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(共34张PPT)
第六章　圆
第一节　圆的基本性质
第一部分　教材知识梳理
考点一　圆的有关概念及性质 　▼
1. 圆的定义
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个
端点A所形成的图形叫作圆，其中固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作
半径.
2. 圆的确定
不在同一直线上的三个点确定一个圆.
【温馨提示】圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.
3. 圆的有关概念
(1)同心圆：圆心相同、半径不相等的圆.
(2)等圆：能够重合的两个圆.
(3)半圆：圆的任意一条 　 直径　的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧
都叫作半圆.
(4)弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧，大于半圆的弧叫
作 　 优弧　，小于半圆的弧叫作 　 劣弧　.
(5)弦：连接圆上任意两点的 　 线段　.
(6)直径：经过 　 圆心　的弦.
(7)弦心距：圆心到 　 弦　的距离.
直径　
优弧　
劣弧　
线段　
圆心　
弦　
4. 圆的对称性
(1)圆既是轴对称图形，又是 　 中心对称图形　，任意一条直径所在的直
线都是它的对称轴，圆心是它的对称中心.
(2)圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合.
中心对称图形　
[练对点一]
1. 下列语句中正确的是(　C　)
A. 直径是经过圆心的直线
B. 经过圆心的线段是半径
C. 半圆是弧
D. 经过三点一定可以作圆
2. 已知AB是☉O的弦，若☉O的半径为6 cm，则弦AB的长不可能为
(　A　)
A. 13 cm B. 12 cm C. 10 cm D. 6 cm
C
A
考点二　垂径定理及其推论 　▼
5. 垂径定理及其推论
定理
垂直于弦的直径 　 平分　弦，并且平分弦所对的两条 　 弧　.如
图，已知直径CD⊥弦AB，则CD平分AB， ＝ ， ＝
平分　
弧　
推论 平分弦(不是直径)的直径 　 垂直　于弦，并且 　 平分　弦所对的两条弧.如图，已知直径CD平分弦AB(不是直径)，则CD⊥AB，
且 ＝ ， ＝
垂直　
平分　
推论 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.如图，弦AB的垂直平分线为直径CD，直径CD平分 和
平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
【温馨提示】1.如图1，根据圆的对称性，在以下5个结论中：① ＝
；② ＝ ；③AE＝BE(AB不是直径)；④CD⊥AB；⑤CD是直
径，只要满足其中两个结论，另外三个结论就一定成立，即“知二推
三”；2.有关弦的问题，常作其弦心距，构造以半径、弦的一半、弦心距
为边的直角三角形，利用勾股定理求解.如图2，d2＋()2＝r2.
[练对点二]
3. (2025·凉州区一模)如图，AB为☉O的直径，弦CD交OA于点M，且
∠DMB＝45°，若MC＝2，MD＝4，则☉O的半径为(　B　)
A. 3 B. C. 3 D. 4
B
4. (2025·临夏州一模)“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒
改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截
面.已知截面的半径为10 cm，开口AB宽为12 cm，这个水容器所能装水
的最大深度是 　 18　cm.
18　
考点三　弧、弦、圆心角 　▼
6. 圆心角：顶点在 　 圆心　的角.如图中的∠AOB.
7. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 　 相等　，所对的弦
也 　 相等　.如图，若∠AOB＝∠COD，则 ＝ 　，AB
＝ 　 CD　.
圆心　
相等　
相等　

CD　
8. 推论：(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心
角 　 相等　，所对的弦相等.如图，若 ＝ ，则∠AOB
＝ 　 ∠COD　，AB＝CD.
(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所
对的优弧和劣弧分别 　 相等　.如图，若AB＝CD，则∠AOB＝
∠COD， 　＝ .
(3)弧的度数等于它所对 　 圆心角　的度数.
【温馨提示】同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相
等，它们所对应的其余各组量也相等.
相等　
∠COD　
相等　

圆心角　
[练对点三]
5. (2025·临夏州一模)如图，在☉O中，∠C＝30°，则∠AOB＝(　D　)
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°
第5题图
D
6. 如图，圆内接四边形ABDC，AB是☉O的直径，OD⊥BC交BC于点
E.
(1)求证：点D为 的中点；
解：(1)求证过程略.
第6题图
(2)若BE＝4，AC＝6，求DE.
解：(2)DE＝2.
考点四　圆周角定理及其推论 　▼
9. 定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角.如∠D和∠A.
10. 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 　 一半　，如图，
∠A＝ 　 　∠BOC.
