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(共47张PPT)
第一章　数与式
第三节　整式及因式分解
第一部分　教材知识梳理
考点一　代数式及其求值 　▼
1. 定义：用 　 运算符号　把数或表示数的字母连接起来的式子叫作
代数式.
注意：①单个数字与字母也是代数式；②代数式中不含等号；③代数式可
按运算关系和运算结果两种情况理解.
2. 列代数式：用含有 　 数　、 　 字母　和 　 运算符号　的式子把问题中
的数量关系的词表示出来，就是列代数式.
运算符号　
数　
字母　
运算符号　
(1)代数式中出现的乘号通常用“·”表示或者省略不写；数与字母相乘
时，数应写在字母 　 前面　；数与数相乘时，仍用“×”号.
(2)数字与单项式、多项式相乘时，一般按照先写 　 数字　，再写 　 单项
式　，最后写 　 多项式　的书写顺序.如式子(a＋b)·2·a应写成 　 2a(a＋
b)　.
(3)带分数与字母相乘时，应先把带分数化成 　 假分数　后再与字母相乘.
前面　
数字　
单项
式　
多项式　
2a(a＋
b)　
假分数　
3. 代数式的书写要求
(4)在代数式中出现除法运算时，按分数的写法来写.
(5)在一些实际问题中，有时表示数量的代数式有单位名称，如果代数式
是积或商的形式，则单位直接写在式子后面；如果代数式是和或差的形
式，则必须先把代数式用括号括起来，再将单位名称写在式子的后面，如
2a m，(2a－b)kg.
4. 代数式求值：用 　 数值　代替代数式里的 　 字母　，按照代数式中的
运算关系计算得出的结果，叫作代数式求值.
5. 求代数式的值的方法：(1)直接代入法：把已知字母的值直接代入求
解.(2)整体代入法：①观察已知条件和所求代数式的关系；②对所求代数
式、已知代数式进行变形，使它们成倍分关系；③把已知代数式看成一个
整体代入所求代数式中求值.
数值　
字母　
[练对点一]
1. (2025·张掖一模)下列对代数式－3x的意义表述正确的是(　C　)
A. －3与x的和 B. －3与x的差
C. －3与x的积 D. －3与x的商
C
2. “腹有诗书气自华，最是书香能放远.”为鼓励和推广全民阅读活动，
某书店开展促销活动，促销方法是将原价为x元的一批图书以0.8(x－15)
元的价格出售，则下列说法中，能正确表达这批图书的促销方法的是
(　C　)
A. 在原价的基础上打8折后再减去15元
B. 在原价的基础上打2折后再减去12元
C. 在原价的基础上减去15元后再打8折
D. 在原价的基础上减去12元后再打8折
C
3. (2025·凉州区模拟)若x2＋2x－1＝0，则2x2＋4x－2 024的值为 　 － .
(2025·凉州区模拟)
－2022
考点二　整式的相关概念 　▼
6. 单项式：由数或字母的积所表示的式子叫作单项式，单项式中的 　 数
字因数　叫作单项式的系数；单项式中所有字母的 　 指数的和　叫作单
项式的次数.特别地，单独一个数或者一个字母也是单项式.
7. 多项式：几个 　 单项式的和　叫作多项式.在多项式中， 　 每个单项
式　叫作多项式的项，其中不含字母的项叫作 　 常数项　；在多项式
里， 　 次数最高项的次数　叫作这个多项式的次数.
8. 整式： 　 单项式　与 　 多项式　统称为整式.
9. 同类项：所含字母 　 相同　，并且相同字母的指数也 　 相同　的项叫
作同类项.
数
字因数　
指数的和　
单项式的和　
每个单项
式　
常数项　
次数最高项的次数　
单项式　
多项式　
相同　
相同　
[练对点二]
4. 多项式3x｜m｜y3－(m＋1)x＋2是四次三项式，n是最高次项的系数，
则mn的值为(　A　)
A. 1 B. －1 C. 3 D. －3
5. 在代数式x2＋5，－7，x2－8x＋2，π， ，x2＋ ， ＋6中，
整式的个数是(　A　)
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
A
A
考点三　整式的运算 　▼
10. 整式的加减
(1)合并同类项：把多项式中的 　 同类项　合并成一项，叫作合并同类项.
合并法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的 　 系数的
和　，且字母连同它的指数不变.
通常我们会把一个多项式按照某个字母的指数从大到小(降幂)或者从小到
大(升幂)的顺序排列.
同类项　
系数的
和　
(2)去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项与原
来的符号 　 相同　；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项
与原来的符号 　 相反　.例如：＋(a＋b)＝ 　 a＋b　；－(a＋b)＝
a －b　.
(3)添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里面的各项
都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里面的各项都改变符号.
(4)整式加减的步骤：几个整式相加减，如果有括号就去括号，然后合并
同类项.
相同　
相反　
a＋b　
－a－b　
11. 整式的乘法
(1)单项式乘单项式：把它们的 　 系数　、 　 同底数幂　分别相乘.对于
只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
(2)单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的 　 每一项　，再把所得的
积 　 相加　.
(3)多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的 　 每一
项　，再把所得的积 　 相加　.
系数　
同底数幂　
每一项　
相加　
每一
项　
相加　
(4)乘法公式：
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝ 　 a2－b2　.几何背景：
a2－b2　
完全平方公式：(a±b)2＝ 　 a2±2ab＋b2　.几何背景：
a2±2ab＋b2　
12. 整式的除法
(1)单项式除以单项式：把 　 系数　及 　 同底数幂　分别相除作为商的因
式.对于只在被除式中出现的字母则连同它的指数作为商的一个因式.
(2)多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把
所得的商 　 相加　.
系数　
同底数幂　
相加　
13. 幂的运算
(1)同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
即am·an＝ 　 am＋n　(m，n都是正整数).
(2)幂的乘方，底数不变，指数相乘.
即(am)n＝ 　 amn　(m，n都是正整数).
am＋n　
amn　
(3)积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
即(ab)n＝ 　 anbn　(n是正整数).
anbn　
【温馨提示】遇到积的乘方时，需要注意：(1)当括号内有“－”号时，
(－ab)n＝ (2)当含有系数时，一定也要给系数进行乘方
运算.
