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(共34张PPT)
第五章　四边形
第一节　平行四边形与多边形
第一部分　教材知识梳理
考点一　平行四边形的性质 　▼
1. 定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.平行四边形用
“ ”表示.如图，平行四边形ABCD记作“ ABCD”.
2. 平行四边形的性质
性质 字母表示(如上图)
边 对边平行 AB∥ 　 CD　，AD∥ 　 BC　
对边相等 AB＝ 　 CD　，AD＝ 　 BC　
角 对角相等 ∠ABC＝ 　 ∠ADC　，∠BAD＝ 　 ∠BCD　
CD　
BC　
CD　
BC　
∠ADC　
∠BCD　
性质 字母表示(如上图)
角 邻角互补 ∠ABC＋ 　 ∠BCD　＝180°，
∠BCD＋ 　 ∠ADC　＝180°，
∠ADC＋∠BAD＝180°，
∠BAD＋∠ABC＝180°
对角线 对角线互相平分 OA＝ 　 OC　，OB＝ 　 OD　
对称性 平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形 面积 S ABCD＝BC·AE＝AD·AE 过平行四边形对称中心的直线平分平行四边形的面积和周长. ∠BCD　
∠ADC　
OC　
OD　
图形
面积关系 S1＋S2＝S3 S1＋S3＝S2＋S4 S1＝S2 S1·S2＝S3·S4
【温馨提示】
[练对点一]
1. (2025·麦积区一模)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF
过点O与AD，BC分别相交于E，F，若AB＝3，BC＝4，OE＝1.5，
那么四边形EFCD的周长为(　D　)
A. 13 B. 12 C. 11 D. 10
D
2. (2025·康县四模)如图， ABCD的周长为16，AC，BD相交于点O，
OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为(　C　)
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
C
考点二　平行四边形的判定 　▼
考点二　平行四边形的判定
3. 平行四边形的判定
文字描述 字母表示 图例
两组对边分别平行的四边形是
平行四边形 四边形ABCD 是平行四边形
两组对边分别 　 相等　的四边
形是平行四边形 四边形ABCD 是平行四边形 相等　
文字描述 字母表示 图例
一组对边 　 平行且相等　的四
边形是平行四边形 四边形ABCD 是平行四边形
两组对角分别 　 相等　的四边
形是平行四边形 四边形
ABCD 是平行四边形 对角线互相 　 平分　的四边形
是平行四边形 四边形ABCD是 平行四边形 相等　
平分　
平行且相等　
【方法归纳】判定平行四边形的三种途径、五种方法：
途径一　从边着眼
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
途径二　从角着眼
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
途径三　从对角线着眼
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.
4. 与平行四边形有关的辅线作法：
(1)平行四边形 连接对角线，构造等线段　　　　
作垂线，构造直角三角形
结论：OA＝OC，OB＝OD　　　　结论：DE＝CF，AE＝BF
(2)平行四边形及对角线 延长一边，与对角线的平行线交于一点，使
得AB＝BE，构造新的平行四边形
结论：四边形DBEC是平行四边形
过交点作边的平行线，构造中位线
结论：OF是△ABC，△BCD的中位线
(3)平行四边形及一边中点 倍长顶点与中点的连线，构造全等三角形
结论：△DCE≌△FBE
[练对点二]
3. 如图，AB＝CD，要使四边形ABCD成为平行四边形，还需要补充下
列条件中的(　C　)
A. ∠1＝∠2
B. ∠BAD＝∠BCD
C. AB∥CD
D. ∠B＝∠1
C
4. 如图，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝FE，AB平分∠CAE，
AB∥DF.
求证：四边形ABDF是平行四边形.
证明：∵AB平分∠CAE，∴∠CAB＝∠BAE. ∵AB∥DF，∴∠BAE
＝∠DFE. ∴∠CAB＝∠EFD. 在△CAB和△EFD中，
∴△CAB≌△EFD(ASA).∴AB＝FD. 又
∵AB∥FD，∴四边形ABDF是平行四边形.