一半　
　
11. (1)推论1：同弧或等弧所对的圆周角 　 相等　.如上图 　 ∠D　＝
∠A(同弧 )；
∠A＝ 　 ∠BCD　(等弧： 与 ).
用途：证明圆周角相等.
相等　
∠D　
∠BCD　
(2)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦
是 　 直径　.
如图，AB是直径 ∠ACB＝90°.
用途：连直径，得直角或确定圆的直径.
【温馨提示】应用圆周角定理及其推论时，一定注意“在同圆或等圆中”
的条件，同时要注意：a.一条弦所对的弧有两条；b.一条弧只对应一个圆
心角，但却对应无数个圆周角.
直径　
[练对点四]
7. (2025·甘州区一模)如图，BC是☉O的直径，A，D是☉O上的两点，
连接AB，AD，BD，若∠D＝64°，则∠ABC的度数是(　D　)
A. 20° B. 36° C. 32° D. 26°
第7题图
D
8. (2025·临洮县二模)如图，AB是☉O的直径，弦CD与AB交于点E，连
接AC，AD. 若∠BAC＝43°，则∠ADC＝(　C　)
A. 43° B. 45° C. 47° D. 49°
第8题图
C
命题点一　弧、弦、圆心角的相关计算
1. (2024·兰州)“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国
时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的
示意图，其中☉M，☉N的半径分别是1 cm和10 cm，当☉M顺时针转动3
周时，☉N上的点P随之旋转n°，则n＝ 　 108　.
108　
2. (2022·兰州)如图所示，△ABC内接于☉O，CD是☉O的直径，∠ACD
＝40°，则∠B＝(　C　)
A. 70° B. 60° C. 50° D. 40°
第2题图
C
3. (2021·省卷)如图所示，点A，B，C，D，E在☉O上，AB＝CD，
∠AOB＝42°，则∠CED＝(　D　)
A. 48° B. 24° C. 22° D. 21°
第3题图
D
命题点二　圆周角定理及其推论的相关计算
4. (2025·甘肃)如图，四边形ABCD内接于☉O， ＝ ，连接BD，若
∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为(　C　)
A. 20° B. 35° C. 55° D. 70°
第4题图
C
5. (2024·省卷)如图，点A，B，C在☉O上，AC⊥OB，垂足为D，若
∠A＝35°，则∠C的度数是(　A　)
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
第5题图
A
6. (2024·临夏州)如图，AB是☉O的直径，∠E＝35°，则∠BOD＝
(　D　)
A. 80° B. 100° C. 120° D. 110°
第6题图
D
7. (2023·兰州)我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法.
如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表
十步，以参望，日始出北廉，日直入，又树一表于东方，因西方之表，以
参望日方入北廉，则定东方.两表之中，与西方之表，则东西之正也.”如
图，用几何语言叙述作图方法；已知直线a和直线外一定点O，过点O作
直线与a平行，①以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，
N；②分别在MO的延长线及ON上取点A，B，使OA＝OB；③连接
AB，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线a∥b.按以上作图顺
序，若∠MNO＝35°，则∠AOC＝(　A　)
A
A. 35° B. 30°
C. 25° D. 20°
1. 如图，AB为☉O的直径，AB＝2，C为 的中点，连接OC，点D在
射线AC上，连接BD，取BD的中点E，过点E作EF⊥BD交OC于点
F，连接CE. 下列结论：①DF⊥BF；②EC＝EF；③∠OFB＝
∠ADB；④DC＋ CF为定值2.其中正确结论的个数为(　C　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
C
第1题图
2. (2025·重庆)如图，AB是☉O的直径，点C在☉O上，连接AC. 以AC
为边作菱形ACDE，CD交☉O于点F，AB⊥CD，垂足为G. 连接AD，
交☉O于点H，连接EH. 若AG＝12，GF＝5，则DF的长度为 　 3　，
EH的长度为 　 　.
第2题图
3　
　
1. 如图，BC是☉O的弦，点A是圆上一点，OA⊥BC于点D. 若OA＝
5，BC＝8，则AD的长是(　B　)
A. 3 B. 2 C. D.
第1题图
B
2. 如图，☉O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，弦CD＝16，
OE∶OA＝3∶5，则AC的长为(　D　)
A. 8 B. 10 C. 4 D. 4
第2题图
D
3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，点O为斜
边AB的中点，以O为圆心，5为半径的圆与BC相交于E，F两点，连接
OE，OC.
