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第16章 二次根式
16.1 二次根式及其性质
二次根式的性质
沪科版·八年级下册
学习目标
1
2
经历二次根式性质的观察、归纳、对比等探索过程，理解二次根式性质1、性质2，了解其区别与联系，并能运用性质1、2解决一些问题.；
在二次根式性质的形成和探索中，鼓励学生积极探究，乐于合作与交流，发展学数学用数学意识、分类讨论意识，了解由特殊到一般再到具体的处理数学问题的思想.
探究导入
问题1：如图，一块正方形的方巾，面积为 a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？
又∵面积为 a.
正方形的边长为 .
用边长表示正方形的面积为 .
∴ .
这个式子对所有的二次根式都成立吗？
a > 0
问题2：验证问题1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？
a(a≥0)
1
2
4
…
1
2
…
( )2
1
2
4
…
算术
平方根
平方运算
推进新课
计算：
观 察
把上述计算结论推广到一般，并用字母表示：
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
性质1
5
0
练一练
求下列各式的值：
【教材P4练习 T1】
（1） ；（2） ；（3） ；（4） .
2
0.8
–1.3
注意负号的位置！
类似地，计算：
观 察
0.5
0
又如 ，再计算：
– (–0.5)
性质2
一般地，有
根据上式你能确定 的化简结果吗？
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
思 考
与 的区别有哪些？
运算顺序 先开方，后平方 先平方，后开方
取值范围 a 0 任何实数
运算结果 a |a|
表示意义 表示非负数 a 的算术平方根的平方 实数 a 的平方的算术平方根
例 2
计算：
（1） ；（2） ；（3） .
解：（1）
（2）方法一
方法二
（3）
练一练
求下列各式的值：
【教材P4练习 T2】
（1） ；（2） ；（3） ；（4） .
0.2
–2
–2
注意负号的位置！
例 3
先化简，再求值：
，其中 x = 4.
解：
当 x = 4 时，
∵π < 4，∴ 4 – π > 0.
∴当 x = 4 时，原式 = 4 – π.
练一练
先化简，再求值：
【教材P4练习 T3】
，其中 x = 4.
解：
当 x = 4 时，
∴当 x = 4 时，原式 = 1.
随堂练习
2. 当 1 < x < 3 时， 的值为（ ）.
A. 3 B. – 3 C. 1 D. – 1
1. 化简 的结果是（ ）.
A. ±4 B. ±2 C. 4 D. – 4
C
D
3. 已知 a，b，c为三角形的三边长，化简：
解：由三角形两边之和大于第三边得：
a + b – c > 0，a + c – b > 0.
∴ =a + b – c + (a + c) – b = 2a.
已知 a 为实数，求 的值.
解：由题意可知，要使式子有意义，则 – a2 ≥ 0.
拓展提升
又∵a2 ≥ 0，∴ a2 = 0，∴ a = 0.
= 2 – 3 + 0
= –1.
课堂小结
性质1
性质2
课后作业
完成练习册本课时的习题。
第16章 二次根式
习题16.1
沪科版·八年级下册
1. 实数 x 为何值时，下列式子有意义？
【教材P4习题16.1 T1】
（1） ；（2） ；（3）
解：（1）要使 有意义，则 x – 2 ≥ 0.
解得 x ≥ 2.
所以当 x ≥ 2 时， 有意义.
（2）要使 有意义，则 1 – x ≥ 0 且
解得 x < 1.
所以当 x < 1 时， 有意义.
1. 实数 x 为何值时，下列式子有意义？
【教材P4习题16.1 T1】
（1） ；（2） ；（3）
（3）要使 有意义，则 x ≥ 0 且 – x ≥ 0.
解得 x = 0.
所以当 x = 0 时， 有意义.
2. 求下列各式的值：
【教材P4习题16.1 T2】
（1） ；（2） ；（3） ；（4）
0.01
3
–7
【教材P5习题16.1 T3】
3. （1）如果 ，那么实数 a 应取何值？
解：（1）由题意得， ，
所以 a 0 .
即
即当 a 0 时，
（2）实数 a 取何值时， 有意义？
（2）要使 有意义，则 – a ≥ 0.
解得 a 0.
所以当 a 0 时， 有意义.
（3）实数 a 取何值时， 成立？
【教材P5习题16.1 T3】
3. （1）如果 ，那么实数 a 应取何值？
（2）实数 a 取何值时， 有意义？
解得 a ≥ 0.
（3）实数 a 取何值时， 成立？
（3）由二次根式的性质可知，
要使 成立，则 |a| = a，且 a ≥ 0.
所以当 a ≥ 0 时， 成立.
【教材P5习题16.1 T4】
4. （1）当 a = – 3 时，求 的值；
解：（1）
当 a = – 3 时，|a – 5| = |– 3 – 5| = |– 8| = 8.
（2）已知 是整数，求正整数 n 的值.
∴当 a = – 3 时，原式 = 8.
（2）∵ 是整数，且 n 是正整数，
所以当 时，n = 4；
∴ 0 20 – n < 20 且为整数的平方.
当 时，n = 11；
（2）已知 是整数，求正整数 n 的值.
当 时，n = 16；
当 时，n = 19；
当 时，n = 20；
即正整数 n 的值为4、11、16、19 或 20.
5. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 4BC，△ABC 的面积为 6，求 BC 的长.
解： ∵∠C = 90°，AC = 4BC，
∴
【教材P5习题16.1 T5】
∴S△ABC = · AC · BC
= · 4BC · BC
= 2BC2
= 6
6. 物体从离地面 h（单位：m）的高处自由下落，其落到地面所用的时间为 t（单位：s）. 实验发现，h 与 t2 成正比例关系，且当物体从离地面 45 m 的高处自由下落时，落到地面所用的时间为 3 s.
（1）求 h 与 t 之间的函数表达式；
（2）若物体从离地面 20 m 处自由下落，求该物体落到地面所用的时间；
（3）若物体从离地面 25 m 处自由下落，求该物体落到地面所用的时间.
【教材P5习题16.1 T6】
解： (1)因为h 与 t2 成正比例关系，且当物体从离地面 45 m 的高处自由下落时，落到地面所用的时间为 3 s，可设 h = at2，将 h = 45，t = 3 代入，得
45 = a · 32
解得 a = 5.
所以 h 与 t 之间的函数表达式为：h = 5t2.
(2) 将 h = 20 代入 h = 5t2，得
20 = 5 · t2
解得 t = 2.
所以物体从离地面 20 m 处自由下落，落到地面所用的时间为 2 s.
(3) 将 h = 25 代入 h = 5t2，得
25 = 5 · t2
解得 t = .
所以物体从离地面 25 m 处自由下落，落到地面所用的时间为 s.

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