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(共32张PPT)
第二章　方程(组)与不等式(组)
第三节　一元二次方程
第一部分　教材知识梳理
考点一　一元二次方程及其解法 　▼
1. 一元二次方程必须具备三个条件：
(1)必须是整式方程；
(2)必须只含有 　 一个　未知数；
(3)所含未知数的最高次数是 　 2　.
一个　
2　
2. 一般形式：
3. 一元二次方程的解法
解法 适用范围 步骤
直接 开方
法 形式为x2＝p或(x＋n)2＝
p，(p≥0)的一元二次方程 两边分别开方，得x＝± 或x＝
± －n
解法 适用范围 步骤
因式 分解
法 化成一般形式后，“＝”
左边可以因式分解的一元
二次方程 (1)将一元二次方程化成一般式；
(2)将左边的部分因式分解，化成两
个一次因式的乘积；
(3)让两个一次因式分别等于0；
(4)使两个一次因式分别等于0的x的
值即为方程的解
解法 适用范围 步骤
配 方
法 适用于所有一元二次方程 (1)将一般形式的常数项移到“＝”
右边，再将二次项系数化为1；
(2)两边同时加上一次项系数一半的
平方，得到形如(x－n)2＝p(p≥0)的
一元二次方程；
(3)利用直接开方法解方程
解法 适用范围 步骤
公 式
法 适用于所有一元二次方程 (1)将方程写成一般式ax2＋bx＋c＝0；
(2)分别写出a，b，c的值，代入求出根的判别式b2－4ac的值；
(3)若b2－4ac≥0，则将数据代入公
式x＝ ，得到方程的两个解x1，x2；若b2－4ac＜0，则方程无实数根
[练对点一]
1. 下列式子中是关于x的一元二次方程的是(　C　)
A. x2＋
B. ax2＋bx＋c＝0
C. (x－2)(x－3)＝0
D. 4x2＋1＝x2＋3(x－1)2
2. (2025·凉州区一模)已知一元二次方程x2＋6x＋1＝0配方后可变形为(x
＋3)2＝k，则k的值为(　A　)
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
C
A
3. (2025·麦积区一模)关于x的一元二次方程x2－5x＋m2－2m＋5＝0的一
个根为1，则实数m的值是(　C　)
A. 4 B. 0或2 C. 1 D. －1
4. (2025·兰州一模)用配方法解方程：x2－4x－3＝0.
解：移项，得x2－4x＝3.
配方，得x2－4x＋4＝3＋4，
即(x－2)2＝7.
开方，得x－2＝± .
∴x1＝2＋ ，x2＝2－ .
C
考点二　一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 　▼
4. 根的判别式
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为b2－4ac，通常用Δ表
示它.
(1)Δ＞0 方程有 　 两个不相等的　实数根；
(2)Δ 　 ＝　0 方程有两个相等的实数根；
(3)Δ 　 ＜　0 方程没有实数根.
两个不相等的　
＝　
＜　
注意：根据一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的情况，确定字母参数的值或
取值范围时，一定要加上a≠0的条件.对于方程ax2＋bx＋c＝0有实数根
的问题则要从a＝0和a≠0两方面去考虑.
5. 根与系数的关系
若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个根分别为x1，x2，
则x1＋x2＝ 　 － 　，x1x2＝ 　 　.
－ 　
　
[练对点二]
5. (2025·凉州区一模)关于x的一元二次方程kx2－4x－2＝0有实数根，则
k的取值范围是(　C　)
A. k≥－2 B. k＞－2且k≠0
C. k≥－2且k≠0 D. k≤－2
C
6. (2025·甘州区一模)若m，n是一元二次方程x2－4x－5＝0的两个根，
则m＋n－mn＝ 　 9　.
9　
考点三　一元二次方程的应用 　▼
6. 列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考内容：
(1)解决实际问题的一般步骤
(2)经济类常见问题
①平均增长(降低)率问题：增长(降低)率＝ ×100％；
a.若起始量为a，平均增长率为x，终止量为b，增长次数为n，则有b＝
a(1 　 ＋　x)n；
b.若起始量为a，平均降低率为x，终止量为b，降低次数为n，则有b＝
a(1 　 －　x)n.
＋　
－　
②利润问题：
a.毛利润＝售出价－进货价；b.纯利润＝售出价－进货价－其他费用；c.
利润率＝ ×100％.
