资源简介

(共28张PPT)
第四章　三角形
第四节　相似三角形
第一部分　教材知识梳理
考点一　比例 　▼
1. 比例的性质
性质1： ＝ ad＝ 　 bc　；若ad＝bc，且bd≠0，则 ＝ .
性质2：如果 ＝ ，那么 ＝ 　 　.
性质3：如果 ＝ ＝…＝ (b＋d＋…＋n≠0)，则 ＝ .
bc　
　
(2) ＝ ＝ ；
(3) ＝ (a－b≠0，c－d≠0) .
【温馨提示】(1) ＝ ＝ ；
2. 比例中项：如果 ＝ ，即b2＝ac，则b就叫作a，c的比例中项.
3. 黄金分割：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果
＝ ，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割
点，AC和AB的比值叫作黄金数(＝ 或AC≈0.618AB).　
4. 平行线分线段成比例
(1)基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.如图
1，AB∥CD∥EF，则 ＝ ， ＝ .
(2)推理：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的
对应线段成比例.如图2，DE∥BC .
[练对点一]
1. 有2，3，6三个数，再选取一个数，使得这四个数成比例，这个数不能
是(　D　)
A. 1 B. 4 C. 9 D. 12
2. (2025·定西模拟)已知 ＝ ，则 的值为(　B　)
A. B. C. D.
D
B
3. (2025·甘肃一模)如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，
AC＝10，则AE的长为(　D　)
A. 3 B. 6 C. 5 D. 4
D
考点二　相似三角形的判定和性质 　▼
5. 相似三角形的判定和性质
判
定 (1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三
角形相似；
(2)三边 　 成比例　的两个三角形相似；
(3)两边成比例且 　 夹角　相等的两个三角形相似；
(4) 　 两角　分别相等的两个三角形相似；
(5)两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似
成比例　
夹角　
两角　
性
质 (1)相似三角形的 　 对应角　相等；
(2)相似三角形的对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等
于相似比；
(3)相似三角形的周长比等于 　 相似比　，面积比等于 　 相似比 的平
对应角　
相似比　
相似比的平方
6. 判定三角形相似的思路
判定三角
形相似的
思路 有平行线——用平行线的性质，找等角
有一对等角，找
有两边对应成比例，找
判定三角
形相似的
思路 直角三角形，找
等腰三角形，找
[练对点二]
4. (2025·武威一模)已知△ABC与△DEF相似，AB＝4，AC＝6，BC＝
8，DF＝6，则DE的长可能是(　C　)
A. 3 B. 4.5 C. 9 D. 9.6
C
5. (2025·定西模拟)如图，已知△ABC∽△ADE，AE＝2，AD＝3，AC
＝4，则AB的长为(　B　)
A. B. 6 C. 5 D. 以上都不对
B
6. (2025·安定区一模)如果两个相似三角形的周长比是1∶2，那么它们的
面积比是(　C　)
A. 1∶16 B. 1∶6 C. 1∶4 D. 1∶2
C
考点三　相似多边形及其性质 　▼
7. 定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，对应边成
比例，那么这两个多边形叫作相似多边形.相似多边形对应边的比叫
作相似比.
8. 相似多边形的性质
(1)相似多边形的对应角相等，对应边的比等于相似比；
(2)相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
[练对点三]
7. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点.若矩形ABCD
与矩形ABFE是相似的矩形，则AD∶AB＝ 　 　.
　
考点四　图形的位似 　▼
9. 定义：两个相似图形，如果对应点的连线交于同一点，对应边平行或
在同一直线上，像这样的两个图形叫作位似图形，这个点叫作位似中心，
这时的相似比又称位似比.
10. 性质：(1)位似图形是相似图形，具备相似图形的所有性质；
(2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比；
(3)经过每对对应顶点的直线相交于一点(位似中心)；
(4)两个位似图形对应边平行或在同一直线上.
11. 画位似图形的步骤
注意：(1)两个图形的位似中心可能位于图形的内部、外部或图形上.
(2)两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.
[练对点四]
8. (2025·凉州区一模)如图，三角形硬纸板(记为△ABC)在灯光照射下形成
投影△A1B1C1，若OB∶OB1＝2∶5，AB＝10 cm，则A1B1的长是 　 2 .
25cm
考点五　相似三角形的实际应用 　▼
12. 利用相似测量物体的高度
(1)利用影子测量物体的高度；
(2)借助标杆测量物体的高度；
(3)利用平面镜的反射测量物体的高度.
13. 利用相似测量距离.
[练对点五]
9. (2025·定西一模)如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两
边长分别为a，b.中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地
阐述了“矩”的功能：“平距以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以
知远，环矩以为圆，合矩以为方”.其中“偃矩以望高”的意思就是把
“矩”仰立放可测物体的高度.如图2，从“矩”AFE的一端A望向树顶
端的点C，使视线通过“矩”的另一端E，测得BD＝8 m，AB＝1.6 m.
若“矩”的边EF＝a＝30 cm，边AF＝b＝60 cm，则树高CD为 　 5 .6 .
5.6 m
命题点一　比例的性质
1. (2022·兰州)已知△ABC∽△DEF， ＝ ，若BC＝2，则EF＝
(　A　)
A. 4 B. 6 C. 8 D. 16
2. (2022·武威)若△ABC∽DEF，BC＝6，EF＝4，则 ＝(　D　)
A. B. C. D.
A
D
命题点二　位似图形
3. (2025·兰州)如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A'B'C'位
似，位似中心是原点O. 已知BC∶B'C'＝1∶2，则B(2，0)的对应点B'
的坐标是(　B　)
A. (3，0) B. (4，0) C. (6，0) D. (8，0)
B
命题点三　相似三角形的实际应用
4. (2025·甘肃)“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”.风筝古称纸
鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名
录.为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一
小两个形状相同的风筝.风筝的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD. 已
知大、小风筝的对应边之比为3∶1，如果小风筝两条对角线的长分别为30
cm和35 cm，那么大风筝两条对角线长的和为 　 195　cm.
195　
新情境
1. (2025·宜宾)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5.
过点A作直线l∥BC，点E是直线l上一动点，连接EC，过点E作
EF⊥CE，连接CF，使tan ∠ECF＝ .当BF最短时，则AE的长度为
(　B　)
A. B. 4 C. 2 D. 2
B
2. (2025·眉山)如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的
相似三角形组成形如海螺的图案，若OA＝1，∠OAB＝90°，则点G的
坐标为 　 (－ ，0)　.
(－ ，0)　
1. 如果 ＝ ＝ ≠0，那么 的值为(　C　)
A. 0 B. C. 7 D.
C
2. 图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，AD和
CB相交于点O，点A，B之间的距离为1.2 m，AB∥CD，根据图2中的
数据可得点C，D之间的距离为(　C　)
A. 0.8 m B. 0.86 m C. 0.96 m D. 1 m
C(共43张PPT)
第四章　三角形
第一节　线段、角、相交线与平行线
第一部分　教材知识梳理
考点一　直线与线段 　▼
1. 基本事实：(1)两点确定一条直线；
(2)两点之间， 　 线段　最短.
2. 两点间的距离：连接两点间线段的长度.
3. 线段的和与差：如图所示，在线段AC上取一点B，则有
AB＋BC＝AC；AB＝AC－ 　 BC　；BC＝AC－AB.
线段　
BC　
4. 线段的中点：
(1)定义：如图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫
作线段AB的中点.
(2)线段中点的几何表示：AM＝ 　 MB　＝ AB.
