资源简介 (共12张PPT)题型三 尺规作图第二部分 重点题型突破 尺规作图属甘肃省中考必考高频考点：省卷与兰州卷近五年均连续考查，无一缺考.省卷命题以“情境作图”为核心，侧重在实际背景中还原几何构造；兰州卷则突出“拓展性作图”，强调对基本作图的延伸与创新，且均深度结合几何图形性质综合设问.考生务必精熟五种基本尺规作图(作等长线段、作等角、作角平分线、作垂直平分线、作垂线)，并能在复杂情境中灵活运用其原理与性质，方能稳夺该考点满分.类型一 基本作图1. (2025·陕西)如图，已知∠AOB＝50°，点C在边OA上.请用尺规作图法，在∠AOB的内部求作一点P，使得∠AOP＝25°，且CP∥OB. (保留作图痕迹，不写作法)解：如图，点P即为所求.2. (2025·绥化)尺规作图(温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕迹)【初步尝试】如图1，用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线OP，使扇形OMN的面积被直线OP平分.【拓展探究】如图2，若扇形OMN的圆心角为30°，请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点O为圆心的弧CD，交OM于点C，交ON于点D，使扇形OCD的面积与扇形OMN的面积比为1∶4.解：(1)如图1，射线OP即为所求.(2)如图2，弧CD即为所求.类型二 应用型作图1. (2025·定西三模)《元史·天文志》中记载了元朝著名天文学家郭守敬主持的一次大规模观测，称为“四海测验”.这次观测主要使用了“立杆测影”的方法，在二十七个观测点测量出的各地的“北极出地”，与现在人们所说的“北线”基本吻合，利用类似的原理，我们也可以测量出所在地的纬度.如图1，春分时，太阳光直射赤道，此时在M地直立一根木杆MN，在太阳光照射下，木杆MN会在地面上形成影子，通过测量木杆与它的影子的长度，可以计算出太阳光与杆子MN所成的夹角α；由于同一时刻的太阳光线可以近似看成是平行的，所以根据太阳光与木杆MN所成的夹角α可以推算得到M地的纬度，即∠MOB的大小.如图2是在M地测算太阳光与木杆MN所成夹角α的示意图，在图中作出影子MQ. (按如下步骤作图，保留作图痕迹).解：如图2所示.(1)延长NM至点G，以点M为圆心，任意长为半径作弧，分别交NM，GM于点E，F；(2)分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径作弧，两弧相交于点H；(3)连接MH并延长，与直线CD交于点Q，则线段MQ可以看成是木杆MN在地面上形成的影子.2. (2025·重庆)学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流.现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空：第一步：构造角平分线.小红在∠AOB的边OA上任取一点E，并过点E作了OA的垂线(如图).请你利用尺规作图，在OB边上截取OF＝OE，过点F作OB的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线OP，OP即为∠AOB的平分线(不写作法，保留作图痕迹).解：如图，射线OP即为所求.证明：∵PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠OEP＝∠OFP＝90°.在Rt△OEP和Rt△OFP中，∴Rt△OEP≌Rt△OFP(HL).∴③ ∠POE＝∠POF .∠POE＝∠POF 第二步：利用三角形全等证明她的猜想.∴OP平分∠AOB.3. (2025·永昌县校级三模)如图1和图2，是甘肃省造光绪元宝古币的正面和反面，光绪元宝是大清光绪年间流通大面值货币之首，具有非常特殊的历史意义，小智同学对此货币非常感兴趣，他想根据所学知识找到此货币所在圆的圆心，他的作法如下：①如图3，在圆上依次取三点A，B，C；②分别以点A，B为圆心，大于 AB长为半径画弧，两弧相交于M，N，作直线MN；③分别以点B，C为圆心，大于 BC长为半径画弧，两弧相交于P，Q，作直线PQ，直线MN与PQ相交于点O；即点O为所作圆的圆心，(1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图3中作出圆心O；(保留作图痕迹)解：(1)如图3，点O即为所求.