的质量为6×105 kg
答案　AD
解析　由题图乙可知,机车在BC段功率恒定,当速度最大时,机车匀速行驶,机车所受恒定阻力大小等于机车牵引力的大小,则有f=F=1.5×105 N,A正确;机车运动的额定功率P=Fvm=1.5×105×60 W=9×106 W,B错误;机车匀加速的末速度v== m/s=20 m/s,机车在AB段加速度恒定,由题图甲可知机车的加速度为a=0.5 m/s2,机车匀加速运动的时间t0==40 s,C错误;根据牛顿第二定律,有F'-f=ma,解得m=6×105 kg,D正确。
类题通法　机车启动的两种情况分析
恒定功率启动 恒定加速度启动
由F-f=ma,P=Fv 可得a=·-, 则: (1)斜率k=。 (2)纵截距b=-。 (3)横截距= (1)AB段牵引力不变,做匀加速直线运动。 (2)BC图线的斜率k表示功率P,可知BC段功率不变,牵引力减小,加速度减小,做加速度减小的加速运动。 (3)B点横坐标对应匀加速运动的末速度的倒数。 (4)C点横坐标对应运动的最大速度的倒数,此时牵引力等于阻力
热点二　动能定理的应用
例3 (2025·江苏南京高三检测)如图所示的装置放在水平地面上,该装置由弧形轨道、竖直圆轨道、水平直轨道AB和倾角θ=37°的斜轨道BC平滑连接而成。将质量m=0.2 kg的小滑块从弧形轨道离地高H=2.0 m的M处静止释放。已知滑块与轨道AB和BC间的动摩擦因数均为μ=0.25,弧形轨道和圆轨道均可视为光滑,忽略空气阻力,g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。求:
(1)小滑块运动到A点时的速度大小;
(2)若滑块运动到D点时对轨道的压力大小为6 N,求竖直圆轨道的半径;
(3)若LAB=LBC=2.0 m,试确定滑块最终停止的位置。
答案　(1)2 m/s　(2)0.5 m
(3)A点右侧1 m处
解析　(1)小滑块从M点滑动到A点过程中,根据动能定理可得mgH=m
解得vA=2 m/s。
(2)滑块运动到D点,根据牛顿第三定律可知,滑块所受轨道的支持力大小等于滑块对轨道的压力大小,即支持力为6 N,根据牛顿第二定律有
mg+FN=m
滑块从初始位置滑至D点过程中,根据动能定理有mg(H-2R)=m
联立解得R=0.5 m。
(3)滑块在斜面上,由于mgsin θ>μmgcos θ
则滑块无法停留在斜面上,最终会停止在水平面AB上,设滑块第一次滑上斜面滑行距离为x,则滑块从最初到滑上斜面最高点的过程中,根据动能定理有mgH-μmgLAB-(μmgcos θ+mgsin θ)x=0
解得x= m
则滑块第一次从斜面滑下来到地面的动能为
Ek=mgH-μmgLAB-2μmgcos θ·x=1.5 J
之后滑块在水平面上滑行返回A点时具有的动能为Ek'=Ek-μmgLAB=0.5 J
则滑块经光滑圆弧后还能回到水平面,设再次返回到水平面上还能继续运动的距离为x',根据动能定理有-μmgx'=0-Ek'
解得x'=1 m
滑块最终停在水平面上的A点右侧1 m处。
类题通法　应用动能定理解题的四个关键点
例4 (多选)(2025·山东菏泽模拟)如图甲所示,一个质量为2 kg的物体(可看成质点)在沿斜面方向的拉力作用下,从倾角θ=30°的光滑斜面底端由静止开始沿斜面向上运动。以斜面底端为坐标原点,沿斜面向上为正方向建立x轴,拉力做的功W与物体位置坐标x的关系如图乙所示。g=10 m/s2。物体沿斜面向上运动的过程中,下列说法正确的是(　　)
A.物体沿斜面向上运动的最大位移xm=22 m
B.物体沿斜面向上运动的最大位移xm=22.5 m
C.在x=5 m处,拉力的功率为100 W
D.在x=5 m处,拉力的功率为100 W
答案　BD
解析　由于拉力沿斜面向上,则拉力做的功W=Fx,可知W-x图像的斜率表示拉力,在0例5 (2025·河北邯郸高三期末)如图甲所示,水平轨道AB的B端与半径为8.0 cm的光滑半圆轨道BCD相切,原长为L=20 cm的轻质弹簧水平放置,一端固定在A点,另一端与质量为0.4 kg的物块P接触但不连接。用水平外力向左缓慢推动物块P,水平外力随弹簧形变量的关系如图乙所示,将弹簧压缩至形变量为Δx=10.0 cm,然后放开,P开始沿轨道运动,恰好到达D点,g=10 m/s2。求:
(1)弹簧的劲度系数;
(2)水平轨道AB的长度。
答案　(1)200 N/m　(2)0.3 m
解析　(1)根据题意,由题图乙可知,当F=1.0 N时,物块P开始移动,则物块与水平轨道间的摩擦力为Ff=1.0 N
