资源简介 (共96张PPT)第三章 函数第四节 二次函数第一部分 教材知识梳理考点一 二次函数的概念及表达形式 ▼1. 一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) 的函数，叫作二次函数，其中x是自变量， a，b，c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.考点一 二次函数的概念及表达形式y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) a，b，c (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)；(2)顶点式： y＝a(x－h)2＋k(a≠0) ，二次函数的顶点坐标为 (h，k) ；(3)交点式： y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) ，其中x1，x2为函数图象与x轴交点的横坐标.y＝a(x－h)2＋k(a≠0) (h，k) y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 2. 表达形式[练对点一]1. 若函数y＝ －4是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为( D )A. 1 B. －2 C. 2 D. 2或－22. (2025·凉州区一模)抛物线y＝x2＋4x－4的对称轴为直线 x＝－2 .Dx＝－2 考点二 二次函数图象的性质 ▼3. 二次函数图象的性质一般式 y＝ax2＋bx＋c 顶点式y＝a(x－h)2＋k开口 方向 a＞0 向上 a＜0 向下 一般式 y＝ax2＋bx＋c 顶点式y＝a(x－h)2＋k顶点坐标 (－ ， ) (h，k)对称轴 直线x＝－ 直线x＝h(－ ， ) 一般式 y＝ax2＋bx＋c 顶点式y＝a(x－h)2＋k最大 (小)值 a＞0 当x＝－ 时， y最小值＝ 当x＝h时，y最小值＝ka＜0 当x＝－ 时， y最大值＝ 当x＝h时，y最大值＝k一般式 y＝ax2＋bx＋c 顶点式y＝a(x－h)2＋k增减 性 a＞0 在对称轴左侧，y随x的增大而 减小 在对称轴右侧，y随x的增大而增大 a＜0 在对称轴左侧，y随x的增大而 增大 减小 增大 1. 代入比较法：若已知二次函数的解析式，可将各点的横坐标分别代入解析式，求出各点的纵坐标，继而比较大小.2. 增减性比较法：利用二次函数图象的对称性，将已知点转化到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性比较大小.【方法归纳】利用二次函数的性质比较函数值大小的方法3. 距离比较法：根据点到对称轴的距离比较大小，具体如下，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：①当a＞0时，抛物线上的点到对称轴的距离越小，对应的函数值越小，如图1；②当a＜0时，抛物线上的点到对称轴的距离越小，对应的函数值越大，如图2.4. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象中的二次项系数a定形，顶点定位.[练对点二]3. (2025·嘉峪关一模)在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx(a，b为常数，且a≠0)的图象可能是( D )A B C DD4. (2025·武都区模拟)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)上部分点的坐标如下表，下列说法错误的是( B )x … －3 －2 －1 0 1 …y … －3 －2 －3 －6 －11 …A. 对称轴是直线x＝－2B. 当x＝－4时，y＝－11C. 当x＞－2时，y随x的增大而减小D. 抛物线开口向下B5. (2025·凉州区一模)已知二次函数y＝(x－1)2＋2的图象上有三点，A(－2，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为 y2＜ y3＜.6. (2025·凉州区校级二模)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴是直线x＝－1，下列结论：①abc＜0；②3a＋c＞0；③am2＋b(m＋1)≥a(m为常数)；④若关于x的方程｜ax2＋bx＋c｜－k＝0恰有三个解，则a－c＝k.其中正确的是 ①②③④ (填序号).y2＜y3＜ y1①②③④ 考点三 二次函数图象与系数a，b，c的关系 ▼5. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与其解析式中各项系数的符号的关系：a，b，c的代数式 决定图象的特征 说明a 决定抛物线的开口方向 a＞0 开口向上a＜0 开口向下c 决定抛物线与y轴交点的位置，交点的坐标为(0，c) c＞0 与y轴交点在x轴上方c＝0 抛物线过原点c＜0 与y轴交点在x轴下方a，b，c的 代数式 决定图象的特征 说明－ 决定对称轴的位置，对称轴为直线x＝－ ab＞0 对称轴在y轴左侧ab＜0 对称轴在y轴右侧b＝0 对称轴是y轴b2－4ac 决定抛物线与x轴交点的个数 b2－4ac＞0 与x轴有两个交点b2－4ac＝0 与x轴有一个交点b2－4ac＜0 与x轴没有交点【方法归纳】根据二次函数图象判断含a，b，c的代数式的取值或取值范围的方法1.2a＋b：结合a的正负比较－ 与1的关系；2.2a－b：结合a的正负比较－ 与－1的关系；3. a＋b＋c：令x＝1，看纵坐标正负；4. a－b＋c：令x＝－1，看纵坐标正负；5.4a＋2b＋c：令x＝2，看纵坐标正负；6.4a－2b＋c：令x＝－2，看纵坐标正负.7. (2025·凉州区一模)二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，下列说法正确的是( D )abc＞0 B.b2－4ac＜0C. 4a＋2b＋c＜0D. 2a＋b＝0第7题图D[练对点三]8. (2025·凉州区校级二模)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，抛物线顶点坐标为(2，－16).则下列结论：①abc＞0；②4a－b＝0；③a＋b＋c＞0；④ ＜a＜1；⑤ax2＋(b－k)x＋c＋2k＋15＝0(k为实数)有两个不等实根.其中结论正确的个数是( B )A. 2 B. 3 C. 4 D. 5B第8题图考点四 二次函数图象的平移 ▼6. 涉及二次函数图象平移时，一般先将一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化为顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0).平移方式(m＞0) 平移后的解析式 图象 简记向左平移m个单位长度 y＝a(x－h＋m)2＋k 给x左加/右减m向右平移m个单位长度 y＝a(x－h－m)2＋k平移方式(m＞0) 平移后的解析式 图象 简记向上平移m个单位长度 y＝a(x－h)2＋k＋m 给等号右边整体上加/下减m向下平移m个单位长度 y＝a(x－h)2＋k－m(1)二次函数图象的平移，其实质是图象上的点的整体平移(一般研究顶点坐标)，平移过程中a保持不变，因此可先求出其顶点坐标，根据顶点坐标平移求得函数解析式.(2)平移规律可以归纳为“上加下减，左加右减”，需要注意的是左右平移给x加减平移单位长度，上下平移给等号右边整体加减平移单位长度.【方法归纳】[练对点四]9. (2025·武威一模)在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2－2mx＋m2＋2m－4向右平移2个单位后，得抛物线y＝(x－n)2＋m－n，则符合条件的m，n的值为( D )A. m＝ ，n＝－6 B. m＝2，n＝－4C. m＝－1，n＝6 D. m＝1，n＝3D10. 将抛物线y＝－(x－3)2＋5向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度平移后的抛物线的函数表达式为( A )A. y＝－(x－5)2－1B. y＝－(x－1)2－1C. y＝－(x－5)2＋11D. y＝－(x－1)2＋11A考点五 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 ▼7. 对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当 y＝0 时，就变成了一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 .当二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴有交点时，其交点横坐标就是方程 ax2＋bx＋c＝0 的根.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的存在性和数量，对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)实数根的有无和根的个数.y＝0 ax2＋bx＋c＝0 ax2＋bx＋c＝0 8. 二次函数与一元二次不等式b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0a＞0 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点不等式ax2＋bx＋c＞0 解集为x＜x1或x＞x2 解集为x≠x1 (或x≠x2) 解集为全体实数不等式ax2＋bx＋c＜0 解集为x1＜x＜x2 无解 无解b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0a＜0 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点不等式ax2＋bx＋c＞0 解集为x1＜x＜x2 无解 无解不等式ax2＋bx＋c＜0 解集为x＜x1或x＞x2 解集为x≠x1 (或x≠x2) 解集为全体实数【方法归纳】求解一元二次方程ax2＋bx＋c＝n(a≠0)和一元二次不等式ax2＋bx＋c＜n(a≠0)可以转化为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与直线y＝n的位置关系、交点个数问题，用数形结合的方法解题.