(1)求EF的长；
解：(1)如图，过点O作OM⊥EF于点M，则EM＝FM. ∵∠ACB＝
90°，∴OM∥AC. ∵点O为斜边AB的中点，∴OM＝ AC＝ ×8＝4.
在Rt△OEM中，OE＝5，∴EM＝ ＝3.∴EF＝2EM＝6.
(2)求∠COE的正弦值.
解：(2)由(1)得CM＝ BC＝8，∴CE＝8－3＝5.∴CE＝OE. ∴∠EOC
＝∠OCE. 在Rt△OCM中，OC＝ ＝4 ，∴ sin ∠OCM＝
＝ ＝ .∴∠COE的正弦值为 .(共22张PPT)
第六章　圆
第三节　与圆有关的计算
第一部分　教材知识梳理
考点一　弧长与扇形的相关计算 　▼
1. 弧长与扇形的相关计算
圆的周长 C＝ 　 2πr　 (1)r为圆的半径；
(2)n为弧所对的圆心角的度数；
(3)l是扇形的弧长
弧长 l＝ 　 　
圆的面积 S圆＝ 　 πr2　
扇形的面积 S扇形
＝ 　 　 ＝ rl　　　　
2πr　
　
πr2　
　
1. (2025·兰州模拟)AB为半圆O的直径，现将一块含30°的直角三角板如
图放置，30°角的顶点P在半圆上，斜边经过点B，一条直角边交半圆O
于点Q. 若AB＝6，则 的长为 　 π　.
π　
[练对点一]
考点二　圆柱、圆锥的相关计算 　▼
2. 圆柱、圆锥的相关计算
名称 公式 备注
圆柱 S圆柱侧＝ 　 2πrh　； S圆柱全＝ 　 2πrh　＋2πr2 r为底面圆半径，h为圆柱高
2πrh　
2πrh　
名称 公式 备注
圆锥
S底面圆＝πr2；S圆椎侧＝πrl； C底面圆＝2πr r为底面圆半径，l为母线长
(1)圆锥的轴截面是等腰三角形，圆锥的母线l，底面圆半径r和圆
锥的高h，这三个量之间的数量关系为 　 r2＋h2＝l2　； (2)圆锥的侧面展开图是 　 扇形　； (3)圆锥底面圆的周长等于其侧面展开图形的 　 弧长　； (4)圆锥的母线长等于其侧面展开图形的 　 半径　
r2＋h2＝l2　
扇形　
弧长　
半径　
2. (2025·定西一模)如图，BC为圆锥底面直径，AD为圆锥的高，若AD
＝6 cm，∠BAC＝60°，则这个圆锥的侧面积为 　 24π　 cm2.(结果保留
π).
24π　
[练对点二]
考点三　阴影部分面积计算 　▼
3. 规则图形的面积直接用公式计算.
4. 求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即
把所求的不规则图形的面积转化为规则图形的面积.
常用的方法：
(1)和差法
①直接和差法
图形
面积计算方法 S阴影＝S△ABC－S扇形CAD S阴影＝S△AOB－S扇形COD
②构造和差法
图形
转化后的图形
面积计算方法 S阴影＝S△OCD－S扇形EOD S阴影＝S扇形AOB－S△AOB
(2)补形法
图形
条件 OC∥BD，CD⊥AB于点E CD∥AB
转化后的图形
面积计算方法 S阴影＝S扇形COB S阴影＝S扇形COD
[练对点三]
3. (2025·凉州区一模)如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，点
E是BC的中点，以C为圆心，CE为半径作弧，交CD于点F，连接
AE，AF，EF，则阴影部分的面积为(　A　)
A. 5 － B. 5 ＋
C. 3 － D. 3 ＋
A
4. (2025·陇南模拟)如图，在 ABCD中，AD＝2，以点A为圆心，AD为
半径画弧，分别交AB，CD于点E，F，连接CE. 若∠A＝120°，
CE⊥AB，则图中阴影部分的面积是(　A　)
A. － π B. －π
C. － π D. － π
A
命题点一　弧长的相关计算
1. (2024·省卷)甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一
批国家级非物质文化遗产.如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分
设计图如图2，其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O，且圆心角
∠O＝100°，若OA＝120 cm， OB＝60 cm，则阴影部分的面积是
000π　cm2.(结果用π表示)
3000π　
2. (2023·武威)如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家.1556年兰
州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，
水渠纵横、沃土繁丰.而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志
性景观，是兰州“水车之都”的象征.如图2是水车舀水灌溉示意图，水车
轮的辐条(圆的半径)OA长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等
距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转
动，水斗依次舀满河水在点A处离开水面，逆时针旋转150°上升至轮子
上方B处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌
溉，那么水斗从A处(舀水)转动到B处(倒水)所经过的路程
是 　 5π　m.(结果保留π)
5π　
3. (2022·武威)如图所示，一条公路(公路的宽度忽略不计)的转弯处是一段
圆弧()，点O是这段弧所在圆的圆心，半径OA＝90 m，圆心角∠AOB
＝80°，则这段弯路()的长度为(　C　)
A. 20π m B. 30π m C. 40π m D. 50π m
C
命题点二　阴影部分面积的计算
4. (2022·兰州)图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，
该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半
径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3 m，OB＝1.5 m，则阴影
部分的面积为(　D　)
A. 4.25π m2 B. 3.25π m2
C. 3π m2 D. 2.25π m2
第4题图
D
5. (2021·省卷)如图所示，从一块直径为4 dm的圆形铁皮上剪出一个圆心
角为90°的扇形，则此扇形的面积为 　 2π　dm2.
