资源简介

(共41张PPT)
第八章　统计与概率
第二节　概率
第一部分　教材知识梳理
考点一　事件的分类 　▼
1. 事件的分类
事件类型 定义 概率
确定 事件 必然事件 必然会发生的事件 　 1　
不可能事件 必然不会发生的事件 　 0　
随机事件 有可能发生也有可能不发生的事件 0～1之间
1　
0　
[练对点一]
1. (2025·凉州区一模)下列事件是必然事件的是(　B　)
A. 画饼充饥 B. 水涨船高
C. 一箭双雕 D. 缘木求鱼
B
考点二　概率的计算 　▼
2. 概念：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小
的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P( A ).
(1)试验法(估计法)：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率
会逐渐稳定在某个常数p附近，那么把这个常数p作为这一事件发生的
概率的近似值，事件A的概率记作P(A)＝ 　 p　；
(2)公式法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发
生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率
为P(A)＝ 　 　；
p　
　
3. 方法
(3)列表法：当一次试验涉及两个因素，且可能出现的结果数目较多
时，可采用列表法列出所有可能的结果，若共有n种可能的结果，并
且发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，再根据P(A)
＝ 　 　计算概率；
(4)画树状图：当一次试验涉及两个或两个以上因素时，可采用画树状图
表示出所有等可能的结果，再根据P(A)＝ 　 　计算概率；
　
　
(5)几何概型：一般是用几何图形的面积比来求概率，计算公式P(A)
＝ 　 　.解这类题除了掌握概率的计算方法外，还应熟
练掌握几何图形面积的计算.
【温馨提示】对于随机事件，若只有一步，直接用概率公式求解；若有两
步，用列表法或画树状图法均可；若是两步以上，必须用画树状图法.
　
4. 应用：(1)判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提
下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率都相等，则游戏公平，否则
不公平.
(2)与统计结合的概率计算.
【方法归纳】用列表法或画树画方法解决概率问题时，要做到结果不漏不
重.特别注意是放回型还是不放回型试验.
5. 频率与概率的关系
(1)区别：概率是伴随着随机事件客观存在的，只要事件存在，其发生的
概率就存在；频率是通过试验得到的，它随着试验次数的变化而变化.
(2)联系：当试验次数充分扩大后，频率在概率的附近摆动，可以用频率
估计事件的概率.
【温馨提示】频率与概率在试验中可以非常接近但不一定相等；用频率估
计概率的大小，必须在相同条件下，试验次数越多，事件发生的频率就越
接近其发生的概率.
[练对点二]
2. (2025·武威一模)现有5张卡片，分别写若数字1，2，3，4，5.若从中随
机抽取1张卡片，则该卡片上的数字“恰好是奇数”的概率为(　C　)
A. B. C. D.
C
3. 一个小球在如图所示的地面上自由滚动，小球停在阴影区域的概率为
(　B　)
A. B. C. D.
B
4. 在平面直角坐标系中有五个点，分别是A(1，2)，B(－3，4)，C(－
2，－3)，D(4，3)，E(2，－3)，从中任选一个点恰好在第一象限的概率
是 　 　.
5. (2025·凉州区校级二模)一个不透明的箱子里有20枚黑棋子和若干枚白
棋子，它们除颜色外其他完全相同，通过多次模拟实验后发现，摸出白棋
子的频率稳定在75％左右，则箱子里棋子总数可能是 　 80　.
　
80　
命题点一　频率估计概率
1. (2023·兰州)某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据
如下表：
累计抛掷次数 盖面朝上次数 盖面朝上频率
50 28 0.560 0
100 54 0.540 0
200 106 0.530 0
300 158 0.526 7
累计抛掷次数 盖面朝上次数 盖面朝上频率
500 264 0.528 0
1 000 527 0.527 0
2 000 1 056 0.528 0
3 000 1 587 0.529 0
5 000 2 650 0.530 0
下面有三个推断：
①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地
均匀的；
②第2 000次实验的结果一定是“盖面朝上”；
③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53.
其中正确的是 　 ①③　(填序号).