MB　
[练对点一]
1. 高速公路的建设带动我国经济的快速发展.在高速公路的建设中，通常
要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程.这样做包含的数学
道理是(　B　)
A. 两点确定一条直线
B. 两点之间，线段最短
C. 两条直线相交，只有一个交点
D. 直线是向两个方向无限延伸的
B
考点二　角及角平分线 　▼
5. 角及角平分线
常见的角 若0°＜α＜90°，则α为锐角；
若α＝ 　 90°　，则α为直角；
若 　 90°＜α＜180°　，则α为钝角；
若α＝180°，则α为平角；
若α＝360°，则α为周角
角的转换 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60'，
1'＝60″，角的度、分、秒是60进制的
90°　
90°＜α＜180°　
余角 概念 如果两个角的和为 　 90°　，那么这两个角互为余角
性质 同角(等角)的余角相等
补角 概念 如果两个角的和为 　 180°　，那么这两个角互为补角
性质 同角(等角)的补角相等
90°　
180°　
角平分线 定
义 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相
等的角的射线，叫作这个角的平分线
定
理 角平分线上的点到角两边的距离 　 相等　，
PE 　 ＝　PF
逆
定
理 在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分
线上，
∠1＝∠2
相等　
＝　
6. 三角形内外角平分线相交线所成角的情况
分
类 三角形两内角平分
线所成夹角 三角形两外角平分
线所成夹角 三角形一内角平分线和一外角平分线所成夹角
结
论 ∠P＝90°＋ ∠A ∠P＝90°－ ∠A ∠P＝ ∠A
图
示
7. 常见与角平分线有关的辅助线作法
(1)角平分线及垂线
①垂线为边的垂线 作另一边垂线
　　　　　　　　
结论：PA＝PB
②垂线为角平分线的垂线 延长垂线，构造等腰三角形
结论：OA＝OB，PA＝PB
(2)角平分线上一点及边上一点
①角平分线上或边上一点 作平行线，构造等腰三角形
　　　　　　
作法：作边的平行线，结论：OA＝PA
作法：作角平分线的平行线，结论：OA＝OB
②角平分线上及边上一点 作对称，构造全等三角形
　　　　　　　　 　 　　　　　　　
作法：作△OAP关于角平分线的对称图
[练对点二]
2. 如图所示，∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，OM是∠AOC的平分
线，ON是∠BOC的平分线，则∠MON的度数是(　B　)
A. 60° B. 45° C. 40° D. 35°
B
3. (2025·麦积区一模)光线由空气射入清澈的水面时会在水面发生镜面反
射，在射入水中后会发生折射现象.如图入射光线AP在射入水面P点的反
射光线为PQ，折射光线为PB，若反射光线与折射光线夹角为80°，入
射光线与折射光线夹角为160°，则入射光线与水平面的夹角为(　C　)
A. 40° B. 20° C. 30° D. 35°
C
4. 如图，OC平分∠AOD，OD平分∠BOC，下列等式成立的是 　 ①②
③④　(填序号).
①②
③④　
①∠AOC＝∠BOD；
②∠AOD＝∠BOC；
③∠AOB＝3∠COD；
④∠AOB＝∠AOC＋∠AOD.
考点三　相交线 　▼
8. 三线八角(如图)
(1)同位角：∠1与 　 ∠5　，∠2与∠6，∠4与∠8，∠3与∠7；
(2)内错角：∠2与∠8，∠3与 　 ∠5　；
(3)同旁内角：∠3与 　 ∠8　，∠2与 　 ∠5　；
(4)对顶角：∠1与 　 ∠3　，∠2与∠4，∠5与∠7，∠6与∠8.
性质： 　 对顶角相等　.
∠5　
∠5　
∠8　
∠5　
∠3　
对顶角相等　
(5)邻补角：∠1与∠4，∠1与∠2，∠2与∠3，∠3与∠4，∠5与∠8，∠5
与∠6，∠6与∠7，∠7与∠8.
性质：邻补角之和等于 　 180°　.
180°　
9. 垂线及性质
(1)概念：两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线.
(2)性质：①在同一平面内，过一点有且只有 　 一　条直线与已知直线垂
直(基本事实)；
②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 　 垂线段　最短.
(3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度.
一　
垂线段　
10. 垂直平分线的性质定理及逆定理
(1)定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.如图所
示，若l⊥AB，OA＝OB，则AP＝BP；
(2)逆定理：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
[练对点三]
5. 如图，直线a，b相交，∠2＋∠3＝100°，则∠1的度数为(　D　)
A. 50° B. 100° C. 120° D. 130°
D
6. 如图，已知∠ABC与∠DEF，其中AB与EF相交，下列结论中错误的
是(　C　)
A. ∠1与∠2是同旁内角
B. ∠3与∠6是对顶角
C. ∠2与∠5是内错角
D. ∠3与∠5是同位角
C
7. 如图，在河旁边有一村庄，现要建一个码头.为了使该村庄到码头的距
离最短，码头应建在点 　 C　处(选填“A”“B”“C”或“D”).
C　
考点四　平行线的判定及性质 　▼
11. 平行线的判定及性质
平行线 的概念 在同一平面内， 　 不相交　的两条直线叫作平行线
平行公理 经过直线外一点有且只有 　 一　条直线与已知直线平行
平行公理 的推论 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线
也 　 平行　
不相交　
一　
平行　
平行线的性 质和判定 (1)同位角 　 相等　 两直线平行；∠1＝ 　 ∠2　
a∥b. (2)内错角 　 相等　 两直线平行；∠3＝
∠4 　 a∥b　. (3)同旁内角 　 互补　 两直线平行；∠2＋∠3
＝ 　 180°　 a∥b
平行线间 的距离 定义 过平行线上的一点作另一条平行线的垂线段，
　 垂线段　的长度叫作两条平行线间的距离
性质 两条平行线间的距离处处 　 相等　
相等　
∠2　
相等　
a∥b　
互补　
180°　
垂线段　
相等　
12. 常见平行线与拐角模型
作平行线 作延长线 结论
凸折 模型
若AB∥CD，则∠B＋∠CDE＋∠BED＝360°
凹折 模型
若AB∥CD，则∠BED＝∠B＋∠D
外折 模型 若AB∥CD，则∠ABE＝∠E＋∠D
[练对点四]
8. (2025·临洮县二模)如图，一束平行于主光轴的光线
AB经凸透镜折射后，其折射光线BF与一束经过光心O的光线CD相交于
点P，点F为凸透镜的焦点.若∠ABF＝145°，∠COE＝30°，则
∠DPF的度数为(　C　)
A. 45° B. 55° C. 65° D. 75°
C
新考向·跨学科综合
9. (2025·西和县二模)将一副三角板ADE和ABC(其中∠C＝30°)按如图
所示的方式摆放，一直角顶点D落在BC上.若AE∥BC，则∠BAD的度
数是(　B　)
A. 72° B. 75° C. 60° D. 65°
B
考点五　定义、命题与定理 　▼
13. 定义：能明确指出概念、含义或特征的句子.
14. 命题
(1)命题的概念：判断一件事情的语句；
(2)命题的组成：命题由题设和结论两部分组成；
(3)命题的真假：正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；
(4)如果一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件，那么我
们把这两个命题称为互逆命题.
15. 定理
经过证明的真命题叫作定理.因为定理的逆命题不一定都是真命题，所以
不是所有的定理都有逆定理.
16. 反证法：首先假设原命题不成立，然后推理出明显矛盾的结果，因
此，原假设不成立，原命题得证.
[练对点五]
10. 下列命题是假命题的是(　C　)
A. 如果a＞b，b＞c，那么a＞c
B. 负数没有平方根
C. 相等的角是对顶角
D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C
11. 用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”应先假设这个三角
形中(　A　)
A. 至少有两个内角是直角
B. 没有一个内角是直角
C. 至少有一个内角是直角
D. 每一个内角都不是直角
A
命题点一　角的相关性质及计算
1. (2025·兰州)如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利
用率最高.春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角β为54°.若光能利用
率最高，则集热板与水平面夹角α度数是(　C　)
A. 26° B. 30° C. 36° D. 54°
C
2. (2024·省卷)若∠A＝55°，则∠A的补角为(　D　)
A. 35° B. 45° C. 115° D. 125°
3. (2024·兰州)若∠A＝80°，则∠A的补角是(　A　)
A. 100° B. 80° C. 40° D. 10°
D
A
4. (2023·兰州)如图，直线AB与CD相交于点O，则∠BOD＝(　B　)
A. 40° B. 50° C. 55° D. 60°
5. (2022·武威)若∠A＝40°，则∠A的余角的大小是(　A　)
A. 50° B. 60° C. 140° D. 160°
B
A
6. (2022·兰州)如图所示，直线a∥b，直线c与直线a，b分别相交于点
A，B，AC⊥b，垂足为C. 若∠1＝52°，则∠2＝(　C　)
A. 52° B. 45° C. 38° D. 26°
C
命题点二　利用平行线性质求角度
7. (2025·甘肃)如图1，三根木条a，b，c相交成∠1＝80°，∠2＝
110°，固定木条b，c，将木条a绕点A顺时针转动至如图2所示，使木
条a与木条b平行，则可将木条a旋转(　A　)
A. 30° B. 40° C. 60° D. 80°
A
8. (2024·兰州)如图，小明在地图上量得∠1＝∠2，由此判断幸福大街与
平安大街互相平行，他判断的依据是(　B　)
A. 同位角相等，两直线平行
B. 内错角相等，两直线平行
C. 同旁内角互补，两直线平行
D. 对顶角相等
B
9. (2021·省卷)如图所示，直线DE∥BF，Rt△ABC的顶点B在BF上，
若∠CBF＝20°，则∠ADE＝(　A　)
A. 70° B. 60° C. 75° D. 80°
A
1. (2025·自贡)如图，一束平行光线穿过一张对边平行的纸板，若∠1＝
115°，则∠2的度数为(　D　)
A. 75° B. 90° C. 100° D. 115°
D
2. (2025·烟台)如图是一款儿童小推车的示意图，若AB∥CD，∠1＝
30°，∠2＝70°，则∠3的度数为(　A　)
A. 40° B. 35° C. 30° D. 20°
A
3. (2025·台湾)如图，△ABC中，点D为AB的中点，点E在AB上，点F
在AC上，且EF∥BC. 若AF＝7，FC＝3，则下列叙述正确的是(　D　)
A. DE＞EB，DF与EC平行
B. DE＞EB，DF与EC不平行
C. DE＜EB，DF与EC平行
D. DE＜EB，DF与EC不平行
D
1. 线段AB长7 cm，在直线AB上画长为2 cm的线段BC，则线段AC的长
为(　D　)
A. 9 cm B. 5 cm
C. 2 cm或7 cm D. 5 cm或9 cm
D
2. 下列结论中不正确的个数是(　A　)
①一个角的补角一定大于这个角；
②一个角的度数为125°48'，则这个角的补角的度数用度表示为54.2°；
③若∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，那么∠2＝∠3；
④一个角的余角是这个角的2倍，那么这个角是30°.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
A
3. 如图，在长方形纸片ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，将
∠BFE沿着EF折叠，点B刚好落在AD上的点B'处；再将∠CFD沿着
DF折叠，点C刚好落在EF上的点C'处，已知∠AB'E＝30°，则∠B'FD
的度数为(　B　)
A. 60° B. 45° C. 30° D. 15°
B(共34张PPT)
第四章　三角形
微专题1　全等三角形常见模型
第一部分　教材知识梳理
模型一　平移模型
图示
解题 思路 ①由平行线的性质得角度相等；
②通过线段加、减公共线段，得线段相等
例1　如图，△ABC≌△DEF，B，E，C，F四个点在同一直线上，若
EF＝7，EC＝4，则BE的长是(　C　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
C
例2　如图，B是AD的中点，BC∥DE，BC＝DE.