考点三　多边形相关概念及性质 　▼
5. 多边形相关概念及性质
多边形 性质定理
内角和 定理 (1)n边形的内角和为 　 (n－2)·180°　(n≥3)；
(2)正n边形的每一个内角为 (n≥3)
外角和 定理 任意一个多边形的外角和为 　 360°　
对角线 过n(n＞3)边形一个顶点可引(n－3)条对角线，n边形共有对
角线 条
(n－2)·180°　
360°　
多边形 性质定理
正多边 形的 性质 (1)正多边形的各边相等，各角相等；
(2)正n边形有n条对称轴；
(3)正n边形有一个外接圆和一个内切圆，它们是同心圆；
(4)对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形，不是中心
对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称
图形
【温馨提示】(1)各边都相等的多边形不一定是正多边形，如菱形；各内
角都相等的多边形不一定是正多边形，如矩形.(2)用同一种正多边形进行
没有空隙的平面镶嵌，可以是正三角形、正方形、正六边形.
[练对点三]
5. (2025·定西一模)风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑
屋檐下(如图1)，如图2是六角形风铃的平面示意图，其底部可抽象为正六
边形ABCDEF，连接CF，则∠AFC的度数为 　 60°　.
第5题图　
60°　
6. 如图，AB，BC，CD是正n边形的三条边，在该正n边形下方以BC
为一边作正六边形CEFGHB. 已知∠ABH＝80°，则n的值为 　 18　.
第6题图
18　
命题点一　平行四边形的性质与判定
1. (2025·甘肃)如图，把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落
在点B'处，B'C与AD相交于点E，此时△CDE恰为等边三角形.若AB＝6
cm，则AD＝ 　 12　 cm.
12　
2. (2023·兰州)如图，在 ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于点E，若
∠C＝70°，则∠BAE＝ 　 50　°.
50　
命题点二　多边形的内角与外角
3. (2025·甘肃)如图，一个多边形纸片的内角和为1 620°，按图示的剪法
剪去一个内角后，所得新多边形的边数为(　A　)
A. 12 B. 11 C. 10 D. 9
A
4. (2025·兰州)图1是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图2是其局部放
大示意图，由正六边形、正方形和正三角形构成，它的轮廓为正十二边
形，则图2中∠ABC的大小是(　D　)
A. 90° B. 120° C. 135° D. 150°
D
5. (2023·兰州)如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个
正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示
意图，它的一个外角∠1＝(　A　)
A. 45° B. 60° C. 110° D. 135°
A
6. (2024·临夏州)“香渡栏干屈曲，红妆映、薄绮疏棂.”图1窗棂的外边
框为正六边形(如图2)，则该正六边形的每个内角为 　 120°　.
120°　
1. (2025·湖南)如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意
图，多边形ABCDEFGH为正八边形，连接AC，BD，AC与BD交于点
M，∠AMB＝ 　 45　°.
第1题图
45　
2. (2025·长春)图1是一个正十二面体，它的每个面都是正五边形，图2是
其表面展开图，则∠α为 　 36　度.
第2题图
36　
3. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，分
别交BC，BD于点E，P，连接OE，∠ADC＝60°，AB＝ BC＝2，
则下列结论：①∠CAD＝30°；②S ABCD＝AB·AC；③OE＝ AD；
④BD＝2 .正确的结论是 　 ①②④　.