①③　
2. (2022·兰州)2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察
某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大
量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：
幼树移植 数(棵) 100 1 000 5 000 8 000 10 000 15 000 20 000
幼树移植 成活数(棵) 87 893 4 485 7 224 8 983 13 443 18 044
幼树移植 成活的频率 0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.896 0.902
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是 　 0.9　.(结果精确到0.1)
0.9　
命题点二　概率的计算
3. (2025·兰州)现有甲、乙两个不透明盒子，其中甲盒装有分别写着d，
t，l的三张声母卡片，乙盒装有分别写着a，e，i的三张韵母卡片(卡片
除汉语拼音字母外，其余完全相同).若小明分别从甲、乙盒中随机各抽取
一张卡片，则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是(　A　)
A. B. C. D.
A
4. (2024·兰州)七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智
玩具，现将1个七巧板，2个九连环， 1个华容道， 2个鲁班锁分别装在6个
不透明的盒子中(每个盒子装1个)，所有盒子除里面的玩具外均相同，从
这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是(　D　)
A. B. C. D.
D
5. (2022·兰州)无色酚酞溶液是一种常用酸碱指示剂，
广泛应用于检验溶液酸碱性，通常情况下酚酞溶液遇酸溶液不变色，遇中
性溶液也不变色，遇碱溶液变红色.现有5瓶缺失标签的无色液体：蒸馏
水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液、火碱溶液，将酚酞试剂滴入任
意一瓶液体后呈现红色的概率是(　B　)
A. B. C. D.
B
新考向·跨学科综合
6. (2025·甘肃)如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成3个扇形，
分别涂有“红、白、蓝”三种颜色，转盘指针固定.转动转盘，等转盘停
止转动后，观察指针所落区域的颜色.若指针落在区域分界线上，则重新
转动转盘.
(1)任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为 　 　；
　
(2)任意转动转盘两次(第一次转动转盘，等转盘停止转动后，再第二次转
动转盘)，用画树状图或列表的方法求指针所落区域颜色不同的概率.
解：画树状图如下：
由上可得，一共有9种等可能的结果，其中指针所落区域颜色不同的可能
性有6种，
∴P(指针所落区域颜色不同)＝ ＝ .
7. (2024·临夏州)物理变化和化学变化的区别在于是否
有新物质的生成.某学习小组在延时课上制作了A，B，C，D四张卡片，
四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀.
A. 铁钉生锈　　B. 滴水成冰
新考向·跨学科综合
C. 矿石粉碎　　D. 牛奶变质
(1)小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中C卡片的概率是 　 　；
　
(2)小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取
两张卡片内容均为化学变化的概率.
解：四张卡片内容中是化学变化的有A，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的结果
有2种，
∴P(小夏抽取两张卡片内容均为化学变化)＝ ＝ .
8. (2024·省卷)在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小
球，小球上分别标有数字1，2，3，4.甲、乙两人玩摸球游戏，规则为：
两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲
胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜.
(1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率；
　　乙 甲　　 1 2 3 4
1 (1，2) (1，3) (1，4)
2 (2，1) (2，3) (2，4)
3 (3，1) (3，2) (3，4)
4 (4，1) (4，2) (4，3)
解：(1)列表如下：
由图可知，共有12种等可能的情况，两球上的数字之和为奇数的情况有8
种，∴P(甲获胜)＝ ＝ .
或画树状图如下：
(2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由.
解：(2)游戏规则对甲乙双方不公平.
理由如下：
∵P(甲获胜)＝ ，P(乙获胜)＝ . ≠ ，
∴游戏规则对甲乙双方不公平.
9. (2023·武威)为传承红色文化，激发革命精神，增强爱国主义情感，某
校组织七年级学生开展“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学之
旅， 策划了三条红色线路让学生选择：
A. 南梁精神红色记忆之旅(华池县)；B. 长征会师胜利之旅(会宁县)；
C. 西路军红色征程之旅(高台县)，且每人只能选择一条线路. 小亮和小刚两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路.他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上字母A，B，C，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，小亮先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小刚再从中随机抽取一张卡片.
(1)求小亮从中随机抽到卡片A的概率；
解：(1)P(小亮抽到卡片A)＝ .
(2)请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到卡片C的概率.
解：(2)列表如下：
　　　小刚 小亮　　　 A B C
A (A，A) (A，B) (A，C)
B (B，A) (B，B) (B，C)
C (C，A) (C，B) (C，C)
由图可知，共有9种等可能的结果，两人都抽到卡片C的结果有1种，
∴P(两人都抽到卡片C)＝ .
或画树状图如下：
10. (2021·武威)一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小
球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸
出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到
红色小球的频率稳定于0.75左右.
(1)请你估计箱子里白色小球的个数；
解：(1)∵通过多次摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.75左右，
∴估计摸到红球的概率为0.75.
设白球有x个，依题意，得 ＝0.75，解得x＝1.
