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(共30张PPT)
第七章　图形的变化
第二节　视图与投影
第一部分　教材知识梳理
考点一　三视图 　▼
1. 概念和特点
视
图 从某一方向观察一个物体时，所看到的平面图形 三 视 图 主视图 在正面内得到的由前向后观察物体的视图
左视图 在侧面内得到的 　 由左向右　观察物体的视图
俯视图 在水平面内得到的由上向下观察物体的视图
由左向右　
三 视 图 特点 主视图和俯视图要长对正，
主视图和左视图要 　 高　平齐，
左视图和俯视图要 　 宽　相等
提醒：在画图时，看得见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用
虚线表示 高　
宽　
2. 常见几何体的三视图
几何体 主视图 左视图 俯视图 特征
圆柱 有两个
相同
圆锥 有两个
相同
球体 三个都
相同
几何体 主视图 左视图 俯视图 特征
正方体 三个都
相同
长方体
三棱柱
3. 由三视图确定几何体
由三视图还原几何体时，首先分别根据主视图、俯视图和左视图还原立体
图形的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形.
主视图 可以判断几何体的长和高，主要提供正面的形状
左视图 可以判断几何体的高和宽
俯视图 可以判断几何体的长和宽，直接看到的是底面的情况，看不
出高度
1. (2025·凉州区一模)如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它
的主视图是(　A　)
A B C D
A
[练对点一]
2. (2025·陇南模拟)如图所示的几何体，其俯视图是(　A　)
A B C D
A
3. (2025·康县四模)榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接
方式，这种连接方式不但可以承受较大的荷载，而且允许产生一定的变
形.如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是(　C　)
A B C D
C
4. (2025·凉州区一模)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表
面积是 　 14π　.
14π　
考点二　投影 　▼
4. 用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫作物体的
投影，照射光线叫作投影线，投影所在的平面叫作投影面.
5. 中心投影：由同一点(点光源)发出的光线形成的投影.
　　 　　
中心投影 平行投影 正投影
考点二　投影
6. 平行投影：由平行光线形成的投影.
投影线垂直于投影面产生的投影叫作正投影.
7. 不同时刻，同一物体在太阳光照射下的影长是不同的；在同一时刻，
不同物体的高度与影长成正比.
[练对点二]
5. 如图所示是皮影戏，它是中国民间古老的传统艺术.皮影戏是用灯光把
人物剪影照射在银幕上，则它的投影属于(　B　)
A. 平行投影
B. 中心投影
C. 既是平行投影又是中心投影
D. 无法确定
B
6. 下列投影中，属于中心投影的是(　B　)
A B C D
B
考点三　立体图形的展开与折叠 　▼
8. 常见几何体的展开图
常见几何体 展开图 图示(选其一种)
圆柱 两个等圆和一个矩形
圆锥 一个圆和一个 　 扇形　
扇形　
常见几何体 展开图 图示(选其一种)
正方体 六个全等的 　 正方形　
三棱柱 两个全等的三角形和三个矩形
正方形　
9. 正方体展开图的类型
(1)一四一型
(2)二三一型
(3)三三型
(4)二二二型

10. 判断正方体展开图的相对面的方法
(1)相间的两个小正方形(中间间隔一个小正方形)是正方形的对面.“Z”字
型两端点处的小正方形是正方体的对面.如图，“自”与“超”相对，
“信”与“着”相对，则“沉”与“越”相对.
(2)中间隔着两个小正方形的两个面是正方体的邻面，拐角型的三个面是
正方体的邻面.