(1)求证：∠C＝∠BED；
互相平分　
(2)连接AE，则AE与BC的关系是 　 互相平分　.
解：(1)证明：∵B是AD的中点，∴AB＝DB. ∵BC∥DE，∴∠ABC
＝∠D. 在△ABC和△BDE中，
∴△ABC≌△BDE(SAS).
∴∠C＝∠BED.
模型二　轴对称(翻折)模型
图示 共边(共直线) 共顶点(共角)
解题思路 共边AB 共边AE ∠ABC＝∠DBE 共∠F
例3　如图，这是佳佳制造的风筝模型.已知△AEB≌△AFC，且BF＝
3，AE＝2，则AB的长是(　A　)
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
A
例4　如图，已知AB＝DC，AC＝DB，AC与DB交于点M. 过点C作
CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N.
(1)求证：△ABC≌△DCB；
解：(1)证明：在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB(SSS).
(2)已知BN＝3，求CN的长.
解：(2)∵CN∥BD，BN∥AC，∴四边形BNCM是平行四边形.
∵△ABC≌△DCB，∴∠ACB＝∠DBC. ∴BM＝CM. ∴四边形
BNCM是菱形.∴CN＝BN＝ 3.
模型三　一线三等角模型(K字型)
锐角一线
三等角 直角一线
三等角 钝角一线
三等角 条件 结论
图 示 同 侧
点P在线段AB上，∠1
＝∠2＝∠3，且AP＝
BD或AC＝BP或CP
＝PD) △APC
≌△BD
P
锐角一线
三等角 直角一线
三等角 钝角一线
三等角 条件 结论
图 示 异 侧
点P在线段AB的延长
线上，∠1＝∠2＝
∠3，且AP＝BD(或
AC＝BP或CP＝PD) △APC
≌△BD
P
例5　如图，等腰直角△ABC的直角顶点C与坐标原点重合，分别过点
A，B作x轴的垂线，垂足为D，E，点A的坐标为(－2，4)，则线段DE
的长为(　B　)
A. 4 B. 6 C. 3 D. 5
B
例6　如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于
点D.
(1)求证：△ACD≌△CBE；
解：(1)证明：∵BE⊥CE于点E，
AD⊥CE于点D，∴∠ADC＝
∠CEB＝90°.
∴∠CAD＋∠ACD＝90°.∵∠BCE
＋∠ACD＝∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD. ∵AC＝BC，
∴△ACD≌△CBE(ASA).
(2)如图2，其他条件不变的前提下，将CE所在的直线旋转到△ABC的外
部，若BE＝3 cm，AD＝9 cm，求DE的长.
解：(2)当CE所在的直线旋转到△ABC的外部时，仍有AC＝BC，
∠D＝∠E＝90°，∴∠CAD＋∠ACD＝90°.∵∠BCE＋∠ACD＝
180°－∠ACB＝90°，∴∠BCE＝∠CAD.
∴△ACD≌△CBE(ASA).∴CE＝AD＝9 cm，CD＝BE＝3 cm.∴DE
＝CD＋CE＝12 cm.
模型四　旋转(手拉手)模型
图示
OC在△OAB内
且拉手线无交
点 OC在△OAB
外且拉手线无
交点 OC在△OAB外且拉手线有交点
条件 在等腰△OAB中，OA＝OB，在等腰△OCD中，OC＝OD，
∠AOB＝∠COD＝α，将△OCD绕点O旋转一定角度后，连接
AC，BD(称为“拉手线”，左手拉左手，右手拉右手)，相交于
点E，连接OE
结论 1.△AOC≌△BOD，AC＝BD(即拉手线相等)；2.EO平分
∠AED；3.∠AEB＝∠AOB＝α
旋转构造
“手拉
手”模型
的步骤 1.先找有没有“等线段，共顶点”；2.选择其中一个三角
形，将其经过“共顶点”的线段旋转；3.旋转方向与这个三
角形的“等线段”旋转到另一条“等线段”的方向一致，旋
转角为“等线段”间的夹角
例7　如图，点B，F，E，D共线，∠B＝∠D，BE＝DF，添加一个
条件，不能判定△ABF≌△CDE的是(　C　)
A. AF∥CE B. ∠A＝∠C
C. AF＝CE D. AB＝CD
C
例8　如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的
点，且CE∥BF. 求证：BF＝CE.
证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.
∵CE∥BF，∴∠DBF＝∠DCE. 在△BDF和△CDE中，
∴△BDF≌△CDE(ASA).∴BF＝CE.
例9　如图，在△ABC和△AED中，AB＝AE，∠BAE＝∠CAD，AC
＝AD.
求证：∠B＝∠E.
解：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE＋∠CAE＝∠CAD＋∠CAE，
即∠BAC＝∠EAD.
在△ABC和△AED中，
∴△ABC≌△AED(SAS).
∴∠B＝∠E.
模型五　半角模型
①三角形中的半角模型
类型 90°含45° 120°含60° 2α含α
图示
条件 ∠BAC＝90°，AB＝
AC，∠DAE＝45° ∠BAC＝120°，AB
＝AC，∠DAE＝
60° ∠BAC＝2α，AB
＝AC，∠DAE＝
α
变形
将△ABD绕点A逆时针
旋转90° 将△ABD绕点A逆时针旋转120° 将△ABD绕点A逆
时针旋转2α
结论 1.∠ECF＝90°；
2.△ADE≌△AFE；
3.DE2＝BD2＋EC2 1.∠ECF＝60°；
2.△ADE≌△AFE 1.∠ECF＝180°
－2α；
2.△ADE≌△AFE
②四边形中的半角模型
类型 90°含45° 120°含60°
图示
条件 在正方形
ABCD 中，
∠EAF＝45° ∠BCD＝
90°，
∠ECF ＝
45°，BC
＝DC 在菱形ABCD中，
∠BAD ＝120°，
∠EAF＝60° ∠BDC＝
120°，BD＝
CD，∠EDF
＝60°
变形
将△ADF绕点
A顺时针旋转
90° 将△BCE绕
点C顺时针
旋转90° 将△BEA绕点A逆
时针旋转120° 将△BDE绕点
D顺时针旋转
120°
结论 1.∠FAG＝90°； 2.△AFE≌△
AGE； 3.EF＝BE＋
DF 1.∠ECG＝90°； 2.△ECF≌
△GCF； 3.EF＝BE
＋DF 1.△AEF≌△AGF； 2.△AEF为等边三
角形(连接AC，可得
△AEC≌△AFD) 1.△DEF≌△DGF；
2.EF＝BE＋FC
例10　如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上中点，
过点D作DE⊥DF交AB于点E，交BC于点F，若AB的长为8，则四边
形BFDE的面积为(　B　)
A. 14 B. 16 C. 18 D. 20
B
例11　如图，正方形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上，BC＝
4CF，连接AF，AE，EF，若∠EAF＝45°，则 的值为(　B　)
A. 2 B. C. D.
B
例12　如图，正方形ABCD中，E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF
＝45°，M，N是AE，AF与对角线BD的交点.若BM＝3，DN＝4，则
正方形ABCD的面积为(　B　)
A. 64 B. 72 C. 98 D. 144
B
模型六　对角互补模型
条件 四边形ABCD中，∠ABC＋
∠ADC＝180°，BD平分∠ABC 四边形ABCD中，∠A＋∠C
＝180°，AD＝DC
图示
解题
思路 过点D 作DE⊥BC于点E，
DF⊥BA交BA 的延长线于点F 过点D 作∠CDE＝∠ADB，
DE交BC的延长线于点E
结论 1.AD＝DC； 2.△BDF≌△BDE，
△ADF≌△CDE 1.△ABD≌△CED；
2.△BDE 是等腰三角形
例13　如图，点P在∠AOB的平分线上，且∠MPN与∠AOB互补，将
∠MPN绕点P旋转，在旋转过程中，有以下结论：①PM＝PN恒成立；
②OM＋ON的值不变；③四边形PMON的面积不变；④MN的长不变.