经检验，x＝1是方程的解且符合题意，即估计箱子里有1个白球.
(2)现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出
1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率(用画树状图或列表的方
法).
解：(2)列表如下：
红1 红2 红3 白
红1 (红1，红1) (红1，红2) (红1，红3) (红1，白)
红2 (红2，红1) (红2，红2) (红2，红3) (红2，白)
红3 (红3，红1) (红3，红2) (红3，红3) (红3，白)
白 (白，红1) (白，红2) (白，红3) (白，白)
∵一共有16种等可能的结果，两次摸出的小球颜色恰好不同的有(红1，
白)、(红2，白)、(红3，白)、(白，红1)、(白，红2)、(白，红3)，共6种.
∴两次摸出的小球恰好颜色不同的概率是 ＝ .
或画树状图如下 ：
1. (2025·台湾)阿嘉和小杨都有5张分别标示数字1，2，3，4，5的纸牌，
如图表示两人的牌中皆有三张牌被自己盖住的情形.今两人打算从自己盖
住的纸牌中翻开一张牌，若阿嘉盖住的牌中每张牌被翻开的机会相等，小
杨盖住的牌中每张牌被翻开的机会相等，则比较两人翻开的那张牌上的数
字，阿嘉比小杨大的概率是(　B　)
A. B. C. D.
B
2. 在一个不透明的布袋中，有大小、形状完全相同，颜色不同的15个
球，从中摸出红球的概率为 ，则袋中红球的个数为(　B　)
A. 2 B. 5 C. 10 D. 12
B
1. (2025·成都三模)如图，用六块全等的含30°的灰色直角三角形拼成一
个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙.现在向大正六边形内
部投掷飞镖，则飞镖射中灰色部分的概率为 　 　.
　
2. 高老师作为本次运动会奖品的负责人，准备从超市购买一些奖品.如
图，高老师从学校出发，随机选择一条道路，需先经过广场，最终到达超
市，则这条路线恰好是最短路线的概率是(　D　)
A. B. C. D.
D
3. 我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A，
B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计
图.根据统计图解答下列问题.
(1)参加知识竞赛的学生人数有 　 20　名；
(2)在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角度数为 　 72°　；
20　
72°　
(3)学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中选出2名去参加市中学生
知识竞赛.已知“A等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出
女生被选中的概率.
解：男生人数：3－1＝2人，
根据题意画树状图如下：
由树状图，可知共有6种等可能的结果，其中女生被选中的结果有4种，
∴P(女生被选中)＝ ＝ .(共74张PPT)
第八章　统计与概率
第一节　统计
第一部分　教材知识梳理
考点一　数据的收集 　▼
1. 调查方式
(1)全面调查
①定义：考察全体对象的调查，也称普查.
②适应范围：
一般当调查范围小、调查不具有破坏性、意义重大、数据要求准确、全面
时，采用全面调查.
③举例：
a.测量某班学生的身高；(调查范围小)
b.坐地铁前对乘客的安检；(意义重大)
c.对量子科学通信卫星上某种零部件的检查；(意义重大)
d.人口普查.(数据要求准确)
(2)抽样调查
①定义：抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情
况，这种方法称为抽样调查.
②适应范围：
一般当所调查对象涉及面大、范围广、受条件限制或具有破坏性等时，采
用抽样调查.
③举例：
a.调查全国中小学生课外阅读情况；(调查范围大)
b.调查某市中学生的视力情况；(调查范围大)
c.对神舟十一号发射节目收视率的调查；(调查范围大)
d.检查一批灯泡的使用寿命.(具有破坏性)
【温馨提示】随机原则是抽样调查所必须遵守的原则，抽样调查样本的选
取要具有代表性、广泛性.
2. 总体、个体、样本和样本容量
(1)相关概念：①总体：所要考察对象的全体；②个体：组成总体的每个
对象；③样本：从总体中抽取的一部分个体；④样本容量：样本中包含的
个体的数目.
(2)一般过程：
实际问题→搜集数据→整理数据
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓
合理决策←统计分析←表示数据
【温馨提示】①总体、个体、样本三者的考察对象不是笼统的某人某物，
而是某人某物的数量指标.②样本容量是样本中个体的数量，不带单位.