[练对点三]
7. (2025·渭源县模拟)某个几何体的表面展开图如图所示，这个几何体是
(　D　)
A B C D
D
8. 如图是某个几何体的展开图，该几何体是(　B　)
A. 三棱锥 B. 三棱柱
C. 四棱锥 D. 四棱柱
B
9. 如图四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是(　A　)
A B C D
A
10. (2025·嘉峪关一模)2025年春晚涉及众多“非遗”元素，让“非遗”被
更多人了解.如图是一个正方体的展开图，则与“传”字所在面相对的面
上的字是(　C　)
A. 非 B. 遗 C. 文 D. 化
C
命题点　三视图的判定
1. (2024·省卷)如图所示，该几何体的主视图是(　C　)
A B C D
C
2. (2024·临夏州)马家窑彩陶绚丽典雅，符号丰富，被称为彩陶文化的
“远古之光”.如图是一件马家窑彩陶作品的立体图形，有关其三视图说
法正确的是(　D　)
A. 主视图和左视图完全相同
B. 主视图和俯视图完全相同
C. 左视图和俯视图完全相同
D. 三视图各不相同
D
1. (2024·乐山) 下列文物中，俯视图是四边形的是(　D　)
A. 带盖玉柱形器 B. 白衣彩陶钵
D
C. 镂空人面覆盆陶器 D. 青铜大方鼎
传统文化
2. 诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，意思是说要认清事物的
本质，就必须从不同角度去观察.如图是对某物体从不同角度观察的记录
情况，对该物体判断最接近本质的是(　D　)
A. 是圆柱形物体和球形物体的组合体，里面有两个垂直
的空心管
B. 是圆柱形物体和球形物体的组合体，里面有两个平行
的空心管
C. 是圆柱形物体，里面有两个垂直的空心管
D. 是圆柱形物体，里面有两个平行的空心管
D
1. 如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的(　B　)
A B C D
B
2. 有三张长方形卡片，它们的长与宽分别如图所示.下列三角形卡片中，
恰好能与这三张长方形卡片围成一个无盖的三棱柱盒子的是(　D　)
A B C D
D(共43张PPT)
第七章　图形的变化
第三节　图形的对称、平移、旋转
第一部分　教材知识梳理
考点一　轴对称和中心对称 　▼
1. 轴对称与轴对称图形
轴对称图形 轴对称
图
形
定
义 如果一个平面图形沿一条直线折
叠，直线两旁的部分能够互相重
合，这个图形就叫作轴对称图
形，这条直线就是它的对称轴 把一个图形沿着某一条直线折叠，
如果它能够与另一个图形重合，那
么这两个图形关于这条直线成轴对
称，这条直线叫作对称轴
轴对称图形 轴对称
性
质 (1)如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连
线段的 　 垂直平分线　； (2)轴对称图形的对称轴是任意一对对应点所连线段的 　 垂直平 分； (3)由轴对称变换得到的图形与原图形的 　 大小　和 　 形状　完全一
样 垂直平分线　
垂直平分线
大小　
形状　
2. 图形的折叠：折叠是轴对称变换，折痕所在的直线就是对称轴，折叠
前后的图形全等.
性质：位于折痕两侧的图形关于折痕成 　 轴对称　图形；满足折叠性质
即折叠前后的两部分图形全等，对应边、角、线段、周长、面积相等；折
叠前后，对应点的连线被 　 对称轴　垂直平分.
【方法归纳】折叠问题实质就是成轴对称的图形的性质问题.
轴对称　
对称轴　
3. 中心对称与中心对称图形
(1)中心对称：把一个图形绕某个点旋转 　 180°　，如果它能够和另一个
图形重合，那么这两个图形成中心对称，这个点叫 　 对称中心　.
(2)中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°后能与自身重合，
那么这个图形称为 　 中心对称图形　，这个点叫对称中心.
180°　
对称中心　
中心对称图形　
(3)中心对称与中心对称图形的性质
中心对称 中心对称图形
图
形 两个图形
一个图形
(3)中心对称与中心对称图形的性质
中心对称 中心对称图形
性
质 成中心对称的两个图形是 　 全等　图
形；成中心对称的两个图形，连接对称点
的线段都经过对称中心并且被对称中心平
分 连接中心对称图形的对称
点的线段都经过对称中心
并且被对称中心 　 平分　
全等　
平分　
4. 常见的轴对称图形和中心对称图形
(1)常见的轴对称图形：等腰三角形、菱形、矩形、正方形、圆、正多边
形等；
(2)常见的中心对称图形：平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆、边数
为偶数的正多边形等；
(3)既是轴对称图形又是中心对称图形：菱形、矩形、正方形、圆、边数
为偶数的正多边形等.