(4)同底数幂相除，底数不变，指数相减.
即am÷an＝ 　 am－n　(a≠0，m，n都是正整数).
am－n　
(5)整式的混合运算：先 　 乘方　，后 　 乘除　，最后 　 加减　，如有
括号，就先算括号里面的.
乘方　
乘除　
加减　
【方法归纳】
幂的运算性质的逆用(其中m，n为正整数)：
(1)am＋n＝am·an； (2)am－n＝am÷an(a≠0)；
(3)amn＝(am)n； (4)anbn＝(ab)n； (5) ＝()n(a≠0).
[练对点三]
6. (2025·武威模拟)计算(－2a2)·3a的结果是(　B　)
A. －6a2 B. －6a3
C. 12a3 D. 6a3
7. (2025·酒泉一模)下列计算正确的是(　C　)
A. 2a＋3a＝5
B. a8÷a2＝a4
C. a·(－2a)＝－2a2
D. (a3)3＝a6
B
C
8. 若关于x，y的多项式x·(x2－mx＋3)＋x2·(4mx2＋3x＋5)的结果中不
含x2项，则m的值为(　D　)
A. 1 B. 0 C. －1 D. 5
9. 已知a＋b＝ ，ab＝－1，化简(a－3)(b－3)的结果是(　C　)
A. －6 B. 5 C. 3 D. －3
10. 若2a2＋4a－3＝0，则代数式a(a＋4)＋(a＋1)(a－1)的值为(　A　)
A. 2 B. －2 C. 4 D. －4
D
C
A
11. (2025·凉州区校级模拟)将2张长为a，宽为b(a＞b)的长方形纸片沿对
角线剪裁后，和2张边长为b的小正方形纸片按如图的方式拼成一个边长
为(a＋b)的大正方形，若阴影部分的面积与图中空白部分的面积之比为
1∶2，则 ＝ 　 5　.
5　
12. (2025·武都区校级模拟)先化简，再求值：(x－y)2＋(x－2y)(y－x)＋
y2，其中x＝ ，y＝2 025.
解：原式＝x2－2xy＋y2＋xy－x2－2y2＋2xy＋y2＝xy.
当x＝ ，y＝2 025时，
原式＝ ×2 025＝1.
考点四　因式分解 　▼
14. 因式分解
把一个多项式化成几个整式的 　 积　的形式，这样的式子变形叫作因式
分解，也叫作把这个多项式分解因式.
(1)因式分解的实质是一种恒等变形，是一种化 　 和　为 　 积　的变形.
多项式 几个整式的积
(2)因式分解与整式乘法是 　 方向相反　的变形.
多项式 整式乘积
积　
和　
积　
方向相反　
(3)在因式分解的结果中，每个因式都必须是 　 整式　.如x＋1＝x(1＋
)，这种变形就不是因式分解.
(4)因式分解要分解到 　 不能再分解为止　.
整式　
不能再分解为止　
15. 因式分解的基本方法
(1)提公因式法：
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式
写成公因式与另一个因式的乘积的形式，即ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋
c).
提公因式法的关键是确定公因式，找公因式的方法：一看 　 系数　，二
看 　 字母　，三看 　 字母的次数　.
系数　
字母　
字母的次数　
(2)运用公式法：
平方差公式：a2－b2＝ 　 (a＋b)(a－b)　.
完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝ 　 (a＋b)2　，
a2－2ab＋b2＝ 　 (a－b)2　.
运用公式法首先观察项数，若是二项式，应考虑平方差公式；若是三
项式，则考虑完全平方公式.然后观察各项的次数、系数是否符合公
式的特征.
(a＋b)(a－b)　
(a＋b)2　
(a－b)2　
注意：①公式中的“a”和“b”也可以是多项式，可将这个多项式看作
一个整体，分解后注意合并同类项.②完全平方公式的常用变形：a2＋b2
＝(a＋b)2－2ab；a2＋b2＝(a－b)2＋2ab；(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；(a
－b)2＝(a＋b)2－4ab.
(3)分组分解法：
ma＋mb＋na＋nb＝m(a＋b)＋n(a＋b)＝ 　 (a＋b)(m＋n)　.
(4)十字相乘法：
x2＋(a＋b)x＋ab＝ 　 (x＋a)(x＋b)　.
用这种方法要先把待分解的多项式整理成二次三项式.
(5)二次三项式ax2＋bx＋c在实数范围内分解为ax2＋bx＋c＝ 　 a(x－
x1)(x－x2)　(其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根).
(a＋b)(m＋n)　
(x＋a)(x＋b)　
a(x－
x1)(x－x2)　
16. 因式分解的一般步骤：
(1)一提：有公因式的先提公因式.
(2)二套：提取公因式后，用公式法或其他适当方法：当多项式为二项式
时，考虑用平方差公式；当多项式为三项式时，考虑用完全平方公式或十
字相乘法；若是四项及以上的式子，考虑用分组分解法.
(3)三检查：检查因式分解是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再
分解为止，且最后结果是积的形式.
如x4－4＝(x2＋2)(x2－2)(在有理数范围内分解)＝(x2＋2)(x＋ )(x－
)(在实数范围内分解).
一般没有特殊说明，都只分解到有理数范围内，以上步骤可以总结为
“一提二套三检查”.