物块缓慢移动,处于平衡状态,则满足F=kx+Ff
可知F-x图像的斜率为弹簧的劲度系数,即弹簧的劲度系数为k=N/m=200 N/m。
(2)物块恰好通过最高点D,由牛顿第二定律得
mg=m
设AB之间的距离为x,从放开物块到最高点,根据动能定理可得
W-Ff(x-L+Δx)-mg·2R=m
其中W为弹簧弹力做功,弹簧的弹力为F弹=kx
根据变力做功可得
W=Δx=×0.1 J=1 J
代入解得x=0.3 m。
总结提升　功与动能定理相关的6个常用结论
常考角度 常用结论
摩擦力 做功 (1)滑动摩擦力做功与路径有关,等于滑动摩擦力与路程的乘积。 (2)斜面上滑动摩擦力做功W=μmgx(x为水平位移大小)。 (3)一对滑动摩擦力做功之和W=-Ffs相对(s相对为相对滑动路程)。
与图像 结合 (4)W-x图像斜率表示力F,E-x图像斜率表示除重力之外其他力的合力。 (5)Ek-x图像斜率表示合力F,Ek-t图像斜率表示合力的瞬时功率P。 (6)Ep-x图像斜率表示重力,Ep-t图像斜率表示重力瞬时功率PG。 总结:关系表达式→函数图像→图像斜率表示的物理量。
1.(2025·云南卷,6)如图所示,质量为m的滑块(视为质点)与水平面上MN段的动摩擦因数为μ1,与其余部分的动摩擦因数为μ2,且μ1>μ2。第一次,滑块从Ⅰ位置以速度v0向右滑动,通过MN段后停在水平面上的某一位置,整个运动过程中,滑块的位移大小为x1,所用时间为t1;第二次,滑块从Ⅱ位置以相同速度v0向右滑动,通过MN段后停在水平面上的另一位置,整个运动过程中,滑块的位移大小为x2,所用时间为t2。忽略空气阻力,则(　　)
A.t1t2
C.x1>x2 D.x1答案　A
解析　设MN段的长度为x0,设滑块在除MN段外通过的路程为x,整个过程由动能定理得-μ1mgx0-μ2mgx=0-m,由题意可知滑块两次在MN段的路程相等,则两次在除MN段外通过的路程也一定相等,则有x1=x2,C、D错误;滑块在MN段的加速度大小为a1=μ1g,滑块在除MN段外的加速度大小为a2=μ2g,由于第二次的释放点距离M较近,则滑块第二次在M点的速度比第一次的大,由于两次滑块通过MN的位移相同,则第二次滑块在MN段的运动时间较短,作出两次滑块的速度—时间图像,如图所示,由图可直观地看出,第二次运动的总时间较长,即t12.(2025·黑、吉、辽、内蒙古卷,13)如图,一雪块从倾角θ=37°的屋顶上的O点由静止开始下滑,滑到A点后离开屋顶。O、A间距离x=2.5 m,A点距地面的高度h=1.95 m,雪块与屋顶的动摩擦因数μ=0.125。不计空气阻力,雪块质量不变,取sin 37°=0.6,重力加速度大小g=10 m/s2。求:
(1)雪块从A点离开屋顶时的速度大小v0;
(2)雪块落地时的速度大小v1,及其速度方向与水平方向的夹角α。
答案　(1)5 m/s　(2)8 m/s　60°
解析　(1)雪块从屋顶上的O点由静止开始下滑到A点的过程中,由动能定理有
mgxsin θ-μmgcos θ·x=m-0
解得v0=5 m/s。
(2)雪块从A点到落地的过程中,由动能定理有
mgh=m-m
解得v1=8 m/s
雪块离开A点后做斜抛运动,水平分速度不变,其水平分速度大小为
vx=v0cos θ=4 m/s
则雪块落地时的速度方向与水平方向的夹角α满足cos α==
解得α=60°。
3.(2025·福建卷,15)如图甲,水平地面上有并排放置的A、B两个物块,两物块质量均为0.2 kg,A与地面间动摩擦因数为μ=0.25,B与地面间无摩擦,两物块在外力F的作用下向右前进,F随位移x的变化图像如图乙所示,P为圆弧轨道最低点,M为圆弧轨道最高点,圆弧轨道与水平地面平滑连接,初始时水平地面上A、B与P点间的长度大于4 m,重力加速度g=10 m/s2。求:
(1)0~1 m内F做的功;
(2)x=1 m时,A与B之间的弹力大小;
(3)要保证B能到达 M 点,圆弧半径满足的条件。
答案　(1)1.5 J　(2)0.5 N　(3)r≤0.2 m
解析　(1)F-x图像与坐标轴所围的面积表示F所做的功,由题图乙可知0~1 m内F所做的功为
W=1.5×1 J=1.5 J。
(2)由题图乙可知,x=1 m时外力F开始变化,A、B有相同的加速度,
A与地面间的摩擦力Ff=μmg
对A、B整体,由牛顿第二定律得F-Ff=2ma
由于B与地面间无摩擦,对B由牛顿第二定律得FAB=ma
联立解得A、B间的弹力大小FAB=0.5 N。