其中正确结论的个数是(　C　)
C
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
例14　如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＋
∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝ ∠BAD. 连
接EF，若∠AEF＝α，则∠CFE一定等于(　A　)
A. 2a－60° B. 20°＋α
C. 35° D. 45°
A
模型七　十字模型
十字模型 (在等腰直角三角形、矩形、正方形等图形中若有两条互相垂直的线段，
通常需要通过等量代换证明三角形全等或相似，我们把这种模型称为十
字模型)
类别 图示 结论 常用模型(辅助线)
正方形内十字 模型 △ABE≌
△DAF
例15　如图，E，F分别是正方形ABCD边CD，AD上的点，且CE＝
DF，AE，BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③
AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF. 其中正确的结论的个数是(　C　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
C(共29张PPT)
第四章　三角形
第三节　等腰三角形与直角三角形
第一部分　教材知识梳理
考点一　等腰三角形的性质及判定 　▼
1. 等腰三角形的性质及判定
等腰 三角形 性 质 (1)底角相等，
即∠B 　 ＝　∠C；
(2)顶角平分线、底边上的中线、底边上的 　 高　相
互重合，简称“三线合一”；
(3)是轴对称图形，底边上的中线(顶角平分线，底边
上的高)所在直线就是它的对称轴
＝　
高　
等腰 三角形 判 定 (1)有两条边相等的三角形是等腰三角形；
(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形，简写成
“等角对等边”
面 积 S＝ ah(h是底边a上的高)
【温馨提示】(1)确定顶角和底角.当已知等腰三角形的一个角时，要先确
定该角是顶角还是底角，分情况进行讨论，此时要注意等腰三角形的底角
一定是锐角，直角和钝角只能出现在顶角上.
(2)当已知等腰三角形两边时，除了确定哪条边作为腰或底外，一定不要
忽视三角形三边关系，底边长一定小于腰长的2倍，否则不能构成三角形.
2. 等腰三角形辅助线的常见作法：
(1)等腰三角形 作底边上的高线　作腰上的高线　倍长一腰，构
造直角三角形
　　　　
(2)内角存在二倍关系 作等边或等角，构造等腰三角形(条件：∠C是
∠B的二倍)
　
[练对点一]
1. 如图，直线a∥b，直线c分别交直线a，b于点A，B，点C是直线a
上一点，且CA＝CB. 若∠ACB＝70°，则∠1的度数等于　(　B　)
A. 50° B. 55° C. 60° D. 65°
B
考点二　等边三角形的性质及判定 　▼
3. 等边三角形的性质及判定
等边三角形 性质 (1)三边相等，即AB 　 ＝　AC 　 ＝　BC；
(2)三个角相等，均为60°，即∠A＝∠B＝∠C
＝ 　 60°　；
(3)是轴对称图形，有 　 3　条对称轴
等边三角形 判定 (1)三边都相等的三角形是等边三角形；
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；
(3)有一个角是 　 60°　的等腰三角形是等边三角
形
面积 S＝ ah＝ a2(h是任一边a上的高)
＝　
＝　
60°　
3　
60°　
【温馨提示】一般情况下，在同一三角形中“要证边相等，先证角相
等”“欲证角相等，先证边相等”.
[练对点二]
2. 如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的CD部分的长度与支杆
BC相等，且∠BCE＝120°.若CD的长度为50 cm，则此时B，D两点之
间的距离为(　B　)
A. 25 cm B. 50 cm C. 55 cm D. 100 cm
B
考点三　直角三角形的性质及判定 　▼
4. 直角三角形的性质及判定
直角 三角形 性质 (1)两锐角互余，即∠A＋∠B＝ 　 90°　；
(2)斜边上的中线等于斜边的 　 一半　，即CD＝ 　 　
AB；
(3)30°角所对的直角边等于 　 斜边　的一半，在
Rt△ABC中，若∠A＝30°，则 　 a　＝ 　 c　；
(4)若有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所
对的锐角等于 　 30°　；
(5)勾股定理：直角三角形两直角边的平方和 　 等于　
斜边的平方，即a2＋b2 　 ＝　c2
90°　
一半　
　
斜边　
a　
c　
30°　
等于　
＝　
直角 三角形 判定 (1)有一个角为90°的三角形是直角三角形；
(2)有两个角互余的三角形是直角三角形；
(3)勾股定理逆定理：若在△ABC中，a2＋b2＝
c2 ∠ACB＝90°；
(4)一条边上的中线h等于这条边的一半的三角形是直角
三角形(需证明)
面积 S＝ ch＝ ab(a，b为两条直角边，h是斜边c上的高)
等腰直角 三角形 性质 (1)两直角边相等，即AC＝ 　 BC　；
(2)两锐角相等且等于45°，即∠A 　 ＝　∠B＝45°
判定 (1)顶角为90°的等腰三角形；
(2)有两个角为45°的三角形；
(3)有一个角为45°的直角三角形；
(4)两直角边相等的直角三角形
面积 a2＝ c2＝ ch＝ ah(a为直角边，h是斜边c上的高)
BC　
＝　
5. 直角三角形相关模型
(1)若直角三角形的三边分别记为a，b，c，分别以三条边为边或直径向
外作等边三角形、正方形、半圆，则有S1＋S2＝S3；
(2)赵爽弦图：如图1，若直角三角形的三边分别记为a，b，c，则S大正方
形＝S小正方形＋4S直角三角形；
图1 图2
(3)毕达哥拉斯拼图：如图2，若直角三角形的三边分别记为a，b，c，则
S左图大正方形＝S右图大正方形.
6. 与直角三角形有关的辅助线作法：
(1)直角三角形 作斜边上的高　作斜边上的中线
(2)直角边关系或角平分线 倍长直角边，构造等腰三角形
(3)一般三角形特殊线段数量关系 作垂线，构造直角三角形
[练对点三]
3. 如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，分别以四边形的
四条边为边向外作四个正方形，其面积分别记为S1，S2，S3，S4.若S2＝
40，S3＝58，S4＝62，则AD的长为(　D　)
A. 7 B. 5 C. 4 D. 6
D
4. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE分别是边BC上的中
线和高，若AE＝1，SΔABD＝ ，则AD的长为(　A　)
A. 2 B. C. 2 D. 2
A
5. 如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C均在网格的格点
上，下列结论不正确的是(　D　)
A. BC＝ B. AB＝5
C. ∠ACB＝90° D. S△ABC＝10
D
6. 如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形在水池的正中央
有根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰
好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是(　D　)
A. 10尺 B. 11尺 C. 12尺 D. 13尺
D
命题点一　等边三角形的相关计算
1. (2023·武威)如图，BD是等边三角形ABC的边AC上的高，以点D为圆
心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝(　C　)
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
第1题图
C
2. (2024·兰州)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，
DA⊥AC，则∠ADB＝(　B　)
A. 100° B. 115° C. 130° D. 145°
第2题图
B
命题点二　直角三角形的相关计算
3. (2024·临夏州)如图，对折边长为2的正方形纸片ABCD，OM为折痕，
以点O为圆心，OM为半径作弧，分别交AD，BC于E，F两点，则
的长度为 　 　(结果保留π).
　
1. (2025·浙江)如图，在Rt△ABC中，∠A＝35°，CD是斜边AB上的中
线，以点C为圆心，CD长为半径作弧，与AB的另一个交点为点E. 若
AB＝2，则 的长为(　B　)
A. π B. π C. π D. π
B
2. (2025·凉山州)如图，AB＝AC，AE＝AD，点E在BD上，∠EAD＝
∠BAC，∠BDC＝56°，则∠ABC的度数为(　C　)
A. 56° B. 60° C. 62° D. 64°
C
1. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18，BC＝12，BF＝
10，点M在棱AB上，且AM＝6，点N是FG的中点，一只蚂蚁沿着长方
体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为(　A　)
A. 20 B. 2 C. 2 D. 18
第1题图
A
2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AB交BC于点
D，AD＝2，则BC的长是(　D　)
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
第2题图
D
3. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是AC边上的高，
EF⊥AD，垂足为F，且AF＝DF.