(2)根据(1)中画出的图形，连接AC，若△ABC为等边三角形，☉O的半径为2 cm，则△ABC的面积为 3 cm2.3 4. (2025·无锡)如图，AC为正方形ABCD的对角线.(1)尺规作图：作AD的垂直平分线l交AD于点E，在l上确定点F，使得点F到∠BAC的两边距离相等；(不写作法，保留痕迹)解：(1)如图所示，直线l和点F即为所求.(2)在(1)的条件下，求∠EFA的度数.(请直接写出∠EFA的度数)解：(2)∠EFA＝225°.(共28张PPT)题型六 反比例函数的综合第二部分 重点题型突破 反比例函数图象与性质：省卷五年三考，兰州卷五年两考，题型均为选择或填空，分值虽小但必属基础得分项.反比例函数与一次函数综合题：省卷、兰州卷近五年均连续考查，无一缺考，且全部以解答题形式呈现.命题热点集中于以下四类：待定系数法求函数解析式；反比例函数与一次函数的交点坐标计算；与交点相关的封闭图形面积问题；已知面积反求函数图象上某点坐标.类型一 反比例函数图象与性质1. (2025·湖南)对于反比例函数y＝ ，下列结论正确的是( D )A. (2，2)在该函数的图象上B. 该函数的图象分别位于第二、四象限C. 当x＜0时，y随x的增大而增大D. 当x＞0时，y随x的增大而减小D2. (2025·天津)若点A(－3，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)都在反比例函数y＝－ 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( D )A. y1＜y2＜y3 B. y3＜y2＜y1C. y1＜y3＜y2 D. y2＜y3＜y1D3. (2025·湖北)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示.当电阻R大于9 Ω时，电流I可能是( A )A. 3 A B. 4 A C. 5 A D. 6 AA类型二 反比例函数与一次函数综合一、点、线问题1. (2025·德阳)如图，已知菱形OABC，点C在x轴上，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过菱形的顶点A(3，4)，连接OB，OB与反比例函数图象交于点D.(1)求反比例函数解析式；解：(1)把A(3，4)代入y＝ ，得k＝3×4＝12，∴反比例函数解析式为y＝ .(2)求直线OB的解析式和点D的坐标.解：(2)∵A(3，4)，∴OA＝ ＝5.∵四边形OABC是菱形，∴AB＝OA＝5.∴B(8，4).设直线OB的解析式为y＝mx(m≠0)，把B(8，4)代入，得4＝8m，∴m＝ .∴直线OB的解析式为y＝ x.∵点D是反比例函数与正比例函数的交点，∴联立解析式 解得 或∵x＞0，∴D(2 ， ).2. (2025·自贡)如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝－ 的图象交于点A(－2，a)，点B是线段OA上异于端点的一点，过点B作y轴的垂线，交反比例函数的图象于点D.(1)求k的值；解：(1)∵点A(－2，a)在反比例函数y＝－ 上，∴a＝4，即A(－2，4).将A(－2，4)代入正比例函数y＝kx中，得－2k＝4，解得k＝－2.(2)若BD＝2，求点B坐标；解：(2)∵B在直线 y＝－2x上，设B(m，－2m).∵过点B作y轴的垂线，交反比例函数的图象于点D，∴D .∵BD＝2，∴m－ ＝2.整理，得m2－2m－4＝0，解得m＝1－ (正值已舍)，∴B(1－ ，－2＋2 ).(3)双曲线y＝－ 关于y轴对称的图象为y'，直接写出射线OA绕点O旋转90°后与y'的交点坐标.解：(3)射线OA绕点O旋转90°后与y'的交点坐标为(4，2)或(－4，－2).3. (2025·宜宾)如图，过原点O的直线与反比例函数y＝ (k≠0)的图象交于A，B两点.一次函数y＝mx＋b(m≠0)的图象过点A与反比例函数交于另一点C，与x轴交于点M，其中A(－2，1)，C(－1，n).(1)求一次函数y＝mx＋b的表达式，并求△AOM的面积；解：(1)把A(－2，1)代入y＝ (k≠0)，得1＝ ，解得k ＝－2，∴反比例函数解析式为y＝－ .在y＝－ 中，当 x＝－1时，y＝－ ＝2，∴C(－1，2).