①②④　
1. 如图， ABCD中，点E，F分别在AD，AB上，依次连接EB，
EC，FC，FD，图中空白部分的面积分别为S1，S2，S3，S4，已知
S ABCD＝80，S1＝4，S3＝7，S4＝10，则图中阴影部分的面积为(　A　)
A. 38 B. 40 C. 42 D. 42.5
第1题图
A
2. 如图，若AB∥CD，则添加下列选项后不能判定四边形ABCD是平行
四边形的是(　C　)
A. AD∥BC B. AB＝CD
C. AD＝BC D. ∠ACB＝∠CAD
第2题图
C
3. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形.如图，
五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中∠1＋∠2
＝160°，则∠C＋∠D＋∠E＝(　B　)
A. 300° B. 340° C. 200° D. 260°
B
4. 如图是正n边形纸片的一部分，其中只有∠B，∠C和BC边是完整
的，直线l与破损的边AB，CD相交.若α＋β＝90°，则n的值为(　C　)
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
C(共69张PPT)
第五章　四边形
第二节　矩形、菱形、正方形
第一部分　教材知识梳理
考点一　矩形的性质及判定 　▼
1. 矩形的性质及判定
图
形
性
质 (1)矩形具有平行四边形的所有性质；
(2)矩形的四个角都是 　 直角　；
(3)矩形的对角线 　 相等且互相平分　，即BD＝AC，且BD与AC
互相平分；
(4)矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，它有 　 两　条对称
轴，它的对称中心是对角线的交点
直角　
相等且互相平分　
两　
判
定 (1)有一个角是 　 直角　的平行四边形是矩形(定义)；
(2)对角线 　 相等　的平行四边形是矩形；
(3)有三个角是 　 直角　的四边形是矩形
面积 计算 S＝ 　 ab　(a，b分别表示矩形的长和宽)
直角　
相等　
直角　
ab　
[练对点一]
1. (2025·兰州一模)如图，矩形ABCD中，连接BD，过点D作
DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若AB＝3，AD＝4，则DE的长为
(　C　)
A. 5 B. C. D.
C
考点二　菱形的性质及判定 　▼
2. 菱形的性质与判定
图形
性质 (1)菱形具有平行四边形的所有性质；
(2)菱形的四条边都相等，即AB＝BC＝CD＝AD；
(3)菱形的对角线互相 　 垂直　，每条对角线 　 平分　一组对
角；
(4)菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，它有 　 两　条对称
轴，它的对称中心是对角线的交点
考点二　菱形的性质及判定
垂直　
平分　
两　
判定 (1)有一组邻边 　 相等　的平行四边形是菱形(定义)；
(2)对角线 　 互相垂直　的平行四边形是菱形；
(3)四条边都 　 相等　的四边形是菱形
面积 计算 S＝ 　 l1l2　(l1，l2表示对角线的长)
相等　
互相垂直　
相等　
l1l2　
[练对点二]
2. 如图，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，△ABD和△ACE都是等边三角
形，F为AB的中点，DE交AB于点G，下列结论中，正确的结论有
(　C　)
①EF⊥AC；
②四边形ADFE是菱形；
③AD＝4AG；
④△DBF≌△EFA.
C
A. ①④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①③
考点三　正方形的性质及判定 　▼
3. 正方形的性质及判定
图形
性质 (1)正方形具有平行四边形的所有性质；
(2)正方形的四条边都 　 相等　，四个角都是 　 直角　；
(3)正方形的对角线 　 相等　、互相垂直、互相平分，且每一条
对角线都平分 　 一组对角　；
(4)正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，它有4条对称
轴，它的对称中心是对角线的交点
相等　
直角　
相等　
一组对角　
判定 (1)有一个角是 　 直角　，一组邻边 　 相等　的平行四边形是
正方形(定义)；
(2)一组邻边 　 相等　的矩形是正方形；
(3)一个角是 　 直角　的菱形是正方形；
(4)对角线 　 相等且互相垂直　的平行四边形是正方形
面积 计算 S＝ 　 a2　(a表示边长)＝ 　 l2　(l表示对角线长)
直角　
相等　
相等　
直角　
相等且互相垂直　
a2　
l2　
【温馨提示】1.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系.
2. 中点四边形，依次连接任意一个四边形各边的中点所得的四边形叫作
中点四边形.