[练对点五]11. 一次函数y1＝mx＋n(m≠0)与二次函数y2＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax2＋(b－m)x＋c＞n的解集为( C )A. x＜3 B. x＞－4C. －4＜x＜3 D. x＞3或x＜－4C考点六 构建二次函数模型，解决实际问题 ▼9. 二次函数是反映现实世界中变量间的数量关系和变化规律的一种常见数学模型，如物体运动轨迹、商品利润、几何图形中某一动态变化过程中蕴含的规律等，都能以二次函数为载体.解决此类问题的关键是根据实际问题抽象、概括出二次函数的数学模型，再利用二次函数的知识解决问题，其一般的步骤如下：(1)剖析实际问题中的各个变量间的关系，将实际问题抽象成数学问题；(2)结合已知条件建立适当的平面直角坐标系，把实际问题中的数据与点的坐标联系起来；(3)利用二次函数的相关知识求解问题；(4)用实际背景检验答案的实际意义，舍去不符合题意的答案.[练对点六]12. 某商店在端午节来临之前，购进咸肉粽子和豆沙粽子两种进行销售，已知每个咸肉粽子的进价是每个豆沙粽子进价的2倍，用1 600元购进咸肉粽子的数量比用700元购进豆沙粽子的数量多50个.(1)求咸肉粽子和豆沙粽子每个进价分别为多少元；解：(1)豆沙粽子的每个进价是2元，咸肉粽子的每个进价是4元.(2)若某商店把咸肉粽子以6元/个销售，那么半个月可以售出200个.根据销售经验，把咸肉粽子的单价每提高2元，销量会相应减少40个.将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？解：(2)当售价定为10元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是720元.考点七 二次函数的综合应用 ▼10. 最值问题：(1)当二次函数的自变量x取全体实数时，我们可将二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成顶点式y＝a(x＋ )2＋ ，直接可得函数最值为 ，也就是抛物线顶点的纵坐标.(2)确定区间内的二次函数最值问题若点M(m，yM)，N(n，yN)为抛物线上两点，且点M在点N左侧(以a＞0为例).①如图1，区间在抛物线对称轴左侧，则最大值为yM，最小值为yN；②如图2，抛物线对称轴在区间内，则最小值为抛物线顶点的纵坐标，最大值为距离抛物线对称轴较远的点N的纵坐标yN；③如图3，区间在抛物线对称轴右侧，则最大值为yN，最小值为yM.11. 存在性问题：注意灵活运用数形结合思想，可先假设存在，再借助已知条件求解，如果有解(求出的结果符合题目要求)，则假设成立，即存在；如果无解(推出矛盾或求出的结果不符合题目要求)，则假设不成立，即不存在.12. 动点问题：通常利用数形结合、分类讨论和转化思想，借助图形，切实把握图形运动的全过程，动中取静，选取某一时刻作为研究对象，然后根据题意建立方程模型或者函数模型求解.[练对点七]13. (2025·庄浪县二模)如图，抛物线y＝ax2＋bx－4(a，b为常数，a≠0)与x轴交于A(－2，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C. 点P是抛物线上的一个动点，且在第四象限.(1)求抛物线的函数表达式；解：(1)抛物线的函数表达式为y＝ x2－x－4.(2)如图1，若点P与点C关于抛物线的对称轴对称，作直线BP与y轴交于点M，连接AP，交y轴于点N，求线段MN的长；解：(2)MN＝－2－(－8)＝6.(3)如图2，连接BC，OP，两线段交于点E. 在线段OB上取点F，使BF＝CE. 连接CF，求CF＋OE的最小值.解：(3)CF＋OE的最小值为4 .命题点一 二次函数的图象及性质1. (2025·兰州)如图，在正方形ABCD中，AB＝2 cm，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点O出发沿O→A→B方向以 cm/s的速度运动，同时点Q从点C出发沿C→D方向以1 cm/s的速度运动.当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动.若运动时间为x(s)，△CPQ的面积为y(cm2)，则点P分别在OA，AB上运动时，y与x的函数关系分别是( D )A. 均为一次函数 B. 一次函数，二次函数C. 均为二次函数 D. 二次函数，一次函数D2. (2023·兰州)已知二次函数y＝－3(x－2)2－3，下列说法正确的是( C )A. 对称轴为x＝－2 B. 顶点坐标为(2，3)C. 函数的最大值是－3 D. 函数的最小值是－33. (2022·兰州)已知二次函数y＝2x2－4x＋5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是( B )A. x＜1 B. x＞1 C. x＜2 D. x＞2CB命题点二 二次函数的实际应用4. (2025·甘肃)如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y＝－x2＋2x＋ (x＞0)，则水流喷出的最大高度是( B )A. 3 m B. 2.75 m C. 2 m D. 1.75 mB5. (2024·省卷)图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，图2是棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6的图象，点B(6，2.68)在图象上.若一辆厢式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4 m，高DE＝1.8 m的矩形，则可判断货车 能 (填“能”或“不能”)完全停到车棚内.能 6. (2025·兰州)综合与实践在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究.请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题.【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽.探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决.【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x(标准单位)为自变量，种子的发芽率y(％)为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据：新考向·跨学科综合生长素浓度x(标准单位) 发芽率y(％)0 35.000.6 49.281 56.001.7 62.372 63.002.5 61.25生长素浓度x(标准单位) 发芽率y(％)2.7 59.573 56.003.3 51.174 35.004.2 29.12【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系描出相应的点.说明：①当生长素浓度x＝0时，种子的发芽率为自然发芽率；②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽；③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验.【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题：(1)观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式；解：(1)观察上述各点的分布规律，y关于x的函数是二次函数.由表可知二次函数图象对称轴为直线x＝ ＝2.∴二次函数图象的顶点为(2，63).设该二次函数的表达式为y＝a(x－2)2＋63.将(0，35)代入，得35＝a(0－2)2＋63，解得a＝－7，∴该二次函数的表达式为y＝－7(x－2)2＋63(或y＝－7x2＋28x＋35).(2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围.解：(2)当x＝0时，y＝35，∴种子自然发芽率为35％.由表知，当x＝0或x＝4时，y＝35.当y＝0时，－7(x－2)3＋63＝0，解得x1＝－1(舍去)，x2＝5，∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为4＜x≤5.7. (2024·兰州)在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线，为了了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究，如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处.科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面OA的竖直高度y(m)与离发射点O的水平距离x(m)的几组关系数据如下：水平距离x(m) 0 3 4 10 15 20 22 27竖直高度y(m) 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24(1)根据上表，请确定抛物线的表达式；解：(1)由题意，得抛物线的对称轴是直线x＝ ＝15，∴抛物线的顶点坐标为(15，9).设抛物线的表达式为y＝a(x－15)2＋9.又抛物线过(10，8)，∴8＝(10－15)2a＋9.解得a＝－ .∴抛物线的表达式为y＝－ (x－15)2＋9.(2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为5 m时，水火箭距离地面的竖直高度.设抛物线的表达式为y＝a(x－15)2又抛物线过(10，8)，∴8＝(10－15)2a＋∴抛物线的表达式为y＝－ (x－15)2∴令x＝5，则y＝－ ×(5－15)2＋9＝解：(2)由(1)知抛物线的表达式为y＝－ (x－15)2＋9，∴令x＝5，则y＝－ ×(5－15)2＋9＝ 5.