把A(－2，1)，C(－1，2)代入y＝mx＋b中，得 解得∴一次函数y＝mx＋b的表达式为y＝x＋3.在y＝x＋3中，当y＝x＋3＝0时，x＝－3，∴M(－3，0)，∴OM＝3，∴S△AOM＝ OM·｜yA｜＝ ×3×1＝ .(2)连接BC，在直线AC上是否存在点D，使以O，A，D为顶点的三角形与△ABC相似.若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由.解：(2)存在.说明理由略.点D的坐标为(－ ， )或(3，6).二、面积问题4. (2025·资阳)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点.一次函数y＝kx－2的图象与x轴交于点A(－1，0)，与反比例函数y＝ 的图象交于点B(－2，a)，射线BO与反比例函数的图象交于点C，连接AC.(1)求一次函数和反比例函数的表达式；解：(1)∵一次函数y＝kx－2的图象与x轴交于点A(－1，0)，∴0＝－k－2，解得k＝－2.∴一次函数的表达式为y＝－2x－2.∵一次函数y＝－2x－2过点B(－2，a)，∴a＝－2×(－2)－2.∴a＝2.∴B(－2，2).∵反比例函数y＝ 的图象过点B(－2，2)，∴2＝ ，解得m＝－4.∴反比例函数的表达式为y＝－ .(2)求△ABC的面积.解：(2)∵点B与点C关于原点成中心对称，∴C(2，－2)，∵A(－1，0)，∴AO＝1.∴ ＝ ＋S△AOC＝ ×1×2＋ ×1×2＝2.5. (2025·泸州)如图，一次函数y＝2x＋b的图象与反比例函数y＝ 的图象的一个交点为A(2，6).(1)求一次函数与反比例函数的解析式；解：(1)∵一次函数y＝2x＋b的图象经过A(2，6)，∴6＝2×2＋b.∴b＝ 2.∴一次函数解析式为 y＝2x＋2.∵反比例函数y＝ 的图象经过A(2，6)，∴6＝ .∴m＝12.∴反比例函数解析式为y＝ .(2)将一次函数y＝2x＋b的图象沿y轴向下平移12个单位，与反比例函数y＝ 的图象相交于点B，C，求 的值.解：(2)将一次函数y＝2x＋2的图象沿y轴向下平移12个单位，与反比例函数y＝ 的图象相交于点B，C，∴直线BC解析式为y＝2x＋2－12＝2x－10.联立解得 或∴B(－1，－12)，C(6，2).如图所示，过点A作AT∥y轴交直线BC于点T.∵A(2，6)，∴点T的横坐标为2.在y＝2x－10中，当x＝2时，y＝2×2－10＝－6，∴T(2，－6).∴AT＝6－(－6)＝12.∴ ＝ ＋＝ ×12×[2－(－1)]＋ ×12×(6－2)＝18＋24＝42.6. (2025·内江)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝ 的图象与一次函数y＝k2x＋b的图象相交于A(a，6)，B(－6，1)两点.(1)求反比例函数和一次函数的表达式；解：(1)反比例函数的表达式为y＝－ ，一次函数的表达式为y＝x＋7.(2)当x＜0时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式k2x＋b－≥0的解集；解：(2)－6≤x≤－1.(3)过直线AB上的点C作CD∥x轴，交反比例函数的图象于点D. 若点C横坐标为－4，求△BOD的面积.解：(3)S△BOD＝8.7. (2025·成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋b与反比例函数y＝ 的图象的一个交点为A(a，2)，与x轴的交点为B(3，0).(1)求k的值；解：(1)∵直线y＝－x＋b与x轴的交点为B(3，0)，∴0＝－3＋b.解得b＝3，∴一次函数的解析式为y＝－x＋3.把A(a，2)代入y＝－x＋3，得2＝－a＋3，解得a＝1，∴点A(1，2).把点A(1，2)代入y＝ ，得k＝1×2＝2.(2)直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若∠ACD＝90°，求直线AD的函数表达式；解：(2)直线AD的函数表达式为y＝ x＋ .(3)P为x轴上一点，直线AP交反比例函数的图象于点E(异于A)，连接BE，若△BEP的面积为2，求点E的坐标.解：(3)点E的坐标为(－2，－1)或(，3).(共72张PPT)题型九 二次函数综合第二部分 重点题型突破类型一 二次函数应用 二次函数的应用属甘肃中考高频考点：兰州卷近五年四次均以解答题形式呈现，分值高、区分度大；省卷五年三考，题型以选择、填空为主，侧重快速建模.