(1)求证：AE＝CD；
解：(1)证明：如图，连接DE. ∵BE是AC边上的高，
∴BE⊥AC. 在△ABC中，AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD. ∴DE＝ BC＝CD. ∵EF⊥AD，AF＝
DF，∴EF垂直平分AD. ∴AE＝DE. ∴AE＝CD.
(2)若AE＝5，CE＝6，求△ABC的面积.
解：(2)△ABC的面积＝ AC·BE＝ ×11×8＝44.(共54张PPT)
第四章　三角形
第五节　解直角三角形
第一部分　教材知识梳理
考点一　锐角三角函数 　▼
1. 定义：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A为△ABC中的一
个锐角，则有
∠A的正弦：sin A＝ ＝ 　 　.
∠A的余弦： cos A＝ ＝ 　 　.
∠A的正切：tan A＝ ＝ 　 　.
　
　
　
2. 特殊角的三角函数值
α 三角函数 30° 45° 60°
sin α 　 　
cos α
tan α 　 1　
　
1　
[练对点一]
1. (2025·定西模拟)在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则下列
三角函数值正确的是(　C　)
A. sin A＝ B. cos A＝
C. tan A＝ D. sin B＝
C
考点二　直角三角形边角关系 　▼
3. 直角三角形边角关系
已知条件 解法 图示
已知一条直角边和一
个锐角(a，∠A) ∠B＝90°－∠A， AB＝ ，AC＝ 　 　 (或AC＝ )
已知斜边和一个锐角
(c，∠A) ∠B＝90°－∠A， BC＝ 　 c· sin A　， AC＝c· cos A(或AC＝ )
　
c· sin A　
已知条件 解法 图示
已知两条直角边(a，b) AB＝ 　 　，由tan A＝
，求出∠A，∠B＝90°－∠A
已知斜边和一条直角
边(c，a) AC＝ ， 由 sin A＝ 求出∠A， ∠B＝90°－∠A
　
[练对点二]
2. (2025·凉州区一模)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，已
知∠BDC＝45°，BD＝10 ，AB＝20，则∠ABD＝ 　 15°　.
第2题图
15°　
3. (2025·武都区三模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的
中点，过点D作AB的垂线交AC于点E，BC＝6， sin A＝ ，则DE的长
为 　 　.
第3题图
　
考点三　解直角三角形的实际应用 　▼
4. 解直角三角形的实际应用
相关概念 图示
仰角、 俯角 在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线
上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯
角
坡度(坡 比)、坡角 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡
比)，用字母i表示；坡面与水平线的夹角α叫
坡角.坡度等于坡角的正切值，即i＝tan α＝
方位角 一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南
方向作为起始方向旋转到目标方向所成的角
(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)多少
度，如图所示，点A位于点O的北偏东30°方
向，点B位于点O的南偏东60°方向，点C位
于点O的北偏西45°方向(或西北方向)，注：
方位角只能描述为北偏西(东)或南偏西(东)
【温馨提示】在解直角三角形的实际应用中，计算结果经常会要求取近似
数：一个近似数四舍五入到哪一位就说这个近似数精确到哪一位.如：
3.146 5保留整数是 　 3　，精确到0.1为 　 3.1　，精确到0.01
为 　 3.15　.
3　
3.1　
3.15　
【方法归纳】
1. 解决直角三角形的实际问题，常结合视角知识通过作辅助线构造“直
角三角形”，进而利用三角函数进行求解，常见辅助线的作法和基本图形
的构造如下所示：
(1)构造一个直角三角形
(2)构造两个直角三角形
①不同地点测量：
②同一地点测量：
2. 解直角三角形应用题的一般步骤
第一步：分析——理解题意，分清已知与未知，画出示意图.
第二步：建模——根据已知条件与求解目标，把已知条件与求解量尽量集
中在有关的三角形中，建立一个解直角三角形的数学模型.
第三步：求解——利用三角函数有序解出三角形，求得数学模型的解.
第四步：检验——检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问
题的解.
[练对点三]
4. 我国纸伞的制作工艺十分巧妙.如图，两条伞骨所成的角∠BAC＝
130°，点D在伞柄AP上，AE＝AF＝DE＝DF＝m，则AD的长度可
表示为(　D　)
A. m sin 65° B. m cos 65°
C. 2m sin 65° D. 2m cos 65°
D
5. 新情境·地方特色(2025·甘肃一模)“金娃娃”雕塑是金昌的城市主雕，
矗立在甘肃省河西走廊东段的金昌市人民文化广场上(图1)，顶端的“金
娃娃”是雕塑的主体，神情并茂.某数学兴趣小组开展了“测量金娃娃高
度”的实践活动，具体过程如下：
方案设计：如图2，从获取的信息已知雕塑顶端到底座上边缘的距离AE为
19.81 m，雕塑AE垂直于地面(点A，B，C，D，E均在同一平面内，
AB⊥BD)，在地面上选取一点D测得∠ADB和∠CDB的度数.
数据收集：实地测量底座BE的高度为1.5 m，∠ADB＝42°，∠CDB＝
35°.
问题解决：求雕塑主体“金娃娃”AC的高度(结果保留一位小数).
参考数据： sin 42°≈0.67， cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90， cos
35°≈0.82，tan 35°≈0.70.
根据上述方案及数据，请你完成求解过程.
解：AC＝AB－BC＝21.31－16.576≈4.7(m).
雕塑主体“金娃娃”AC的高度约为4.7 m.
命题点一　直角三角形的边角关系
1. (2024·临夏州)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5， sin B＝ ，则BC的
长是(　B　)
A. 3 B. 6 C. 8 D. 9
B
命题点二　解直角三角形的实际应用
2. 新情境·科技发展(2025·兰州)天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人
数百年的难题.某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间
距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球
与地球之间的近似距离.具体研究方法与过程如表：
问题 月球与地球之间的距离约为多少
工具 天文望远镜、天文经纬仪等
月球、地球的实物图与平面示意图
说明 为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线
段AB作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月
球P(将月球抽象为一个点)，并测得∠ABP和∠BAP的度数，
根据实际问题画出平面示意图(如图)，过点P作PH⊥AB于点
H，连接AP，BP
数据 AB≈0.8万千米，∠ABP＝89°25'37.43″，∠BAP＝
89°22'38.09″
根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离PH. (结果精确到1万千米)
(参考数据：tan 89°25'37.43″≈100.00，tan 89°22'38.09″≈92.00，
sin 89°25'37.43″≈040.999 95， sin 89°22'38.09″≈0.999 94， cos
89°25'37.43″≈0.009 99， cos 89°22'38.09″≈0.010 87)
解：设PH＝x万千米.
∵在Rt△PHB中，∠PHB＝90°，∠ABP＝89°25'37.43″，
∴BH＝ ＝ ≈ .
∵在Rt△PHA中，∠PHA＝90°，∠BAP＝89°22'38.09″，
∴AH＝ ＝ ≈ .
∵AH＋BH＝AB≈0.8万千米，∴ ＋ ＝0.8.
解得x≈38，即PH≈38万千米.
答：月球与地球之间的近似距离PH约为38万千米.
3. 新情境·地方特色(2025·甘肃)如图1，位于嘉峪关的长城第一墩，又称天下第一墩，是明代万里长城最西端的一座墩台，始建于明嘉靖十八年(1539年).该墩台雄踞于讨赖河峡谷的悬崖之上，扼守丝绸之路咽喉要道，与嘉峪关关城、悬壁长城共同构成河西走廊的军事防御体系.随着岁月的变迁和自然的风化，长城第一墩的高度在慢慢降低.为了解长城第一墩的现存高度.某校同学们开展了“测量长城第一墩高度”的综合实践活动.如图2是他们测量长城第一墩高度AB的示意图，点A为最高点，点B，F，D是地面同一直线上的三个点(点D，F都在保护栅栏外)，在D，F处分别用测角仪测得∠ACG＝16.7°，∠AEG＝22°，其中CD＝EF＝1.7 m(测角仪的高度)，DF＝CE＝5.5 m，求长城第一墩的高度AB(结果精确到0.1 m).(参考数据： sin 22°≈0.37， cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40， sin 16.7°≈0.29，
cos 16.7°≈0.96，tan 16.7°≈0.30)
解：由题意，得CG⊥AB，CD＝EF＝BG＝1.7 m，
设EG＝x m.