13. 下列由左到右的变形，属于因式分解的是(　B　)
A. (x＋2)(x－2)＝x2－4
B. x2－4＝(x＋2)(x－2)
C. x2－4＋3x＝(x＋2)(x－2)＋3x
D. x2＋4x－2＝x(x＋4)－2
14. 下列各式能用两数和(差)的平方公式进行因式分解的是(　D　)
A. x2＋1 B. x2＋2x－1
C. x2＋x＋1 D. x2＋4x＋4
B
D
[练对点四]
15. 甲、乙两个同学分解因式x2＋mx＋n时，甲把m看错分解结果为(x＋
3)·(x－4)，乙把n看错分解结果为(x＋1)(x＋3)，那么多项式x2＋mx＋n
分解的正确结果是(　B　)
A. (x＋2)(x－6) B. (x＋6)(x－2)
C. (x＋4)(x－3) D. (x－1)(x＋5)
B
16. 已知a，b，c是△ABC的三边，且ab－ac＋bc－c2＝0，则△ABC
一定是(　A　)
A. 等腰三角形
B. 等边三角形
C. 直角三角形
D. 无法确定
A
17. 小李是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条明
码信息：a－1，m－n，5，m2＋1，a，a＋1，m＋n分别依次对应七
个字：之，桥，天，中，眼，空，国，现将5m(a2－1)－5n(a2－1)因式分
解，结果呈现的密码信息可能是(　A　)
A. 天空之桥 B. 中国天眼
C. 中国天空 D. 天眼之桥
A
新考法
18. (2025·庄浪县一模)因式分解：2m2－4m＋2＝ 　 2(m－1)2　.
19. (2025·定西一模)因式分解：x2＋4y2－4xy＝ 　 (x－2y)2　.
20. 因式分解：(m＋n)2－4m2＝ 　 (3m＋n)(n－m)　.
21. 分解因式：2m3－12m2＋18m＝ 　 2m(m－3)2　.
2(m－1)2　
(x－2y)2　
(3m＋n)(n－m)　
2m(m－3)2　
命题点一　整式的运算
1. (2025·甘肃)下列计算正确的是(　D　)
A. 2a2＋3a2＝6a2 B. a6÷a2＝a3
C. (a2)3＝a5 D. (3a)2＝9a2
2. (2024·临夏州)下列各式运算结果为a5的是(　B　)
A. a2＋a3 B. a2·a3 C. a10÷a2 D. (a2)3
3. (2024·兰州)计算：2a(a－1)－2a2＝(　D　)
A. a B. －a C. 2a D. －2a
D
B
D
4. (2023·武威)计算a(a＋2)－2a＝(　B　)
A. 2 B. a2 C. a2＋2a D. a2－2a
5. (2022·武威)计算：3a3·a2＝ 　 3a5　.
6. (2025·兰州)计算：(a＋2)(a－2)＋a(3－a).
解：原式＝a2－4＋3a－a2
＝3a－4.
B
3a5　
7. (2024·省卷)先化简，再求值：[(2a＋b)2－(2a＋b)(2a－b)]÷2b，其
中a＝2，b＝－1.
解：原式＝[4a2＋4ab＋b2－(4a2－b2)]÷2b
＝(4a2＋4ab＋b2－4a2＋b2)÷2b
＝(4ab＋2b2)÷2b
＝2a＋b.
当a＝2，b＝－1时，原式＝2×2＋(－1)＝3.
命题点二　因式分解
8. (2025·甘肃)因式分解：x2－6x＋9＝ 　 (x－3)2　.
9. (2025·兰州)因式分解：2x2＋4x＋2＝ 　 2(x＋1)2　.
10. (2024·省卷)因式分解：2x2－8＝ 　 2(x＋2)(x－2)　.
11. (2024·临夏州)因式分解：x2－ ＝ 　 (x＋ )(x－ )　.
12. (2023·武威)ax2－2ax＋a＝ 　 a(x－1)2　.
13. (2022·武威)因式分解：m3－4m＝ 　 m(m－2)(m＋2)　.
14. (2021·省卷)因式分解：4m－2m2＝ 　 2m(2－m)　.
(x－3)2　
2(x＋1)2　
2(x＋2)(x－2)　
(x＋ )(x－ )　
a(x－1)2　
m(m－2)(m＋2)　
2m(2－m)　
命题点三　规律探索
15. (2025·甘肃)勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学
中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美.如图是勾股树及它
的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长
为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边
为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图
形，……，则第5个图形中共有 　 31　个正方形.
31　
16. (2025·兰州)如图，黄金矩形ABCD中 ＝ ，以宽AB为边
在其内部作正方形ABFE，得到四边形CDEF是黄金矩形.依此作法，四
边形DEGH，四边形KEGL也是黄金矩形.依次以点E，G，L为圆心作
， ， ，曲线AFHK叫作“黄金螺线”.若AD＝2，则“黄金螺
线”AFHK的长为 　 (－1)π　.(结果用π表示)
(－1)π　
新考法
17. (2021·省卷)一组按规律排列的代数式：a＋2b，a2－2b3，a3＋2b5，
a4－2b7，…，则第n个式子是 　 an＋(－1)n＋1·2b2n－1　.
an＋(－1)n＋1·2b2n－1　
1. 现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H
为AE的中点，连接DH，FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知
甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部
分面积为(　B　)
A. 3 B. 19 C. 21 D. 28
B
2. (2025·重庆)我们规定：一个四位数M＝ ，若满足a＋b＝c＋d＝
10，则称这个四位数为“十全数”.例如：四位数1 928，因为1＋9＝2＋8
＝10，所以1 928是“十全数”.按照这个规定，最小的“十全数”是
919　；一个“十全数”M＝ ，将其千位数字与个位数字调换位
置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数M'＝ ，记
F(M)＝ ，G(M)＝ .若 与 均是整数，则
满足条件的M的值是 　 3 782　.
1919　
3 782　
1. 若a5b2÷ ambn＝2a，则m，n的取值分别为(　A　)
A. m＝4，n＝2 B. m＝4，n＝0
C. m＝5，n＝2 D. m＝5，n＝0
2. 已知(x＋y)2＝25，(x－y)2＝9，则下列求值计算正确的是(　C　)
A. x＋y＝5 B. x－y＝3
C. xy＝4 D. x2＋y2＝18
A
C
3. 先化简，再求值：(a－b)2－(2a－b)(2a＋b)＋3a2，其中 ＋(b
＋1)2＝0.
解：原式＝a2－2ab＋b2－4a2＋b2＋3a2
＝2b2－2ab.
∵ ＋(b＋1)2＝0，
≥0，(b＋1)2≥0，
∴2a－4＝0，b＋1＝0，
解得a＝2，b＝－1.
当a＝2，b＝－1时，
原式＝2×(－1)2－2×2×(－1)
＝2×1＋4
＝2＋4
＝6.