命题核心要求考生能在实际情境(如抛物线形轨迹、利润最大、面积最值等)中迅速抽象出二次函数模型，并综合运用顶点坐标、对称轴、开口方向及与坐标轴交点等知识完成求解。唯有熟练掌握“审题—建系—列式—求解—检验”五步策略，方能在该考点稳夺高分.1. (2025·陕西)某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1，左、右门洞L2，L3均呈抛物线型，水平横梁AC＝16 m，L1的最高点B到AC的距离BO＝4 m，L2，L3关于BO所在直线对称.MN，MP，NQ为框架，点M，N在L1上，点P，Q分别在L2，L3上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC. 以O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.(1)求抛物线L1的函数表达式；解：(1)抛物线L1的函数表达式为y＝－ x2＋4.(2)已知抛物线L3的函数表达式为y＝－ (x－4)2，NQ＝ m，求MN的长.解：(2)MN的长为12 m.2. (2025·贵州)用石块打水漂是一项有趣的活动.抛掷后的石块与平静的水面接触，石块会在空中近似地形成一组抛物线的运动路径.如图1，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离x之间的关系如图2所示.石块第一次与水面接触于点F，运动路径近似为抛物线C1，且C1∶y＝ax2＋bx＋c，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点G，运动路径近似为抛物线C2，且C2∶y＝－ x2＋mx＋n.(小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计)(1)如图2，当a＝－ ，b＝ 时，若点F坐标为(2，0)，求抛物线C1的表达式；解：(1)当a＝－ ，b＝ 时，C1：y＝－ x2＋ x＋c.∵点F坐标为(2，0)，∴0＝－ ×22＋ ×2＋c.∴c＝1.∴抛物线C1的表达式为y＝－ x2＋ x＋1.(2)在(1)的条件下，若FG＝4，在水面上有一个截面宽AB＝1，高BC＝0.5的矩形ABCD的障碍物，点A的坐标为(4.5，0)，判断此时石块沿抛物线C2运动时是否能越过障碍物？请说明理由；解：(2)不能.理由如下：∵FG＝4，点F坐标为(2，0)，∴G(6，0).∴C2：y＝－ (x－2)(x－6)＝－ x2＋ x－ .∵点A的坐标为(4.5，0)，AB＝1，∴B(5.5，0)，∴将x＝5.5代入，得y＝－ x2＋ x－ ＝0.35＜0.5.∴此时石块沿抛物线C2运动时不能越过障碍物.(3)小星在抛掷石块时，若C1的顶点需在一个正方形MNPQ区域内(包括边界)，且点F在(3，0)和(4，0)之间(包括这两点)，其中M(，1)，N(1，1)，Q(， )，求a的取值范围.(在抛掷过程中正方形与抛物线C1在同一平面内)解：(3)a的取值范围为－ ≤a≤－ .类型二 二次函数与几何综合 二次函数与几何综合题是甘肃中考最高频、最具区分度的压轴考点，省卷近五年均以解答题形式连续考查.命题以二次函数图象为载体，深度融合待定系数法求解析式与折叠、旋转等几何变换，综合调用全等三角形、等腰三角形、平行四边形等图形性质，将几何量坐标化后建立方程，再通过数形结合精确定位动点并回归二次函数性质完成论证与计算，唯有实现代数—几何无缝转换方能稳夺高分.一、线段问题1. (2025·浙江)已知抛物线y＝x2－ax＋5(a为常数)经过点(1，0).(1)求a的值；解：(1)把(1，0)代入y＝x2－ax＋5，得1－a＋5＝0，解得a＝6.(2)过点A(0，t)与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值；解：(2)由(1)，知y＝x2－6x＋5，∴对称轴为直线x＝－ ＝3.∵点A(0，t)在y轴上，过点A(0，t)与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，∴B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t.