(3)当FAB=0时,A、B分离,此时F=Ff=0.5 N,由题图乙可知,此时x=3 m
初始时水平地面上A、B与P点的长度大于4 m,对A、B从开始运动到开始分离过程,由动能定理得WF-μmgx=×2mv2
由题图乙可得WF=3.5 J
假设B可以运动到圆弧轨道最高点M,对B从两者开始分离点到运动到M点的过程,由动能定理得-mg·2r=m-mv2
要保证B能到达M点,则到达M点的速度满足
vM≥
联立解得r≤0.2 m。
4.(2025·广东卷,14)如图所示,用开瓶器取出紧塞在瓶口的软木塞时,先将拔塞钻旋入木塞内,随后下压把手,使齿轮绕固定支架上的转轴转动,通过齿轮啮合,带动与木塞相固定的拔塞钻向上运动。从0时刻开始,顶部与瓶口齐平的木塞从静止开始向上做匀加速直线运动,木塞所受摩擦力f随位移大小x的变化关系为f=f0,其中f0为常量,h为圆柱形木塞的高,木塞质量为m,底面积为S,加速度为a,齿轮半径为r,重力加速度为g,瓶外气压减瓶内气压为Δp且近似不变,瓶子始终静止在桌面上(提示:可用f-x图线下的“面积”表示f所做的功)。求:
(1)木塞离开瓶口的瞬间,齿轮的角速度ω;
(2)拔塞的全过程,拔塞钻对木塞做的功W;
(3)拔塞过程中,拔塞钻对木塞作用力的瞬时功率P随时间t变化的表达式。
答案　(1)　(2)+mgh+mah+ShΔp　(3)P=mgat+ma2t+ΔpSat+f0at(1-t2)
解析　(1)木塞做匀加速直线运动,由速度与位移关系有v2=2ah
解得木塞离开瓶口瞬间的速度为v=
则齿轮外侧的线速度也为v=
所以齿轮的角速度ω==。
(2)由木塞所受摩擦力随位移大小的变化关系可知,拔塞的全过程摩擦力对木塞做的功为
Wf=-h
拔塞的全过程,对木塞由动能定理有
W+Wf-mgh-Δp·Sh=mv2
联立解得W=+mgh+mah+ShΔp。
(3)拔塞过程中,对木塞由牛顿第二定律有
F-f-mg-Δp·S=ma
由位移与时间关系式有x=at2
拔塞钻对木塞作用力的瞬时功率P=Fv
又v=at
联立解得P=mgat+ma2t+ΔpSat+f0at(1-t2)
其中0≤t≤。
基础保分练
1.(2025·江苏扬州高三期中)如图所示,甲、乙两名工人将相同的货物从斜面底端匀速推上平台。斜面粗糙程度相同,推力平行于斜面向上,则(　　)
A.甲推力一定比乙小
B.甲推力一定比乙大
C.两人推力做功相等
D.甲推力做功比乙多
答案　D
解析　设斜面倾角为θ,货物匀速运动,沿斜面方向受力平衡,有F=mgsin θ+μmgcos θ=mg·sin(θ+φ),由此可知,斜面倾角越大,θ+φ越大,但sin(θ+φ)不一定越大,所以甲和乙的推力大小关系无法确定,故A、B错误;设斜面高度为h,则推力做功为W=F·=(mgsin θ+μmgcos θ)=mgh,由于左侧斜面倾角较小,tan θ较小,W较大,即甲推力做功比乙多,故C错误,D正确。
2.电动玩具水枪(如图所示)是一种新式的电动玩具,使用时扣动扳机,水从枪口快速射出。已知水枪喷口的直径为0.8 cm,水的密度为1×103 kg/m3,水喷出时的速度大小为10 m/s,某次开启连续射击模式,则水枪在连续射击模式下对喷出的水做功的平均功率约为(　　)
A.0.25 W B.2.5 W
C.25 W D.250 W
答案　C
解析　以水柱为研究对象,其功率P=====,代入数据可得水枪对水做功的平均功率P≈25 W,故C正确。
3.(2025·乌鲁木齐二测)我国无人机技术发展迅猛,应用也越来越广泛,无人机配送快递就是一种全新的配送方式。如图所示,一架配送包裹的无人机从地面起飞后竖直上升的过程中,升力的功率恒为P0。已知无人机的质量与包裹的质量的比值为k,忽略空气阻力的影响,则该过程中悬吊包裹的轻绳(不可伸长)对包裹做功的功率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　无人机和包裹从地面开始上升h的过程,对无人机和包裹整体由动能定理有P0t-(m机+m物)gh=(m机+m物)v2,设悬吊包裹的轻绳对包裹做功的功率为P,则对包裹由动能定理有Pt-m物gh=m物v2,又=k,联立解得P=,B正确。
4.(2025·山东泰安高三期末)有一质量m=1 000 kg的混合动力轿车,在平直公路上以v=24 m/s的速度匀速行驶,蓄电池不工作,汽油发动机的输出功率为P1=48 kW。当司机看到前方较长一段距离内无其他车辆时,使轿车汽油发动机和电动机开始同时工作(以该时刻作为计时起点),汽油发动机的输出功率保持不变仍为48 kW,电动机输出功率P2恒定,轿车汽油发动机和电动机同时工作之后的v-t图像如图所示。若轿车运动过程中所受阻力始终不变,则电动机输出功率P2为(　　)