原四边形对 角线间的关系 举例 中点四边形
相等 矩形、等腰梯形、对角线相等的一般四边形 菱形
互相垂直 菱形、对角线垂直的一般四边形 矩形
互相垂直且相等 正方形、对角线相等且垂直的一般四边形 正方形
不垂直也不相等 一般四边形、平行四边形、直角梯形 平行四边形
[练对点三]
3. 如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射
线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF
交于点G. 有下列结论：①△DOF≌△COE；②CF＝BE；③四边形
CEOF的面积为正方形ABCD面积的 ；④DF2＋BE2＝ OE2.其中正确
的是 　 ①②③　.
①②③　
4. 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交
于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连
接OE.
(1)求证：四边形ABCD为菱形；
解：(1)证明：在四边形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，
∴∠CAB＝∠DCA，∠CAB＝∠DAC.
∴∠DCA＝∠DAC. ∴CD＝AD.
∵AB＝AD，∴AB＝CD.
∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形.∵AD＝
AB，∴ ABCD是菱形.
(2)若AB＝6，BD＝8，求OE的长.
解：(2)由(1)知四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC.
∵CE⊥AB，∴OE＝ AC＝OA＝OC.
∵AB＝6，BD＝8，∴OB＝ BD＝4.
在Rt△AOB中，AB＝6，OB＝4，
由勾股定理，得OA＝ ＝ ＝
2 ，∴OE＝OA＝2 .
命题点一　矩形的有关证明及计算
1. (2025·兰州)如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点
O，点E，F分别在边AB，BC上，连接EF交对角线BD于点P. 若P为
EF的中点，∠ADB＝35°，则∠DPE＝(　C　)
A. 95° B. 100° C. 110° D. 145°
C
2. (2024·省卷)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为(　C　)
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
C
3. (2023·兰州)如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为
CE的中点，以点B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，
若AB＝4，CE＝10，则AG＝(　C　)
A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5
第3题图
C
4. (2022·兰州)如图所示，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将
△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上.若CE＝3 cm， AF＝
2EF，则AB＝ 　 3 　cm.
第4题图　
3 　
5. (2022·武威)如图所示，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在
不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加
的一个条件是 　 ∠A＝90°(答案不唯一)　.
第5题图
∠A＝90°(答案不唯一)　
6. (2021·省卷)如图所示，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，∠AED＝
90°，∠EAD＝30°，F是AD边的中点，EF＝4 cm，则BE
＝ 　 6　cm.
6　
7. (2024·兰州)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，
CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC.
(1)求证：四边形ADCE是矩形；
解：(1)证明：∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，即∠ADC＝∠ADB＝90°.
∵CE∥AD，∴∠ECD＝∠ADB＝90°.
∵AE⊥AD，∴∠EAD＝90°.
∴∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°.
∴四边形ADCE是矩形.
(2)若BC＝4，CE＝3，求EF的长.
解：(2)∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，BC＝
4，
∴BD＝CD＝ BC＝2.
由(1)可知，四边形ADCE是矩形.
∵AE＝CD＝2，∠AEC＝90°，在Rt△AEC中，AE＝
2，CE＝3，
∴由勾股定理，得AC＝ ＝ .
∵EF⊥AC.
由三角形的面积公式，得S△AEC＝ AC·EF＝ AE·CE，
∴EF＝ ＝ ＝ .
8. (2024·临夏州)如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边上不与端点重合
的一动点，点F是对角线BD上一点，连接BE，AF交于点O，且∠ABE
＝∠DAF.
【模型建立】
(1)求证：AF⊥BE；
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°.∵∠ABE＝∠DAF，∴∠AOE＝∠BAF＋∠ABE＝
∠BAF＋∠DAF＝∠BAD＝90°.∴AF⊥BE.
【模型应用】
(2)若AB＝2，AD＝3，DF＝ BF，求DE的长；
解：(2)如图1，延长AF交CD于点G. ∵GD∥AB，∴△GDF∽△ABF.
∵DF＝ BF，AB＝2，AD＝3，∴ ＝ ＝ .
∴GD＝ AB＝ ×2＝1.