第5题图
2π　
1. (2025·无锡)如图，AB与☉O相切于点B，连接BO，过点O作BO的垂
线OC，交☉O于点C，连接AC，交线段OB于点D. 若AB＝3，OC＝
2，则tan A的值为 　 　.
　
2. (2025·苏州)“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28
个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示.该摩天轮高128 m(即最高
点离水面平台MN的距离)，圆心O到MN的距离为68 m，摩天轮匀速旋
转一圈用时30 min.某轿厢从点A出发，10 min后到达点B，此过程中，
该轿厢所经过的路径(即 )长度为 　 40π　m.(结果保留π)
40π　
1. 如图1是博物馆屋顶的图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如
图3所示， 是以点O为圆心，18 cm为半径的弧，弦AB的长为18 cm，
则 的长是(　D　)
A. 24π cm B. 12π cm C. 10π cm D. 6π cm
D
2. 如图，矩形ABCD中，AD＝2AB，P为AD的中点，连接PB，PC，
以点P为圆心，PB为半径作，将得到的扇形PBC围成一个圆锥，若该圆
锥的高与母线形成的夹角为α，则 sin α＝(　D　)
A. B. C. D.
D
3. 某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环境，现计划在五
边形各顶点为圆心，4 m长为半径的扇形区域(阴影部分)种上花草，那么
种上花草的扇形区域总面积是(　C　)
A. 16π m2 B. 12π m2 C. 24π m2 D. 48π m2
C
4. 已知扇形的弧长为2π，圆心角为120°，则扇形面积为 　 3π　.
3π　(共62张PPT)
第六章　圆
第二节　与圆有关的位置关系
第一部分　教材知识梳理
考点一　与圆有关的位置关系 　▼
1. 点与圆的位置关系
如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系如表所
示：
位置关系 图形 d与r的大小关系
点A在圆内 d 　 ＜　r
点B在圆上 d 　 ＝　r
点C在圆外 d 　 ＞　r
＜　
＝　
＞　
2. 直线与圆的位置关系
设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线与圆的位置关系决定于
d和r的大小关系：
位置关系 示意图 d与r的关系 交点的个数
相离 d＞r 0
相切 d＝r 　 1　
相交 　 d＜r　 2
1　
d＜r　
3. 与圆相关的线段最值问题常作辅助线
(1)圆外一定点到圆上一动点的最值 连接定点与圆心
　　　　
条件：定点P，动点A　　　结论：PA2＝OP－OA2＝OP－r(最小值)
PA1＝OP＋OA1＝OP＋r(最大值)
(2)圆上一动点到定直线距离 过圆心作垂线　
条件：动点A，P　　　结论：PA2＝OP－OA2＝OP－r(最小值)
PA1＝OP＋OA1＝OP＋r(最大值)
[练对点一]
1. 在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝70°，以B为圆心，BC长为半径画
圆，则点A和☉B的位置关系，下列说法正确的是(　B　)
A. 点A在☉B外 B. 点A在☉B上
C. 点A在☉B内 D. 无法确定
B
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是AB边上的
高，AB＝4，若☉D是以点D为圆心，1.4为半径的圆，那么☉D与直线
AC的关系是(　B　)
A. 相切 B. 相离 C. 相交 D. 不能确定
B
考点二　切线的性质与判定 　▼
4. 定义：直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这
条直线叫作圆的切线，这个公共点叫作切点.
5. 性质与判定
(1)性质定理：圆的切线 　 垂直　于过切点的半径.
(2)推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必过 　 切点　；
②经过切点且垂直于切线的直线必过 　 圆心　.