∴水火箭距离地面的竖直高度为5 m.8. (2023·兰州)一名运动员在10 m高的跳台进行跳水，身体(看成一点)在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y(m)与离起跳点A的水平距离x(m)之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1 m时，达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3 m时离水面的距离为7 m.(1)求y关于x的函数表达式；解：(1)由题意，得抛物线的对称轴为x＝1，经过点(0，10)，(3，7).设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c，∴ 解得∴y关于x的函数表达式为y＝－x2＋2x＋10.(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长.解：(2)令y＝0，则－x2＋2x＋10＝0，解得x＝1± (负值舍去)，∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为(1＋) m.9. (2022·兰州)掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目.如图1所示是一名女生在投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为 m，当水平距离为3 m时，实心球行进至最高点3 m处.(1)求y关于x的函数表达式；解：(1)由题意，设y关于x的函数表达式为y＝a(x－3)2＋3，把(0， )代入表达式，得 ＝a(0－3)2＋3，解得a＝－ ，∴y关于x的函数表达式为y＝－ (x－3)2＋3.(2)根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准(女生)，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70 m，此项考试得分为满分10分.判断该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由.∴y关于x的函数表达式为y＝－ (x－3)2解：(2)该女生在此项考试中得满分.理由如下：令y＝0，则－ (x－3)2＋3＝0，解得x1＝7.5，x2＝－1.5(舍去).∵7.5＞6.70，∴该女生在此项考试中得满分.命题点三 二次函数与几何图形结合10. (2025·甘肃)如图1，抛物线y＝a(x＋ )·(x－4)(a≠0)分别与x轴，y轴交于A，B(0，－4)两点，M为OA的中点.(1)求抛物线的表达式；解：(1)把B(0，－4)代入y＝a(x＋ )(x－4)(a≠0)，得－10a＝－4，解得a＝ ，∴抛物线的表达式为y＝(x＋ )(x－4)＝ x2－ x－4.(2)连接AB，过点M作OA的垂线，交AB于点C，交抛物线于点D，连接BD，求△BCD的面积；解：(2)当y＝ (x＋ )(x－4)＝0时，则x1＝－ ，x2＝4，∴A(4，0).∵M是OA的中点，∴M(2，0).∴OM＝2.∵B(0，－4)，∴设直线AB的表达式为y＝kx－4.把A(4，0)代入，得0＝4k－4，解得k＝1.∴y＝x－4.∵过点M作OA的垂线，交AB于点C，交抛物线于点D，∴C(2，－2)，D(2，－ ).∴CD＝－2＋ ＝ .∴△BCD的面积＝ CD·OM＝ ×2× ＝ .(3)点E为线段AB上一动点(点A除外)，将线段OE绕点O顺时针旋转90°得到OF.①当AE＝ 时，请在图2中画出线段OF后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由；②如图3，点P是第四象限的一动点，∠OPA＝90°，连接PF，当点E运动时，求PF的最小值.解：(3)①由题意，作图如图2.连接BF，过点F作FQ⊥OB于点Q.由(2)可知，OA＝OB＝4，∴∠OAB＝∠OBA＝45°.∵将线段OE绕点O顺时针旋转90°得到OF，∴OE＝OF，∠EOF＝90°＝∠BOA. ∴∠AOE＝∠BOF.又∵OA＝OB，OE＝OF，∴△AOE≌△BOF(SAS).∴∠OBF＝∠OAE＝45°，BF＝AE＝ .∵FQ⊥OB，∴△FQB为等腰直角三角形.解：(3)①由题意，作图如图2.连接BF，过点F作FQ⊥OB于点Q.由(2)可知，OA＝OB＝4，∴∠OAB＝∠OBA＝45°.∵将线段OE绕点O顺时针旋转90°得到OF，∴OE＝OF，∠EOF＝90°＝∠BOA. ∴∠AOE＝∠BOF.又∵OA＝OB，OE＝OF，∴△AOE≌△BOF(SAS).∴∠OBF＝∠OAE＝45°，BF＝AE＝ .∵FQ⊥OB，∴△FQB为等腰直角三角形.∴FQ＝BQ＝ BF＝1.∴OQ＝OB－BQ＝3.∴F(－1，－3).对于y＝ x2－ x－4，当x＝－1时，y＝ ＋ －4＝－3，∴点F在抛物线上.②如图3，连接BF并延长，交x轴于点G，连接PM，MF，作MH⊥BG于点H.∵∠OPA＝90°，M为OA的中点，∴PM＝ OA＝2.∵PF≥MF－PM，∴当M，P，F三点共线时，PF最小.同①，得∠OBF＝∠OAE＝45°，∴FQ＝BQ＝ BF＝1.∴OQ＝OB－BQ＝3.∴F(－1，－3).对于y＝ x2－ x－4，当x＝－1时，y＝ ＋ －4＝－3，∴点F在抛物线上.②如图3，连接BF并延长，交x轴于点G，连接PM，MF，作MH⊥BG于点H.∵∠OPA＝90°，M为OA的中点，∴PM＝ OA＝2.∵PF≥MF－PM，∴当M，P，F三点共线时，PF最小.同①，得∠OBF＝∠OAE＝45°，∴点F在射线BG上运动.∴当MF⊥BG，即点F与点H重合时，MF最小，此时PF最小为MH－PM.∵∠OBG＝45°，∴△OBG为等腰直角三角形.∴OG＝OB＝4，∠BGO＝45°.∴MG＝OG＋OM＝6，△MHG为等腰直角三角形.∴MH＝ MG＝3 .∴PF的最小值为MH－PM＝3 －∴点F在射线BG上运动.∴当MF⊥BG，即点F与点H重合时，MF最小，此时PF最小为MH－PM.∵∠OBG＝45°，∴△OBG为等腰直角三角形.∴OG＝OB＝4，∠BGO＝45°.∴MG＝OG＋OM＝6，△MHG为等腰直角三角形.∴MH＝ MG＝3 .∴PF的最小值为MH－PM＝3 － 2.11. (2024·临夏州)在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，作直线BC.(1)求抛物线的表达式；解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，∴ 解得∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.(2)如图1，点P是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，请问线段PQ是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；解：(2)如图1，过点P作PE⊥AB于点E，交BC于点F.∵B(3，0)，C(0，3)，∴直线BC的表达式为y＝－x＋3.∵OB＝OC，∠BOC＝90°，∴∠CBO＝45°.∵∠FEB＝90°，∴∠PFQ＝∠EFB＝45°.∵PQ⊥BC，∴△PQF是等腰直角三角形.∴PF＝ PQ. ∴PF的值最大时，PQ的值最大.设P(m，－m2＋2m＋3)，则F(m，－m＋3)，∴PF＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m.∵－1＜0，∴当m＝ 时，PF的值最大，PF的最大值为－ ＋ ＝ .∴PQ的最大值＝ PF＝ ，此时P(， ).(3)如图2，点M是直线BC上一动点，过点M作线段MN∥OC(点N在直线BC下方)，已知MN＝2，若线段MN与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围.解：(3) ≤xM≤0或3≤xM≤ .提示：设M(a，－a＋3)，则N(a，－a＋1).当点N在抛物线上时，－a＋1＝－a2＋2a＋3，∴a2－3a－2＝ 0.解得a1＝ ，a2＝ .∵线段MN与抛物线有交点，∴满足条件的点M的横坐标的取值范围为 ≤xM≤0或3≤xM≤ .12. (2024·省卷)如图1，抛物线y＝a(x－h)2＋k交x轴于O，A(4，0)两点，顶点为B(2，2 )，点C为OB的中点.(1)求抛物线y＝a(x－h)2＋k的表达式；解：(1)∵抛物线y＝a(x－h)2＋k的顶点为B(2，2 )，∴y＝a(x－2)2＋2 .∵y＝a(x－2)2＋2 交x轴于点A(4，0)，∴4a＋2 ＝0.解得a＝－ .∴抛物线的表达式为y＝－ (x－2)2＋2 .(2)过点C作CH⊥OA，垂足为H，交抛物线于点E，求线段CE的长；解：(2)如图1，过点B作BG⊥OA于点G.∵CH⊥OA，∴CH∥BG. ∵B(2，2 )，∴OG＝2，BG＝2 .∵点C为OB的中点，∴C(1， )，∴CH＝ BG＝ ，OH＝ OG＝1.当x＝1时，EH＝－ ×(1－2)2＋2 ＝ .∴CE＝EH－CH＝ － ＝ .(3)点D为线段OA上一动点(O点除外)，在OC右侧作平行四边形OCFD.①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；②如图3，连接BD，BF，求BD＋BF的最小值.解：(3)①当 OCFD的顶点F落在抛物线上时.∵点F，C的纵坐标都等于 ，∴－ (x－2)2＋2 ＝ .解得x1＝2－ (舍去)，x2＝2＋ .∴F(2＋ ， ).②如图3，作点B关于OA的对称点M，连接DM，CM，CD. ∴点M(2，－2 ).∴OA垂直平分BM，∴BD＝DM.∵四边形OCFD是平行四边形，∴OB∥DF，OC＝DF.∵OC＝BC，∴BC＝DF. ∵BC∥DF，∴四边形BCDF是平行四边形，∴BF＝CD.∴BD＋BF＝DM＋CD＞CM.当C，D，M三点共线时，DM＋CD＝CM，即BD＋BF的最小值等于CM的长.∵C(1， )，M(2，－2 )，∴CM＝ ＝2 ，即BD＋BF的最小值为2 .13. (2023·武威)如图1，抛物线y＝－x2＋bx与x轴交于点A，与直线y＝－x交于点B(4，－4)，点C(0，－4)在y轴上.点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止.(1)求抛物线y＝－x2＋bx的表达式；解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx过点B(4，－4)，∴－16＋4b＝－4.