∵∠BAE＝∠ADG＝90°，∠ABE＝∠DAG，
∴ ＝tan∠ABE＝tan∠DAG＝ ＝ .
∴AE＝ AB＝ ×2＝ .∴DE＝AD－AE＝3－ ＝ .
∴DE的长是 .
【模型迁移】
(3)如图2，若矩形ABCD是正方形，DF＝ BF，求 的值.
解：(3)如图2，延长AF交CD于点H.
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ADH＝90°.
设AB＝AD＝2m.∵HD∥AB，∴△HDF∽△ABF.
∵DF＝ BF，∴ ＝ ＝ ＝ .
∴HD＝ AB＝ ×2m＝m.
∴AH＝ ＝ ＝ m.
∴AF＝ AH＝ AH＝ × m＝ m.
∴ ＝ ＝ .∴ 的值为 .
命题点二　菱形的有关证明及计算
9. (2023·武威)如图，将矩形纸片ABCD对折，使边AB与DC，BC与AD
分别重合，展开后得到四边形EFGH. 若AB＝2，BC＝4，则四边形
EFGH的面积为(　B　)
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
第9题图
B
10. (2022·兰州)如图所示，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E
为AD的中点，连接OE，∠ABC＝60°，BD＝4 ，则OE＝(　C　)
A. 4 B. 2 C. 2 D.
第10题图
C
11. (2025·兰州)如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，交BD于
点F，BE＝CE. 若AB＝4 ，则AF＝ 　 4　.
4　
12. (2023·武威)如图，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，
DF⊥CD，垂足分别为B，D，若AB＝6 cm，则EF＝ 　 2 　cm.
第12题图　　
2 　
13. (2022·武威)如图所示，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
若AB＝2 cm，AC＝4 cm，则BD的长为 　 8　cm.
第13题图
8　
14. (2023·兰州)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
CD∥OE，直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点
F，G，连接DE.
(1)判断四边形OCDE的形状，并说明理由；
解：(1)四边形OCDE是菱形.理由如下：
∵矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∴OC＝OD
＝ AC＝ BD.
∵直线CE是线段OD的垂直平分线，
∴CO＝CD，EO＝ED.
∴CO＝CD＝OD，即△COD是等边三角形.
∴∠OCD＝∠DCO＝∠DOC＝60°，∠OCF＝∠DCF＝ ∠OCD＝
30°.∵CD∥OE，∴∠EOD＝∠CDO＝60°，
∴△EOD是等边三角形，∴CO＝CD＝EO＝ED.
∴四边形OCDE是菱形.
(2)当CD＝4时，求EG的长.
解：(2)∵直线CE是线段OD的垂直平分线，且∠DCF＝
30°，
∴DF＝ CD＝2，CF＝ DF＝2 .
由(1)得四边形OCDE是菱形，∴EF＝CF＝2 .
在Rt△DGF中，∠GDF＝90°－∠ODC＝30°，
∴GF＝DF·tan 30°＝2× ＝ .∴EG＝EF－GF＝ .
命题点三　正方形的有关证明及计算
15. (2024·兰州)如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，
EF⊥AB于点F，若AD＝4，则EF＝ 　 2　.
2　
16. (2025·甘肃)四边形ABCD是正方形，点E是边AD上一动点(点D除
外)，△EFG是直角三角形，EG＝EF，点G在CD的延长线上.
(1)如图1，当点E与点A重合，且点F在边BC上时，写出BF和DG的数
量关系，并将明理由；
解：(1)BF＝DG. 理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，
∠BAD＝90°.∵△EFG是直角三角形，EG＝EF，∴∠FEG＝90°.当
点E与点A重合时，则∠FAG＝90°＝∠BAD，∴∠DAG＝∠BAF＝
90°－∠DAF. 又∵AB＝AD，AG＝AF，
∴△ADG≌△ABF(SAS).∴BF＝DG.