又∵点B为线段AC的中点，∴xc＝2xB.∴ ＝ xB＝3.∴xB＝2.∴x＝2代入y＝x2－6x＋5.得y＝22－6×2＋5＝－3，∴t＝－3.(3)设m＜3＜n，抛物线的一段y＝x2－ax＋5(m≤x≤n)夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间.若直线l1，l2之间的距离为16，求n－m的最大值.解：(3)n－m的最大值为7－(－1)＝8.2. (2025·湖北)抛物线y＝ x2－x＋c与x轴相交于点A(－1，0)和点B，与y轴相交于点C，T是抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t.(1)求c的值；解：(1)把A(－1，0)代入y＝ x2－x＋c，得 ＋1＋c＝0，∴c＝－ .(2)如图1，若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H，求的值；解：(2) 的值为2.(3)定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫作抛物线弧MN(含端点M和N).过M，N分别作x轴的垂线l1，l2，过抛物线弧MN的最高点和最低点分别作y轴的垂线l3，l4，直线l1，l2，l3与l4围成的矩形叫作抛物线弧MN的特征矩形，若点P在第四象限，记抛物线弧CP的特征矩形的周长为f.①求f关于t的函数解析式；②过点P作PQ∥x轴，交抛物线于点Q，点Q与点C不重合.记抛物线弧CQ的特征矩形的周长为g.若f＋g＝ ，直接写出PQ的长.解：(3)①f关于t的函数解析式为f＝②PQ的长为 或 －2.3. (2025·宜宾)如图，O是坐标原点，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A(3，0)，C(0，3).(1)求b，c的值；解：(1)依题意，分别把A(3，0)，C(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c，得 解得(2)点D为抛物线上第一象限内一点，连接BD，与直线AC交于点E，若DE∶BE＝1∶2，求点D的坐标；解：(2)由(1)知b＝2，c＝3，则y＝－x2＋2x＋3，C(0，3)，令y＝0，则0＝－x2＋2x＋3＝(－x＋3)(x＋1)，∴x1＝3，x2＝－1.∴B(－1，0)，A(3，0).如图1，分别过点E，D作EN⊥OA，DM⊥OA.∵EN⊥OA，DM⊥OA，∴∠ENB＝∠DMB＝90°.∵∠EBN＝∠DBM，∴△ENB∽△DMB. ∴ ＝ ＝.∵DE∶BE＝1∶2，∴BE∶BD＝2∶3.∴ ＝ .设点E的纵坐标为2m，则点D的纵坐标为3m，设AC的解析式为y＝kx＋r(k≠0)，∵C(0，3)，A(3，0)，∴解得 ∴AC的解析式为y＝－x＋3.把y＝2m代入y＝－x＋3，得2m＝－x＋3，∴x＝3－2m.∴E(3－2m，2m).∵BE∶BD＝2∶3，∴ ＝ ，即 ＝ ，解得xD＝5－3m.即点D(5－3m，3m)，∵点D为抛物线上第一象限内一点，∴0＜5－3m＜3，解得 ＜m＜.∵D在抛物线上，∴3m＝－(5－3m)2＋2(5－3m)＋3.整理，得3m2－7m＋4＝(m－1)(3m－4)＝0，∴m1＝1，m2＝ .当m＝1时，则5－3m＝5－3＝2，3m＝3，此时D(2，3)，当m＝ 时，则5－3m＝5－4＝1，3m＝3× ＝4，此时D(1，4)，综上，D(2，3)或D(1，4).(3)若F为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为P(m，n)(m＞1)，若P又在原抛物线上，新抛物线与直线x＝1交于点N，连接FP，PN，∠FPN＝120°.探究新抛物线与x轴是否存在两个不同的交点.若存在，求出这两个交点之间的距离；若不存在，请说明理由.解：(3)存在.理由如下：由(2)知y＝－x2＋2x＋3，整理y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∵F为抛物线的顶点，∴F(1，4).∵平移抛物线使得新顶点为P(m，n)(m＞1)，P又在原抛物线上，新抛物线与直线x＝1交于点N，如备用图，连接FP，PN，过点P作PH⊥FN，∠FPN＝120°，∴平移后的抛物线的解析式为y＝－(x－m)2＋n.