∴b＝3.∴抛物线的表达式为y＝－x2＋3x.(2)当BP＝2 时，请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D. 连接PC，OD，判断四边形OCPD的形状，并说明理由；解：(2)四边形OCPD是平行四边形.理由如下：如图1，过点P作PD⊥OA交x轴于点H，交抛物线于点D，连接PC，OD.∵点P在y＝－x上，∴OH＝PH，∠POH＝45°.连接BC. ∵OC＝BC＝4，∴OB＝4 .∵BP＝2 ，∴OP＝OB－BP＝2 .∴OH＝PH＝ OP＝ ×2 ＝2.当xD＝2时，DH＝yD＝－4＋3×2＝2.∴PD＝DH＋PH＝2＋2＝4.∵C(0，－4)，∴OC＝4.∴PD＝OC.∵OC⊥x轴，PD⊥x轴，∴PD∥OC，∴四边形OCPD是平行四边形.(3)如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动.连接BQ，PC，求CP＋BQ的最小值.解：(3)如图2，由题意，得BP＝OQ，连接BC.在OA上方作△OMQ，使得∠MOQ＝45°，OM＝BC.∵OC＝BC＝4，BC⊥OC，∴∠CBP＝45°.∴∠CBP＝∠MOQ.∵BP＝OQ，∠CBP＝∠MOQ，BC＝OM，∴△CBP≌△MOQ(SAS).∴CP＝MQ.∴CP＋BQ＝MQ＋BQ≥MB(当M，Q，B三点共线时最短).∴CP＋BQ的最小值为MB的长.∵∠MOB＝∠MOQ＋∠BOQ＝45°＋45°＝90°，∴MB＝ ＝ ＝4 ，即CP＋BQ的最小值为4 .14. (2022·武威)如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ (x＋3)(x－a)与x轴交于A，B(4，0)两点，点C在y轴上，且OC＝OB，点D，E分别是线段AC，AB上的动点(点D，E不与点A，B，C重合).(1)求此抛物线的表达式；解：(1)∵B(4，0)在抛物线y＝ (x＋3)(x－a)上，∴ ×(4＋3)(4－a)＝0，解得a＝4.∴y＝ (x＋3)(x－4)(或y＝ x2－ x－3).(2)连接DE并延长交抛物线于点P，当DE⊥x轴，且AE＝1时，求DP的长；解：(2)在y＝ (x＋3)(x－4)中，令y＝0，得x1＝－3，x2＝4.∴A(－3，0).∴OA＝ 3. ∵OC＝OB＝4，∴C(0，4).∵AE＝1，∴DE＝AE·tan∠CAO＝AE· ＝1× ＝ ，OE＝OA－AE＝3－1＝2.∴E(－2，0).∵DE⊥x轴，∴xP＝xD＝xE＝－2.∴yP＝ ×(－2＋3)×(－2－4)＝－ .∴PE＝ .∴DP＝DE＋PE＝ ＋ ＝ .方法2：易得直线AC：y＝ x＋4. ∵DE⊥x轴，∴xD＝xE＝－2，得D(－2， )，即DE＝ ，其余同上.(3)连接BD.①如图2所示，将△BCD沿x轴翻折得到△BFG，当点G在抛物线上时，求点G的坐标；②如图3所示，连接CE，当CD＝AE时，求BD＋CE的最小值.解：(3)①如图2，连接DG交AB于点M.∵△BCD与△BFG关于x轴对称，∴DG⊥AB，DM＝GM.设OM＝b(b＞0)，则AM＝OA－OM＝3－b，MG＝MD＝AM·tan∠CAO＝ (3－b).∴G(－b， (b－3)).∵点G(－b， (b－3))在抛物线y＝ (x＋3)(x－4)上，∴ (－b＋3)(－b－4)＝ (b－3)，解得b1＝3(舍去)，b2＝ .∴G(－ ， － ).方法2：设M(m，0).∵点D在直线AC上，∴D(m， m＋4).由对称，得G(m，－ m－4)，将点G(m，－ m－4)代入抛物线y＝ (x＋3)(x－4)，得m1＝－3(舍去)，m2＝－ ，∴G(－ ，－ ).②如图3，在AB下方作∠EAQ＝∠DCB，且AQ＝BC，连接EQ，CQ.∵AE＝CD，∴△AEQ≌△CDB(SAS).∴EQ＝BD.∴当C，E，Q三点共线时，BD＋CE＝EQ＋CE最小，最小为CQ的长.过点C作CH⊥AQ，交QA的延长线于点H.∵OC⊥OB， OC＝OB＝4，∴∠CBA＝45°，BC＝4 .∴∠CAH＝180°－∠CAB－∠EAQ＝180°－∠CAB－∠DCB＝∠CBA＝45°.∵AC＝ ＝ ＝5，∴AH＝CH＝ AC＝ .∴HQ＝AH＋AQ＝AH＋BC＝ ＋4 ＝ .∴CQ＝ ＝ ＝ ，即BD＋CE的最小值为 .1. (2025·德阳)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a＞0)过点(1，0)，(m，0)，且2＜m＜3，该抛物线与直线y＝kx＋c(k，c是常数，k≠0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点(点A在点B左侧).下列说法：①bc＜0；②3a＋b＞0；③点A'是点A关于直线x＝－ 的对称点，则3＜AA'＜4；④当x2＝4时，不等式ax2＋(b－k)x＜0的解集为0＜x＜4.其中正确的结论个数是( B )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4B2. (2025·深圳)综合与实践【问题背景】排队是生活中常见的场景.如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系.【研究条件】条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数＝现场总人数－已入场人数；条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人.【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：y＝－x2＋60x＋100(0≤x≤30).结合上述信息，请完成下述问题：(1)当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为 18x ，排队人数w与安检时间x的函数关系式为 w＝－x2＋42x＋100 .18x w＝－x2＋42x＋100 (2)w＝－x2＋42x＋100＝－(x－21)2＋541，∴当x＝21时，w最大值＝541.答：排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为541人.【模型应用】(2)在(1)的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？(3)已知该演出主办方要求：①排队人数在安检开始10分钟内(包含10分钟)减少；②尽量少安排安检通道，以节省开支.若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？【总结反思】函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量(如突发情况、安检流程优化等)进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性.提示：若开设3条安检通道，安检时间为x分钟，则已入场人数为18x，若排队人数为w，则w与x的函数表达式为w＝y－18x＝－x2＋42x＋100.(3)设开设m条安检通道，则w＝y－6mx＝－x2＋60x＋100－6mx＝－x2＋6(10－m)·x＋100，∴对称轴为x＝3(10－m).∵排队人数10分钟(包括10分钟)内减少，∴0＜3(10－m)≤10，即 ≤m＜10.又∵最多开通9条，∴ ≤m≤9.∵m为正整数，∴m最小值为7.∴最少开设7条安检通道.1. 已知二次函数y＝ax2－2ax＋a＋2(a≠0)，若－1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为4，则a的值为( C )A. 1 B. －1 C. ±1 D. 无法确定C2. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于点A，B，点A的坐标为(－4，0)，对称轴为直线x＝－1，有以下结论：①该抛物线的最大值为a－b＋c；②a＋b＋c＞0；③b2－4ac＞0；④2a＋b＝0；⑤一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根.其中正确的个数是( C )A. 2 B. 3 C. 4 D. 5C3. 下面是某地的一座桥，其桥洞形状可以看作一条抛物线.拱顶点A与起拱线BC相距4 m，桥的跨度BC为6 m，现以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，过点B且垂直于BC所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.吃水深度：衡量船舶在水中的垂直高度，即水面与船底之间的距离.(1)求抛物线的表达式；解：(1)由题意，得点B的坐标为(0，0)，点C的坐标为(6，0)，∴抛物线的对称轴为直线x＝ ＝3.∴拱顶点A的坐标为(3，4).设y＝a(x－3)2＋4，把(0，0)代入y＝a(x－3)2＋4，可得9a＋4＝0，解得a＝－ .∴抛物线的表达式为y＝－ (x－3)2＋4.(2)若观赏船宽为3 m，船顶到船底的距离为3.8 m，吃水深度为1 m.请问该船能否安全通过此桥？说明理由.解：(2)如图，观赏船MEFN在抛物线的正中间，延长EM交抛物线于点D，根据吃水深度可知EF在起拱线下方1 m处.∵BC＝6 m，MN＝3 m，∴点D的横坐标为 ＝ .当x＝ 时，可得y＝－ (－3)2＋4＝3.∴点D到水面的高度为3 m.∵船顶到船底的距离为3.8 m，吃水深度为1 m，∴观赏船在水上方的高度为2.8 m.∵2.8＜3，∴观赏船可以安全通过此桥.(共51张PPT)第三章 函数第三节 反比例函数第一部分 教材知识梳理考点一 反比例函数及其图象性质 ▼1. 一般地，形如y＝ (k为常数，k≠0)的函数，叫作反比例函数.反比例函数的自变量x的取值范围是 不等于0的一切实数 .【方法归纳】(1)因为正比例函数图象和反比例函数图象都关于原点对称，故在同一平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数图象若有交点，则两个交点关于原点对称.不等于0的一切实数 (2)结合图象比较函数值的大小如图，一次函数y1＝k1x＋b与反比例函数y2＝ 的图象交于A，B两点，过点A，B分别作y轴的平行线，连同y轴，将平面分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四部分，在Ⅰ，Ⅲ区域内，y1＜y2，自变量的取值范围为x＜xB或0＜x＜xA；在Ⅱ，Ⅳ区域内，y1＞y2，自变量的取值范围为xB＜x＜0或x＞xA.2. 