1. (2025·安定区三模)定西某中学计划在各班设立图书角，为合理搭配各
类书籍，校团委以“我喜欢的书籍”为主题，对全校学生进行随机抽样调
查(每名被调查的学生必须选择且只能选择一个书籍类型)，收集整理学生
喜欢的书籍类型(A：科普，B：文学，C：体育，D：其他)后，绘制的统
计图表(部分数据)如下，下列结论错误的是(　D　)
类型 人数(人)
A ■
B 60
C ■
D 30
[练对点一]
A. 本次抽样调查中喜欢文学类书籍的人数是60人
B. 本次抽样调查的样本容量为200
C. 本次抽样调查中喜欢其他类书籍的人数占比为15％
D. 若该校有3 000名学生，则该校学生中喜欢科普类书籍的人数
约为500人
答案：D
2. 下列调查中，最适合全面调查的是(　B　)
A. 调查全国中学生对人工智能的了解情况
B. 对即将发射的“神舟二十号”载人飞船的零部件质量情况的调查
C. 调查信阳地区2025年空气质量情况
D. 对信阳市初中学生每天写作业时间的调查
B
考点二　统计量及其意义 　▼
3. 平均数
(1)算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，其(算术)平均数 ＝x 1
＋x2＋…＋xn)　.
(2)加权平均数：
＝ 　 ，其中f1，f2，…，fk分别表示x1，
x2，x3，…，xk出现的次数，n＝f1＋f2＋…＋fk.
(x1
＋x2＋…＋xn)　
　
(3)平均数能反映一组数据的平均水平，与数据排列顺序无关，容易受到
极大值、极小值的影响.
(4)应用：根据两组数据的平均数评价哪组数据整体水平更好.
4. 中位数
(1)先观察数据→按从小到大排序
(2)中位数能反映一组数据的集中趋势，中位数通过数据排序取得，所以
不受极大值、极小值的影响.
(3)应用：常用于判断某一数据在某组数据中所处的位置，比中位数大即
位于前50％，比中位数小即位于后50％.
5. 众数
(1)先观察数据→找出出现次数最多的数据.
(2)一组数据可能没有众数，也可能不止一个众数.
(3)应用：在统计中“最受欢迎”，“最满意”，“最受关注”等都与众
数有关.
6. 方差
(1)方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数.
(2)计算公式：s2＝ [(x1－ )2＋(x2－ )2＋…＋(xn－ )2].
(3)方差反映一组数据波动大小(离散程度).方差越大，数据波动越大，方
差越小，数据波动越小.
(4)应用：当几组数据的平均数相同时，用方差来比较几组数据的稳定性.
7. 极差：一组数据中最大数与最小数的差.
【方法归纳】
若数据x1，x2，…，xn的平均数为 ，方差为s2，则
数据 平均数 方差
x1＋a，x2＋a，…，xn＋a ＋a s2
kx1，kx2，…，kxn k k2s2
kx1＋a，kx2＋a，…，kxn＋a k ＋a k2s2
[练对点二]
3. (2025·武都区校级模拟)为拓展学生的时政视野，锻炼学生的辩证思维
能力与逻辑表达能力.某学校举办了“家国天下——时政达人秀”时事述
评比赛.下面是根据9位评委的打分制作的表格：
平均数 中位数 众数 方差
8.6 8.3 8.2 0.15
如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是
(　C　)
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差
C
4. (2025·张掖模拟)永州市农科院对甲、乙两种甜玉米各用10块相同条件
的试验田进行试验，得到两个品种每公顷产量的两组数据，其方差分别
为 ＝0.02， ＝0.005，则(　B　)
A. 甲比乙的产量稳定
B. 乙比甲的产量稳定
C. 甲、乙的产量一样稳定
D. 无法确定哪一品种的产量更稳定
B
5. 某班6名同学在一次“1分钟仰卧起坐”测试中，成绩分别为(单位：
次)：39，45，49，37，41，39，这组数据的众数、中位数分别是(　C　)
A. 45，39 B. 39，39
C. 39，40 D. 45，41
C
考点三　统计图的分析 　▼
8. 常见统计图(表)的特点
名称 优点 特点
扇形 统计图 能清楚地表示出各部分在总体中所占的 　 百分比　 (1)各百分比之和等于1；
(2)圆心角的度数＝百分
比×360°
条形 统计图 能清楚地表示出每个项目的 　 具 　 各组数量之和等于抽样
数据总数(样本容量)
百分比　
具体数目
名称 优点 特点
折线 统计图 能清楚地反映事物的 　 变化　情况 各组数据之和等于抽样
数据总数(样本容量)
频数分布 直方图 能清晰地表示出收集或调查到的 　 数据　，能显示出各频数分布的情况以及各组频数之间的差别 (1)各组频数之和等于抽
样数据总和(样本容量)；
(2)各组频率之和等于1；
(3)数据总数×某组的频率＝相应组的频数
变化　
数据
[练对点三]
6. (2025·甘州区一模)为了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲
五类节目的喜爱情况，班主任对全班50名同学进行了问卷调查(每名同学
只选其中的一类)，依据50份问卷调查结果绘制了全班同学喜爱节目情况
扇形统计图(如图所示).下列说法正确的是(　D　)
A. 班主任采用的是抽样调查
B. 喜爱动画节目的同学最多
C. 喜爱戏曲节目的同学有6名
D. “体育”对应扇形的圆心角为72°
D
考点四　频数与频率 　▼
9. 频数与频率
频数 定义 统计时，落在各小组的数据 　 个数　
规律 各小组的频数之和等于数据 　 总数　
频率 定义 每个小组的 　 频数　与数据总数的比值
规律 各小组的频率之和等于 　 1　
个数　
总数　
频数　
1　
[练对点四]
7. 在一次数学测试中，将某班50名学生的成绩分为五组，第一组到第四
组的频数分别为10，8，10，12，第五组的频率是(　D　)
A. 10 B. 1 C. 0.1 D. 0.2
D
命题点一　统计图表的分析
1. (2025·甘肃)习近平总书记致首届全民阅读大会举办的贺信指出：阅读
是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径，可以让人得到思想启
发，树立崇高理想，涵养浩然之气.中华民族自古提倡阅读，讲究格物致
知、诚意正心，传承中华民族生生不息的精神，塑造中国人民自信自强的
品格.如图是某网站连续多年对其用户书籍阅读量的统计图，下列结论错
误的是(　C　)
A. 2022年，人均纸质书籍阅读量为5本
B. 2023年，人均电子书籍阅读量为11本
C. 2024年，人均电子书籍阅读量是人均纸质书籍阅读量的3倍
D. 2016年至2024年，人均电子书籍阅读量逐年上升
答案：C
2. (2024·省卷)近年来，我国重视农村电子商务的发展.下面的统计图反映
了2016～2023年中国农村网络零售额情况.根据统计图提供的信息，下列
结论错误的是(　D　)
A. 2023年中国农村网络零售额最高
B. 2016年中国农村网络零售额最低
C. 2016～2023年，中国农村网络零售额持续增加
D. 从2020年开始，中国农村网络零售额突破20 000亿元
D
3. (2023·兰州)2022年我国新能源汽车销量持续增长，全年销量约为572.6
万辆，同比增长91.7％，连续8年位居全球第一.下面的统计图反映了2021
年，2022年新能源汽车月度销量及同比增长速度的情况.(2022年同比增长
速度＝ ×100％)根据统计图提供的信息，
下列推断不合理的是(　D　)
A. 2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆
B. 2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个
C. 相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到
了181.1％
D. 相对于2021年，2022年从5月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低
答案：D
4. (2023·武威)据统计，数学家群体是一个长寿群体，某研究小组随机抽
取了收录约2 200位数学家的《数学家传略辞典》中部分90岁及以上的长
寿数学家的年龄为样本，对数据进行整理与分析，统计图表(部分数据)如
下，下列结论错误的是(　D　)
年龄范围(岁) 人数(人)
90～91 25
92～93
94～95
96～97 11
98～99 10
100～101 m
A. 该小组共统计了100名数学家的年龄
B. 统计表中m的值为5
C. 长寿数学家年龄在92～93岁的人数最多
D. 《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄
在96～97岁的人数估计有110人
答案：D
5. (2025·兰州)射箭运动项目中，新手成绩通常不太稳定.甲和乙同时进行
12次射箭练习后，成绩的统计数据如表，请根据表中信息估计新手
是 　 甲　.(填写“甲”或“乙”)
甲 乙
平均成绩(单位：环) 6.58 7.67
方差s2 6.91 0.72
甲　
6. (2024·兰州)甲，乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩(单位：
环)如图所示，现有以下三个推断：
①甲的成绩更稳定；
②乙的平均成绩更高；
③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高.其中正确的是 　 ①②　
.(填序号)
①②　
7. (2024·兰州)为落实“双减”政策，培养德智体美劳全面发展的时代新
人，某校组织调研学生体育和美育发展水平，现从七年级共180名学生中
随机抽取20名学生，对每位学生的体育和美育水平进行测评后按百分制分
数量化，并进行等级评定(成绩用x表示，分为四个等级，包括优秀：
90≤x≤100；良好：80≤x＜90；合格：70≤x＜80；待提高：x＜70).