(2)如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形ABCD内部时，FE的延
长线与BA的延长线交于点P，如果EF＝EP，写出AE和DG的数量关
系，并说明理由；
解：(2)AE＝DG. 理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝
∠DAB＝90°.∵点G在CD的延长线上，FE的延长线与BA的延长线交
于点P，∴∠PAE＝∠EDG＝90°.∴∠P＋∠AEP＝90°.∵∠FEG＝
∠DEF＋∠DEG＝90°，∠AEP＝∠DEF，∴∠P＝∠DEG. ∵EG＝
EF，EF＝EP，∴EG＝EP. 在△APE和△DEG中，
∴△APE≌△DEG(AAS).∴AE＝DG.
(3)如图3，在(2)的条件下，连接BF，写出BF和DG的数量关系，并说明
理由.
解：(3)BF＝ DG. 理由如下：由(2)可知△PAE≌△EDG，∴AE＝
DG，AP＝DE. 如图3，过点F作FH⊥AB于点H，则∠FHB＝∠FHA
＝90°＝∠PAE，∴AE∥FH. ∴ ＝ ＝1.∴PA＝AH. ∵PE＝
EF，∴AE为△PHF 的中位线.∴HF＝2AE. ∵AP＝DE，PA＝AH，
∴DE＝AH. 又∵AD＝AB，∴AE＝BH. 在Rt△BHF中，由勾股定
理，得BF＝ ＝ AE. ∵AE＝DG，∴BF＝ DG.
17. (2025·兰州)【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，
正方形ABCD与正方形BEFG(AB＞BE)，点E，G分别在AB，BC上.
根据图形提出问题：如图2，正方形BEFG绕点B顺时针旋转，旋转角为
α(0°＜α＜180°)，直线AE与CG相交于点H，连接BH，探究线段
AH，BH，CH之间的数量关系.
【解决问题】(1)小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请
你写出AH，BH，CH之间的数量关系，并说明理由；
解：(1)AH＝CH＋ BH. 理由如下：如题图3，当点G，H重合时.
∵四边形ABCD与四边形BEFG为正方形，∴AB＝BC，BE＝BH，
∠ABC＝90°，∠EBH＝90°.∴EH＝ BH，∠ABE＝90°－
∠EBC＝∠CBH. ∴△ABE≌△CBH(SAS).∴AE＝CH. ∴AH＝AE
＋EH＝CH＋ BH.
(2)小明借鉴(1)中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当
点G，H不重合时，请你写出AH，BH，CH之间的数量关系，并说明
理由；
解：(2)AH＝CH＋ BH. 理由如下：由(1)，得△ABE≌△CBG(SAS)，
∴∠BCH＝∠BAM. 如图2，在AE上截取AM＝CH，∵∠BCH＝
∠BAM，AB＝BC，∴△MAB≌△HCB(SAS).∴∠MBA＝∠HBC，
BM＝BH. ∵∠HBG＝90°－∠CBH－∠EBC，∠EBM＝90°－
∠MBA－∠EBC，∴∠HBG＝∠EBM. ∴∠MBH＝∠EBM＋∠EBC
＋∠CBH＝∠HBG＋∠EBC＋∠CBH＝∠EBG＝90°.∴△MBH是等
腰直角三角形.∴MH＝ BH. ∵AH＝AM＋MH，∴AH＝CH＋
BH.
【拓展问题】(3)小明将图2所示问题中的旋转角α的范围再扩大，正方形
BEFG绕点B顺时针旋转，旋转角为α(180°＜α＜360°)，直线AE与CG
相交于点H，连接BH，请直接写出AH，BH，CH之间的数量关系.
(3)CH＝AH＋ BH. 理由如下：由(1)，得△ABE≌△CBG(SAS)，
∴AE＝CG，∠BCH＝∠HAB. 如图4，在CG上截取CM＝AH，
∵∠BCH＝∠HAB，BC＝AB，∴△ABH≌△CBM(SAS)，∴BH＝
BM，∠MBC＝∠ABH. 同理，△MBH是等腰直角三角形，∴MH＝
BH. ∵CH＝CM＋MH，∴CH＝AH＋ BH.