反比例函数的性质解析式 y＝ (k≠0，k为常数)k的取 值范围 k ＞ 0 k ＜ 0图象所在象限 第 一、三 象限(x，y同号) 第 二、四 象限(x，y异号)＞ ＜ 一、三 二、四 增减性 在同一支上，y随x的增大而 减小 ；第一象限y值大于第三象限y值 在同一支上，y随x的增大而 增大 ；第二象限y值大于第四象限y值对称性 关于直线y＝x(第一、三象限角平分线)，y＝－x(第二、四象限角平分线)成轴对称，关于原点成中心对称.即若反比例函数图象上的两点的横坐标互为相反数，则其纵坐标也互为相反数减小 增大 3. 反比例函数值大小比较(1)直接代入求解：若已知或可求出反比例函数解析式，则直接将各自对应的反比例函数值通过解析式求解，直接比较；(2)若不能求出反比例函数解析式，则根据增减性判断：先根据反比例函数的k值确定反比例函数的增减性，再看两点是否在同一分支上，若不在同一分支上，则可直接根据正负性判断；若在同一分支上，利用增减性判断.4. 反比例函数中比例系数k的几何意义(1)k的几何意义：在反比例函数y＝ 图象上任取一点，过这一点分别作x轴，y轴的垂线与坐标轴围成的矩形的面积S＝｜xy｜＝ ｜k｜ .｜k｜ (2)计算与双曲线y＝ (k≠0，k为常数)上的点有关的图形面积.几种常见的面 积形式 S△PMO＝S△PNO＝ S△ABC＝ ｜k｜S△ABC＝ ｜k｜S△ABC＝｜k｜ S△AOB＝ ｜k1－k2｜S△AOE＝S四边形ECDB【方法归纳】(1)过反比例函数图象上任一点分别向两坐标轴作垂线段，垂线段与两坐标轴围成的矩形面积等于｜k｜，结合函数图象所在的象限可以确定k的值，反过来，根据k的值，可以确定此矩形的面积；(2)因为反比例函数y＝ 中的k有正负之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号.1. (2025·兰州校级模拟)若反比例函数y＝ 的图象在每一象限内，y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是( B )A. m＜－3 B. m＞－3 C. m＜0 D. m＞02. 下列关于反比例函数y＝－ 的描述不正确的是( D )A. 图象位于第二、四象限B. 图象必经过点(2，－ )C. 图象不可能与坐标轴相交D. y随x的增大而增大BD[练对点一]3. 已知点A(m－1，y1)和点B(m，y2)均在反比例函数y＝ (k是常数，k＞0)的图象上，下列结论正确的是( B )A. 当m＜0时，y1＜y2＜0B. 当0＜m＜1时，y1＜0＜y2C. 当0＜m＜1时，y2＜y1＜0D. 当m＞1时，0＜y1＜y2B4. 函数与y1＝ax2＋bx＋c与y2＝ 的图象如图所示，当y1＞y2时，x的取值范围是( C )A. x＜－1或－1＜x＜1或x＞2B. x＜－1或x＞2C. －1＜x＜0或1＜x＜2D. x＜－1或－1＜x＜0或x＞2C5. (2025·凉州区一模)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点.已知反比例函数y＝ (k＞1)的图象经过点A(2，m)，过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为5.(1)求k和m的值；解：(1)m＝5. k＝11.(2)当x≥8时，求函数值y的取值范围.解：(2)y的取值范围是0＜y≤ .考点二 反比例函数解析式的确定 ▼5. 用待定系数法确定反比例函数解析式的一般步骤：(1)设所求的反比例函数的解析式为y＝ (k≠0，k为常数)；(2)找出图象上一点P(a，b)的坐标并将其代入；(3)求出待定系数k的值为k＝ab；(4)确定反比例函数解析式y＝ .6. 在具体问题中也可根据k的几何意义通过相应三角形或四边形的面积求出k的值，从而确定解析式.[练对点二]6. (2025·定西模拟)如图，点B是反比例函数y＝ (x＞0)上一点，矩形OABC的周长是16，正方形BCGH和正方形OCDF的面积之和为56，则反比例函数的解析式是 y＝ (x＞0) .y＝ (x＞0) 命题点一 反比例函数的图象及性质1. (2025·兰州)若点A(2，y1)与B(－2，y2)在反比例函数y＝ 的图象上，则y1，y2的大小关系是( C )A. y1＜y2 B. y1≤y2 C. y1＞y2 D. y1≥y22. (2025·甘肃)已知点A(2，y1)，B(6，y2)在反比例函数y＝ (k≠0)的图象上，如果y1＞y2，那么k＝ ＜ (请写出一个符合条件的k值).C＜ 3. (2021·省卷)若点A(－3，y1)，B(－4，y2)在反比例函数y＝ 的图象上，则y1 2(答案不唯一，k＞0即可) y2.(填“＞”“＜”或“＝”)2(答案不唯一，k＞0即可) 命题点二 一次函数与反比例函数综合题4. (2025·兰州)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－ x＋b与反比例函数y＝ (x＞0)的图象相交于点A(m，3)，与x轴相交于点B(8，0)，与y轴相交于点C.(1)求一次函数y＝－ x＋b与反比例函数y＝ 的表达式；解：(1)由题意，得－ ×8＋b＝0，解得b＝4，∴一次函数的表达式为y＝－ x＋4.将点A(m，3)的坐标代入y＝－ x＋4，得3＝－ ×m＋4，解得m＝2，∴A(2，3).∴k＝2×3＝6.∴反比例函数的表达式为y＝ .(2)点P为y轴负半轴上一点，连接AP. 若△ACP的面积为6，求点P的坐标.解：(2)由一次函数表达式可知C(0，4)，B(8，0)，A(2，3)，设点P(0，x)，∴PC＝4－x，∴S△PAC＝ (4－x)·2＝ 6.解得x＝－2，∴P(0，－2).5. (2025·甘肃)如图，一次函数y＝x＋4的图象交x轴于点A，交反比例函数y＝ (k≠0，x＜0)的图象于点B(－1，a).将一次函数y＝x＋4的图象向下平移m(m＞0)个单位长度，所得的图象交x轴于点C.(1)求反比例函数y＝ 的表达式；解：(1)由题意，得－1＋4＝a，解得a＝3.∴点B的坐标为(－1，3).代入反比例函数y＝ ，得k＝－3，∴反比例函数的表达式为y＝－ .(2)当△ABC的面积为3时，求m的值.解：(2)一次函数y＝x＋4的图象向下平移m(m＞0)个单位长度后的图象的表达式为y＝x＋4－m，令y＝0，得x＋4－m＝0，解得x＝m－4，∴点C的坐标为(m－4，0).∵一次函数y＝x＋4的图象交x轴于点A，∴点A的坐标为(－4，0).∴AC＝m.∵点B的坐标为(－1，3)，∴S△ABC＝ m·3＝3.∴m＝2.6. (2024·临夏州)如图，直线y＝kx与双曲线y＝－ 交于A，B两点，已知A点坐标为(a，2).(1)求a，k的值；解：(1)∵点A在反比例函数图象上，∴2＝－ .解得a＝－2.将A(－2，2)代入y＝kx，得2＝－2k，解得k＝－1.(2)将直线y＝kx向上平移m(m＞0)个单位长度，与双曲线y＝－ 在第二象限的图象交于点C，与x轴交于点E，与y轴交于点P，若PE＝PC，求m的值.解：(2)如图，过点C作CF⊥y轴于点F，∴CF∥OE. ∴∠FCP＝∠OEP，∠CFP＝∠EOP.∵PE＝PC，∴△CFP≌△EOP(AAS).∴CF＝OE，PF＝OP.∵将直线y＝－x向上平移m个单位长度得到y＝－x＋m，令x＝0，得y＝m，令y＝0，得x＝m.∴E(m，0)，P(0，m).∴CF＝OE＝m，OP＝PF＝m.∴C(－m，2m).∵双曲线y＝－ 过点C，∴－m·2m＝－4.解得m1＝ 或m2＝－ (舍去).∴m＝ .7. (2024·省卷)如图，在平面直角坐标系中，将函数y＝ax的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数y＝ax＋b的图象，与反比例函数y＝ (x＞0)的图象交于点A(2，4)，过点B(0，2)作x轴的平行线分别交y＝ax＋b与y＝ (x＞0)的图象于C，D两点.(1)求一次函数y＝ax＋b和反比例函数y＝ 的表达式；解：(1)∵将y＝ax的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数y＝ax＋b的图象，∴b＝3.∴y＝ax＋3.∵y＝ax＋3与y＝ (x＞0)的图象交于点A(2，4)，∴2a＋3＝4，解得a＝ .∴一次函数的表达式为y＝ x＋3.＝4，解得k＝8.∴反比例函数的表达式为y＝ .(2)连接AD，求△ACD的面积.解：(2)由已知可得点C，点D的纵坐标都等于2.当y＝2时， x＋3＝2，解得x＝－2，∴C(－2，2).当y＝2时， ＝2，解得x＝4，∴D(4，2).∴CD＝CB＋BD＝2＋4＝6.如图，过点A作AM⊥x轴于点N，交CD于点M，∴AM＝AN－MN＝4－2＝2.∴S△ACD＝ CD·AM＝ ×6×2＝6.8. (2024·兰州)如图，反比例函数y＝ (x＞0)与一次函数y＝mx＋1的图象交于点A(2，3)，点B是反比例函数图象上一点，BC⊥x轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接AB.(1)求反比例函数y＝ 与一次函数y＝mx＋1的表达式；解：(1)∵反比例函数y＝ (x＞0)与一次函数y＝mx＋1的图象交于点A(2，3)，∴k＝2×3＝6，3＝2m＋1.解得 k＝6，m＝1.∴反比例函数的表达式为y＝ ，一次函数的表达式为y＝x＋ 1.(2)当OC＝4时，求△ABD的面积.∴反比例函数的表达式为y＝ ，一次函数的表达式为＝x＋解：(2)将x＝4代入一次函数y＝x＋1，得y＝5，∴D(4，5).将x＝4代入反比例函数y＝ ，得y＝ .∴B(4， ).∴BD＝5－ ＝ .∴S△ABD＝ × ×(4－2)＝ .9. (2023·武威)如图，一次函数y＝mx＋n的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝ (x＞0)的图象交于点B(3，a).(1)求点B的坐标；解：(1)∵点B(3，a)在反比例函数y＝ (x＞0)的图象上，∴a＝ ＝2.∴B(3，2).(2)用含m的代数式表示n；解：(2)∵点B(3，2)在一次函数y＝mx＋n的图象上，∴3m＋n＝2，即n＝－3m＋2.(3)当△OAB的面积为9时，求一次函数y＝mx＋n的表达式.解：(3)如图，连接OB.∵S△OAB＝ OA·xB＝9，∴ OA·3＝9.∴OA＝6.∴A(0，－6).∴n＝－6.∴－3m＋2＝－6.∴m＝ .