(3)切线的判定：①和圆有 　 一个　公共点的直线是圆的切线；
垂直　
切点　
圆心　
一个　
②如果圆心到一条直线的距离等于圆的 　 半径　，那么这条直线是圆的
切线；
③经过半径的外端并且 　 垂直　于这条半径的直线是圆的切线(最常用的
判定方法).
半径　
垂直　
6. 切线长
如图，过圆外一点P有两条直线PA，PB分别与☉O相切，点P和 　 切
点　之间线段的长，叫作这点到圆的切线长.
切
点　
7. 切线长定理
从圆外一点可以引圆的 　 两　条切线，它们的切线长 　 相等　，这一点
和圆心的连线平分两条切线的夹角.如上图，PA，PB切☉O于A，B两
点，则PA 　 ＝　PB，∠APO＝∠BPO＝ ∠APB.
两　
相等　
＝　
【方法归纳】
1. 切线的判定：在判定直线与圆相切时，若直线与圆的公共点已知，证
明方法是“连半径，证垂直”；若直线与圆的公共点未知，证明方法是
“作垂线，证半径”.这两种情况可概括为一句话：“有交点，连半径；
无交点，作垂线”.
2. 求线段长度，通常在构造的直角三角形中(注意直径所对的圆周角也可
得直角三角形)利用三角函数或勾股定理求解，有时也需根据圆中相等的
角得到相似三角形，根据相似三角形对应边成比例建立等式进行求解.
3. 与圆有关的位置关系中常见的五种辅助线：
(1)见切线，连半径，得垂直；
(2)有公共点，连半径，证垂直，得切线；
(3)无公共点，作垂线段，证d＝r，得切线；
(4)见内心，连内心与顶点，得角平分线；
(5)见外心，连外心与顶点，得相等线段.
[练对点二]
3. (2025·陇南模拟)如图，PA，PB是☉O的切线，AB为切点，点C在
☉O上，且∠APO＝25°，则∠ACB等于(　C　)
A. 45° B. 50° C. 65° D. 70°
C
4. 如图，直线AB与☉O的相切于点C，AO交☉O于点D，连接CD，
OC. 若∠ACD＝20°，则∠COD的度数是(　B　)
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
B
5. (2025·定西模拟)如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心，经过A，C
两点且与BC边交于点E，点D为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段
EO于点F，若AB＝BF.
(1)求证：AB是☉O的切线；
解：(1)证明过程略.
(2)若CF＝4，DF＝ ，求☉O的半径r及 sin B.
解：(2)☉O的半径r为3.
sin B＝ .
考点三　三角形的外接圆与内切圆 　▼
8. 三角形的外接圆与内切圆
名称 三角形的外接圆 三角形的内切圆
圆心名称 三角形的外心 三角形的内心
图形
描
述 经过三角形三个顶点的圆，外心
是三角形 　 三边中垂线　的交
点 与三角形各边都相切的圆，内心
是三角形 　 三条角平分线　的交
点
性
质 三角形外心到三角形 　 三个顶
点　的距离相等 三角形内心到三角形 　 三边　的
距离相等
三边中垂线　
三条角平分线　
三个顶
点　
三边　
[练对点三]
6. 如图，△ABC的内切圆☉O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，
F，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径r为(　C　)
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
C
考点四　圆与多边形 　▼
9. 圆内接四边形的性质
(1)圆内接四边形的对角 　 互补　.如图，∠A＋∠BCD＝ 　 180°　，
∠B＋∠D＝ 　 180°　；
(2)圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(和它相邻的内角的对
角).如图1，∠DCE＝ 　 ∠A　.
互补　
180°　
180°　
∠A　
10. 圆与正多边形
(1)如图，一个正多边形的外接圆与内切圆的公共圆心叫作正多边形的
中心.
(2)外接圆的半径叫作正多边形的半径，内切圆的半径叫作正多边形的边
心距，r＝ (a为正多边形的边长).
(3)正多边形的每一条边所对的圆心角叫作正多边形的中心角.
[练对点四]
7. (2025·定西二模)如图，四边形ABCD内接于☉O，AB是☉O的直径，
若BC＝ AB，则∠ADC的度数是(　C　)
A. 100° B. 110° C. 120° D. 130°
C
8. (2025·凉州区一模)如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，点E在
AB的延长线上，若∠AOC＝110°，则∠CBE的度数为(　D　)
A. 70° B. 65° C. 60° D. 55°
第8题图
D
9. (2025·武都区模拟)如图，在☉O的内接五边形ABCDE中，∠A＋
∠BCD＝200°，则∠ECD的度数为 　 20°　.