18. (2024·省卷)【模型建立】(1)如图1，已知△ABE和△BCD，
AB⊥BC，AB＝BC，CD⊥BD，AE⊥BD. 用等式写出线段AE，
DE，CD的数量关系，并说明理由；
解：(1)AE＝CD＋DE. 理由如下：∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，
∴∠ABE＋∠CBD＝90°.∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠ABE＋
∠A＝90°.∴∠A＝∠CBD. ∵CD⊥BD，∴∠BDC＝90°.又∵AB
＝BC，∴△ABE≌△BCD(AAS).∴BE＝CD，
AE＝BD，∴AE＝BD＝BE＋DE＝CD＋DF.
即AE＝CD＋DE.
【模型应用】(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在对角线BD
和边CD上，AE⊥EF，AE＝EF. 用等式写出线段BE，AD，DF的数
量关系，并说明理由；
解：(2)AD＝ BE＋DF. 理由如下：如图2，过点A，点F分别作AM⊥BD于点M，FN⊥BD于点N. 由(1)可证得△AEM≌△EFN，∴EM＝FN. ∵在正方形ABCD中，AD＝AB，∠ABM＝∠FDN＝45°，∴BM＝AB· cos ∠ABM＝ ＝ ，EM＝FN＝DF· sin ∠FDN＝
.∵BM＝BE＋EM，∴ ＝BE＋ .
即AD＝ BE＋DF.
【模型迁移】(3)如图3，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F
在边CD的延长线上，AE⊥EF，AE＝EF. 用等式写出线段BE，
AD，DF的数量关系，并说明理由.
解：(3) BE＝AD＋DF. 理由如下：如图3，过点A，点F分别作AM⊥BD于点M，FN⊥BD于点N. 由(1)可证得△AEM≌△EFN，得EM＝FN. ∵在正方形ABCD中，AD＝AB，∠ABM＝∠BDC＝∠FDN＝45°，∴BM＝AB· cos ∠ABM＝ ＝ ，EM＝FN＝DF· sin ∠FDN＝ .∵BE＝BM＋EM，∴BE＝ ＋ .
即 BE＝AD＋DF.
19. (2022·武威)已知正方形ABCD，E为对角线AC上一点.
【建立模型】
(1)如图1所示，连接BE，DE. 求证：BE＝DE.
解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，AC为对角线，∴AB＝AD，
∠BAE＝∠DAE＝45°.∵AE＝AE，∴△ABE≌△ADE(SAS)，∴BE
＝DE.
②若G为AB的中点，且AB＝4，求AF的长.
解：(2)①△FBG为等腰三角形.理由如下：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠GAD＝90°，∴∠AGD＋∠ADG＝90°.∵FB⊥BE，∴∠FBG＋
∠EBG＝90°，由(1)得∠ADG＝∠EBG. ∴∠AGD＝∠FBG. 又
∵∠AGD＝∠FGB，∴∠FBG＝∠FGB. ∴△FBG为等腰三角形.
【模型应用】
(2)如图2所示，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G.
①判断△FBG的形状并说明理由；
②如图2所示，过点F作FH⊥AB，垂足为H.
∵四边形ABCD为正方形，点G为AB的中点，AB＝4，∴AG＝BG
＝2，AD＝4.由①知FG＝FB，∴GH＝BH＝1，∴AH＝AG＋GH＝
3.在Rt△FHG与Rt△DAG中，∵∠FGH＝∠DGA，∴tan∠FGH＝
tan∠DGA，∴ ＝ ＝ .∴FH＝2.在Rt△AHF中，AF＝
＝ ＝ .
【模型迁移】
(3)如图3所示，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G，
BE＝BF. 求证：GE＝(－1)DE.