把x＝1代入y＝－(x－m)2＋n，得yN＝－(1－m)2＋n，∵点P(m，n)在y＝－(x－1)2＋4上，∴n＝－(m－1)2＋4.∴(m－1)2＝4－n.∴yN＝－(1－m)2＋n＝－4＋n＋n＝－4＋2n.∴N(1，－4＋2n).∵P(m，n)，N(1，－4＋2n)，F(1，4)，∴PF2＝(m－1)2＋(n－4)2，PN2＝(m－1)2＋[n－(－4＋2n)]2＝(m－1)2＋(n－4)2，则PF2＝PN2，即PF＝PN.∴△PFN是等腰三角形.∵∠FPN＝120°，∴∠FPH＝ ×120°＝60°.∵H(1，n)，∴tan∠FPH＝tan 60°＝ ＝ ＝ ，∴4－n＝ (m－1).令t＝m－1，∴4－n＝ t，即n＝－ t＋4.∵n＝－(m－1)2＋4，∴－ t＋4＝－t2＋4，即t2－ t＝0.∴t1＝0，t2＝ .∴m－1＝0，或m－1＝ .∴m＝1(舍去)或m＝ ＋1.∴P(1＋ ，1).∴平移后的抛物线解析式为y＝－(x－1－ )2＋1.令y＝0，则0＝－(x－1－ )2＋1，∴(x－1－ )2＝1，即x－1－ ＝±1.∴x1＝2＋ ，x2＝ .则｜x1－x2｜＝2＋ － ＝2，∴新抛物线与x轴存在两个不同的交点，这两个交点之间的距离为2.4. (2025·眉山)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c关于直线x＝－3对称，与x轴交于A(－1，0)， B两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c关于直线x＝－3对称，与x轴交于A(－1，0)，∴ 解得∴抛物线的解析式为y＝x2＋6x＋5.(2)点P为抛物线对称轴上一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转90°，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标；解：(2)由抛物线的对称轴为直线x＝－3，设P(－3，t)，如图1，过点P作KT∥x轴，过点B作BK⊥KT于点K，过点D作DT⊥KT于点T.在y＝x2＋6x＋5中，令y＝0，得0＝x2＋6x＋5，解得x1＝－1，x2＝－5.∴B(－5，0).∴KP＝－3－(－5)＝2.∵将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到DP，∴∠BPD＝90°，BP＝DP.∴∠BPK＝90°－∠DPT＝∠PDT.∵∠K＝∠T＝90°，∴△BPK≌△PDT(AAS).∴BK＝PT＝｜t｜，KP＝TD＝2.∴D(－3＋t，t－2).把D(－3＋t，t－2)代入y＝x2＋6x＋5，得t－2＝(－3＋t)2＋6(－3＋t)＋5，解得t1＝－1，t2＝2，∴此时点P的坐标为(－3，－1)或(－3，2).(3)在线段OC上是否存在点Q，使2AQ＋ CQ存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由.解：(3)在线段OC上存在点Q(0，1)，使2AQ＋ CQ存在最小值6 .二、面积问题5. (2025·长沙)我们约定：当x1，y1，x2，y2满足(x1＋y2)2＋(x2＋y1)2＝0，且x1＋y1≠0时，称点(x1，y1)与点(x2，y2)为一对“对偶点”.若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”.请你根据该约定，解答下列问题：(1)请你判断下列说法是否正确(在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”)；①函数y＝ (k是非零常数)的图象上存在无数对“对偶点”； √ ②函数y＝－2x＋1一定不是“对偶函数”； √ ③函数y＝x2＋x－1的图象上至少存在两对“对偶点”. × √ √ × (2)若关于x的一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2(b1，b2都是常数，且b1·b2＜0)均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和.解：(2)这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和S＝ ＋ .解：(3)设二次函数y＝2ax2－1上一对对偶点坐标分别为(x1，y1)，(－y1，－x1).