第9题图
20°　
命题点　切线的性质与判定
1. (2025·兰州)如图，☉O是△ABC的外接圆，AB是☉O的直径，过点B
的切线交AC的延长线于点D，连接DO并延长，交☉O于点E，连接
AE，CE.
(1)求证：∠ADB＝∠AEC；
解：(1)证明：∵BD为☉O的切线，
∴AB⊥BD. ∴∠ABD＝90°.
∵AB是☉O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵∠ADB＋∠BAD＝90°，∠ABC＋∠BAD＝90°，
∴∠ADB＝∠ABC.
∵∠ABC＝∠AEC，∴∠ADB＝∠AEC.
(2)若AB＝4， cos ∠AEC＝ ，求OD的长.
解：(2)由(1)知，∠ADB＝∠AEC，
∴ cos ∠ADB＝ cos ∠AEC＝ ，
在Rt△ABD中，∵ cos ∠ADB＝ ＝ ，
∴设BD＝ x，AD＝3x.
∴AB＝ ＝2x，即2x＝4.
解得x＝2，∴BD＝2 .
在Rt△OBD中，∵OB＝2，BD＝2 ，
∴OD＝ ＝2 .
2. (2025·甘肃)如图，四边形ABCO的顶点A，B，C在☉O上，∠BAO
＝∠BCO，直径BE与弦AC相交于点F，点D是EB延长线上的一点，
∠BCD＝ ∠AOB.
(1)求证：CD是☉O的切线；
解：(1)证明：∵OA＝OC＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OBC＝∠OCB.
∵∠BAO＝∠BCO，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠OBC＝∠OCB.
∴∠AOB＝∠COB. ∴ ＝ .
如图，连接CE. ∵BE是☉O的直径，
∴∠OCE＋∠BCO＝90°.
∵OE＝OC，∴∠E＝∠OCE.
∵∠E＝ BOC＝ ∠AOB，∠BCD＝ ∠AOB，
∴∠E＝∠BCD. ∴∠BCD＝∠OCE.
∴∠DCO＝∠BCD＋∠BCO＝∠OCE＋∠BCO＝90°.
∵OC是☉O的半径，∴CD是☉O的切线.
(2)若四边形ABCO是平行四边形，EF＝3，求CD的长.
解：(2)∵四边形ABCO是平行四边形，OA＝OC，
∴四边形ABCO是菱形.
∴BC＝OC＝OB，AC⊥OB，OF＝ OB＝ OE.
∴△OBC是等边三角形.∴∠BOC＝60°.
∴∠E＝ ∠BOC＝30°.
∵EF＝3，∴OF＝1，OE＝2.∴OC＝2.
∵∠DOC＝60°，∴CD＝OC·tan 60°＝2× ＝2 .
3. (2024·临夏州)如图，直线l与☉O相切于点D，AB为☉O的直径，过
点A作AE⊥l于点E，延长AB交直线l于点C.
(1)求证：AD平分∠CAE；
解：(1)证明：如图，连接OD.
∵直线l与☉O相切于点D，
∴OD⊥CE.
∵AE⊥CE，∴OD∥AE.
∴∠ODA＝∠EAD.
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD.
∴∠OAD＝∠EAD. ∴AD平分∠CAE.
(2)如果BC＝1，DC＝3，求☉O的半径.
解：(2)设☉O的半径为r，则OB＝OD＝r.
在Rt△OCD中，∵OD＝r，CD＝3，OC＝r＋1，
∴r2＋32＝(r＋1)2.解得r＝4，即☉O的半径为4.
4. (2024·省卷)如图，AB是☉O的直径， ＝ ，点E在AD的延长线
上，且∠ADC＝∠AEB.
(1)求证：BE是☉O的切线；
解：(1)证明：∵ ＝ ，
∴∠CAB＝∠BAE.
∵ ＝ ，∴∠ABC＝∠ADC.
又∵∠ADC＝∠AEB，
∴∠ABC＝∠AEB.
∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°.
∴∠CAB＋∠ABC＝90°.
∴∠BAE＋∠AEB＝90°，即AB⊥BE.
∵OB为☉O的半径，∴BE是☉O的切线.
(2)当☉O的半径为2，BC＝3时，求tan∠AEB的值.
解：(2)∵OB＝2，∴AB＝2OB＝4.
∴AC＝ ＝ ＝ .
∴tan∠AEB＝tan∠ABC＝ ＝ .