(3)握手、比赛、送礼物类
握手总次数、单循环赛的场次＝ (n为握手人数、比赛队伍数)；礼物
份数、双循环(主客场)赛的场次＝n(n－1)(n为送礼人数、比赛队伍数).
(4)面积类问题常见图形归纳
①如图1所示，设空白部分的宽为x，则
S阴影＝ 　 (a－2x)(b－2x)　.
　
②如图2、图3、图4所示，设空白道路的宽为x，则S阴影＝ 　 (a－x)(b－ .
(a－2x)(b－2x)　
(a－x)(b－x)　
·x　
③如图5所示，栏杆总长为a，BC的长为x，则S阴影＝ 　 ·x　.
(5)每每问题
①常用公式：利润＝售价－成本；总利润＝每件利润×销售量；
②售价每降低m元，可多卖出n件.设售价降低了x元，则销量增加 件.
[练对点三]
7. 某超市销售一种文创产品，每个进货价为15元.调查发现，当销售价为
20元时，平均每天能售出50个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能
多售出5个.超市要想使这种文创产品的销售利润平均每天达到220元，设
每个文创产品降价x元，则可列方程为(　A　)
A. (20－15－x)(50＋5x)＝220
B. (20－15＋x)(50＋5x)＝220
C. (20－15－x)(50－5x)＝220
D. (20－15＋x)(50－5x)＝220
A
8. 参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，参加聚会
的人数是(　A　)
A. 5人 B. 4人 C. 3人 D. 6人
A
9. (2025·武威一模)习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让
人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”.某市图书馆为推广全民阅读活
动，决定加大图书购置经费的投入.一月份投入图书购置经费50万元，3月
份投入72万元.求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率.
解：设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为x.
根据题意，得50(1＋x)2＝72，
解得x1＝0.2＝20％，x2＝－2.2(不符合题意，舍去).
答：该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为20％.
命题点一　一元二次方程的解法
1. (2022·武威)用配方法解方程x2－2x＝2时，配方后正确的是(　C　)
A. (x＋1)2＝3 B. (x＋1)2＝6
C. (x－1)2＝3 D. (x－1)2＝6
C
命题点二　一元二次方程根的判别式
2. (2025·甘肃)关于x的一元二次方程3x2－6x＋m＝0有两个实数根，则
m的取值范围是(　B　)
A. m＜3 B. m≤3 C. m＞3 D. m≥3
3. (2025·兰州)若关于x的一元二次方程x2＋2x＋a＝0有两个不相等的实
数根，则a的值可以是(　D　)
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
B
D
4. (2024·兰州)关于x的一元二次方程9x2－6x＋c＝0有两个相等的实数
根，则c＝(　D　)
A. －9 B. 4 C. －1 D. 1
5. (2022·兰州)关于x的一元二次方程kx2＋2x－1＝0有两个相等的实数
根，则k＝(　B　)
A. －2 B. －1 C. 0 D. 1
6. (2024·临夏州)若关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0有两个相等的实
数根，则m的值为 　 －1　.
D
B
－1　
7. (2023·武威)关于x的一元二次方程x2＋2x＋4c＝0有两个不相等的实数
根，则c＝ 　 －2(答案不唯一)　(写出一个满足条件的值).
8. (2021·省卷)关于x的方程x2－2x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的
值是 　 1　.
－2(答案不唯一)　
1　
1. (2025·河北)若一元二次方程x(x＋2)－3＝0的两根之和与两根之积分别
为m，n，则点(m，n)在平面直角坐标系中位于(　C　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
C
2. (2025·上海)一元二次方程2x2＋x＋m＝0没有实数根，那么m的取值范
围是 　 m＞ 　.
m＞ 　
1. 若关于x的一元二次方程x2＋3x－m＝0有两个不相等的实数根，则实
数m的取值范围是(　C　)
A. m＜3 B. m＜
C. m＞－ D. m＞－3
2. 已知x1和x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的两个根，则 ＋ 的值
为(　A　)
A. 6 B. 2 C. －4 D. 3
C
A
3. 随着环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费
者的新宠，某销售商该品牌电动车今年1月份的销量为1 000辆，由于国补
政策的连月升温，3月份的销量比1月份增加了2 100辆.设每个月销量的平
均增长率为x，则下列方程正确的是(　D　)
A. 1 000(1－x)2＝2 100
B. 1 000(1＋x)2＝2 100
C. 1 000(1＋2x)＝1 000＋2 100
D. 1 000(1＋x)2＝1 000＋2 100
D
4. a是方程x2＋x－1＝0的一个根，则代数式－2a2－2a＋2 025的值
是 　 2 023　.