∵CE＝DF＝5.5 m，
∴CG＝CE＋EG＝(x＋5.5) m.
在Rt△ACG中，∠ACG＝16.7°，
∴AG＝CG·tan 16.7°≈0.3(x＋5.5) m.
在Rt△AEG中，∠AEG＝22°，
∴AG＝EG·tan 22°≈0.4x(m).
∴0.4x＝0.3(x＋5.5).解得x＝16.5，
∴AG＝0.4×16.5＝6.6(m).
∴AB＝AG＋BG＝6.6＋1.7≈8.3(m).
答：长城第一墩的高度AB约为8.3 m.
4. (2024·临夏州)乾元塔(图1)位于临夏州临夏市的北山公园内，为砼框架
式结构，造型独特别致，远可眺太子山风景，近可收临夏市全貌，巍巍峨
峨，傲立苍穹.某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展
了测量乾元塔高度AB的实践活动，A为乾元塔的顶端，AB⊥BC，点
C，D在点B的正东方向，在C点用高度为1.6 m的测角仪(即CE＝1.6米)
测得A点仰角为37°，向西平移14.5 m至点D，测得A点仰角为45°，请
根据测量数据，求乾元塔的高度AB. (结果保留整数，参考数据： sin
37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
解：如图2，设GE延长线与AB交于点F，易知EF⊥AB.
设FG＝x m.在Rt△AEF中，
∵∠AEF＝37°，∴tan 37°＝ .
∴AF＝EF·tan 37°＝0.75(x＋14.5)＝(0.75x＋10.875)m.
在Rt△AGF中，
∵∠AGF＝45°，∴tan 45°＝ ，
∴AF＝GF＝x m，
∴0.75x＋10.875＝x，
∴x≈44，
∴AB＝AF＋BF＝44＋1.6≈46(m).
答：乾元塔的高度AB约为46 m.
5. (2024·省卷)中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和.甘
肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速.某学习小组成员查阅资料得知，
在风力发电机组中，如图1，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重
要的设计参数.于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动.如
图2，已知一风电塔筒AH垂直于地面，测角仪CD，EF在AH两侧，CD
＝EF＝1.6 m，点C与点E相距182 m(点C，H，E在同一条直线上)，
在D处测得筒尖顶点A的仰角为45°，在F处测得筒尖顶点A的仰角为
53°.求风电塔筒AH的高度.(参考数据： sin 53°≈ ， cos 53°≈ ，
tan 53°≈ )
解：如图2，连接DF，交AH于点G.
由题意，可得DF∥CE，AH⊥CE，
∴AH⊥DF，GH＝DC＝FE＝1.6 m，
∴∠AGD＝∠AGF＝90°.
在Rt△AGD中，∵∠ADG＝45°，
∴DG＝AG.
在Rt△AGF中，∵∠AFG＝53°，
∴GF＝ ＝ ≈ ＝ AG.
∵DG＋GF＝CE＝182，∴AG＋ AG＝182，
∴AG＝104，
∴AH＝AG＋GH＝104＋1.6＝105.6(m).
答：风电塔筒AH的高度约为105.6 m.
6. (2024·兰州)单摆是一种能够使摆球做往复运动的装置.某兴趣小组利用
摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下.
实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化
实验用具 摆球、摆线、支架、摄像机等
实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球稍
微拉高后松手，摆球开始做往复运动.(摆线的长度变化忽略
不计)
如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B
处，BD⊥OA，∠BOA＝64°，BD＝20.5 cm；当摆球运
动至点C时，∠COA＝37°，CE⊥OA. (点O，A，B，
C，D，E在同一平面内)
实验图示
解决问题：根据以上信息，求ED的长.(结果精确到0.1 cm)
参考数据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75， sin
64°≈0.90， cos 64°≈0.44，tan 64°≈2.05.
解：在Rt△OBD中，∠ODB＝90°，∠BOA＝64°，
BD＝20.5 cm，
∴tan∠BOA＝ ， sin ∠BOA＝ .
∵2.05≈ ，0.90≈ ，
∴OD≈10 cm，OB≈22.78 cm.
在Rt△COE中，OC＝OB＝22.78 cm，∠COA＝37°，
∴ cos ∠COA＝ ，即 cos 37°≈ .
整理，得OE≈22.78×0.80＝18.224(cm)，
则ED＝OE－OD≈8.2 cm.
答：ED的长约为8.2 cm.
7. (2023·兰州)如图1是我国第一个以“龙“为主题的主题公园——“兰州
龙源”. “兰州龙源”的“龙”字主题雕塑由紫铜铸造，如巨龙腾空，气
势如虹，屹立在黄河北岸.某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD
高度的实践活动，具体过程如下.如图2，“龙”字雕塑CD位于垂直地面
的基座BC上，在平行于水平地面的A处测得∠BAC＝38°，∠BAD＝
53°，AB＝18 m. 求“龙”字雕塑CD的高度.(B，C，D三点共线，
BD⊥AB. 结果精确到0.1 m) (参考数据： sin 38°≈0.62， cos
38°≈0.79，tan 38°≈0.78， sin 53°≈0.80， cos 53°≈0.60，tan
53°≈1.33)
解：在Rt△ABC中，AB＝18 m，∠BAC＝38°，
∴BC＝AB·tan 38°≈18×0.78＝14.04(m).
在Rt△ABD中，AB＝18 m，∠BAD＝53°，
∴BD＝AB·tan 53°≈18×1.33＝23.94(m)，
∴CD＝BD－BC＝23.94－14.04＝9.9(m).
答：“龙”字雕塑CD的高度约为9.9 m.
8. 新考向·跨学科综合(2023·武威)如图1，某人的一器官后面A处长了一个
新生物，现需检测其到皮肤的距离(图1).为避免伤害器官，可利用一种新
型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量，某医疗小组制定方案，通
过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距
离.方案如下：
课题 检测新生物到皮肤的距离
工具 医疗仪器等
示意图
说明 如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的
B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN；再在
皮肤上选择距离B处9 cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤
MN的夹角为∠ECN.
测量 数据 ∠DBN＝35°，∠ECN＝22°，BC＝9 cm
请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离.(结果精确到
0.1 cm)
(参考数据： sin 35°≈0.57， cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70， sin
22°≈0.37， cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40)
解：如图2，过点A作AH⊥MN，垂足为H.
由题意，得∠ABH＝∠DBN＝35°，∠ACH＝∠ECN＝22°，
在Rt△AHB中，BH＝ ＝ ≈ .
在Rt△AHC中，CH＝ ＝ ≈ .
∵CH－BH＝BC，∴ － ＝9，
∴AH＝4 cm.
答：新生物A处到皮肤的距离约为8.4 cm.
解：如图2，过点A作AH⊥MN，垂足为H.
由题意，得∠ABH＝∠DBN＝35°，∠ACH＝∠ECN＝22°，
在Rt△AHB中，BH＝ ＝ ≈ .
在Rt△AHC中，CH＝ ＝ ≈ .
∵CH－BH＝BC，∴ － ＝9，
∴AH＝8. 4 cm.
9. (2021·省卷)图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年
(1535年)，是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑.宝塔建造工艺精湛，与
崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双壁”.某数学兴趣小组开
展了“测量大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：
方案设计：如图2所示，宝塔CD垂直于地面，在地面上选取A，B两处分
别测得∠CAD和∠CBD的度数(A，D，B在同一条直线上).
数据收集：通过实地测量：地面上A，B两点的距离为58 m，∠CAD＝
42°，∠CBD＝58°.
问题解决：求宝塔CD的高度(结果保留一位小数).
(参考数据： sin 42°≈0.67， cos 42°≈0.74， tan 42°≈0.90， sin
58°≈0.85， cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60)
根据上述方案及数据，请你完成求解过程.
解：设CD＝x m，
在Rt△ACD中，AD＝ ＝ ≈ ，
在Rt△CBD中，BD＝ ＝ ≈ .
∵AD＋BD＝AB，∴ ＋ ＝58.解得x≈33.4.
答：宝塔CD的高度约为33.4 m.
1. (2025·自贡)如图，在平面直角坐标系中，将△ABO平移，得到
△EFG，点E，F在坐标轴上.若∠A＝90°，tan B＝ ，A(－4，3)，则
点G的坐标为(　B　)
A. (11，－4) B. (10，－3)
C. (12，－3) D. (9，－4)
B
2. (2025·威海)小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度AB. 测量方案
如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角∠1的度数，
大楼底部点A的俯角∠2的度数.然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部
点B的仰角∠3的度数.若∠1＝45°，∠2＝
52°，∠3＝65°，CD＝10 m，求大楼的高度AB. (精确到1 m).
参考数据： sin 52°≈0.8， cos 52°≈0.6，tan 52°≈1.3； sin
65°≈0.9， cos 65°≈0.4，tan 65°≈2.1.