5. (2024·兰州)如图，△ABC内接于☉O，AB为☉O的直径，点D为☉O
上一点，BC＝BD，延长BA至E，使得∠ADE＝∠CBA.
(1)求证：ED是☉O的切线；
解：(1)证明：如图，连接OD.
∵AB为☉O的直径，
∴∠BCA＝∠BDA＝90°，OB＝OD.
∴∠DBA＝∠BDO.
在Rt△BCA和Rt△BDA中，
∴Rt△BCA≌Rt△BDA(HL).∴∠CBA＝∠DBA.
∵∠ADE＝∠CBA，∠DBA＝∠BDO，
∴∠ADE＝∠DBA＝∠BDO.
∵∠BDO＋∠ADO＝∠BDA＝90°，
∴∠ADE＋∠ADO＝90°，即ED⊥OD.
∵OD为☉O的半径，∴ED是☉O的切线.
(2)若BO＝4，tan∠CBA＝ ，求ED的长.
解：(2)∵BO＝4，∴AB＝2OB＝8.∴EB＝AE＋AB＝AE＋8.
∵tan∠CBA＝ ，∠CBA＝∠DBA，∴tan∠DBA＝ .
在Rt△ABD中，tan∠DBA＝ ＝ ，
∴设AD＝a，BD＝2a.
∵∠ADE＝∠DBA，∠E＝∠E，∴△EAD∽△EDB.
∴ED∶EB＝AE∶DE＝AD∶DB，
即ED∶(AE＋8)＝AE∶DE＝a∶2a.
由AE∶DE＝a∶2a，得AE＝ ED.
由ED∶(AE＋8)＝a∶2a，得2ED＝AE＋8.
∴2ED＝ ED＋8.∴ED＝ .
6. (2023·武威)如图，△ABC内接于☉O，AB是☉O的直径，D是☉O上
的一点，CO平分∠BCD，CE⊥AD，垂足为E，AB与CD相交于点F.
(1)求证：CE是☉O的切线；
解：(1)证明：∵ ＝ ，
∴∠ADC＝∠B.
∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB.
∵CO平分∠BCD，∴∠OCB＝∠OCD.
∴∠ADC＝∠OCD. ∴OC∥DE.
∵CE⊥AD，∴CE⊥OC. ∵OC为☉O的半径，
∴CE是☉O的切线.
(2)当☉O的半径为5， sin B＝ 时，求CE的长.
解：(2)如图，连接OD，得OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.
∵∠OCD＝∠OCB＝∠B，∴∠ODC＝∠B.
∵CO＝CO，∴△OCD≌△OCB(AAS).∴CD＝CB.
∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°.
∴AC＝AB· sin B＝10× ＝6.
∴CB＝ ＝ ＝8.∴CD＝8.
∴CE＝CD· sin ∠ADC＝CD· sin B＝8× ＝ .
7. (2022·武威)如图所示，△ABC内接于☉O，AB，CD是☉O的直径，
E是DB延长线上一点，且∠DEC＝∠ABC.
(1)求证：CE是☉O的切线；
解：(1)证明：∵AB是☉O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∴∠A＋ ∠ABC＝90°.
∵ ＝ ，∴∠A＝∠D.
又∵∠DEC＝∠ABC，
∴∠D＋∠DEC＝90°.
∴∠DCE＝90°.∴CD⊥CE.
∵OC为☉O的半径，∴CE是☉O的切线.
(2)若DE＝4 ，AC＝2BC，求线段CE的长.
解：(2)由(1)知CD⊥CE，
在Rt△ABC和Rt△DEC中，
∵∠A＝∠D，AC＝2BC，
∴tan A＝tan D，即 ＝ ＝ .∴CD＝2CE.
在Rt△CDE中，CD2＋CE2＝DE2，DE＝4 ，
∴(2CE)2＋CE2＝(4 )2.解得CE＝4.
8. (2022·兰州)如图所示，☉O是△ABC的外接圆，AB是直径，
OD⊥OC，连接AD，∠ADO＝∠BOC，AC与OD相交于点E.
(1)求证：AD是☉O的切线；
解：(1)证明：∵OD⊥OC，∴∠COD＝90°.
∴∠BOC＋∠AOD＝180°－90°＝90°.
又∵∠ADO＝∠BOC，
∴∠ADO＋∠AOD＝90°.
∴∠OAD＝180°－90°＝90°，即OA⊥AD.
∵OA是☉O的半径，
∴AD是☉O的切线.