5. 解方程：2x2＋x－2＝0.
解：∵a＝2，b＝1，c＝－2.
∴Δ＝b2－4ac＝1＋16＝17＞0.
∴x＝ ＝ .
∴x1＝ ，x2＝ .
2 023　
6. 已知关于x的一元二次方程x2－2x＋(k＋1)＝0有实数根.
(1)求k的取值范围；
解：(1)∵关于x的一元二次方程x2－2x＋(k＋1)＝0有实数根，
∴Δ＝(－2)2－4(k＋1)≥0.解得k≤0，
∴k的取值范围是k≤0.
(2)当k取最大整数时，求该方程的两个根.
解：(2)由(1)知，k的最大整数值为0，
则该方程为x2－2x＋1＝0，解得x1＝x2＝1，
∴方程的两个根都是1.
7. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 cm，BC＝18 cm，点P从
点A开始沿边AB向终点B以2 cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开
始沿边BC向终点C以3 cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同
时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动.设运动时间为t秒.
(1)填空：BQ＝ 　 3t　 cm，PB＝ 　 (12－2t)　 cm(用含t的代数式表
示)；
(2)当t为何值时，PQ的长度为10 cm？
解：由题意，得18－3t≥0，∴t≤6.
∵BP2＋BQ2＝PQ2，即(12－2t)2＋(3t)2＝100.∴t1＝2，t2＝ .
∵2＜6， ＜6，∴当t1＝2，t2＝ 时，PQ的长度为10 cm.
3t　
(12－2t)　(共19张PPT)
第二章　方程(组)与不等式(组)
第二节　分式方程
第一部分　教材知识梳理
考点一　分式方程及其解法 　▼
1. 概念：分母中含有 　 未知数　的方程叫作分式方程.
【温馨提示】“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，
也是判断一个方程是否为分式方程的依据.
未知数　
2. 分式方程的解法
(1)解分式方程的一般步骤：
去分母
(2)分式方程无解，可能是去分母后的整式方程的解不是原分式方程的
解，也可能是去分母后的整式方程无解.
【方法归纳】
(1)按照基本步骤解分式方程，其关键是确定各分式的最简公分母，若分
母为多项式时，应首先进行因式分解，再将分式方程化为整式方程，乘最
简公分母时，应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数项；
(2)检验是否原分式方程的解：分式方程去分母后整式方程的某个根，如
果它使分式方程的某些分母为零，则不是原分式方程的解，须舍去.
[练对点一]
1. 下列方程：① ＝1，② ＝2，③ ＝ ，④ ＋ ＝5，是分式方程
的有(　D　)
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④
2. (2025·西和县二模)已知x＝1是分式方程 ＝ 的解，则a的值为
(　D　)
A. －1 B. 1 C. 3 D. －3
D
D
3. 若关于x的分式方程 ＝1＋ 无解，则k的值是(　C　)
A. k＝1或k＝3 B. k＝1
C. k＝3 D. k＝4
C
考点二　分式方程的实际应用 　▼
3. 用分式方程解实际问题的一般步骤
实际问题 列分式方程→解方程→双检验→答
注意：双检验：(1)检验所求的解是否是分式方程的解；
(2)检验所求的解是否符合实际意义.
4. 常见类型及其关系式
(1)行程问题
基本关系式： ＝时间.
常见应用题中的等量关系： － ＝时间差.
(2)工程问题
基本关系式： ＝工作完成时间.
常见应用题中的等量关系：
－ ＝时间差，
－ ＝时间差，
特别地，有时工作总量可以看作整体“1”，这时， ＝工作
效率.
(3)购买(盈利)问题
基本关系式： ＝数量， ＝单价.
常见应用题中的等量关系：
－ ＝数量差.
4. (2025·临夏州一模)DeepSeek掀起了“人工智能＋”的热测，某
单位利用DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据.已
知R2单独处理数据的时间比R1少2小时，若两模型合作处理，仅需1.5小
时即可完成.设R2单独处理需要x小时，则下列方程正确的是(　B　)
A. ＋ ＝1.5 B. ＋ ＝
C. ＋ ＝1.5 D. ＋ ＝
B
[练对点二]
新情境
5. (2025·城关区校级模拟)《九章算术》是我国古代重要的数学专著之
一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的
城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定
时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间.设规定时间为x
天，则可列方程为 　 ×2＝ 　.