A.68 kW B.30 kW
C.20 kW D.10 kW
答案　C
解析　设阻力为F阻,汽油发动机单独工作以v=24 m/s的速度匀速行驶时,牵引力大小等于阻力,由功率公式则有P1=F阻v,轿车汽油发动机和电动机同时工作之后,由v-t图像可知,最大速度为vm=34 m/s,此时牵引力大小等于阻力,则有P1+P2=F阻vm,解得P2=20 kW,故C正确。
5.(2025·重庆一模)如图甲,一小孩从滑梯的顶端由静止开始滑下至底端,其动能Ek随下滑距离x的变化图像如图乙,Ek0和x0为已知量,重力加速度大小为g。根据图中信息,可求出(　　)
A.整个下滑过程小孩所受的合力大小
B.整个下滑过程重力对小孩做的功
C.小孩与滑梯之间摩擦力的大小
D.小孩到滑梯底端时速度的大小
答案　A
解析　由动能定理可知F合x0=Ek0,解得F合=,A正确;由于不知道斜面的倾角及动摩擦因数,无法求出小孩的质量及下滑的高度,故重力对小孩做的功、小孩受到摩擦力的大小、以及小孩滑到底端的速度都无法求出,B、C、D错误。
6.(2025·广东深圳阶段检测)在一次消防演习中,消防员从H=25 m高的地方通过缓降器由静止开始下落,其下落过程的v-t图像如图所示,落地瞬间速度恰好减为零。消防员的质量为60 kg,加速和减速过程的加速度大小相等,重力加速度g取10 m/s2,下列说法正确的是(　　)
A.0~2 s内,消防员处于超重状态
B.消防员匀速下落的位移大小为10 m
C.全程缓降器对消防员所做的功为1.5×104 J
D.消防员整个下降过程所用的时间为4.5 s
答案　D
解析　0~2 s内,消防员加速下降,加速度方向向下,处于失重状态,故A错误;消防员加速阶段的位移大小为x加=vmt1=×10×2 m=10 m,因加速和减速过程的加速度大小相等,减速阶段的位移为x减=x加=10 m,则消防员匀速下落的位移大小为x'=H-x加-x减=5 m,故B错误;整个过程,由动能定理有mgH+W缓=0,解得W缓=-1.5×104 J,故C错误;消防员整个下降过程所用的时间为t=2t1+=4.5 s,故D正确。
7.(多选)(2025·广东惠州模拟)2023年9月26日,广汕高铁惠州南站首趟动车G6413以额定功率P在平直轨道上加速启动,若该动车的质量为m,受到的阻力f保持不变,其出站过程的速度—时间图像如图所示。则该动车在0~t0时间内(　　)
A.做变加速直线运动
B.牵引力做功W牵=m
C.最大速度vm=
D.平均速度<
答案　AC
解析　动车以额定功率启动,根据P=F牵v可知,随着速度的增大,牵引力逐渐减小,合力减小,加速度减小,动车做加速度逐渐减小的变加速直线运动,故A正确;根据动能定理有W牵+ W阻=m-0,则该动车在0~t0时间内牵引力做功为W牵=m-W阻,故B错误;当牵引力与阻力大小相等时加速度为零,速度达到最大,即有F牵=f,则动车的功率P=F牵vm= fvm,则最大速度为vm=,故C正确;0~t0这段时间内,如果动车做匀加速直线运动,则平均速度应该为=,然而动车做加速度逐渐减小的变加速直线运动,根据图像可知动车的平均速度>,故D错误。
提能增分练
8.(2025·湖南长沙高三期末)一质量可视为不变的汽车在平直公路上行驶,该车在一段行驶过程中速度的倒数随加速度a的变化图像如图所示,已知图线的斜率为k,纵截距为b。下列说法正确的是(　　)
A.汽车运动过程中发动机的输出功率不变
B.汽车在行驶过程中受到的阻力逐渐变大
C.汽车行驶的最大速度为
D.当汽车速度为最大速度的一半时,汽车的加速度为
答案　A
解析　设汽车行驶时发动机的输出功率为P,阻力为f,牵引力为F,则有P=Fv,F-f=ma,整理可得=a+,由题图可知k=,b=,解得P=,f=,可知汽车行驶过程中发动机的输出功率不变,汽车在行驶过程中受到的阻力恒定不变,故A正确,B错误;当汽车速度达到最大时,有P=fvm,即=vm,解得vm=,故C错误;当汽车速度为v==时,汽车的牵引力为F==,由F-f=ma,可得此时汽车的加速度为a=,故D错误。
9.(多选)一只皮球从离地面一定高度处由静止释放,其受到空气阻力的大小与速度的平方成正比。下列关于皮球下落过程中的关系图像,可能正确的是(其中v为速度,a为加速度,t为时间,W为皮球克服阻力所做的功,Ek为皮球的动能,h为下落高度)(　　)