4. 因式分解：
(1)(x2＋9)2－36x2；
解：原式＝(x2＋9＋6x)(x2＋9－6x)
＝(x＋3)2(x－
(2)2－8x＋8x2.
解：原式＝2(1－4x＋4x2)
＝2(1－2x
解：原式＝(x2＋9＋6x)(x2＋9－6x)
＝(x＋3)2(x－3) 32.
解：原式＝2(1－4x＋4x2)
＝2(1－2x) 2.(共17张PPT)
第一章　数与式
第二节　二次根式
第一部分　教材知识梳理
考点一　二次根式的相关概念 　▼
1. 形如 　 (a≥0)　的式子叫作二次根式.
2. 二次根式有意义的条件：被开方数 　 大于或等于0　.
3. 一个二次根式为最简二次根式要满足两个条件：①被开方数中不含能
开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母.
(a≥0)　
大于或等于0　
[练对点一]
1. (2025·嘉峪关一模)函数y＝ 的自变量x的取值范围是 　 x≥ －.
x≥－1
考点二　二次根式的性质 　▼
4. 双重非负性：二次根式 中被开方数a一定是非负数(a≥0)，并且二
次根式 　 ≥　0.
5. ()2＝ 　 a(a≥0)　(利用此性质在实数范围内分解因式).
6. ＝｜a｜＝
7. (1) ＝ 　 · 　(a≥0，b≥0)；
(2) ＝ 　 　(a≥0，b＞0).
≥　
a(a≥0)　

· 　
　
[练对点二]
2. 已知实数a，b满足 ＋｜4－b｜＝0，则(a－b)2 025的值为 　 －.
－1
考点三　二次根式的运算 　▼
8. 二次根式的加减法：在加减运算中，可以先将二次根式化为 　 最简二
次根式　，再把被开方数相同的二次根式进行合并.
9. 二次根式的乘法： · ＝ 　 　(a≥0，b≥0).
10. 二次根式的除法： ＝ 　 　(a≥0，b＞0).
11. 二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序相同.
最简二
次根式　
　
　
【方法归纳】
当分母中含有二次根式时，可以乘一个适当的式子(有理化因式)将分母中
的根号去掉(分母有理化)，如 ＝ ＝ ，
＝ ＝ .
[练对点三]
3. 若 是最简二次根式，则整数a的最小值为 　 3　.
4. (2025·渭源县模拟)计算： × ＋ －(π－1)0.
解：原式＝3 ＋2 －1
＝5 －1.
3　
(2025·渭源县模拟)
5. 计算： × － ÷ ＋ .
解：原式＝ － ＋2
＝3 － ＋2
＝4 .
考点四　二次根式的估值 　▼
12. 确定 在哪两个整数之间：
(1)先对根式平方；(2)找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的
整数；(3)对以上两个整数开方；(4)确定这个二次根式的值在这两个
整数之间.
[练对点四]
6. (2025·康县一模)m，n是连续的两个整数，若m＜ ＜n，则m＋n
的值为 　 7　.
7. 大于 且小于 所有整数和为 　 9　.
7　
9　
命题点　二次根式的运算
1. (2021·省卷)下列运算正确的是(　C　)
A. ＋ ＝3 B. 4 － ＝4
C. × ＝ D. ÷ ＝4
2. (2025·甘肃)计算： － × .
解：原式＝2 －
＝ .
C
3. (2024·省卷)计算： － × .
解：原式＝3 －
＝3 －3
＝0.
4. (2024·兰州)计算： － × .
解：原式＝3 －
＝3 －2
＝ .
5. (2022·武威)计算： × － .
解：原式＝ －2
＝－ .
1. 魏晋时期刘徽在其撰写的《九章算术注》中提到“不加借算”开平方
的方法： ≈a＋ ，其中a取正整数且｜r｜最小，则用该方法计
算 约为 　 10.4　.(结果保留一位小数)
2. 已知 ＋ ＝8，则式子 － 的值
为 　 ±2　.
10.4　
±2　
1. 已知1＜x＜2，化简 ＋｜x－3｜的结果正确的是(　D　)
A. 2 B. －2 C. 2x－8 D. 8－2x
2. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是
(　B　)
A. ab＞bc B. ＝－a－2
C. abc＞0 D. ｜a－1｜＜｜c－1｜
D
B
3. 若m＝ ＋1，n＝ －1，则 的值为 　 3　.