解：如图，过点C作CG⊥AB于点G，过点D作DH⊥AB于点H，则四
边形CDHG是矩形，
∴GH＝CD＝10 m，CG＝DH.
∵∠1＝45°，∴CG＝BG.
设AH＝x m，∴AG＝(x＋10) m.
在Rt△ACG中.∵∠2＝52°，∴CG＝ ＝ m.
∴BG＝CG＝ m.∴BH＝AB－AH＝(＋10)m.
在Rt△BDH中，∠3＝65°，∴tan 65°＝ ＝ ≈2.1.
∴x≈1.8，即AH≈1.8 m，∴BH≈19.1 m.
∴AB＝BH＋AH≈21(m).
答：大楼的高度AB约为21 m.
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝3，则BC的长为
(　C　)
A. 3 sin 35° B.
C. 3 cos 35° D. 3tan 35°
C
2. 如图，已知A(－2，1)，B(0，0)，C(1，2)，则tan∠BAC的值为
(　B　)
A. B. 1 C. D.
B
3. 松柏苍翠寄哀思，丰碑永驻颂英魂.清明节小华和家人一起到烈士陵园
祭奠先烈，祭拜结束后他想利用所学知识测量纪念碑的高度.如图，他在
纪念碑对面一幢建筑物楼顶A处观测，测得纪念碑顶部B处的仰角为
37°，测得纪念碑底部C处的俯角为30°.已知观测点A处距地面的高度
AD为12 m(图中点A，B，C，D均在同一平面内).
(1)求这幢建筑物与纪念碑之间的水平距离CD(结果保留根号)；
解：(1)如图，过点A作AE⊥BC，垂足为点E.
由题意，得EC＝AD＝12 m，CD＝AE，
由题意，得AE＝ ＝ ＝12 (m)，
∴AE＝CD＝12 m.
∴这幢建筑物与纪念碑之间的水平距离CD为12 m.
(2)求纪念碑的高度BC(结果取整数).
(参考数据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，
≈1.73)
解：(2)∵∠BAE＝37°，AE＝12 m，
∴BE＝AE·tan 37°≈12 ×0.75＝9(m).
∵CE＝12 m，∴CB＝BE＋CE＝9 ＋12≈28(m).
∴纪念碑的高度BC约为28 m.(共29张PPT)
第四章　三角形
第二节　三角形与全等三角形
第一部分　教材知识梳理
考点一　三角形的分类及性质 　▼
1. 三角形的概念及分类
三角形 定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形
三角形 的分类 按角分 锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
三角形 的分类 按边分 等腰三角形 等边三角形
底与腰不相等的等腰三角形
不等边三角形
三角形的特点 三角形具有稳定性
2. 性质
(1)边的性质
三角形的两边之和 　 大于　第三边，任意两边之差 　 小于　第三边.如图
所示，即a＋b＞c，a－b＜c.
大于　
小于　
①内角和：三角形的三个内角的和为 　 180°　，即∠A＋∠B＋∠ACB
＝180°.
②三角形的外角和等于360°.
③内外角关系：三角形的任意一个外角 　 等于　与它不相邻的两个内角
的和，如∠ACD＝ 　 ∠A＋∠B　；
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，如
∠ACD 　 ＞　∠A，∠ACD 　 ＞　∠B.
180°　
等于　
∠A＋∠B　
(2)角的性质
＞　
＞　
(3)边角关系
在同一个三角形中，等边对等角，等角对等边，大边对大角，小边对
小角.
[练对点一]
1. (2025·兰州一模)如图，在△ABC中，已知∠A＝30°，∠ABC＝
70°，D为AC边上一点，且AD＝BD，则∠DBC＝(　D　)
A. 70° B. 60° C. 50° D. 40°
2. 已知三角形的两边长满足(b－6)2＋｜a－3｜＝0，那么第三边的长不可
能为(　A　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
D
A
3. 在下列条件：①∠A＋∠B＝∠C；②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3；
③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A＝ ∠B＝ ∠C；⑤∠A＝∠B＝ ∠C
中，能确定△ABC为直角三角形的条件有(　B　)
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
4. 将一副三角板按照如图方式摆放，则∠BGE的度数为(　B　)
A. 65° B. 75° C. 85° D. 105°
B
B
考点二　三角形中的重要线段 　▼
3. 三角形中的重要线段
四线 定义 图形和性质
中线 连接一个顶点与它对边中点的线段，三条中线的交点叫作三角形的重心 BD＝ 　 DC　，S△ABD＝
S△ADC＝ S△ABC
高线 从三角形一个顶点到它
对边所在直线的垂线段 AD⊥ 　 BC　，即∠ADB＝∠ADC＝90°，S△ABC＝ BC·AD，S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC
DC　
BC　
四线 定义 图形和性质
角平 分线 一个内角的平分线与这
个角的对边相交，顶点
与交点之间的线段 ∠BAD＝ 　 ∠CAD　＝
∠BAC，S△ABD∶S△ADC＝AB∶AC
中位 线 连接三角形两边中点的
线段 AD＝BD，AE＝EC，DE＝
BC，DE∥BC，S△ADE＝ S△ABC
∠CAD　
[练对点二]
5. 一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到
草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在(　C　)
A. 三角形三条中线的交点
B. 三角形三边的垂直平分线的交点
C. 三角形三条角平分线的交点
D. 三角形三条高所在直线的交点
C
6. 下列能表示△ABC的边BC上的高的是(　B　)
A B C D
B
考点三　全等三角形的性质 　▼
4. 性质1：全等三角形的对应边 　 相等　；
性质2：全等三角形的对应角 　 相等　；
性质3：全等三角形的对应边上的高、中线、角平分线 　 相等　，对应周
长 　 相等　，对应面积 　 相等　.
相等　
相等　
相等　
相等　
相等　
[练对点三]
7. 如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝35°，∠ACB＝45°，则∠DCE
＝ 　 100　°.
100　
考点四　全等三角形的判定 　▼
5. 判定方法
已知条件 图形 是否全等 形成结论
三边相等
是 SSS
两角一边 两角及夹 边相等
是 ASA
两角及一角的 对边相等
是 AAS
已知条件 图形 是否全等 形成结论
两边一角 两边及夹角相等 是 SAS
两边及一边的 对角相等 直角 三角形
是 HL
两边一角 两边及一边的 对角相等 斜三角形
不一定 无
三个角相等 不一定 无
【温馨提示】在判定两个三角形全等时，三组对应相等的元素中，至少有
一组是对应边相等.
6. 证明三角形全等的思路
证
三
角
形
全
等
【温馨提示】证明两条线段相等或两个角相等时，常用的方法是证明这两
条线段或者这两个角所在的三角形全等，当所证的线段或者角不在两个全
等三角形中时，可通过添加辅助线的方法构造全等三角形.
[练对点四]
8. 如图，点D在等边△ABC的BC边上，且2BD＜BC，点E也在等边
△ABC的边上.下列选项中错误的是(　B　)
A. 若点E在BC边上，且CE＝BD，则△ACE≌△ABD
B. 若点E在AC边上，且CE＝BD，则△BAE≌△ABD
C. 若点E在AB边上，且AE＝BD，则△CAE≌△ABD
D. 若点E在AB边上，且BE＝BD，则△CBE≌△ABD
B
9. (2025·凉州区校级模拟)如图，AD，CF分别是△ABC的高和角平分
线，AD与CF相交于点G，AE平分∠CAD交BC于点E，交CF于点
M，连接BM交AD于点H，且BM⊥AE，有以下结论中：①∠AMC＝
135°；②△AMH≌△BME；③BC＝BH＋2MH；④AH＋CE＝AC.
正确的结论个数有(　C　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
C
命题点一　三角形的三边关系
1. (2024·兰州)如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距
离，他先在AB外取一点C，然后步测出AC，BC的中点D，E，并步测
出DE的长约为18 m，由此估测A，B之间的距离约为(　C　)
A. 18 m B. 24 m C. 36 m D. 54 m
C
命题点二　全等三角形的证明及计算
2. (2024·临夏州)如图，在△ABC中，点A的坐标为(0，1)，点B的坐标为
(4，1)，点C的坐标为(3，4)，点D在第一象限(不与点C重合)，且△ABD
与△ABC全等，点D的坐标是 　 (1，4)　.
(1，4)　
3. (2022·兰州)如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图
2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D
的大小.
解：∵∠BAD＝∠EAC，
∴∠BAD＋∠CAD＝∠EAC＋∠CAD.
∴∠BAC＝∠EAD.
在△BAC和△EAD中，
∴△BAC≌△EAD (SAS).
∴∠D＝∠C＝50°.