答案　BD
解析　由mg-kv2=ma知,在皮球下落过程中随着v的增大,加速度a减小,但a随t不是线性减小,A错误;皮球克服阻力做功W=kv2h,W-h图像中曲线切线的斜率=kv2,随v的增大而增大,B可能正确;Ek-h图像中曲线切线的斜率为皮球下落过程中受到合力的大小,即=mg-kv2,随v的增大而减小,C错误;皮球下落过程中,由动能定理得mgh-fh=mv2,又f=kv2,整理得=2g-v2,-v2图像为一次函数,截距为正,斜率为负,D可能正确。
10.(2025·江西上饶高三调研)如图所示,一个质量为m=0.5 kg的小球悬挂在长L=0.9 m的细线下端。左侧有一竖直放置的圆管轨道DEF,轨道半径R=0.5 m,EF为其竖直直径,∠DOE=53°,B点到D点的竖直距离h=0.8 m。现让小球从与竖直方向成θ角的A点由静止释放,小球运动到悬挂点正下方B点时绳子刚好断开,接着小球从B点飞出后刚好沿D点切线进入圆管轨道,而且小球运动到圆管轨道的最高点F时和管道内外壁无弹力作用。g取10 m/s2,sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,不计空气阻力,求:
(1)细线与竖直方向的夹角θ;
(2)在圆管轨道间运动时,小球克服摩擦力所做的功。
答案　(1)60°　(2)1 J
解析　(1)小球从B点到D点做平抛运动,落到D点时其竖直方向分速度为vy,如图所示。
在竖直方向上有=2gh
解得vy=4 m/s
根据速度的分解有tan 53°=
水平分速度vx和vB大小相等
解得vx=vB=3 m/s
小球从A点运动到B点过程,由动能定理有
mgL(1-cos θ)=m
代入数据解得θ=60°。
(2)由于小球在F点和轨道间无弹力,根据牛顿第二定律有
mg=m
解得vF= m/s
结合上述有vx=3 m/s,vy=4 m/s
则有vD==5 m/s
小球从D点到F点过程,由动能定理得
Wf-mgR(1+cos 53°)=m-m
代入数据解得Wf=-1 J
即小球克服摩擦力所做的功为1 J。
11.(2025·山东临沂高三月考)某学校科技小组对一辆自制小遥控车的性能进行研究,他们让小车在水平地面上由静止开始运动,将小车运动的全过程记录下来,通过数据处理得到如图所示的v-t图像。已知小车在0~2 s内做匀加速直线运动,2~10 s内小车牵引力的功率保持不变,在10 s末停止遥控,关闭电动机,小车的质量m=1 kg,整个过程中小车受到的阻力保持不变,求:
(1)小车所受的阻力的大小和小车在0~2 s内所受牵引力的大小;
(2)小车在2~10 s内牵引力的功率;
(3)小车在14 s内阻力做的功。
答案　(1)2 N　4 N　(2)16 W　(3)-144 J
解析　(1)小车在10 s后的加速度大小为
a2== m/s2=2 m/s2
所受阻力为f=ma2=2 N
在0~2 s内加速度为
a1== m/s2=2 m/s2
由牛顿第二定律有F-f=ma1
解得F=4 N。
(2)由7~10 s内小车做匀速运动可得,小车牵引力功率P=Fv=fvm=16 W。
(3)小车在0~2 s内位移为
x1=a1=4 m
在2~7 s内,由动能定理有
Pt2-fx2=m-m,其中t2=5 s
解得在2~7 s内位移为x2=28 m
在7~10 s内位移为x3=vmt3=24 m
在10~14 s内位移为x4=vmt4=16 m
小车运动的总位移为
x=x1+x2+x3+x4=72 m
小车在14 s内阻力做的功为W=-fx=-144 J。
培优高分练
12.(2025·四川成都高三期末)如图所示,高为L的斜轨道AB、CD与水平面的夹角均为45°,它们分别与竖直平面内的圆弧形光滑轨道相切于B、D两点,圆弧的半径也为L。质量为m的小滑块从A点由静止滑下后,经CD轨道返回,再次冲上AB轨道至速度为零时,相对于BD面的高度为。已知滑块与AB轨道间的动摩擦因数为μ1=0.5,重力加速度为g,求:(结果可以保留根号)
(1)滑块第一次经过圆轨道最低点时对轨道的压力;
(2)滑块与CD轨道间的动摩擦因数μ2;
(3)经过足够长时间后,滑块在两斜面上滑动的路程之和s。
答案　(1)(4-)mg,方向竖直向下　(2)　 (3)L
解析　(1)滑块从开始位置到第一次到达最低点,由动能定理有
mg(L+L-Lsin 45°)-μ1mgcos 45°·L=mv2-0
在最低点,根据牛顿第二定律可得
FN-mg=m
解得FN=(4-)mg