【方法归纳】
判断轴对称图形的关键是寻找一条直线(对称轴)，若能使图形沿该直线折
叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则为轴对称图形，若找不到这样的
一条直线，则不是轴对称图形；判断中心对称图形的关键是寻找一个点
(对称中心)，若能使图形绕该点旋转180°后与原图形重合，则为中心对
称图形，若找不到这样一个点，则不是中心对称图形.
1. (2025·酒泉一模)2025年2月，哈尔滨举办第九届亚洲冬季运动会.下面
关于冬季运动会的标志中，是轴对称图形的是(　B　)
A B C D
B
[练对点一]
2. (2025·凉州区一模)如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，BC的对应
边EC交AD于点F，过点B作BG⊥CE交AC于点H，垂足为G，若AB
＝3，BC＝4，则HG的长度为(　D　)
A. B. C. D.
D
3. (2025·凉州区校级二模)如图所示，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点
M，N分别在边BC，AD上.连接MN，将四边形CMND沿MN翻折，点
C，D分别落在点A，E处.则tan∠AMN的值是(　A　)
A. 2 B. C. D.
A
4. 如图，在正方形纸片ABCD中，点E在边CD上，DE＝2CE，将正方
形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF. 若AD＝6 cm，
求CF的长.
解：∵正方形ABCD的边长AD＝6 cm，
∴CD＝AD＝AB＝BC＝6 cm.
∵DE＝2CE，∴CE＝2 cm，DE＝4 cm.
∴AE＝ ＝ ＝2 cm.
由折叠性质，得AB＝AG＝6 cm，BF＝FG，∠B＝∠FGA＝90°.
∵CF2＋CE2＝EF2＝GF2＋EG2.
∴CF2＋4＝(6－CF)2＋(2 －6)2.
∴CF＝10－2 .
解：∵正方形ABCD的边长AD＝6 cm，
∴CD＝AD＝AB＝BC＝6 cm.
∵DE＝2CE，∴CE＝2 cm，DE＝4 cm.
∴AE＝ ＝ ＝2 cm.
由折叠性质，得AB＝AG＝6 cm，BF＝FG，∠B＝∠FGA＝90°.
∵CF2＋CE2＝EF2＝GF2＋EG
∴CF2＋4＝(6－CF)2＋(2 －6)2.
∴CF＝10－2 .
考点二　图形的平移 　▼
5. 图形的平移
图示
定义 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图
形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小
三大 要素 起点、 　 方向　、距离
方向　
性质 平移是全等变换，即平移前后两图形 　 全等　，经过平移，图
形上的每一个点都沿同一个方向移动 　 相同　的距离，对应点
的连线 　 平行　且相等
对应线段互相平行
全等　
相同　
平行　
平移 作图 步骤 (1)根据题意，确定平移的方向和平移的距离；
(2)找出原图形的关键点；
(3)按平移方向和平移距离，平移各个关键点，得到各关键点的
对应点；
(4)按原图形依次连接各对应点，得到平移后的图形
[练对点二]
5. 甲骨文是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中
一部分平移得到的是(　A　)
A. 比 B. 立 C. 秝 D. 鼎
A
新情境·传统文化
6. 如图，△DEF由△ABC平移得到，下列说法中，不正确的是(　C　)
A. AB∥DE B. CF∥BE
C. ∠ABC＝∠DFE D. ∠BAC＝∠EDF
C
考点三　图形的旋转 　▼
6. 图形的旋转
图示
定义 在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定角
度，这样的图形运动称为旋转，这个定点叫作旋转中心，转
动的角度称为旋转角，旋转不改变图形的大小和形状
三大要素 旋转中心、旋转方向和 　 旋转角　
旋转角　
性质 旋转前后的两个图形全等；图形上的每一点都绕着旋转中心
沿相同方向旋转了相同角度
旋转 作图 步骤 (1)根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角度；
(2)找出原图形的关键点；
(3)将各关键点按旋转方向与旋转角度旋转，得到各关键点的
对应点；
(4)按原图形依次连接各对应点，得到旋转后的图形
由于旋转前后的两个图形的大小、形状未发生改变，所以我们在解决旋转
类问题时要注意抓住以下几点：(1)找准旋转中的“变”与“不变”；(2)
找准旋转前后的“对应关系”；(3)充分挖掘旋转过程中线段或角之间的
关系.