1. (2025·资阳)三角形的周长为48 cm，则它的三条中位线组成的三角形的
周长是(　B　)
A. 12 cm B. 24 cm C. 28 cm D. 30 cm
B
2. (2025·台湾)如图，△ADG的顶点G为△ABC的重心，DG与AB相交于
点E. 若DE∶EG＝3∶2，AE∶EB＝3∶4，则△ADG
面积为△ABC面积的多少倍？(　B　)
A. B. C. D.
B
1. 如图，将长为14 cm的铁丝折成三段，已知第一段长为4 cm，第二段长
为a cm.若这三条线段恰好能围成一个三角形，则a的值可以是(　B　)
A. 3 B. 6 C. 7 D. 8
B
2. 设a，b，c为△ABC的三边，化简｜a－b＋c｜－｜a＋b－c｜
－｜a－b－c｜＝ 　 a－3b＋c　.
a－3b＋c　
3. 如图，在△ABC中(AB＜BC)，过点C作CD∥AB，在CD上截取CD
＝CB，CB上截取CE＝AB，连接DE，DB.
(1)求证：△ABC≌△ECD；
解：(1)证明：∵CD∥AB，
∴∠ABC＝∠ECD.
在△ABC和△ECD中，

∴△ABC≌△ECD(SAS).
(2)若∠A＝90°，AB＝3，CD＝5，求BD的长.
解：(2)∵∠A＝90°，
∴∠CED＝∠A＝90°.
∴∠BED＝180°－∠CED＝90°.
∵△ABC≌△ECD，
∴EC＝AB＝3，CD＝BC＝5.
∴DE＝AC＝ ＝ ＝4.
∴BE＝BC－CE＝2.
∴BD＝ ＝ ＝2 .(共24张PPT)
第四章　三角形
微专题2　相似三角形常见模型
第一部分　教材知识梳理
模型一　“A”字型
类
型 正“A字”型 斜“A字”型(共角) 斜“A字”型(共角共边)
图
示
条
件 DE∥BC 在△ABC中，点D是AB上的
点，点E是AC上的点，
∠AED＝∠ABC或∠ADE＝
∠ACB 在△ABC中，点D是AB
上的点，∠ACD＝
∠ABC或∠ADC＝
∠ACB
结
论 △ADE∽
△ABC △ADE∽△ACB △ADC∽△ACB
例1　如图，利用与水平地面垂直的标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE
高1.5 m，测得AB＝2 m，BC＝14 m，则楼高CD为(　C　)
例1题图
A. 10.5 m B. 9.5 m C. 12 m D.14 m
C
例2　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E是AB上一点，DE⊥AB交
AC于点D，若AC＝4，AE＝2，则 ＝(　B　)
例2题图
A. 2 B. C. D.
B
模型二　“8”字型
类
型 正“8字”型 斜“8字”型(蝴
蝶型) 斜“8字”型(燕尾型)
图
示
条
件 AC与BD交于点O，
AB∥CD(或一组内错
角相等) AC与BD交于点
O，∠A＝∠D(或∠B＝∠C) B，D分别是边AE，CE上一点，AD与BC相交于点F，∠A＝∠C(或∠ABF＝∠CDF)
结
论 △AOB∽△COD △AOB∽△DOC △ABF∽△CDF，
△ADE∽△CBE
例3　如图，已知 ABCD，AB＝2，BC＝5，∠ABC的平分线BG交
AD于点G，交CD的延长线于点H，若BH＝8，则BG的长为(　C　)
A. 5 B. 7 C. D.
C
例4　如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝BD，点E为边AD
上一点，且DE＝DC，连接BE并延长，交AC于点F.
(1)求证：△BED∽△AEF；
证明：(1)∵AD⊥BC，∴∠ADC＝
∠BDE＝90°.∵AD＝BD，DC＝
DE，
∴△ACD≌△BED(SAS).∴∠EBD
＝∠CAD. ∵∠BED＝∠AEF，
∴△BED∽△AEF.
(2)过点A作AG∥BC交BF的延长线于点G，连接CG，如图2.若DE2＝
AE·AD，求证：四边形ADCG是矩形.
∴DC·AG＝∵DE＝DC，∴DC·AG＝DC2.∴DC＝AG.
∵AG∥DC，
证明：(2)∵AG∥BC，∴∠AGE＝∠EBD. ∵∠EBD＝∠CAD，
∴∠AGE＝∠CAD. 由(1)，知△ACD≌△BED，∴∠ACD＝
∠BED. ∴∠AEG＝∠BED＝∠ACD，∴△AEG∽△DCA. ∴
＝ .∴AE·AD＝DC·AG. ∵DE2＝AE·AD，
∴DC·AG＝DE 2. ∵DE＝DC，∴DC·AG＝DC2.∴DC＝AG.
∵AG∥DC，
∴四边形ADCG是平行四边形.∵AD⊥BC，∴四边形ADCG是矩形.
模型三　一线三等角
类型 同侧一线三等角 异侧一线三等角
图示
模型三　一线三等角
图示
条件 两个三角形在直线同侧，点P在线段AB上，∠1＝∠2＝∠3 两个三角形在直线异侧，点P在AB的延长线上，∠1＝∠2＝∠3(∠1，∠2居两边，∠3跨中间)
结论 △CAP∽△PBD △CAP∽△PBD
例5　如图，矩形ABCD中，CE＝2DE，点P在BC边上且恰好存在点
P，使△ABP和△PCE相似，若AB＝3，BC＝5，则BP的长为(　C　)
A. 2 B. 3 C. 2或3 D. 3或4
C
例6　如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD
上，且DF＝1，若△ABE与△DEF相似，求AE的长.
解：在边长为4的正方形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝4，
当△ABE∽△DEF时， ＝ ，∴ ＝ .∴AE＝2.
当△ABE∽△DFE时， ＝ ，∴ ＝ .∴AE＝ .∴AE＝2或
.
模型四　射影定理
图示
条件 AD是Rt△ABC斜边上的高(∠BAC＝90°，AD⊥BC)
结论 1.△DBA∽△DAC AD2＝BD·CD；
2.△DBA∽△ABC AB2＝BD·BC；
3.△DAC∽△ABC AC2＝CD·BC
例7　如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D. 若AB＝
8，AC＝5，则AD的长度为 　 　.
　
例8　如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BA2＝BC·BD.
(1)求证：△ABC是直角三角形；
解：(1)证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝
90°.
∵BA2＝BC·BD，∴ ＝ .又∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△DBA. ∴∠CAB＝∠ADB＝
90°.∴△ABC是直角三角形.
(2)△ACD可以经过怎样的图形变换得到△BAD？请用文字语言描述变换
过程.
解：(2)方法一：△ACD先以点D逆时针旋转90°，
再以点D为位似中心放大一定比例即可得△BAD；
方法二：△ACD先以点D为位似中心放大一定比例
后，再以点D为旋转中心逆时针旋转90°即可得
△BAD.
模型五　十字模型
类型 矩形
过顶点型 不过顶点型
条件 在矩形ABCD中，
点E在边AD上，
CE⊥BD 在矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在
边AD，BC，AB，DC上，EF⊥GH
图示
结论 △BCD∽△CDE，
＝ ＝
例9　如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是边BC的中点，F
是CE的中点，连接AF，DE交于点O，则DO的长为(　B　)
A. B. 4 C. 5 D. 6
B
例10　如图，已知 ABCD，点E为BC边上的中点，连接AE，交对角
线BD于点G，∠ADB＝∠BAE.
(1)求证：EB2＝EG·EA；
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC. ∴∠ADB＝∠CBD. ∵∠ADB＝∠BAE，
∴∠CBD＝∠BAE. ∵∠AEB＝∠BEG，
∴△AEB∽△BEG. ∴ ＝ .∴EB2＝EG·EA.
(2)连接CG，若∠CGE＝∠DBC. 求证： ABCD是矩形.
证明：(2)如图，连接CG，延长CG交AB于点F. 由题意，得EB＝EC＝
BC，
∵AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，∴△AGD∽△EGB，
△BFG∽△DCG.
∴ ＝ ， ＝ .∴2＝ ， ＝ .∴ ＝ 2.
∴FB＝ AB. ∴F为AB的中点.∴AF＝FB.
∵∠CGE＝∠DBC，∠ADB＝∠BAE，∠ADB＝∠DBC，∴∠CGE
＝∠BAE.
∵∠AGF＝∠CGE，∴∠AGF＝∠BAE. ∴AF＝GF. ∴AF＝GF＝
FB.
∴点A，G，B在以F为圆心，AB为直径的圆上.∴∠AGB＝90°.
∴∠BGE＝90°.由(1)得△AEB∽△BEG，∴∠ABE＝∠BGE＝
90°.∴ ABCD是矩形.

展开更多......

收起↑