3　(共63张PPT)
第一章　数与式
第一节　实数及其运算
第一部分　教材知识梳理
考前必背
一次函数的图象与性质
k，b的符号 函数图象 图象的位置 性质
k＞0 b＞0 图象过第一、 二、三象限 y随x的增
大而增大
b＝0 图象过第一、 三象限 b＜0 图象过第一、 三、四象限 k，b的符号 函数图象 图象的位置 性质
k＜0 b＞0 图象过第一、 二、四象限 y随x的增
大而减小
b＝0 图象过第二、 四象限 b＜0 图象过第二、 三、四象限 反比例函数 y＝ (k≠0) k的符号 k＞0 k＜0
图象
图象无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交 反比例函数的图象与性质
性质 当k＞0时，函数的
图象在第一、三象
限，在每个象限
内，y随x的增大而
减小 当k＜0时，函数的图象在第二、四
象限，在每个象限内，y随x的增大
而增大
图象特征 反比例函数图象关于直线y＝x，y＝－x成轴对称，关
于原点成中心对称 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质
关系式 一般式：y＝ax2＋bx＋
c(a≠0) 顶点式：y＝a(x－h)2＋
k(a≠0)
图象形状 抛物线 开口方向 当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下 顶点坐标 (－ ， ) (h，k)
对称轴 x＝－ x＝h
图象 (示例) a＞0 a＜0
增减性 a＞0 对称轴左侧，即x＜－ 或x＜h，y随x的增大而减小； 对称轴右侧，即x＞－ 或x＞h，y随x的增大而增大 a＜0 对称轴左侧，即x＜－ 或x＜h，y随x的增大而增大； 对称轴右侧，即x＞－ 或x＞h，y随x的增大而减小 最大值或最小值 a＞0 当x＝－ 时， y最小值＝ 当x＝h时，
y最小值＝k
a＜0 当x＝－ 时， y最大值＝ 当x＝h时，
y最大值＝k
平移的规律
移动方向 平移前的解析式 平移后的解析式 简记
向左平移 m个单位 y＝a(x－h)2＋k y＝a(x－h＋m)2＋k 左加
向右平移 m个单位 y＝a(x－h)2＋k y＝a(x－h－m)2＋k 右减
向上平移 m个单位 y＝a(x－h)2＋k y＝a(x－h)2＋k＋m 上加
向下平移 m个单位 y＝a(x－h)2＋k y＝a(x－h)2＋k－m 下减
合理选择全等三角形的判定方法
(1)已知两边
(2)已知一边一角
一边为角的对边→找另一角→
一边为角的邻边→
找夹角的另一边→
找夹边的另一角→
找边的对角→
(3)已知两角
四边形之间的从属关系
常见的梯形辅助线的作法
　　要解决梯形问题，通常添加辅助线将其转化为平行四边形与三角形的
组合图形，再运用相关知识加以解决.添加辅助线的方法：
相似三角形的几种基本图形
两圆的位置与半径、圆心距之间的数量关系
位置关系 图示 公共点 数量关系及识别方法
外离 无 d＞r1＋r2
外切 一个 切点 d＝r1＋r2
相交 两个 交点 r2－r1＜d＜
r2＋r1(r2＞r1)
内切 一个切点 d＝r2－r1(r2＞r1)
内含 无 0≤d＜r2－r1(r2＞r1)
弧长公式 扇形面积公式 圆锥侧面积公式
l＝ S＝ ＝ lr S侧＝πrl
特殊角 函数值 30° 45° 60°
sin α
cos α
tan α 1
特殊角的三角函数值
考点一　实数的概念及分类 　▼
1. 定义： 　 有理数　和 　 无理数　统称为实数，也就是说，实数可分为
有理数和无理数.每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来数
轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的.
无理数： 　 无限不循环小数　叫作无理数.
有理数： 　 整数　和 　 分数　统称为有理数.
有理数　
无理数　
无限不循环小数　
整数　
分数　
【方法归纳】
对于无理数的判断，应注意以下两点：
(1)无理数是无限不循环小数，考题中一般会以四种形式出现：
①开方开不尽的数，如 ， ， 等；
②含有根号的三角函数值，如 sin 60°，tan 30°等；
③有规律的无限不循环小数，如0.101 001 000 1…
(相邻两个1 之间依次多一个0)等；
④π及化简后含π的数，如3π，π－1等.
(2)判断无理数不能只看表面形式，对于含根号、三角函数的数，要先化
简再判断.
2. 分类
3. 正负数的意义
正负数可以用于表示具有相反意义的量.如：规定增加为“＋”，则减少
为“－”；规定收入为“＋”，则支出为“－”；规定零上为“＋”，则
零下为“－”等.
[练对点一]
1. 下列5个实数：33.141 6， ， ， ， ，其中分数的个数是(　B　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. 下列各数中，是有理数的为(　D　)
A. B. 1.121 121 112…
C. D.
B
D
3. 在实数 ， ， ， ， ＋1，0.141 4中有理数
有(　B　)
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
4. 下列选项中不正确的是(　A　)
A. 立方根等于它本身的数是0和1
B. 算术平方根都是非负数
C. 分数一定不是无理数
D. 一个实数不是有理数就是无理数
B
A
5. (2025·武威模拟)零上13 ℃记作＋13 ℃，零下2 ℃可记作 　 －2 ℃　.
－2 ℃　
首席原创
考点二　数轴、相反数、倒数、绝对值 　▼
4. 数轴
(1)数轴的三要素为 　 原点　、正方向和单位长度.
(2)数轴上的点与 　 实数　一一对应.
(3)数轴上两点间的距离等于右边的点表示的数减去左边的点表示的数.如
图，数轴上A，B两点间的距离为b－a，线段AB的中点C对应的实数为
.
原点　
实数　
5. 相反数
(1)定义：只有 　 符号不同　的两个数互为相反数.
(2)性质：①非零实数a的相反数是 　 －a　.特别地，0的相反数为0.
②实数a，b互为相反数 a＋b＝ 　 0　.
(3)几何意义：数轴上表示互为相反数(0除外)的两个点在原点两侧，且到
原点的距离 　 相等　，这两个点关于原点对称.
符号不同　
－a　
0　
相等　
6. 倒数
(1)乘积是 　 1　的两个数互为倒数.
(2)性质：①实数a(a≠0)的倒数为 ，0没有倒数，倒数等于它本身的数
是 　 ±1　；
②实数a，b互为倒数 ab＝ 　 1　 (a≠0，b≠0).
1　
±1　
1　
7. 绝对值
(1)定义：数轴上表示数a的点到原点的 　 距离　叫作数a的绝对值.
(2)性质：①非负性，即｜a｜ 　 ≥　0.
②化简：｜a｜＝
距离　
≥　
(3)几何意义：数轴上表示这个数的点到原点的距离，离原点越远的点表
示的数的绝对值越大.
绝对值相等的两个数相等或互为相反数，即若｜a｜＝｜b｜，则a＝b
或a＋b＝0.
[练对点二]
6. (2025·陇南模拟)－2 025的绝对值是(　B　)
A. －2 025 B. 2 025
C. － D.
7. (2025·兰州校级模拟)实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，下
列结论正确的是(　B　)
A. ｜m｜＜｜n｜ B. m＋n＞0
C. m－n＜0 D. mn＞0
B
B
8. 下列各组数中互为相反数的是(　B　)
A. 3和
B. －｜－ ｜和－(－ )
C. － 和
D. －2和
9. － 的倒数是(　B　)
A. B. － C. － D. －2
B
B
10. 数轴上点A表示的数是2，点B，C分别位于点A的两侧，且到点A的
距离相等.若点B表示的数是 ，则点C表示的数是(　C　)
A. 2＋ B. 2－
C. 4－ D. 2 －2
C
考点三　科学记数法、近似数 　▼
8. 科学记数法：把一个数写成a×10n的形式，其中a的取值范围
是 　 1≤｜a｜＜10　.