由牛顿第三定律知在最低点滑块对圆弧轨道的压力大小FN'=FN=(4-)mg, 方向竖直向下。
(2)对滑块从开始到第一次到达D点,由动能定理有
mgL-μ1mgcos 45°·L=m-0
设滑块在CD上能到达的高度为h,对滑块从D点沿斜面CD到达最高点,同理可得
-mgh-μ2mgcos 45°·h=0-m
对滑块从第一次到达D到第二次到达D,则有
-2μ2mgcos 45°·h=mvD'2-m
对滑块从第二次到达D点到返回AB上的最高点,有
-mg·-μ1mgcos 45°··=0-mvD'2
联立解得μ2=。
(3)经过分析可得,滑块每次到达AB上能到达的最高点的高度总是上一次的,则在AB上通过的路程为
s1==L
经过足够长的时间后,滑块将保持在BD间滑动,全过程由动能定理
mgL-μ1mgcos 45°·s1-μ2mgcos 45°·s2=0-0
解得s2=L
故滑块在两斜面上滑动的路程之和
s=s1+s2=L。第6讲　功与功率　动能定理
热点一　功、功率的分析与计算
例1 (2025·山东济宁高三期末)如图所示,某滑雪场安装了一条长直“魔毯”运送滑雪者上山,“魔毯”与水平面的夹角为16°,表面与其他物品的动摩擦因数均为0.75,其最高点与最低点之间的距离为100 m,“魔毯”始终匀速运行,额定功率为40 kW。忽略“魔毯”与冰面的摩擦及其质量,成年人(含装备)平均质量约为70 kg,sin 16°=0.28,cos 16°=0.96,g=10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A.一个成年人乘“魔毯”上山过程中克服重力做功约为7.0×104 J
B.一个成年人乘“魔毯”上山过程中克服摩擦力做功约为1.96×104 J
C.若“魔毯”同时承运100个成年人,则其最大运行速率约为2 m/s
D.若“魔毯”以1 m/s速率运行,则最多可以同时承运50个成年人
例2 (多选)(2025·江西南昌一模)一辆机车在水平路面上从静止开始做直线运动,其加速度随时间变化的图像如图甲所示,机车牵引力F和车速倒数的关系图像如图乙所示,机车前进过程中所受阻力大小恒定,t=t0时刻机车达到额定功率,之后保持该功率不变,下列说法正确的是(　　)
A.所受恒定阻力大小为1.5×105 N
B.机车运动的额定功率为6×106 W
C.机车匀加速运动的时间为30 s
D.机车的质量为6×105 kg
类题通法　机车启动的两种情况分析
恒定功率启动 恒定加速度启动
由F-f=ma,P=Fv 可得a=·-, 则: (1)斜率k=。 (2)纵截距b=-。 (3)横截距= (1)AB段牵引力不变,做匀加速直线运动。 (2)BC图线的斜率k表示功率P,可知BC段功率不变,牵引力减小,加速度减小,做加速度减小的加速运动。 (3)B点横坐标对应匀加速运动的末速度的倒数。 (4)C点横坐标对应运动的最大速度的倒数,此时牵引力等于阻力
热点二　动能定理的应用
例3 (2025·江苏南京高三检测)如图所示的装置放在水平地面上,该装置由弧形轨道、竖直圆轨道、水平直轨道AB和倾角θ=37°的斜轨道BC平滑连接而成。将质量m=0.2 kg的小滑块从弧形轨道离地高H=2.0 m的M处静止释放。已知滑块与轨道AB和BC间的动摩擦因数均为μ=0.25,弧形轨道和圆轨道均可视为光滑,忽略空气阻力,g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。求:
(1)小滑块运动到A点时的速度大小;
(2)若滑块运动到D点时对轨道的压力大小为6 N,求竖直圆轨道的半径;
(3)若LAB=LBC=2.0 m,试确定滑块最终停止的位置。
类题通法　应用动能定理解题的四个关键点
例4 (多选)(2025·山东菏泽模拟)如图甲所示,一个质量为2 kg的物体(可看成质点)在沿斜面方向的拉力作用下,从倾角θ=30°的光滑斜面底端由静止开始沿斜面向上运动。以斜面底端为坐标原点,沿斜面向上为正方向建立x轴,拉力做的功W与物体位置坐标x的关系如图乙所示。g=10 m/s2。物体沿斜面向上运动的过程中,下列说法正确的是(　　)
A.物体沿斜面向上运动的最大位移xm=22 m
B.物体沿斜面向上运动的最大位移xm=22.5 m
C.在x=5 m处,拉力的功率为100 W
D.在x=5 m处,拉力的功率为100 W