【方法归纳】
[练对点三]
7. (2025·武威一模)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ACB绕点C
顺时针旋转70°，使点B的对应点D恰好落在边AB上，得到△ECD，则
∠EFC的度数为 　 75°　.
75°　
8. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，
∠AOB＝∠B＝30°，OA＝4，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B
的对应点B'的坐标是 　 (－2 ，6)　.
(－2 ，6)　
命题点一　对称图形的识别
1. (2022·兰州)下列分别是2022年北京冬奥会、1998年长野冬奥会、1992
年阿尔贝维尔冬奥会、1984年萨拉热窝冬奥会会徽上的图案，其中是轴对
称图形的是(　D　)
A B C D
D
2. (2021·省卷)2021年是农历辛丑牛年，某社区开展了“迎新春牛年剪纸
展”，下面的剪纸作品是轴对称图形的是(　B　)
A B C D
B
3. (2024·省卷)围棋起源于中国，古代称为“弈”.如图是两位同学的部分
对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 　 A(或C)　的位
置，则所得的对弈图是轴对称图形.(填写A，B，C，D中的一处即可，
A，B，C，D位于棋盘的格点上)
A(或C)　
命题点二　图形变化及相关计算与证明
4. (2023·兰州)如图，将面积为7的正方形OABC和面积为9的正方形
ODEF分别绕原点O顺时针旋转，使OA，OD落在数轴上，点A，D在
数轴上对应的数字分别为a，b，则b－a＝ 　 3－ 　.
3－ 　
5. (2024·兰州)综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景.探究动
点运动的几何问题.如图，在△ABC中，点M，N分别为AB，AC上的动
点(不含端点)，且AN＝BM.
【初步尝试】(1)如图1，当△ABC为等边三角形时，小颜发现：将MA
绕点M逆时针旋转120°得到MD，连接BD，则MN＝DB，请思考并
证明；
解：(1)证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，AB＝AC.
∵将MA绕点M逆时针旋转120°得到MD，
∴DM＝AM，∠AMD＝120°.∴∠DMB＝60°.
在△ANM和△MBD中，
∴△ANM≌△MBD(SAS).∴MN＝DB.
【类比探究】(2)小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在
△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE⊥MN于点E，交BC于点
F，将MA绕点M逆时针旋转90°得到MD，连接DA，DB. 试猜想四边
形AFBD的形状，并说明理由；
解：(2)四边形AFBD为平行四边形.理由如下：
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°.
∵将MA绕点M逆时针旋转90°得到MD，
∴MA＝MD，∠MAD＝∠MDA＝45°，∠DMA＝∠DMB＝90°.
∴∠MAD＝∠ABF＝45°，则AD∥BF.
在△ANM和△MBD中，
∴△ANM≌△MBD(SAS).∴∠AMN＝∠MDB.
∵AE⊥MN，∴∠AMN＋∠MAE＝90°.
∵∠MDB＋∠MBD＝90°，∴∠DBM＝∠MAF.
∴DB∥AF. ∴四边形AFBD为平行四边形.
【拓展延伸】(3)孙老师提出新的探究方向：如图3，在△ABC中，AB
＝AC＝4，∠BAC＝90°，连接BN，CM，请直接写出BN＋CM的最
小值.
解：(3)BN＋CM的最小值为4 .
提示：如图3，过点A作∠BAG＝45°，使AG＝CB，连接GM，GC，
BG，过点G作GO⊥CB，交CB的延长线于点O.
∵AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°.∴∠GAM＝∠BCN＝45°.
∵AN＝BM，∴AM＝CN.
在△GAM和△BCN中，
∴△GAM≌△BCN(SAS).
∴GM＝BN. ∴BN＋CM＝GM＋CM≥CG.
∴当G，M，C三点共线时，BN＋CM的值最小，最小值为CG的值.
∵∠GAM＝∠ABC＝45°，∴AG∥BC，∴∠BAC＝∠ABG＝90°，
∴∠GBO＝180°－∠ABG－∠ABC＝45°，
∴∠GBO＝45°，∴OG＝OB，
∴GB＝ OB＝ OG，∴OG＝OB＝2 ，∴OC＝6 .