【方法归纳】
对于科学记数法的表示，首先掌握科学记数法的表示形式a×10n，然
后确定a的值(1≤｜a｜＜10)，对于n值的确定，可以从以下三个方面
思考：
(1)若原数大于10，则n的值是原数整数位数减1得到的数(或将原数变为a
时，小数点向左移动的位数)；
1≤｜a｜＜10　
(2)若原数大于0小于1时，n是负整数，n的绝对值是原数从左向右第1个
不为0的数前面所有0的个数，包括小数点前面的0；
(3)若原数带有计数单位或计量单位，如万、亿、千米等，需掌握1万＝
104；1亿＝ 108；1 km＝ 103 m；1 μm＝10－6 m等.
9. 近似数
(1)接近准确数而不等于准确数的数，叫作这个数的近似数. (2)一个近似数
四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 对于带计数单位的近
似数，由近似数的位数和后面的单位共同确定.
11. (2025·定西市安定区一模)我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道
卫星高度大约是21 500 000米.将数字21 500 000用科学记数法表示
为(　A　)
A. 2.15×107 B. 0.215×108
C. 2.15×106 D. 21.5×106
A
[练对点三]
12. 第七次全国人口普查结果公布，全国人口共1 411 778 724人.用科学记
数法表示1 411 778 724精确到亿位的近似值为(　B　)
A. 1.4×1010 B. 1.4×109
C. 1.4×108 D. 1.4×107
B
考点四　平方根、算术平方根和立方根 　▼
10. 平方根、算术平方根和立方根的区别
平方根 算术平方根 立方根
表示方法 ±
a的取值 a≥0 a≥0 a是任何数
性质 正数 互为相反数(两个) 正数(一个) 正数(一个)
0 0 0 0
负数 没有 没有 负数(一个)
[练对点四]
13. (2025·武都区模拟)3的算术平方根是(　A　)
A. B. ± C. 9 D. ±9
14. (2025·定西市安定区一模)25的平方根是(　A　)
A. ±5 B. 5 C. －5 D. ±25
A
A
考点五　比较实数大小常用的方法 　▼
11. 比较实数大小常用的方法
数轴法 数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；距离数轴原点越
远的数，绝对值越大
性质法 正数＞0＞负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小
作差法 ①a－b＞0 a＞b；②a－b＜0 a＜b；③a－b＝0 a＝b
平方法 ＞ a＞b(a＞0，b＞0)；a2＞b a＞ (a＞0，b＞0)
作商法 若a＞0，b＞0，① ＞1 a＞b；② ＝1 a＝b；③ ＜
1 a＜b
倒数法 若ab＞0， ＜ a＞b
特殊 值法 给字母取符合条件要求的数值，再代入验证比较大小
[练对点五]
15. (2025·西和县二模)在实数－ ， ，0，－2中，最大的数是(　B　)
A. － B. C. 0 D. －2
16. 实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，若实数a，c互
为相反数，则倒数最大的是(　B　)
A. a B. b C. c D. d
B
B
考点六　实数的运算 　▼
12. 实数的运算
(1)实数的运算法则
运
算
法
则 加法 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值
不相等的异号两数相加，取 　 绝对值较大的　的加数的符
号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的
两数相加得0；一个数与0相加仍得这个数
减法 减去一个数等于加上这个数的 　 相反数　
乘法 两数相乘，同号得 　 正　，异号得 　 负　，并把两数绝对
值相乘；任何数与0相乘，都得0
绝对值较大的　
相反数　
正　
负　
运算
法则 除法 除以一个不为0的数，等于乘这个数的 　 倒数　
乘方 求n个相同因数的积的运算
零次幂 任何不等于0的数的0次幂都等于 　 1　，即a0
＝ 　 1　(a≠0)
运算
法则 负整数 指数幂 a－p＝ (a≠0，p为正整数)
倒数　
1　
1　
(2)实数的混合运算：先算 　 乘方和开方　，再算 　 乘除　，最后算 　 加
减　；同级运算，从左到右进行；如有括号先做括号内的运算，按小括号
中括号大括号依次进行.
(3)实数的运算律：(由法则可直接得出)
①a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；
②ab＝ba，(ab)c＝a(bc)，
a(b＋c)＝ab＋ac.
乘方和开方　
乘除　
加
减　
(4)实数的混合运算中常见的几类运算
①(－1)n＝
②｜a－b｜＝
③a0＝1(a≠0)，a－p＝ (a≠0，p为正整数).
④特殊角的三角函数值
sin 30°＝ cos 60°＝ ； sin 45°＝ cos 45°＝ ；
sin 60°＝ cos 30°＝ ；tan 30°＝ ；
tan 45°＝1；tan 60°＝ .
[练对点六]
17. 现对实数a，b定义一种运算：a※b＝ab＋a－b.则 ※ 等
于(　B　)
A. －6 B. －2 C. 2 D. 6
18. tan 60°＋2 cos 30°的值等于(　D　)
A. B. －1 C. D. 2
B
D
19. (2025·庄浪县二模)计算：
15×3－1－ ＋4 cos 60°.
解：原式＝15× －9＋4×
＝5－9＋2
＝－
解：原式＝15× －9＋4×
＝5－9＋2
＝－ 2.
20. (2025·武都区模拟)计算：
(2－π)0＋ ＋()－1.
解：原式＝1－2＋2
＝－1＋2
解：原式＝1－2＋2
＝－1＋2
＝1.