例5 (2025·河北邯郸高三期末)如图甲所示,水平轨道AB的B端与半径为8.0 cm的光滑半圆轨道BCD相切,原长为L=20 cm的轻质弹簧水平放置,一端固定在A点,另一端与质量为0.4 kg的物块P接触但不连接。用水平外力向左缓慢推动物块P,水平外力随弹簧形变量的关系如图乙所示,将弹簧压缩至形变量为Δx=10.0 cm,然后放开,P开始沿轨道运动,恰好到达D点,g=10 m/s2。求:
(1)弹簧的劲度系数;
(2)水平轨道AB的长度。
总结提升　功与动能定理相关的6个常用结论
常考角度 常用结论
摩擦力 做功 (1)滑动摩擦力做功与路径有关,等于滑动摩擦力与路程的乘积。 (2)斜面上滑动摩擦力做功W=μmgx(x为水平位移大小)。 (3)一对滑动摩擦力做功之和W=-Ffs相对(s相对为相对滑动路程)。
与图像 结合 (4)W-x图像斜率表示力F,E-x图像斜率表示除重力之外其他力的合力。 (5)Ek-x图像斜率表示合力F,Ek-t图像斜率表示合力的瞬时功率P。 (6)Ep-x图像斜率表示重力,Ep-t图像斜率表示重力瞬时功率PG。 总结:关系表达式→函数图像→图像斜率表示的物理量。
1.(2025·云南卷,6)如图所示,质量为m的滑块(视为质点)与水平面上MN段的动摩擦因数为μ1,与其余部分的动摩擦因数为μ2,且μ1>μ2。第一次,滑块从Ⅰ位置以速度v0向右滑动,通过MN段后停在水平面上的某一位置,整个运动过程中,滑块的位移大小为x1,所用时间为t1;第二次,滑块从Ⅱ位置以相同速度v0向右滑动,通过MN段后停在水平面上的另一位置,整个运动过程中,滑块的位移大小为x2,所用时间为t2。忽略空气阻力,则(　　)
A.t1t2
C.x1>x2 D.x12.(2025·黑、吉、辽、内蒙古卷,13)如图,一雪块从倾角θ=37°的屋顶上的O点由静止开始下滑,滑到A点后离开屋顶。O、A间距离x=2.5 m,A点距地面的高度h=1.95 m,雪块与屋顶的动摩擦因数μ=0.125。不计空气阻力,雪块质量不变,取sin 37°=0.6,重力加速度大小g=10 m/s2。求:
(1)雪块从A点离开屋顶时的速度大小v0;
(2)雪块落地时的速度大小v1,及其速度方向与水平方向的夹角α。
3.(2025·福建卷,15)如图甲,水平地面上有并排放置的A、B两个物块,两物块质量均为0.2 kg,A与地面间动摩擦因数为μ=0.25,B与地面间无摩擦,两物块在外力F的作用下向右前进,F随位移x的变化图像如图乙所示,P为圆弧轨道最低点,M为圆弧轨道最高点,圆弧轨道与水平地面平滑连接,初始时水平地面上A、B与P点间的长度大于4 m,重力加速度g=10 m/s2。求:
(1)0~1 m内F做的功;
(2)x=1 m时,A与B之间的弹力大小;
(3)要保证B能到达 M 点,圆弧半径满足的条件。
4.(2025·广东卷,14)如图所示,用开瓶器取出紧塞在瓶口的软木塞时,先将拔塞钻旋入木塞内,随后下压把手,使齿轮绕固定支架上的转轴转动,通过齿轮啮合,带动与木塞相固定的拔塞钻向上运动。从0时刻开始,顶部与瓶口齐平的木塞从静止开始向上做匀加速直线运动,木塞所受摩擦力f随位移大小x的变化关系为f=f0,其中f0为常量,h为圆柱形木塞的高,木塞质量为m,底面积为S,加速度为a,齿轮半径为r,重力加速度为g,瓶外气压减瓶内气压为Δp且近似不变,瓶子始终静止在桌面上(提示:可用f-x图线下的“面积”表示f所做的功)。求:
(1)木塞离开瓶口的瞬间,齿轮的角速度ω;
(2)拔塞的全过程,拔塞钻对木塞做的功W;
(3)拔塞过程中,拔塞钻对木塞作用力的瞬时功率P随时间t变化的表达式。
基础保分练
1.(2025·江苏扬州高三期中)如图所示,甲、乙两名工人将相同的货物从斜面底端匀速推上平台。斜面粗糙程度相同,推力平行于斜面向上,则(　　)
A.甲推力一定比乙小
B.甲推力一定比乙大
C.两人推力做功相等
D.甲推力做功比乙多
2.电动玩具水枪(如图所示)是一种新式的电动玩具,使用时扣动扳机,水从枪口快速射出。已知水枪喷口的直径为0.8 cm,水的密度为1×103 kg/m3,水喷出时的速度大小为10 m/s,某次开启连续射击模式,则水枪在连续射击模式下对喷出的水做功的平均功率约为(　　)
A.0.25 W B.2.5 W
C.25 W D.250 W
3.(2025·乌鲁木齐二测)我国无人机技术发展迅猛,应用也越来越广泛,无人机配送快递就是一种全新的配送方式。如图所示,一架配送包裹的无人机从地面起飞后竖直上升的过程中,升力的功率恒为P0。已知无人机的质量与包裹的质量的比值为k,忽略空气阻力的影响,则该过程中悬吊包裹的轻绳(不可伸长)对包裹做功的功率为(　　)