∴一次函数的表达式为y＝ x－6.10. (2023·兰州)如图，反比例函数y＝ (x＜0)与一次函数y＝－2x＋m的图象交于点A(－1，4)，BC⊥y轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C.(1)求反比例函数y＝ 与一次函数y＝－2x＋m的表达式；解：(1)∵反比例函数y＝ (x＜0)的图象经过点A(－1，4)，∴k＝－1×4＝－4.∴反比例函数的表达式为y＝－ .∵一次函数y＝－2x＋m的图象经过点A(－1，4)，∴4＝－2×(－1)＋m.∴m＝2.∴一次函数的表达式为y＝－2x＋2.(2)当OD＝1时，求线段BC的长.解：(2)∵OD＝1，∴D(0，1).∴直线BC的表达式为y＝1.当y＝1时，1＝－ ，解得x＝－4，则B(－4，1)，当y＝1时，1＝－2x＋2，解得x＝ ，则C(，1)，∴BC＝ －(－4)＝4 .11. (2022·武威)如图所示，点B，C是反比例函数y＝ (k≠0)在第一象限图象上的点，过点B的直线y＝x－1与x轴交于点A，CD⊥x轴，垂足为D，CD与AB交于点E，OA＝AD，CD＝3.(1)求此反比例函数的表达式；解：(1)∵直线y＝x－1交x轴于点A，∴A(1，0).∴OA＝ 1. ∴AD＝OA＝1，即OD＝ 2.∵CD＝3，∴C(2，3).∵点C(2，3)在反比例函数y＝ 的图象上，∴k＝2×3＝ 6.∴此反比例函数的表达式为y＝ .(2)求△BCE的面积.解：(2)联立解得x1＝－2(舍去)，x2＝3.即xB＝3.∵CD⊥x轴，∴xE＝xC＝xD＝2.∵点E在直线AB上，∴yE＝2－1＝1.∴CE＝yC－yE＝3－1＝2.如图所示，过点B作BH⊥CE，垂足为H，则BH＝xB－xD＝3－2＝1.∴S△BCE＝ CE·BH＝ ×2×1＝1.12. (2022·兰州)如图所示，点A在反比例函数y＝ (x＞0)的图象上，AB⊥x轴，垂足为点B(3，0)，过点C(5，0)作CD⊥x轴，交过B点的一次函数y＝ x＋b的图象于D点，交反比例函数的图象于E点，S△AOB＝3.(1)求反比例函数y＝ (x＞0)和一次函数y＝ x＋b的表达式；解：(1)∵点A在反比例函数y＝ (x＞0)的图象上，AB⊥x轴，∴S△AOB＝ ｜k｜＝3.∴k＝6.∴反比例函数的表达式为y＝ .∵一次函数y＝ x＋b的图象过点B(3，0)，∴ ×3＋b＝0.解得b＝－ ，∴一次函数的表达式为y＝ x－ .(2)求DE的长.解：(2)∵过点C(5，0)作CD⊥x轴，交过B点的一次函数y＝ x＋b的图象于D点，交反比例函数的图象于E点，当x＝5时，yE＝ ＝ ；yD＝ x－ ＝3，∴E(5， )，D(5， 3)，∴DE＝3－ ＝ .1. (2025·广西)如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”ABCDEFG的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足BC＝DE＝FG＝1，点A，C，E，G均在双曲线y＝ 的一支上.若点A的坐标为(4， )，则第三级阶梯的高EF＝( B )A. 4 B. 3 C. D.B2. (2025·黑龙江)如图，在平面直角坐标系中，点A，点B都在双曲线y＝(k≠0)上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为－1，∠AOB＝∠ABO＝45°，则k的值为( D )A. B. － C. D. －D1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形OABC的顶点B在y轴上，顶点A在反比例函数y＝－ 的图象上，顶点C在反比例函数y＝ 的图象上，则平行四边形OABC的面积是( B )A. 32 B. 16 C. 8 D.B2. 若点A(－4，y1)，B(－2，y2)，C(3，y3)都在反比例函数y＝ 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( B )A. y3＞y2＞y1 B. y3＞y1＞y2C. y2＞y1＞y3 D. y1＞y2＞y3B3. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x＋b(k≠0)与反比例函数y2＝ (k2≠0)的图象相交于A(－2，1)，B(m，－2)两点.(1)求y1，y2对应的函数表达式；解：(1)由题意，得k2＝－2×1＝－2m，∴k2＝－2，m＝ 1.∴反比例函数的表达式为y2＝－ ，B(1，－2).∵A(－2，1)和B(1，－2)在直线y1＝k1x＋b上，∴ 解得∴一次函数的表达式为y1＝－x－1.(2)过点A作x轴的垂线，交x轴于点C，保留做图痕迹；解：(2)如图所示.(3)连接BC，求△ABC的面积.解：(3)∵A(－2，1)，∴C(－2，0)，AC＝ 1.由(1)可知，B(1，－2)，∴△ABC的面积＝ AC·(xB－xC)＝ ×1×[1－(－2)]＝ .(共43张PPT)第三章 函数第二节 一次函数第一部分 教材知识梳理考点一 一次函数及其图象性质 ▼1. 一般地，形如 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 的函数，叫作一次函数.当 b＝0 时，称y是x的正比例函数.2. 一次函数的图象和性质y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) b＝0 k，b的符号 函数图象 图象的位置 增减性k＞0 b＞0 图象过第一、二、三象限 y随x的增大而增大b＝0 图象过第 一、三 象限b＜0 图象过第一、三、四象限一、三 k，b的符号 函数图象 图象的位置 增减性k＜0 b＞0 图象过第一、二、四象限 y随x的增大而 减小 b＝0 图象过第二、四象限b＜0 图象过第 二、三、四 象限 y随x的增大而 减小 减小 二、三、四 减小 1. 新考法(2025·张掖一模)如图，水平轴为x轴，竖直轴为y轴，若点(k，b)在第二象限，则函数y＝kx＋b的图象可能是( B )第1题图 B[练对点一]A. 以M为原点的直线nB. 以N为原点的直线nC. 以M为原点的直线mD. 以N为原点的直线m2. (2025·甘州区一模)如图，一次函数y＝2x－3的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是( A )A. (－ ，0) B. (，0)C. (0，3) D. (0，－3)第2题图A考点二 一次函数解析式的确定 ▼3. 用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤：(1)设出一次函数解析式的一般形式 y＝kx＋b(k≠0) ；(2)找到一次函数图象上的两个点(x1，y1)，(x2，y2)并代入解析式中，得到关于k，b的二元一次方程组(3)解方程组，求出待定系数k，b；(4)将求得的待定系数的值代入所设解析式.y＝kx＋b(k≠0) 3. 在平面直角坐标系中，已知点(1，2)和(2，5)在直线l上，则直线l必经过点( C )A. (－1，0) B. (0， )C. (，0) D. (－2，－5)C[练对点二]考点三 一次函数图象的平移 ▼4. 平移规律口诀：上加下减，左加右减.＋x＋m 5. 对称规律对称前表达式 对称方式 对称后表达式 k的变化特征 b的变化特征y＝kx＋b (k≠0) 关于x轴对称 y＝－kx－b k变－k b变－b关于y轴对称 y＝－kx＋b k变－k b不变[练对点三]4. (2025·康县四模)把直线y＝－x＋2向上平移a个单位后，与直线y＝2x＋3的交点在第二象限，则a的取值范围是( C )A. a＞1 B. － ＜a＜0C. － ＜a＜1 D. a＜1C5. (2025·西和县模拟)已知直线y＝－2x＋1向下平移m(m＞0)个单位后经过点(1，－3)，则m的值为 2 .2 考点四 一次函数与方程(组)、不等式的关系 ▼6. 一次函数与一元一次方程的关系如图1，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交点A的横坐标为－ 方程kx＋b＝0的解为x＝－ .图17. 一次函数与二元一次方程组的关系如图2，一次函数y1＝k1x＋b1(k≠0)和y2＝k2x＋b2(k2≠0)的图象交点B的横坐标为m、纵坐标为n 二元一次方程组 的解为图28. 一次函数与一元一次不等式的关系(1)如图3，不等式kx＋b＞0的解集即一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象在x轴上方时，对应的x的取值范围；(2)不等式kx＋b＜0的解集即一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象在x轴下方时，对应的x的取值范围； (3)如图4，不等式k1x＋b1＞k2x＋b2的解集 一次函数y1＝k1x＋b1(k1≠0)的图象在一次函数图象y2＝k2x＋b2(k2≠0)图象上方部分所对应的x的取值范围，即x＞m；(4)不等式k1x＋b1＜k2x＋b2的解集 一次函数y1＝k1x＋b1(k1≠0)的图象在一次函数y2＝k2x＋b2(k2≠0)图象下方部分所对的x的取值范围，即x＜m.[练对点四]6. (2025·兰州一模)如图，已知直线y＝－ x＋b经过点A(－2，3)，则关于x的方程－ x＋b＝3的解是( B )A. x＝2 B. x＝－2 C. x＝3 D. x＝－3B7. (2025·安定区一模)如图，一次函数y1＝x＋b与一次函数y2＝kx＋4的图象交于点P(1，3)，则关于的不等式x＋b＜kx＋4的解集是( D )A. x＞2 B. x＞0 C. x＞1 D. x＜1D考点五 一次函数的应用 ▼9. 一次函数的应用有如下常用题型(1)根据实际问题中给出的数据列相应的函数表达式，解决实际问题；(2)利用一次函数对实际问题中的方案进行比较；(3)结合函数图象解决实际问题；(4)一次函数与几何图形结合的应用.①直线y＝kx＋b(k≠0)与x轴的交点为(－ ，0)，与y轴的交点为(0，b)，且这两个交点与坐标原点构成的三角形面积S＝ · ·｜b｜.②一次函数y＝k1x＋b1(k1≠0)与y＝k2x＋b2(k2≠0)图象的位置关系：a.当k1＝k2，b1≠b2时，两个一次函数图象平行；b.当k1＝k2，b1＝b2时，两个一次函数图象重合；c.当k1≠k2，b1＝b2时，两个一次函数图象交于y轴上一点；d.当 ＝ 时，两个一次函数的图象交于x轴上一点；e.