对数据进行整理，描述和分析，部分信息如下.
信息一：体育成绩的人数(频数)分布图如下.
信息二：美育成绩的人数(频数)分布表如下.
分组 90≤x≤100 80≤x＜90 70≤x＜80 x＜70
人数 m 7 2 7
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：m＝ 　 4　；
(2)下列结论正确的是 　 ①③　；(填序号)
4　
①③　
信息三：20位学生的体育成绩和美育成绩得分统计如下(共20个点).
①体育成绩低于80分的人数占抽取人数的40％；
②参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“合格”；
③在信息三中，相比于点A所代表的学生，点B所代表的学生的体育水平
与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升；
(3)请结合以上信息，估计七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于
“优秀”等级的人数.
解：根据信息三，知美育和体育成绩都在90分以及以上的只有2人，故七
年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数有
180× ＝18(人).
信息一：排球垫球成绩如图所示(成绩用x表示，分成六组：A：x＜10；
B：10≤x＜15；C. 15≤x＜20；D. 20≤x＜25；E. 25≤x＜30；F.
x≥30).
8. (2023·兰州)某校八年级共有男生300人，为了了解该年级男生排球垫球
成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进
行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息.
信息二：排球垫球成绩在D. 20≤x＜25这一组的是：20，20，21，21，
21，22，22，23，24，24
信息三：掷实心球成绩(成绩用y表示，单位：米)的人数(频数)分布表
如下：
分组 y＜6.0 6.0≤y ＜6.8 6.8≤y ＜7.6 7.6≤y ＜8.4 8.4≤y ＜9.2 y≥9.2
人数 2 m 10 9 6 2
信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如下：
学生 学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 学生6
排球垫球 26 25 23 22 22 15
掷实心球 ▲ 7.8 7.8 ▲ 8.8 9.2
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：m＝ 　 11　；
(2)下列结论正确的是 　 ②③　；(填序号)
①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60％；
②掷实心球成绩的中位数记为n，则6.8≤n＜7.6；
③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀.如果信息四中6名男
生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀.
11　
②③　
(3)若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男
生排球垫球成绩达到优秀的人数.
解：排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，估计全年级男生排
球垫球成绩达到优秀的人数为 ×300＝75(人).
信息一：普查登记的中国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的频数分布
直方图如下：
(数据分成6组：0≤x＜20，20≤x＜40，40≤x＜60，60≤x＜80，80≤x
＜100，100≤x≤120)
9. (2022·兰州)某综合与实践研究小组根据我国第七次人口普查数据进行
整理、描述和分析，给出部分数据信息：
信息二：普查登记的中国大陆31个省、自治区、直辖市人口数(百万人)在
40≤x＜60这一组的数据是：58，47，45，40，43，42，50；
信息三：2010～2021年中国大陆人口数及自然增长率如下.
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)普查登记的中国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的中位数
为 　 40　百万人；
(2)下列结论正确的是 　 ①②　；(只填序号)
①中国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于或等于100(百万人)的
有2个地区；
②相对于2020年，2021年中国大陆人口自然增长率降低，中国大陆人口增
长缓慢；
③2010～2021年中国大陆人口自然增长率持续降低.
40　
①②　
(3)请写出2016～2021年中国大陆人口数、中国大陆人口自然增长率的变
化趋势，结合变化趋势谈谈自己的看法.
解：中国大陆人口数增长缓慢，中国大陆人口自然增长率持续降低.看
法：调整生育政策，鼓励多生优生，以免人口自然增长率为负(答案不唯
一).
等级 成绩x
A 50≤x＜60
B 60≤x＜70
C 70≤x＜80
D 80≤x＜90
E 90≤x≤100
10. (2021·省卷)为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以“学习百
年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分
学生成绩进行统计，按成绩分成A，B，C，D，E五个等级，并绘制了如
下不完整的统计图.请结合统计图，解答下列问题：
(1)本次调查一共随机抽取了 　 200　名学生的成绩，频数分布直方图中m
＝ 　 16　；
200　
16　
(2)补全学生成绩频数分布直方图；
解：(2)补全学生成绩频数分布直方图如学生成绩频数分布直方图所示.
(3)所抽取学生成绩的中位数落在 　 C　等级；
(4)若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2 000名学生，估计成绩优秀的
学生有多少人.