由题意，得a≠0，且x1≠－y1时，有两式相减，得x1－y1＝ ，∴y1＝x1－ .(3)若关于x的二次函数y＝2ax2－1是“对偶函数”，求实数a的取值范围.代入①整理，得2a －x1＋ －1＝0.关于x1的一元二次方程2a －x1＋ －1＝0必有实数根.而Δ＝1－8a(－1)＝8a－3，当Δ＝0，即8a－3＝0时，a＝ ，由 －x1＋ ＝0可得x1＝ ，∴y1＝ ×()2－1＝－ .∴x1＋y1＝0，此时不符合题意，这种情况舍去.∴必有Δ＝8a－3＞0.解得a＞ .6. (2025·吉林)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2＋bx－1经过点(2，－1).点P在此抛物线上.其横坐标为m；连接PO并延长至点Q，使OQ＝2PO. 当点P不在坐标轴上时，过点P作x轴的垂线，过点Q作y轴的垂线，这两条垂线交于点M.(1)求此抛物线对应的函数解析式.解：(1)将(2，－1)代入y＝x2＋bx－1，得－1＝4＋2b－1，解得b＝－2，∴此抛物线对应的函数解析式为y＝x2－2x－1.(2)△PQM被y轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变，如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由.解：(2)面积比保持不变，为 .(3)当△PQM的边MQ经过此抛物线的最低点时，求点Q的坐标.解：(3)如图1，QM经过最低点，即经过顶点，该抛物线的顶点横坐标为－ ＝1，纵坐标为 ＝－2，该抛物线的顶点坐标为(1，－2)，∵∠PNO＝∠ODQ＝90°，∠NPO＝∠DOQ，∴△PON∽△OQD，且相似比为 ＝ .根据顶点纵坐标可得，OD＝2，则 ＝ ，即 ＝ ，解得m＝1± .①当m＝1－ 时，如图2，此时｜xQ｜＝2｜xP｜＝2 －2，点Q在第四象限，∴Q(2 －2，－2).②如图3.当m＝1＋ 时，此时点P在第一象限，点Q在第三象限，此时｜xQ｜＝2｜xP｜＝2 ＋2，∴Q(－2 －2，－2).综上，Q(2 －2，－2)或Q(－2 －2，－2).(4)当此抛物线在△PQM内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围.解：(4)m≤－1或－ ≤m＜1－ 或＜m＜1＋ .7. (2025·苏州)如图，二次函数y＝－x2＋2x＋3的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，作直线BC，M(m，y1)，N(m＋2，y2)为二次函数y＝－x2＋2x＋3图象上两点.(1)求直线BC对应函数的表达式；解：(1)令x＝0，则y＝3，可得C的坐标为(0，3).令y＝0，则－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3.∴点B的坐标为(3，0).设直线BC的表达式为y＝kx＋b，∴ 解得∴直线BC对应函数的表达式为y＝－x＋3.(2)试判断是否存在实数m使得y1＋2y2＝10.若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；解：(2)不存在实数m使得y1＋2y2＝10.理由如下：方法一：把M(m，y1)，N(m＋2，y2)代入二次函数y＝－x2＋2x＋3中，可得y1＝－m2＋2m＋3，y2＝－(m＋2)2＋2(m＋2)＋3＝－m2－2m＋3，∴y1＋2y2＝－m2＋2m＋3＋2(－m2－2m＋3)＝－3m2－2m＋9，配方，得y1＋2y2＝－3 ＋9 .∴当m＝－ 时，y1＋2y2的最大值为9 ≠10.∴不存在实数m使得y1＋2y2＝10.方法二：由方法一，得y1＋2y2＝－3m2－2m＋9.当y1＋2y2＝10时，即－3m2－2m＋9＝10，整理可得3m2＋2m＋1＝0.∵Δ＝4－12＝－8＜0，∴方程没有实数根.∴不存在实数m使得y1＋2y2＝10.(3)已知P是二次函数y＝－x2＋2x＋3图象上一点(不与点M，N重合)，且点P的横坐标为1－m，作△MNP. 若直线BC与线段MN，MP分别交于点D，E，且△MDE与△MNP的面积的比为1∶4，请直接写出所有满足条件的m的值.