当k1·k2＝－1时，两个一次函数图象垂直.10. 建模思想确定实际问题中的一次函数解析式，要先将实际问题转化为数学问题，即数学建模.要做到这种转化，首先要分清哪个量是自变量，哪个量是函数；其次建立函数与自变量之间的关系，要注意自变量的取值范围.11. 一次函数的性质在实际问题中的应用：可以根据自变量的取值求函数值，或者由函数值求自变量的值.由于自变量的取值一般受到限制，所以可以根据一次函数的性质求出一次函数在某个范围的最值.【方法归纳】1. 对于直线y＝kx＋b(k≠0)，k定b变时，函数图象互相平行，某个函数图象可由其他函数图象平移得到.2. 对于直线y＝kx＋b(k≠0)，k变b定时，函数图象恒过点(0，b)，图象绕(0，b)旋转.3. 一次函数交点问题找临界点(1)直线与线段的交点问题实质是找临界点，临界点一般为线段的两个端点；(2)直线与直线的交点问题有两种情况：①交点所在象限确定，则可通过列方程，根据各象限点的坐标特征，结合不等式求解，也可将确定直线与x轴或y轴的交点作为临界点求解；当两条直线没有交点时，应考虑平行的情况；②某一条直线给定x的取值范围，根据交点个数求字母取值范围，方法类同直线与线段的交点问题.8. (2025·白银一模)在探究“水沸腾时温度变化特点”的实验中，发现在水沸腾前，水的温度y( ℃)与加热时间x(分钟)之间满足一次函数关系，如表记录了实验中温度y( ℃)和时间x(分钟)变化的部分数据.时间x/分钟 6 10 15 ……温度y/℃ 28 40 55 ……则加热18分钟时水的温度是( B )A. 62 ℃ B. 64 ℃ C. 66 ℃ D. 68 ℃B[练对点五]新考向·跨学科综合9. (2025·武威模拟)在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回.设汽车从甲地出发x(h)时，汽车与甲地的距离为y(km)，y与x的函数关系如图所示.根据图象信息，解答下列问题：(1)这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由；解：(1)不同.理由如下：∵往、返距离相等，去时用了2小时，而返回时用了2.5小时，∴往、返速度不同.(2)求返程中y与x之间的函数表达式；解：(2)设返程中y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b，则 解得∴y＝－48x＋240(2.5≤x≤5).(3)求这辆汽车从甲地出发4 h时与甲地的距离.∵往、返距离相等，去时用了2小时，而返回时用了小时，∴往、返速度不同.∴y＝－48x＋240(≤x≤5).解：(3)当x＝4时，汽车在返程中，∴y＝－48×4＋240＝48.∴这辆汽车从甲地出发4 h时与甲地的距离为48km.命题点一 一次函数的图象与性质1. (2024·兰州)一次函数y＝2x－3的图象不经过( B )A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限2. (2024·临夏州)一次函数y＝kx－1(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，它的图象不经过的象限是( A )A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限BA3. (2023·兰州)一次函数y＝kx－1的函数值y随x的增大而减小，当x＝2时，y的值可以是( D )A. 2 B. 1 C. －1 D. －24. (2022·兰州)若一次函数y＝2x＋1的图象经过点(－3，y1)，(4，y2)，则y1与y2的大小关系是( A )A. y1＜y2 B. y1＞y2 C. y1≤y2 D. y1≥y2DA5. (2021·省卷)将直线y＝5x向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为( A )A. y＝5x－2 B. y＝5x＋2C. y＝5(x＋2) D. y＝5(x－2)A6. (2024·省卷)已知一次函数y＝－2x＋4，当自变量x＞2时，函数y的值可以是 －1(答案不唯一，合理即可) (写出一个合理的值即可).7. (2022·武威)若一次函数y＝kx－2的函数值y随着自变量x值的增大而增大，则k＝ 2(答案不唯一，合理即可) (写出一个满足条件的值).－1(答案不唯一，合理即可) 2(答案不唯一，合理即可) 命题点二 一次函数的实际应用8. (2021·省卷)如图1所示，小刚家、学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中(上、下车时间忽略不计).小刚离家的距离y(m)与他所用的时间x(min)的函数关系如图2所示.(1)小刚家与学校的距离为 3 000 m，小刚骑自行车的速度为 200 m/min；3 000 200 (2)求小刚从图书馆返回家的过程中，y与x的函数表达式；解：(2)小刚从图书馆返回家的时间：5 000÷200＝25(min).总时间：25＋20＝45(min).设返回时y与x的函数表达式为y＝kx＋b，把(20，5 000)，(45，0)代入，得 解得 ∴y＝－200x＋9 000(20≤x≤45).(3)小刚出发35分钟时，他离家有多远？解：(3)小刚出发35分钟，即当x＝35时，y＝－200×35＋9 000＝2 000.答：小刚出发35分钟时，他离家2 000 m.1. (2025·安徽)已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点M(1，2)，且y随x的增大而增大.若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是( D )A. (－2，2) B. (2，1)C. (－1，3) D. (3，4)D2. (2025·辽宁)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋4与y轴相交于点A，与x轴相交于点B，点C在线段OA上(不与点O，A重合)，过点C作OA的垂线，与直线AB相交于点D，点A关于直线CD的对称点为E，连接DE.(1)求证：∠OAB＝45°；解：(1)证明：由条件可知A(0，4)，B(4，0)，∴OA＝4，OB＝4.∵∠AOB＝90°，∴∠OAB＝45°.(2)设点C的坐标为(0，m)，当0＜m＜2时，线段DE与线段OB相交于点F，求四边形COFD面积的最大值.解：(2)∵点C的坐标为(0，m)，∴OC＝m，AC＝4－m.由条件可知CE＝AC＝4－m，∠OAB＝∠CED＝45°，∴OE＝CE－OC＝4－2m.∵∠EOF＝90°，∴∠OEF＝∠OFE＝45°.∴OF＝OE＝4－2m.∵CD⊥OA，∴∠OAB＝∠CDA＝45°.∴CD＝AC＝4－m.∴四边形COFD的面积＝ (OF＋CD)·OC＝ (4－2m＋4－m)·m＝－m2＋4m＝－ ＋ .∵－ ＜0，∴当m＝ 时，四边形COFD面积有最大值，最大值为 .1. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y＝－2x＋4的图象向左平移1个单位长度后，所得新一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，则△ABO的面积为( B )A. 2 B. 1 C. 4 D. 9B2. 如图，一次函数y1＝ax＋b(a，b为常数且a≠0)与正比例函数y2＝kx(k为常数且k≠0)的图象交于点P(－4，－2)，则关于x的方程ax＋b＝kx的解是( A )A. x＝－4 B. x＝－2 C. x＝2 D. x＝4A3. 我国是一个严重缺水的国家.为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过8吨时，水价为每吨1.5元，超过8吨时，超过的部分按每吨2.2元收费.该市某户居民10月份用水x吨，应交水费y元.(1)若0＜x≤8，请写出y与x的函数关系式；解：(1)根据题意，得当0＜x≤8时，y＝1.5x.(2)若x＞8，请写出y与x的函数关系式；解：(2)根据题意，得当x＞8时，y＝1.5×8＋2.2×(x－8)＝2.2x－5.6.(3)如果该户居民这个月交水费23元，那么这个月该户用了多少吨水？解：(3)∵当0＜x≤8时，y＝1.5x，y的最大值为1.5×8＝12(元)，12＜23，∴该户当月用水超过8吨.令y＝2.2x－5.6中y＝23，则23＝2.2x－5.6，解得x＝13.答：这个月该户用了13吨水.(共38张PPT)第三章 函数第一节 平面直角坐标系与函数第一部分 教材知识梳理考点一 平面直角坐标系与点的坐标 ▼1. 各象限内点的坐标特征第一象限：x＞0，y＞0；第二象限：x 0，y＞0； 第三象限：x＜0，y＜0；第四象限：x＞0，y 0；___________＜＜2. 坐标轴上的点的坐标特征(1)点在x轴上 y＝ 0 (2)点在y轴上 x ＝0 【温馨提示】坐标轴上的点不在任何象限.0 x 3. 象限角平分线上的点的坐标特征第一、三象限角平分线 x＝ y ；第二、四象限角平分线 x＝ －y .4. 平面直角坐标系中点的变换(1)对称P(x，y) P' (x，－y) ；P(x，y) P' (－x，y) ；P(x，y) P' (－x，－y) ；规律：关于谁对称谁不变，另一个变号，关于原点对称都变号.y －y (x，－y) (－x，y) (－x，－y) 【方法归纳】(1)若点P(x1，y1)与点Q(x2，y2)关于直线x＝m对称，则y1＝y2， ＝m；(2)若点P(x1，y1)与点Q(x2，y2)关于直线y＝m对称，则x1＝x2， ＝m.(2)平移简记：左右平移变x，上下平移变y，左减右加，上加下减.(x，y＋c )(x-a，y)(x＋b，y )(x，y-b)5. 平面直角坐标系中有两点A，B，则线段AB的中点M的坐标为M(， ).[练对点一]1. 若点P(－3，a)在x轴上，则点Q(a－3，a＋1)所在象限是( B )A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限2. (2025·武威模拟)如果点P(m，1－2m)在第四象限，那么m的取值范围是( B )A. m＜0 B. m＞C. 0＜m＜ D. － ＜m＜0BB3. 如图为某公园中的牡丹园、芍药园和月季园的位置示意图.将其放在适当的平面直角坐标系中，若芍药园的坐标为(－1，0)，月季园的坐标为(1，－2)，则牡丹园的坐标为( D )A. (－3，2) B. (2，2) .