解：(3)证明：∵FB⊥BE，∴∠FBE＝90°.在Rt△EBF中，BE＝BF，∴EF＝ BE. 由(1)得BE＝DE，由(2)得FG＝BF，∴GE＝EF－FG＝ BE－BF＝ DE－DE＝(－1)DE.
20. (2021·省卷)问题解决：如图1所示，在矩形ABCD中，点E，F分别
在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G.
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
解：问题解决：
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠DAB＝90°.∴∠BAF
＋∠GAD＝90°.∵DE⊥AF，∴∠ADG＋∠GAD＝90°.∴∠BAF＝
∠ADG. 又∵AF＝DE，∴△ABF≌△DAE(AAS).∴AB＝AD. ∴矩形
ABCD是正方形.
(2)延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由；
类比迁移：如图2所示，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边
上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝
2，求DE的长.
解：(2)△AHF是等腰三角形.理由：
∵AB＝AD，∠ABH＝∠DAE＝90°，BH＝AE，
∴△ABH≌△DAE(SAS).∴AH＝DE. 又∵DE＝AF，∴AH＝AF，
即△AHF是等腰三角形.
类比迁移：如图2所示，延长CB到点H，使得BH＝AE＝6，连接AH.
∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB＝AD. ∴∠ABH＝∠BAD.
∵BH＝AE，∴△ABH≌△DAE(SAS).∴AH＝DE，∠AHB＝∠DEA
＝60°.又∵DE＝AF，∴AH＝AF. ∵∠AHB＝60°，∴△AHF是等
边三角形，∴AH＝HF. ∴DE＝AH＝HF＝HB＋BF＝6＋2＝8.
1. (2025·天津)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E在边BC
上，且EC＝2BE.
(1)线段AE的长为 　 　；
(2)F为CD的中点，M为AF的中点，N为EF上一点，若∠FMN＝
75°，则线段MN的长为 　 　.
　
　
2. (2025·眉山)如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上运动(不与
点A，D重合)，∠CDP＝45°，点F在射线DP上，且AE∶DF＝
1∶ ，连接BF，交CD于点G，连接EB，EF，EG. 下列结论：
① sin ∠BFE＝ ；②AE2＋CG2＝EG2；③△DEF的面积最大值是2；
④若AE＝ AD，则点G是线段CD的中点.其中正确结论的序号
是 　 ①③④　.
①③④
1. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别为AB，CD边的中点，点G，
H均在BC边上，点G在点H的左侧，连接EG，FH，已知EG＝FH，
AD＝8 cm，GH＝2 cm，则BG的长为(　A　)
A. 3 cm B. 2 cm C. 3.5 cm D. 4 cm
A
2. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴的正半轴上，
已知B(－2，0)，C(3，0)，则点A的坐标是(　A　)
A. (－5，4) B. (－4，3)
C. (－4，5) D. (－5，3)
第2题图
A
3. 如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC，
PF⊥CD，E，F分别为垂足，连接AP，EF，若 ＝ ，FC＝6，则
AP＝(　A　)
A. 2 B. 5 C. 2 D. 5
第3题图
A
4. 如图，A，C是菱形BEDF的对角线EF上的两点，且AE＝CF，
∠ACB＝45°.
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
解：(1)证明：连接BD交AC于点O，如图.
由题意，得AC⊥BD，EO＝FO，BO＝DO.
∵AE＝CF，
∴AE＋EO＝CF＋FO，即AO＝CO.
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形.
∵∠ACB＝45°，
∴∠ACD＝∠ACB＝45°，即∠BCD＝90°.
∴四边形ABCD是正方形.
(2)若正方形ABCD的边长为3，AE＝1，求菱形BEDF的面积.
解：(2)由题意，得AC＝BD，∠ABC＝90°，AB＝BC＝3，
∴在Rt△ABC中，AC＝ ＝3 ＝BD.
∵AE＝CF＝1，
∴EF＝AC－AE－CF＝3 －2.
∴S菱形BEDF＝ BD·EF＝ ×3 ×(3 －2)＝9－3 .

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