解：(4)根据题意，得2 000× ＝940(人).
答：全校2 000名学生中，估计成绩优秀的学生有940人.
C　
命题点二　平均数、众数和中位数
11. (2025·甘肃)某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛.在最
近10次的选拔赛中，他们的射击成绩(单位：环)信息如下：
信息一：甲、乙队员的射击成绩
甲：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8
乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10，8
队员 平均数 中位数 众数 方差
甲 8.3 8 n 2.01
乙 8.3 m 9 1.61
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中m，n的值：m＝ 　 8.5　，n＝ 　 8　；
(2) 　 乙　队员在射击选拔赛中发挥得更稳定(填“甲”或“乙”)；
8.5　
8　
乙　
信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量
(3)小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可
以.你认为他说得对吗？请说明理由(写出一条合理的理由即可).
解：他说得不对.
理由：虽然甲、乙两人射击成绩的平均数一样，但是乙的方差比甲的小，
说明乙队员在射击选拔赛中发挥的更稳定，所以应该推荐乙队员参赛.
12. (2025·兰州)豌豆荚里有几粒豆子不确定，那么豆子粒数是否有规律？
同学们对这个问题很感兴趣.为此，调查小组从一批豌豆荚中随机抽取了
若干个豌豆荚，进行豆子粒数的统计，以下是本次调查的过程.
【收集数据】打开每个豌豆荚，数清其中的豆子(直径大于3毫米)粒数，
记录数据.
【整理数据】将收集的豆子粒数进行数据整理，用x表示每个豌豆荚中的
豆子粒数，将数据分为5类：其中A类(0≤x＜2)，B类(2≤x＜4)，C类
(4≤x＜6)，D类(6≤x＜8)，E类(8≤x＜10).
【描述数据】根据整理的数据，绘制出如下统计图.
【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查活动中随机抽取了 　 100　个豌豆荚，图中a＝ 　 40　，b
＝ 　 35　；
100　
40　
35　
(2)所调查豆子粒数的中位数落在 　 C　类中；(只填写字母)
(3)如果甲同学调查了20个豌豆荚，其中B类有7个，乙同学调查了10个豌
豆荚，其中D类有3个.能否得到B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的规律？请
说明理由.
解：不能得到B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的规律.
理由：由于甲、乙抽取的数量不多，不足以得到B类豌豆荚一定比D类豌
豆荚多的结论.
C　
13. (2024·省卷)在阳光中学运动会跳高比赛中，每位选手要进行五轮比
赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分(单位：分，满分10
分)进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：
信息一：甲、丙两位选手的得分折线图：
信息二：选手乙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是9.0，8.9，
8.3；
统计量 甲 乙 丙
平均数 m 9.1 8.9
中位数 9.2 9.0 n
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中 m，n的值：m＝ 　 9.1　，n＝ 　 9.1　；
(2)从甲、丙两位选手的得分折线图中可知，选手 　 甲　发挥的稳定性更
好(填“甲”或“丙”)；
9.1　
9.1　
甲　
信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下：
(3)该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，
请说明理由.
解：推荐选手甲.理由：选手甲和选手乙的平均数均为9.1分，高于选手丙
的平均数，所以从选手甲和选手乙中推荐一位选手参加市级比赛；又因为
选手甲比选手乙的中位数高，而且选手甲的最低分高于选手乙的最低分，
所以应该推荐选手甲参加市级比赛.
14. (2024·临夏州)环球网消息称：近年来的电动自行车火灾事故80％都是
充电时发生的，超过一半的电动自行车火灾发生在夜间充电的过程中.为
了规避风险，某校政教处对学生进行规范充电培训活动，并对培训效果按
10分制进行检测评分.为了了解这次培训的效果，现从各年级随机抽取
男、女生各10名的检测成绩作为样本进行整理，并绘制成如下不完整的统
计图表：
抽取的10名男生检测成绩扇形图
抽取的10名女生检测成绩统计表
成绩/分 6 7 8 9 10
人数 1 2 m 3 n
注：10名女生检测成绩的中位数为8.5分.
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)样本中男生检测成绩为10分的学生数是 　 2　，众数为 　 8　分；
(2)女生检测成绩表中的m＝ 　 2　，n＝ 　 2　；
(3)已知该校有男生545人，女生360人，若认定检测成绩不低于9分为“优
秀”，估计全校检测成绩达到“优秀”的人数.