(－1，1) D. (－2，2)D4. 若｜a＋4｜＋(3－b)2＝0，则点A(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (－4，－3) .(－4，－3) 考点二 平面直角坐标系中的距离 ▼6. 点到坐标轴及原点距离点P(x，y)到x轴的距离为｜y｜，到y轴的距离为｜x｜，到原点的距离为 .7. 两点间距离(1)如图1所示，平行于x轴的直线l上的点的 纵 坐标相同，l上两点P，M间的距离等于横坐标差的绝对值，即PM＝｜xP－xM｜.纵 (2)如图2所示，平行于y轴的直线l上的点的 横 坐标相同，l上两点P，N间的距离等于纵坐标差的绝对值，即PN＝｜yP－yN｜.横 (3)平面直角坐标系中，要求任意两点间的距离，可作如图3所示的辅助线，利用勾股定理MN2＝MP2＋NP2，得MN＝.[练对点二]5. 已知点A(m，－2)，点B(3，m－1)，且直线AB∥x轴，则m的值为( A )A. －1 B. 1 C. －3 D. 36. 在平面直角坐标系中，点P(，－ )到原点的距离等于( C )A. 6 B. 5 C. 4 D. 3AC7. 新定义定义：T是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点T分别向x轴、y轴作垂线段，若两条垂线段的长度的和为4，则点T叫作“垂距点”，例如：图中的点P，Q是“垂距点”.若M(2m－5，11－3m)是第四象限的点，且点M是“垂距点”，则m的值为( B )A. 2 B. 4 C. D. 10B考点三 函数及其图象 ▼8. 函数：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们称x是自变量，y是x的函数.类型 示例 自变量取值范围整式型 如y＝x－1 全体实数 分式型 如y＝ 使分母不为0的实数偶次 根式型 如y＝使被开方数大于或等于0的实数全体实数 9. 函数自变量的取值范围类型 示例 自变量取值范围分式＋偶 次根式型 如y＝ 同时满足：①被开方数大于或等于0；②分母不为0零(负整数)指数幂型 如y＝x－1 或y＝x0 使底数不为0的实数注意：与实际问题有关的函数，其自变量的取值范围是使实际问题有意义的值.10. 表示方法函数的表示方法有解析式法、列表法、 图象法 .在解决一些与函数有关的问题时，有时可以同时用两种或两种以上的方法来表示函数.11. 对函数图象的判断与分析(1)已知函数解析式，判断点P(x，y)是否在函数图象上：若点P(x，y)的坐标满足函数解析式，则点P(x，y)在其图象上；若点P(x，y)的坐标不满足函数解析式，则点P(x，y)不在其图象上.图象法 (2)根据图象解决实际问题①找起点：结合题干中所给自变量及函数值的取值范围，在对应函数图象中找出对应点；②找特殊点：交点——两个函数图象在此点处表示当自变量取该值时两个函数的函数值相等；转折点——图象的斜率或增减性在此点处发生变化；③判断图象趋势：线段相对较陡，表示函数值随自变量的变化而变化得快；线段相对较缓表示函数值随自变量的变化而变化得慢；平行于x轴表示在这个过程中函数值保持不变；④看图象与坐标轴交点，即此时另外一个量为0.(3)与动态几何结合的函数图象问题①认真观察几何图形，弄清楚动点从何点出发，运动到何点停止，整个运动分为不同的几段；②将函数图象上的起点、转折点、终点依次与几何图形上的对应点一一匹配.从函数图象读取关键点坐标，代入几何公式，即可求得边长、面积等信息；从几何图形性质也可以推导出函数图象关键点坐标；③对于判断函数图象的问题，还要结合面积、三角函数及勾股定理等知识写出动点在不同路段的函数解析式，最后根据解析式判断作答即可.【温馨提示】(1)研究有关点的坐标变化规律时，①若旋转方向不明，须分顺时针和逆时针两种情况进行讨论；②若平移方向不明，须分左右和上下四种情况进行讨论，忘记分类讨论就会漏解.(2)解答分段函数的图象问题一般需要根据点的运动轨迹进行分类讨论，找到不同阶段对应的函数关系，确定每个阶段图象的大致形状.忽略分类讨论，会出现漏解.[练对点三]8. (2025·安定区三模)函数y＝ 中自变量x的取值范围是 x≥0且x≠2 .x≥0且x≠2 9. 新考法(2025·张掖一模)如图，火车匀速通过隧道(隧道长大于火车长)时，火车在隧道内的长度y与火车进入隧道的时间x之间的关系用图象描述大致是( B )BA B C D10. (2025·安定区一模)小明在游乐场坐过山车，在某一段60 s时间内过山车的高度h(m)与时间t(s)之间的函数关系图象如图所示，下列结论错误的是( C )A. 当t＝41时，h＝15B. 过山车距水平地面的最高高度为98 mC. 在0≤t≤60范围内，当过山车高度是80 m时，t的值只能等于30D. 当41≤t≤53时，高度h(m)随时间t(s)的增大而增大C命题点一 平面直角坐标系中点的坐标特征1. (2024·临夏州)如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为(3，4)，则顶点A的坐标为( C )A. (－4，2) B. (－ ，4)C. (－2，4) D. (－4， )C2. (2024·省卷)敦煌文书是华夏民族引以为傲的艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田积表》部分如图1所示，它以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10步到60步的矩形田地面积，极大地提高了农田面积的测量效率.图2是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和宽都用步来表示，A区域表示长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为(15，16)，那么有序数对记为(12，17)对应的田地面积为( D )DA. 一亩八十步B. 一亩二十步C. 半亩七十八步D. 半亩八十四步命题点二 分析判断函数图象3. (2025·甘肃)如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点.动点P从点A出发，沿边AC→CB方向匀速运动，运动到点B时停止.设点P的运动路程为x，△APD的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到CB的中点时，PD的长为( A )A. 2 B. 2.5 C. 2 D. 4A4. (2024·省卷)如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿着AB→BC匀速运动，运动到点C时停止.设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点时，PO的长为( C )A. 2 B. 3 C. D. 2C5. (2024·兰州)如图1，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接BD，点M从点B出发沿BD方向以 cm/s的速度运动至点D，同时点N从点B出发沿BC方向以1 cm/s的速度运动至点C，设运动时间为x(s)，△BMN的面积为y(cm2)，y与x的函数图象如图2所示.则菱形ABCD的边长为( C )A. 2 cm B. 4 cm C. 4 cm D. 8 cmC6. (2024·临夏州)如图1，矩形ABCD中，BD为其对角线，一动点P从D出发，沿着D→B→C的路径行进，过点P作PQ⊥CD，垂足为Q. 设点P的运动路程为x，PQ－DQ为y，y与x的函数图象如图2，则AD的长为( B )A. B. C. D.B7. (2023·武威)如图1，正方形ABCD的边长为4，E为CD边的中点.动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动，运动到点C时停止.设点P的运动路程为x，线段PE的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为( C )A. (4，2 ) B. (4，4)C. (4，2 ) D. (4，5)C8. (2022·武威)如图1所示，在菱形ABCD中，∠A＝60°，动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB方向匀速运动，运动到点B停止.设点P的运动路程为x，△APB的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为( B )A. B. 2 C. 3 D. 4B9. (2021·省卷)如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于点D(AD＞BD).动点M从点A出发，沿折线AB→BC方向运动，运动到点C停止.设点M的运动路程为x，△AMD的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则AC的长为( B )A. 3 B. 6 C. 8 D. 9B新考法(2025·江西)在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者.甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是( A )A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁A1. 已知在第二象限内的点P的坐标为(2a－3，6＋a)，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是( A )A. (－5，5) B. (5，－5)C. (－5，5)或(－15，15) D. (5，－5)或(15，－15)A2. 如图1，△ABC是等腰三角形，D是底边BC的中点，动点E从点B出发，沿边BA→AC匀速运动，运动到点C时停止.设点E的运动路程为x，DE的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则m的值为 . 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第1节 平面直角坐标系与函数.pptx 第2节 一次函数.pptx 第3节 反比例函数.pptx 第4节 二次函数.pptx
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