(2)若tan∠OAC＝ ，AD＝ ，求☉O的半径.
在Rt△AOD中，由勾股定理，得AD2＋OA2＝
解：(2)∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.
∴tan∠OAC＝ ＝tan∠OCA＝ .
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°＝∠OAD，
即∠OCB＋∠OCA＝90°＝∠OAC＋∠DAE.
∴∠DAE＝∠OCB.
又∵∠ADO＝∠BOC，∴∠DEA＝∠B.
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.
∴∠DAE＝∠DEA. ∴AD＝DE＝ .
设☉O的半径为r，则OE＝ r，OD＝ r＋ ，
在Rt△AOD中，由勾股定理，得AD2＋OA2＝OD 2.
即 ()2＋r2＝( r＋ )2，
解得r＝2或r＝0(舍去)，即☉O的半径为2.
9. (2021·省卷)如图所示，△ABC内接于☉O，D是☉O的直径AB的延长
线上一点，∠DCB＝∠OAC. 过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于
点E.
(1)求证：CD是☉O的切线；
解：(1)证明：∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA.
∵∠DCB＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DCB.
∵AB是☉O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∴∠OCA＋∠OCB＝90°，
∴∠DCB＋∠OCB＝90°，
即∠OCD＝90°.∴OC⊥DC.
又∵OC是☉O的半径，
∴CD是☉O的切线.
(2)若CD＝4，CE＝6，求☉O的半径及tan∠OCB的值.
解：(2)∵BC∥OE，∴ ＝ ，即 ＝ ＝ .
∴设BD＝2x，则OB＝OC＝3x，OD＝OB＋BD＝5x.
∵OC⊥DC，∴OC2＋CD2＝OD2.
∴(3x)2＋42＝(5x)2.解得x＝1.
∴OC＝3x＝3，即☉O的半径为3.
∵BC∥OE，∴∠OCB＝∠EOC.
在Rt△OCE中，tan∠EOC＝ ＝ ＝2.
∴tan∠OCB＝tan∠EOC＝2.
1. (2025·泸州)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝10，☉O与
梯形ABCD的各边都相切，且☉O的面积为16π，则点B到CD的距离
为 　 　.
　
2. (2025·上海)已知平面内有一个角，一个圆与这个角的两边都有两个交
点，若此圆在角的边上截得的两条弦恰好是某正五边形的一边，那么这个
角的度数为 　 108°或36°　.
108°或36°　
1. 如图，点A的坐标为(－3，3)，点P的坐标为(1，0)，点B的坐标为(－
1，0)，☉A的半径为1，C为圆上一动点，Q为BC的中点，连接PC，
OQ，则OQ长的最大值为(　D　)
A. 5 B. 2.5 C. 6 D. 3
第1题图
D
2. 如图，已知AB为☉O的直径，CB切☉O于B，CD切☉O于点D，交
BA的延长线于点E，若AB＝3，ED＝2，则BC的长为(　B　)
A. 2 B. 3 C. 3.5 D. 4
第2题图
B
3. 如图，☉O是△ABC的外接圆，P是BC延长线上一点，连接OA，
OC，PA，且∠PCA＝∠PAB，点D是AC的中点，OD的延长线交AP
于点Q，连接CQ，则下列结论：①∠B＝∠AOD；②OQ垂直平分
AC；③直线PA和CQ都是☉O的切线；④CQ∥AO. 其中正确的结论是
(　C　)
A. ①④ B. ②③
C. ①②③ D. ①②③④
C
4. 如图，AB是☉O的直径，OC是半径，延长OC至点D. 连接AD，
AC，BC，∠CAD＝∠B.
(1)求证：AD是☉O的切线；
解：(1)证明：∵AB是☉O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∴∠B＋∠BAC＝90°.
∵∠CAD＝∠B，
∴∠CAD＋∠BAC＝90°，即∠BAD＝90°.
∴AD⊥OA.
∴AD是☉O的切线.
(2)若AD＝2，tan∠CAD＝ ，求直径AB的长.
解：(2)如图，过点D作DM⊥AD交AC的延长线于点M，
∵tan∠CAD＝ ＝ ，AD＝2，
∴DM＝1.
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.
∵AD⊥OA，DM⊥AD，∴OA∥DM.
∴∠M＝∠OAC.
∵∠OCA＝∠DCM，∴∠DCM＝∠M.
∴DC＝DM＝1.
∵OA2＋AD2＝OD2，
∴OA2＋22＝(OC＋1)2＝(OA＋1)2.
∴OA＝ .∴AB＝3.

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