解：545×(20％＋20％)＋360× ＝218＋180＝398(人)，
答：估计全校检测成绩达到“优秀”的人数为398.
2　
8　
2　
2　
15. (2023·武威)某校八年级共有200名学生，为了了解八年级学生地理学
科的学习情况，从中随机抽取40名学生的八年级上、下两个学期期末地理
成绩进行整理和分析(两次测试试卷满分均为35分，难度系数相同；成绩
用x表示，分成6个等级：A. x＜10；B. 10≤x＜15；C. 15≤x＜20；D.
20≤x＜25；E. 25≤x＜30；F. 30≤x≤35).下面给出了部分信息.
a.八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的统计图如下：
b.八年级学生上学期期末地理成绩在C. 15≤x＜20这一组的成绩是：
15，15，15，15，15，16，16，16，18，18
c.八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的平均数、众数、中位数
如下：
学期 平均数 众数 中位数
八年级上学期 17.7 15 m
八年级下学期 18.2 19 18.5
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：m＝ 　 16　；
(2)若x≥25为优秀，则这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀
的约有 　 35　人；
16　
35　
(3)你认为该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有没有提高？
请说明理由.
解：该校八年级学生的期末成绩下学期比上学期有提高.理由：因为抽取
的八年级学生的期末地理成绩的平均分(或中位数)下学期的比上学期的
高，所以八年级学生下学期期末地理成绩更好.(注：写出一个理由即可)
1. (2025·广元)为用好红色资源，讲好红色故事，李老师安排了10名学生
收集红色文化书籍，他们收集到的红色文化书籍本数如表：
书籍本数 2 3 4 5 6
人数 2 2 2 3 1
下列关于书籍本数的描述正确的是(　C　)
A. 众数是3 B. 平均数是3
C. 中位数是4 D. 方差是1
C
2. (2025·辽宁)种下绿色希望，建设美丽辽宁.某学校学生积极参与春季义
务植树活动，在活动结束后，该学校为了解八年级学生植树棵数的情况，
随机抽取若干名八年级参加植树的学生，统计每人的植树棵数，并对数据
进行整理、描述和分析，部分信息如下：
抽取的八年级学生植树棵数的人数统计表
棵数/棵 1 2 3 4 5
人数/人 4 10 m 6 n
(1)求m，n的值；
解：(1)m的值为14，n的值为6.
请根据以上信息，解答下列问题：
(2)求被抽取的八年级学生植树棵数的中位数；
解：(2)将40个数据排序后，位于第20
个和第21个数据均为3，
∴中位数为3.
(3)本次植树活动中，植树不少于4棵的学生将被学校评为“绿动先锋”，
该学校八年级有320名学生参加了此次植树活动，请你估计这些学生中被
评为“绿动先锋”的人数.
解：(3)320× ＝96(人).
答：估计这些学生中被评为“绿动先锋”的人数为96人.
1. 为了贯彻落实党的二十大报告中提出的“推进文化自信自强，铸就社
会主义文化新辉煌”的精神主旨，落实立德树人根本任务，切实提升学生
人文素养与综合能力，某校开展了“书香沁心，悦读同行”为主题的系列
读书活动.语文老师调查了全班同学的每月阅读不同种类书籍数量，并绘
制了如图所示的统计图.下列说法错误的是(　C　)
C
A. 该班同学阅读“艺术类”书籍的数量最少
B. 该班同学阅读“历史类”书籍数量占30％
C. 该班同学阅读“艺术类”书籍对应的扇形
圆心角度数是72°
D. 该班同学阅读“文学类”书籍的数量最多
2. 每年6月6日为“全国爱眼日”.按照国家视力健康标准，学生视力状况
如下表所示.
类别 A B C D
视力 视力≥5.0 4.9 4.6≤视力≤4.8 ≤4.5
健康 状况 视力 正常 轻度视 力不良 中度视 力不良 重度视
力不良
根据以上信息，回答下列问题：
为了解某校学生视力状况，随机抽查了若干名学生进行视力检测，整理样
本数据，得到下列统计图：
(1)本次抽查的学生中，视力状况属于A类的学生有 　 4　人，D类所在扇
形的圆心角的度数是 　 18°　；
(2)对于本次抽查的学生视力数据，中位数所在类别为 　 B　类；
(3)已知该校共有600名学生，请估计该校“中度视力不良”和“重度视力
不良”的学生总人数.
解：600×(40％＋5％)＝270(人)，
答：估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数为
270人.
4　
18°　
B　

展开更多......

收起↑