在Rt△GOC中，GC＝ ＝4 ，
∴BN＋CM的最小值为4 .
1. (2025·泸州)下列人工智能助手图标中，是轴对称图形的是(　C　)
A B C D
C
2. (2025·湖北)如图，折叠正方形ABCD的一边BC，使点C落在BD上的
点F处，折痕BE交AC于点G. 若DE＝2 ，则CG的长是(　B　)
A. B. 2 C. ＋1 D. 2 －1
B
1. 博物馆作为一个国家和民族的精神家园，是了解本土文化和历史遗产
的最佳场所，各博物馆标志也独具特色.下列博物馆标志中，其文字上方
的图案是轴对称图形的是(　B　)
B
A.
B.
C.
D.
2. 在平面直角坐标系中，若将点平移M(a－2，b＋3)到点P(a，b)的位
置，则下列平移的方法正确的是(　B　)
A. 先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度
B. 先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C. 先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D. 先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度
B
3. 如图，将△ABC绕着点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对
应点分别为点D，E，点C，D，E恰好在一条直线上.若CD＝2，BC＝
1，则AC的长为(　C　)
A. B. C. D. 3
C
4. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的边OA，OC分别在x
轴、y轴上，点D在AB上.连接OD，将四边形ODBC沿OD折叠得到四
边形ODEF，点E恰好落在x轴上，已知OA＝4，则点D的坐标为
(　A　)
A. (4，4 －4) B. (4，4－4 )
C. (4， ) D. (4，2)
A
5. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8.将该矩形沿对角线BD折
叠，则图中阴影部分面积是 　 10　.
10　(共8张PPT)
第七章　图形的变化
微专题3　有关线段最值的常见模型
第一部分　教材知识梳理
模型一　“两点一线”模型
①基本模型
类型 异侧两点求线段和最小值 同侧两点求线段和最小值
图
示
条
件 两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小 两定点A，B位于直线l同侧，在
直线l上找一点P，使PA＋PB的
值最小
结
论 连接AB交直线l于点P，此时
PA＋PB的值最小，最小值为线
段AB的长 作点B关于直线l的对称点B'，连
接AB'，交直线l于点P，此时PA
＋PB的值最小，最小值为线段
AB'的长
②拓展模型
类型 同侧两点求线段差最大值 异侧两点求线段差最大值
图
示
条
件 两定点A，B位于直线l同
侧，在直线l上找一点P，
使｜PA－PB｜值最大 两定点A，B位于直线l异侧，在直
线l上找一点P，使得｜PA－PB｜
值最大
结
论 连接AB并延长，与直线l交
于点P，此时｜PA－PB｜
的值最大，最大值为线段AB
的长 作点B关于直线l的对称点B'，连接
AB'并延长，与直线l交于点P，此
时｜PA－PB｜的值最大，最大值为
线段AB'的长
模型二　“一点两线”模型
图示
条件 点P是∠AOB(定角)内部一点，在OA上找一点M，在OB上找
一点N，使得△PMN的周长最小
结论 作点P关于OA，OB的对称点P'，P″，连接P'P″，分别交
OA，OB于点M1，N1，此时△PMN的周长最小，最小值为线段
P'P″的长
模型三　“两定点一定长”模型
类型 异侧两定点一定长 同侧两定点一定长
图示
条件 点A，B为直线m，n两侧两定点，m∥n，在直线m，
n上分别找两点P，Q，线段PQ的长为定值d，使AP＋PQ＋QB的值最小 点A，B为直线l同侧两定点，在直线l上找P，Q两点，使得PQ＝d，且AP＋PQ＋QB 最小
结论 将点A向下平移d个
单位长度至点A'，连
接A'B交直线n于点
Q，此时AP＋QB的
值最小，即AP＋PQ
＋QB的值最小 将点A向右平移d个单位长度至点A'，作
A'关于直线l的对称点A″，连接A″B交直
线l于点Q，将点Q向左平移d个单位长度
得到点P，此时AP＋PQ＋QB的值最小

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