A. B.
C. D.
4.(2025·山东泰安高三期末)有一质量m=1 000 kg的混合动力轿车,在平直公路上以v=24 m/s的速度匀速行驶,蓄电池不工作,汽油发动机的输出功率为P1=48 kW。当司机看到前方较长一段距离内无其他车辆时,使轿车汽油发动机和电动机开始同时工作(以该时刻作为计时起点),汽油发动机的输出功率保持不变仍为48 kW,电动机输出功率P2恒定,轿车汽油发动机和电动机同时工作之后的v-t图像如图所示。若轿车运动过程中所受阻力始终不变,则电动机输出功率P2为(　　)
A.68 kW B.30 kW
C.20 kW D.10 kW
5.(2025·重庆一模)如图甲,一小孩从滑梯的顶端由静止开始滑下至底端,其动能Ek随下滑距离x的变化图像如图乙,Ek0和x0为已知量,重力加速度大小为g。根据图中信息,可求出(　　)
A.整个下滑过程小孩所受的合力大小
B.整个下滑过程重力对小孩做的功
C.小孩与滑梯之间摩擦力的大小
D.小孩到滑梯底端时速度的大小
6.(2025·广东深圳阶段检测)在一次消防演习中,消防员从H=25 m高的地方通过缓降器由静止开始下落,其下落过程的v-t图像如图所示,落地瞬间速度恰好减为零。消防员的质量为60 kg,加速和减速过程的加速度大小相等,重力加速度g取10 m/s2,下列说法正确的是(　　)
A.0~2 s内,消防员处于超重状态
B.消防员匀速下落的位移大小为10 m
C.全程缓降器对消防员所做的功为1.5×104 J
D.消防员整个下降过程所用的时间为4.5 s
7.(多选)(2025·广东惠州模拟)2023年9月26日,广汕高铁惠州南站首趟动车G6413以额定功率P在平直轨道上加速启动,若该动车的质量为m,受到的阻力f保持不变,其出站过程的速度—时间图像如图所示。则该动车在0~t0时间内(　　)
A.做变加速直线运动
B.牵引力做功W牵=m
C.最大速度vm=
D.平均速度<
提能增分练
8.(2025·湖南长沙高三期末)一质量可视为不变的汽车在平直公路上行驶,该车在一段行驶过程中速度的倒数随加速度a的变化图像如图所示,已知图线的斜率为k,纵截距为b。下列说法正确的是(　　)
A.汽车运动过程中发动机的输出功率不变
B.汽车在行驶过程中受到的阻力逐渐变大
C.汽车行驶的最大速度为
D.当汽车速度为最大速度的一半时,汽车的加速度为
9.(多选)一只皮球从离地面一定高度处由静止释放,其受到空气阻力的大小与速度的平方成正比。下列关于皮球下落过程中的关系图像,可能正确的是(其中v为速度,a为加速度,t为时间,W为皮球克服阻力所做的功,Ek为皮球的动能,h为下落高度)(　　)
10.(2025·江西上饶高三调研)如图所示,一个质量为m=0.5 kg的小球悬挂在长L=0.9 m的细线下端。左侧有一竖直放置的圆管轨道DEF,轨道半径R=0.5 m,EF为其竖直直径,∠DOE=53°,B点到D点的竖直距离h=0.8 m。现让小球从与竖直方向成θ角的A点由静止释放,小球运动到悬挂点正下方B点时绳子刚好断开,接着小球从B点飞出后刚好沿D点切线进入圆管轨道,而且小球运动到圆管轨道的最高点F时和管道内外壁无弹力作用。g取10 m/s2,sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,不计空气阻力,求:
(1)细线与竖直方向的夹角θ;
(2)在圆管轨道间运动时,小球克服摩擦力所做的功。
11.(2025·山东临沂高三月考)某学校科技小组对一辆自制小遥控车的性能进行研究,他们让小车在水平地面上由静止开始运动,将小车运动的全过程记录下来,通过数据处理得到如图所示的v-t图像。已知小车在0~2 s内做匀加速直线运动,2~10 s内小车牵引力的功率保持不变,在10 s末停止遥控,关闭电动机,小车的质量m=1 kg,整个过程中小车受到的阻力保持不变,求:
(1)小车所受的阻力的大小和小车在0~2 s内所受牵引力的大小;
(2)小车在2~10 s内牵引力的功率;
(3)小车在14 s内阻力做的功。
培优高分练
12.(2025·四川成都高三期末)如图所示,高为L的斜轨道AB、CD与水平面的夹角均为45°,它们分别与竖直平面内的圆弧形光滑轨道相切于B、D两点,圆弧的半径也为L。质量为m的小滑块从A点由静止滑下后,经CD轨道返回,再次冲上AB轨道至速度为零时,相对于BD面的高度为。已知滑块与AB轨道间的动摩擦因数为μ1=0.5,重力加速度为g,求:(结果可以保留根号)
(1)滑块第一次经过圆轨道最低点时对轨道的压力;
(2)滑块与CD轨道间的动摩擦因数μ2;
(3)经过足够长时间后,滑块在两斜面上滑动的路程之和s。

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