×2＝ 　
命题点　分式方程及其解法
1. (2024·临夏州)端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋
粽子降价 2 元销售.细心的小夏发现， 降价后用 240 元可以比降价前多购
买 10 袋， 求每袋粽子的原价是多少元.设每袋粽子的原价是 x 元，所得方
程正确的是(　B　)
A. － ＝10 B. － ＝10
C. － ＝10 D. － ＝10
B
2. (2023·兰州)方程 ＝1的解是(　C　)
A. x＝1 B. x＝－1 C. x＝5 D. x＝－5
3. (2025·甘肃)方程 ＝1的解是x＝ 　 －1　.
C
－1　
解：方程两边同乘x(x＋1)，得3x＝2x＋2.
解得x＝2.
检验：当x＝2时，x(x＋1)≠0.
所以原分式方程的解为x＝2.
4. (2025·兰州)解方程： ＝ .
1. (2025·齐齐哈尔)如果关于x的分式方程 ＋ ＝2无解，那么实数m
的值是(　A　)
A. m＝1 B. m＝－1
C. m＝1或m＝－1 D. m≠1且m≠－1
A
2. 若a满足关于x的分式方程 ＝1的解为负数，且同时满足关于y的不等
式组 无解，则满足条件的整数a的个数是(　C　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
C
1. 用换元法解关于方程 － ＋3＝0，如果设 ＝t，那么原方程
可化为(　B　)
A. 2t2－5t＋3＝0 B. 2t2＋3t－5＝0
C. t2＋3t－5＝0 D. t2－5t＋3＝0
B
2. 解分式方程： － ＝1.
解：方程两边同乘x－2，得x＋x－3＝x－2，
解得x＝1.
检验：当x＝1时，x－2≠0，
所以原分式方程的解为x＝1.(共33张PPT)
第二章　方程(组)与不等式(组)
第四节　一元一次不等式(组)
第一部分　教材知识梳理
考点一　不等式及其性质 　▼
1. 不等式的概念及其解集
概
念 一般地，用不等号(＜，＞，≤，≥，≠等)连接的式子叫作不等式
解 使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解
解
集 一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集
注意：不等式的解集包括不等式的所有解.
2. 不等式的性质
文字描述 式子表达
性
质1 不等式的两边加(或减)同一个数(或式子)，
不等号的方向 　 不变　 若a＞b，则a±c＞
b±c
性
质2 不等式的两边乘(或除以)同一个正数，不等
号的方向 　 不变　 若a＞b，c＞0，则ac
＞bc或 ＞
性
质3 不等式的两边乘(或除以)同一个负数，不等
号的方向 　 改变　 若a＞b，c＜0，则ac
＜bc或 ＜
不变　
不变　
改变　
[练对点一]
1. 若不等式“x■5”表示“不大于5的数”，则被墨迹覆盖的不等号是
(　A　)
A. ≤ B. ＜ C. ≥ D. ＞
2. 已知a＞b，则下列各式中一定成立的是(　B　)
A. a－b＜0 B. ＞
C. ac2＞bc2 D. － ＞－
A
B
3. 已知x＝1是不等式2x－a＜0的一个解，则a的值可以是(　D　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
D
考点二　一元一次不等式的解法及解集表示 　▼
3. 一元一次不等式：只含有 　 一个　未知数，且未知数的次数是 　 1　
的不等式，叫作一元一次不等式.
4. 一元一次不等式的解法步骤及解集表示
一个　
1　
解法 步骤 ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为
1(特别注意性质3的变号)
解集在 数轴上 的表示 x＜a
x＞a
x≤a
x≥a
总结 在数轴上表示解集时，要注意“两定”：一是定边界；二是定
方向.定边界点：是“≥”“≤”时画实心圆点；是
“＞”“＜”时画空心圆圈.定方向原则：小于向左画折线；大
于向右画折线
注意：不等式的解和解集的区别与联系：不等式的解是一些具体的值，一
般有无数个，用等号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示.不
等式的每一个解都在它的解集的范围内.