命题点一　实数的分类
1. (2025·兰州)下列各数中，最小的数是(　A　)
A. －2 B. 0 C. 1 D. 2
2. (2024·临夏州)下列各数中，是无理数的是(　A　)
A. B. C. D. 0.131 33
A
A
命题点二　数轴、相反数、倒数、绝对值
3. (2024·兰州)2 024的绝对值是(　B　)
A. －2 024 B. 2 024 C. D. －
4. (2022·武威)－2的相反数是(　B　)
A. －2 B. 2 C. ±2 D.
5. (2021·省卷)3的倒数是(　D　)
A. －3 B. 3 C. － D.
B
B
D
命题点三　科学记数法
6. (2025·甘肃)根据国家统计局的数据，2024年中国生产芯片约451 420
000 000颗，彰显了中国芯片产业的强大实力.数据451 420 000 000用科学
记数法可以表示为(　C　)
A. 4.514 2×109 B. 4.514 2×1010
C. 4.514 2×1011 D. 4.514 2×1012
C
7. (2024·临夏州)据央视财经《经济信息联播》消息： 甘肃天水凭借一碗
香喷喷的麻辣烫成为最 “热辣滚烫”的顶流.2024 年 3 月份， 天水市累
计接待游客 464 万人次， 旅游综合收入 27 亿元.将数据 “27 亿” 用科学
记数法表示为(　C　)
A. 2.7×108 B. 0.27×1010
C. 2.7×109 D. 27×108
C
8. (2024·兰州)2024年一季度，兰州市坚持稳中求进、综合施策，全市国
民经济起步平稳，开局良好.一季度全市地区生产总值87 790 000 000元.
数据87 790 000 000用科学记数法表示为(　C　)
A. 87.79×109 B. 8.779×109
C. 8.779×1010 D. 8.779×1011
C
命题点四　实数的大小比较
9. (2024·省卷)下列各数中，比－2小的数是(　B　)
A. －1 B. －4 C. 4 D. 1
B
命题点五　平方根、算术平方根、立方根
10. (2023·武威)9的算术平方根是(　C　)
A. ±3 B. ±9 C. 3 D. －3
C
命题点六　实数的运算
11. (2025·甘肃)－2＋5＝(　D　)
A. －10 B. －7 C. －3 D. 3
12. (2025·兰州)计算： × ＝(　B　)
A. 6 B. C. D. 1
D
B
13. (2021·省卷)对于任意的有理数a，b，如果满足 ＋ ＝ ，那么我
们称这一对数a，b为“相随数对”，记为(a，b).若(m，n)是“相随数
对”，则3m＋2[3m＋(2n－1)]＝(　A　)
A. －2 B. －1 C. 2 D. 3
A
14. (2024·省卷)定义一种新运算 *， 规定运算法则为： m*n＝mn－
mn(m，n 均为整数， 且 m≠0).例： 2*3＝23－2×3＝2， 则 (－2)*2
＝ 　 8　.
15. (2024·临夏州)计算：｜－ ｜－()－1＋2 0250.
解：原式＝｜－2｜－3＋1
＝2－3＋1
8　
解：原式＝｜－2｜－3＋1
＝2－3＋1
＝＝0.
16. (2021·省卷)计算：(2 021－π)0＋()－1－2 cos 45°.
解：原式＝1＋2－2×
＝3－ .
1. (2025·重庆)下列四个数中，最大的是(　D　)
A. 6.18×108 B. 6.28×108
C. 6.18×109 D. 6.28×109
D
新考法
2. (2025·台湾)如图，数轴上由左至右有A(a)、B(b)、C(c)、D(d)、E(e)
五点，且AB＝BC＝CD＝DE. 若原点在AE上，且｜a｜＋｜b｜＝｜
e｜，则下列关于原点位置的叙述，正确的是(　B　)
A. 在BC上且较接近B点
B. 在BC上且较接近C点
C. 在CD上且较接近C点
D. 在CD上且较接近D点
B
3. (2025·遂宁)实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则m＋
1 　 ＜　0.(填“＞”“＝”或“＜”)
＜　
1. 下列各数中，最小的数是(　A　)
A. －2 B. － C. D. 0
2. 在0.3， ， ，－ ， ，0.575 775 777 5…(相邻两个5之间7的
个数逐次加1)中，无理数的个数为(　C　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
A
C
3. 甘肃省水资源主要分属黄河、长江、内陆河3个流域、9个水系，年总
地表径流量17 450 000 000立方米，数据17 450 000 000用科学记数法表示
为 　 1.745×1010　.
4. 计算：(π－1)0－ ＋2 cos 30°＋()－1.
解：原式＝1－2 ＋2× ＋5
＝1－2 ＋ ＋5
＝6－ .
1.745×1010　(共28张PPT)
第一章　数与式
第四节　分式
第一部分　教材知识梳理
考点一　分式的基本概念 　▼
1. 分式：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中 　 含有字母　，
那么式子 　 　叫作分式，其中A叫作分子，B叫作分母.
【温馨提示】1.判断代数式是不是分式，必须在没化简时判断.
2. π是数字，不是字母.
含有字母　
　
分式 有意义的条件：B≠0；
分式 无意义的条件：B＝0；
分式值为0的条件：A＝0且B≠0.
当分式 的值为正数时，A，B同号，即 或
当分式 的值为负数时，A，B异号，即 或
2. 分式的有关条件：
3. 最简分式：分子和分母没有 　 公因式　的分式，叫作最简分式.
公因式　
[练对点一]
1. 下列各式： ， ，4ab＋c， ， ， ，其中分式的个数是
(　B　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
B
2. (2025·兰州模拟)下列关于分式的判断，正确的是(　D　)
A. 当x＝2时， 的值为零
B. 当x≠3时， 有意义
C. 无论x为何值， 不可能得整数值
D. 无论x为何值， 的值总为正数
D
考点二　分式的基本性质 　▼
4. 基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不为0的整式，分式的
值 　 不变　.即 ＝ ＝ 　 　(B≠0，M为不等于0的整式).
5. 基本性质的应用
(1)分式约分：根据 　 分式的基本性质　，把一个分式的分子与分母的公
因式约去，叫作分式的约分.
约分的方法：
①当分子、分母是单项式时，公因式是相同字母的最低次幂与系数的最大
公因数的积；
②当分子、分母是多项式时，应先将多项式分解因式，取分子、分母中的
相同因式的最低次幂(数字因式取它们的最大公因数)的积作为公因式.
不变　
　
分式的基本性质　
(2)分式通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原
来的分式相等的 　 同分母　的分式，叫作分式的通分.