[练对点二]
4. 不等式(2a－1)x＜2(2a－1)的解集是x＞2，则a的取值范围是(　B　)
A. a＜0 B. a＜ C. a＜－ D. a＞－
5. 若关于x的一元一次不等式组的解集如图所示，则它的解集是(　B　)
A. －1＜x≤2 B. －1≤x＜2
C. x≤－1 D. x＜2
B
B
考点三　一元一次不等式组的解法及解集表示 　▼
5. 一元一次不等式组：关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起
就组成一元一次不等式组.
6. 不等式组的解法：先分别求出其中每个不等式的解集，再利用数轴求
出这些解集的公共部分.
几种常见的不等式组的解集(a＜b，且a，b为常数)
不等式组(a＜b) 图示 口诀 解集
同大取大 　 x≥b　
同小取小 　 x≤a　
大小小大 中间找 　 a≤x≤b　
大大小小 找不到 无解
x≥b　
x≤a　
a≤x≤b　
【温馨提示】要求不等式组的整数解，可先解出不等式组的解集，并将其
在数轴上表示出来，然后结合数轴确定整数解.
[练对点三]
6. 不等式 ＋1＞x－3的正整数解的个数(　B　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
7. 不等式组 的解集在数轴上表示为(　A　)
A B
A
C D
考点四　一元一次不等式(组)中的字母参数问题 　▼
7. 先把字母参数当作已知数解出不等式(组)的解集，然后把它与已知解集
或给定的其他条件结合起来，求出字母参数的值或取值范围.
[练对点四]
8. (2025·嘉峪关一模)若关于x的一元一次不等式组 无解，则
整数a的值可以是 　 0(答案不唯一)　(写出一个满足条件的值).
0(答案不唯一)　
考点五　一元一次不等式的实际应用 　▼
8. 常见关键词与不等号的关系表
常用关键词 符号
大于，多于，超过，高于 ＞
小于，少于，不足，低于 ＜
至少，不低于，不小于，不少于 　 ≥　
至多，不超过，不高于，不大于 　 ≤　
≥　
≤　
9. 列不等式解应用题的基本步骤
(1)审题；
(2)设元；
(3)找出能够包含未知数的 　 不等量关系　；
(4)列出不等式；
(5)解不等式；
(6)在不等式的解中找出符合题意的未知数的值；
(7)写出答案.
不等量关系　
[练对点五]
9. 某企业需运输一批生产物资，已知3辆大货车与2辆小货车一次可以运
输65箱物资；4辆大货车与6辆小货车一次可以运输120箱物资.
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次分别运输多少箱物资；
解：(1)设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资.
根据题意，得 解得
答：1辆大货车一次运输15箱物资，1辆小货车一次运输10箱物资.
(2)计划用两种货车共15辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用500元，
每辆小货车一次需费用300元.若运输物资不少于175箱，且总费用小于6
100元.请求出有哪几种运输方案.
根据题意，得 解得5≤m＜
根据题意，得 解得5≤m＜ 8.
解：(2)设运输这批物资的大货车有m辆，则小货车有(15－m)辆.
∵m是正整数，∴m可取5，6，7三个数.
∴运输方案有3种.
方案一：大货车5辆，小货车10辆；
方案二：大货车6辆，小货车9辆；
方案三：大货车7辆，小货车8辆.
答：有三种运输方案.方案一：大货车5辆，小货车10辆；方案二：大货车
6辆，小货车9辆；方案三：大货车7辆，小货车8辆.
命题点一　一元一次不等式的解法及解集的表示
1. (2022·武威)不等式3x－2＞4的解集是(　C　)
A. x＞－2 B. x＜－2
C. x＞2 D. x＜2
2. (2021·省卷)关于x的不等式 x－1＞ 的解集是 　 x＞ 　.
C
x＞ 　
命题点二　一元一次不等式组的解法及解集的表示
3. (2025·甘肃)解不等式组：
解：解不等式①，得x≥－4.
解不等式②，得x＜5.
∴原不等式组的解集为－4≤x＜
解不等式②，得x＜5.
∴原不等式组的解集为－4≤x＜ 5.
4. (2025·兰州)解不等式组：
解：解不等式①，得x＜5.
解不等式②，得x＞3.
∴原不等式组的解集为3＜x＜
解不等式②，得x＞3.
∴原不等式组的解集为3＜x＜ 5.
5. (2024·临夏州)解不等式组：
解：解不等式①，得x≥1.
解不等式②，得x＜2.
∴原不等式组的解集为1≤x＜ 2.