确定最简公分母的方法：
①分母中能分解因式的，先分解因式；②取各分母所有因式的最高次幂的
积(数字因式取它们的最小公倍数)作为公分母.
同分母　
3. 若分式 是最简分式，则△表示的是(　D　)
A. 2x＋2y B. (x－y)2
C. x2＋2xy＋y2 D. x2＋y2
4. 若把分式 中x和y的值都扩大2倍，那么分式的值(　C　)
A. 扩大2倍 B. 缩小2倍
C. 不变 D. 缩小4倍
D
C
[练对点二]
5. 分式 ， 的最简公分母为 　 2(x－1)2　.
2(x－1)2　
考点三　分式的运算 　▼
6. 分式的加减
(1)同分母分式相加减， 　 分母　不变，把分子 　 相加减　；
(2)异分母分式相加减，先 　 通分　，变为同分母的分式，再加减.
用式子表示为 ± ＝ 　 　， ± ＝ ± ＝ 　 　.
分母　
相加减　
通分　
　
　
7. 分式的乘除
(1)乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积
的分母，用式子表示为 · ＝ 　 　；
(2)除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除
式相乘，用式子表示为 ÷ ＝ · ＝ 　 　.
8. 分式的乘方
分式乘方：把分子、分母各自乘方，用式子表示为()n＝ 　 　(其中n为
正整数).
　
　
　
9. 分式的混合运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减.有括号的，先算括号里的.实数的运算
律可应用于分式计算中.注意运算结果要化为最简分式或整式.
10. 分式化简及求值
(1)化简求值类题一定要做到“先”化简，“再”求值，否则不得分；
(2)当整式与分式进行加减运算时，要将整式看作分母为1的式子，然后进
行通分；
(3)分式化简求值时，要注意符号的变化，分式的分子要作为一个整体，
在添括号或去括号的时候，要注意符号的变化；
(4)注意化简结果应为最简分式；
(5)必须保证所“代”数值使原分式的分母及运算过程中分式的分母都不
为0.
6. 若a，b，c为三个不同的非零实数，已知2b＝a＋c，a2＝bc.则
的值为(　C　)
A. 2 B. C. D.
7. 已知x－y＝ ，则代数式 的值是(　D　)
A. B. 2 C. D.
C
D
[练对点三]
8. (2025·兰州模拟)先化简，再求值：
÷ ＋(1＋ )· ，其中m＝－ .
解：原式＝ · ＋ · ＝ ＋ ＝ .
当m＝－ 时，原式＝ ＝ ＝ ＝－1－ .
9. (2025·麦积区一模)先化简：(－1)÷ ，并在1，－1，2三个数
中选一个恰当的数代入求值.
解：原式＝ · ＝ · ＝x＋1.
∵x＋1≠0且x－1≠0，∴x≠－1且x≠1.
∴当x＝2时，原式＝3.
命题点　分式的化简及求值
1. (2024·省卷)计算： － ＝(　A　)
A. 2 B. 2a－b
C. D.
2. (2023·兰州)计算： ＝(　D　)
A. a－5 B. a＋5 C. 5 D. a
A
D
3. (2025·甘肃)化简： ＋ ÷ .
解：原式＝ ＋ ·
＝ ＋
＝
＝
解：原式＝ ＋ ·
＝ ＋
＝
＝ 1.
4. (2024·兰州)先化简，再求值：(1＋ )÷ ，其中a＝4.
解：原式＝ ÷
＝ ÷
＝ ·
＝ .
当a＝4时，原式＝ ＝ .
5. (2024·临夏州)化简：(a＋1＋ )÷ .
解：原式＝ ·
＝ ·
＝ .
6. (2022·武威)化简： ÷ － .
解：原式＝ · －
＝ －
＝
解：原式＝ · －
＝ －
＝ 1.
7. (2021·省卷)先化简，再求值：(2－ )÷ ，其中x＝4.
解：原式＝(－ )·
＝ ·
＝－ .
当x＝4时，原式＝－ ＝－ .
1. 对分式 进行如下操作：将 与x相加，结果记为m1＝ ，称
为第一次操作；将第一次操作的结果m1减去2x，结果记为m2＝
，称为第二次操作；将第二次操作的结果m2与3x相加，结果记为
m3＝ ，称为第三次操作；…，以此类推，下列说法：
①第七次操作的结果m7＝ ；
②若m1＝m2＝m3＝m4＝m5＝m6成立，则x的值有且只有1个；
③若存在唯一的x值使得mk－2＋mk－1＝mk(k≥3，且k为整数)成立，则k
＝8.
其中正确的个数是(　C　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
C
2. (2025·眉山)先化简，再求值：(＋ )÷ .其中x，y满足(x＋
2)2＋｜y－1｜＝0.
解：∵(x＋2)2＋｜y－1｜＝0，(x＋2)2≥0，｜y－1｜≥0，
∴x＋2＝0，y－1＝0.
∴x＝－2，y＝1.
∴原式＝ ·

＝ ·
＝ .
当x＝－2，y＝1时，原式＝ ＝－
解：∵(x＋2)2＋｜y－1｜＝0，(x＋2)2≥0，｜y－1｜≥0，
∴x＋2＝0，y－1＝0.
∴x＝－2，y＝1.
∴原式＝ ·

＝ ·
＝ .
当x＝－2，y＝1时，原式＝ ＝－ 1.
1. 已知－ ＝ ＋△，△表示整式，则△是(　A　)
A. －1 B. 1 C. x D. －x
2. 如果 ＋ ＝4，那么 的值为(　A　)
A. B. C. D. 1
A
A
3. 化简 － 的结果是(　A　)
A. －m－2 B. m－2 C. D.
4. 根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是(　B　)
x … －2 －1 0 1 2 …
y … 0 无意义 * * * …
A. B. C. D.
A
B
5. 先化简，再求值：(a－ )÷ ，其中a＝2 sin 45°＋()－1.
解：原式＝(－ )·
＝ ·
＝ .
当a＝2 sin 45°＋()－1＝ ＋2时，
原式＝ ＝1＋ .

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