6. (2024·兰州)解不等式组：
解：解不等式①，得x＞－6.
解不等式②，得x＜1.
∴原不等式组的解集为－6＜x＜1.
7. (2024·省卷)解不等式组：
解：解不等式①，得x＜7.
解不等式②，得x＞ .
∴原不等式组的解集为 ＜x＜7.
8. (2023·武威)解不等式组：
解：解不等式①，得x＞－2.
解不等式②，得x≤1.
∴原不等式组的解集为－2＜x≤1.
1. 关于x的不等式组 的解集中每一个值均不在－1≤x≤5
的范围中，则a的取值范围是(　B　)
A. a＜1或a＞4.5 B. a≤1或a≥4.5
C. a＞4或a＜4.5 D. a≥4或a≤4.5
B
2. (2025·南充)不等式组 的解集是x＞2，则m的取值范围
是 　 m≤3　.
m≤3　
1. 太原地铁1号线于2025年2月22日开通运营，标志色为梦想蓝.开
通前期，有大量的残土需要运输，某车队有载重量为8吨的卡车5辆，载重
量为10吨的卡车7辆.该车队需要一次运输残土不低于166吨.为了完成任
务，该车队准备新购进这两种卡车共6辆.若购进载重量为8吨的卡车a
辆，则a需要满足的不等式为(　A　)
A
新素材
A. 8(5＋a)＋10(7＋6－a)≥166
B. 8a＋10(6－a)≤166
C. 8a＋10(6－a)≥166
D. 8(5＋a)＋10(7＋6－a)≤166
2. “输入一个实数x，然后经过如图的运算，到判断是否大于190为止”
叫作一次操作，那么恰好经过两次操作停止，则x的取值范围是 　 22＜
x≤64　.
22＜
x≤64　
3. 解不等式组：
解：解不等式①，得x＜ .
解不等式②，得x＜ .
∴原不等式组的解集为x＜ .(共24张PPT)
第二章　方程(组)与不等式(组)
第一节　一次方程(组)
第一部分　教材知识梳理
考点一　等式的性质在解方程中的应用 　▼
1. 若a＝b，则a±c＝ 　 b±c　 移项.
b±c　
[等式的性质1　等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等.]
2. 若a＝b(c≠0)，则ac＝bc 去分母(方程两边同乘各分母的最小
公倍数).
3. 若a＝b(c≠0)，则 ＝ 　 　 系数化为1.
　
[等式的性质2　等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍
相等.]
[练对点一]
1. 下列变形正确的是(　B　)
A. 由3x＋4＝4x－5，移项得3x＋4x＝－4－5
B. 由2(2x－1)－3(x－3)＝1，去括号得4x－2－3x＋9＝1
C. 由 － ＝1，去分母得2x－3x＋3＝6
D. 由－ ＝3，系数化为1得x＝－
B
考点二　一元一次方程及其解法 　▼
4. 一元一次方程
定义 只含有 　一　个未知数(元)，未知数的次数是 　 1　，且等
式两边都是整式的方程
一般形式 ax＋b＝0(a，b是常数，且a≠0)
5. 解一元一次方程的一般步骤
去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1.
【温馨提示】1.去分母时，注意不要漏乘不含分母的项，尤其是常数项.
2. 去括号、移项时，都要注意符号.
一　
1　
[练对点二]
2. 小琪解关于x的方程 － ＝2，在进行“去分母”步骤时，等号
右边的“2”忘记乘最简公分母，她求得的解为x＝－1，则k的值为
(　A　)
A. B. 2 C. －1 D. －3
A
考点三　二元一次方程(组)及其解法 　▼
6. 二元一次方程：含有 　 两　个未知数，并且含有未知数的项的次数都
是 　 1　的整式方程.形如ax＋by＝c(a，b，c为常数，a≠0，b≠0).
7. 二元一次方程组：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次
数都是1，并且一共有两个方程，这样的方程组叫作二元一次方程组.
两　
1　
(1)基本思想：二元一次方程组 一元一次方程.
(2)方法：加减消元法和代入消元法.
这两种方法是完全等效的，解方程组时根据实际情况选用即可.当其中一
个方程中某个未知数的系数为1或－1时，或方程组中某一个方程的常数项
为0时，选择代入消元法较简单，其余情况一般使用加减消元法较简便.
8. 二元一次方程组的解法
3. (2025·定西二模)由 － ＝4可以得到用含x的式子表示y，下列正确的
是(　B　)
A. x＝ y＋12 B. y＝ x－8
C. ＝4＋ D. y＝8－ x
B
[练对点三]
4. 已知关于x，y的方程组 若x－2y＝－3，则k的值为
(　D　)
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
D
考点四　一次方程(组)的实际应用 　▼
9. 常见的应用题类型及等量关系
(1)利润问题
售价＝标价×折扣；
销售额＝售价×销量；
利润＝售价－进价；
利润率＝ ×100％.
(2)行程问题：路程＝速度×时间
(ⅰ)相遇问题：总路程＝甲走的路程＋乙走的路程.
(ⅱ)追及问题：
a.同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；
b.同时不同地出发：前者走的路程＋两地间距离＝追者走的路程.
(ⅲ)行船问题：
a.顺水(风)航速＝船速＋水(风)速；
b.逆水(风)航速＝船速－水(风)速.
(3)增长率问题：已知原量为a，增长后为b，设增长率为x，则可列方程
为a(1＋x)＝b.
(4)利息(单利)问题：利息＝本金×利率×期数；本息和＝本金＋利息.
【方法归纳】
(1)列方程(组)解应用题，要抓住关键性词语，如共、多、少、倍、几分之
几等，顺着题意来理清等量关系，可采用直接设未知数，也可以采用间接
设未知数的方法，要根据实际情况灵活运用；
(2)当要求的未知量有两个时，可以用字母x表示其中一个，再根据两个未
知量之间的关系，用含x的式子表示另一个量，解方程后，再代入求出另
一个未知量的值(或用字母x表示其中一个，用字母y表示另一个，根据两
个未知量之间的关系列方程组，解方程组，得出两个未知量的值).
5 . (2025·兰州模拟)《孙子算经》下卷第28题译成现代文
意思是：现有甲乙二人，身边各有多少钱，不清楚.如果甲的钱数加上乙
的钱数的一半，钱数一共是48；如果乙的钱数加上甲的钱数的 ，钱数一
共也是48，问甲乙二人各有多少钱？(　C　)
A. 24，36 B. 36，18
C. 36，24 D. 24，18
C
[练对点四]
新考向·传统文化
6. (2025·武威模拟)一家商店将某种商品按成本价提高50％后，标价为450
元，又以8折出售，则售出这件商品可获利润 　 60　元.
60　
命题点　一次方程(组)的实际应用
1. (2025·兰州)《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之一，
“方程章”第11题大意是：两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半
匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价
格，问一匹马、一头牛的价格分别是多少？若设一匹马价格为x，一头牛
价格为y，则可列方程组为(　A　)
A.
B.
C.
D.
答案：A
2. (2024·省卷)如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，宋
代黄伯思撰有《燕几图》.全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长
桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等.七张桌面分开可组合成
不同的图形.如图2，给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方
式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示
为(　B　)
A. y＝3x B. y＝4x
C. y＝3x＋1 D. y＝4x＋1
B
3. (2024·兰州)数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国古代重要的数学
著作之一.书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共
1 000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果、苦果各买了
多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为(　A　)
A
A. B.
C. D.
1. (2025·齐齐哈尔)神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”.
为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科
技馆参观，计划租用45座和60座两种客车(两种客车都要租)，若每名学生
都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有(　B　)
A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种
B
2. (2025·宜宾)已知a1，a2，a3，a4，a5是五个正整数，去掉其中任意一个
数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45，
46，47，48，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝ 　 58　.
58　
1. 在解关于x，y的方程组 时，小亮解出的结果为
，老师看了小亮的解题过程后，对小亮说：“你方程组中的b
抄错了，该方程组的正确结果x比y大5.”则a，b的值分别为(　A　)
A. 4，－2 B. 4，2
C. －4，2 D. －4，－2
A
2. 为增强学生的劳动意识，养成良好的劳动习惯和品质.某校组织学
生到劳动基地参加“耕读累德”实践活动，计划组织学生种植甲、乙
两种作物.如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植4亩甲
作物和1亩乙作物需要26名学生.问：种植1亩甲作物和1亩乙作物一共
需要多少名学生？
解：设种植1亩甲作物需要x名学生，种植1亩乙作物需要y名学生，
根据题意，得 解得
∴x＋y＝5＋6＝11(人).
答：种植1亩甲作物和1亩乙作物一共需要11名学生.

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