解：(3)m＝ 或m＝ .8. (2025·甘谷县校级一模)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋2(a≠0)与x轴交于A(－4，0)，B两点，与y轴交于点C，经过点A的直线与抛物线交于点D，与y轴交于点E，顶点坐标为(－ ， ).(1)求抛物线y＝ax2＋bx＋2的表达式；解：(1)设y＝a(x＋ )2＋ ，将点A(－4，0)代入，得a(－4＋ )2＋ ＝0.解得a＝－ ，∴抛物线y＝ax2＋bx＋2的表达式为y＝－ (x＋ )2＋ ＝－ x2－ x＋2.解：(2)当x＝－3时，y＝2，x＝p时，y＝－ p2－ p＋2，当－3＜p≤－ 时，－ p2－ p＋2－2＝ ，解得p＝－ ；当－ ＜p≤0时， －2＝ .∴p的取值范围是－ ≤p≤0.(2)当－3≤x≤p(p≤0)时，函数最大值与最小值的差为 ，求p的取值范围；(3)如图2，连接BE，已知△AEB的面积为10.①求点D的坐标；②若M是线段OA上的一动点，N是线段AE上的一动点，且AM＝EN，求EM＋ON的最小值.解：(3)①当y＝0时，－ x2－ x＋2＝0，解得x＝－4或x＝1，∴B(1，0).∴AB＝5.∴ ×5×yE＝10.解得yE＝4，∴E(0，4).∴直线AE的解析式为y＝x＋4.当x＋4＝－ x2－ x＋2时，解得x＝－1或x＝－4(不符合题意，舍去)，∴D(－1，3).②如图2，过点A作AF⊥AE，使AF＝OE＝4，连接MF.∵∠AEO＋∠EAO＝90°，∠EAO＋∠OAF＝90°，∴∠OAF＝∠AEO.∵EN＝AM，EO＝AF，∴△EON≌△AFM(SAS).∴ON＝FM. ∴ME＋ON＝ME＋FM≥EF.当E，M，F三点共线时，ME＋ON有最小值为EF，在Rt△AEF中，AE＝4 ，AF＝4，∴EF＝4 .∴ME＋ON的最小值为4 .三、存在性问题9. (2025·青海)在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)与x轴交于A，B两点，点B的坐标为(1，0)，点C(2，5)在抛物线上.(1)求抛物线的解析式；解：(1)将B(1，0)，C(2，5)代入y＝ax2＋bx－3(a≠0)得，解得∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3.(2)①求点A的坐标；②当y＜0时，根据图象直接写出x的取值范围 －3＜x＜1 ；解：(2)①令y＝0，则x2＋2x－3＝0，解得x＝－3或x＝1，∴点A的坐标为(－3，0).－3＜x＜1 (3)连接AC交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由.解：(3)存在.P1(0，7)，P2(0，－3).10. (2025·绥化)综合与探究如图，抛物线y＝ax2＋bx－5交x轴于A，B两点，交y轴于点C. 直线y＝kx－5经过B，C两点，若点A(1，0)，B(－5，0)，点P是抛物线上的一个动点(不与点A，B重合).(1)求抛物线的函数解析式；解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx－5交x轴于A(1，0)，B(－5，0)两点，∴ 解得∴抛物线的函数解析式为y＝x2＋4x－5.(2)过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，当PE＝3ED时，求P点坐标；解：(2)P点坐标为P1(－3，－8)，P2(3，16).解：(3)存在.点P坐标为(－1，－8)或(－2，9)或(2，7).(3)若点F是直线BC上的一个动点，请判断在点B右侧的抛物线上是否存在点P，使△AFP是以PF为斜边的等腰直角三角形.若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.11. (2025·凉山州)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－3)三点.(1)求抛物线的解析式；解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－3)三点，∴∴∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3.(2)点P在直线AC下方的抛物线上运动，求点P到直线AC的最大距离；解：(2)设直线AC的解析式为y＝kx＋b1(k≠0)，∵A(－3，0)，C(0，－3)，∴ ∴∴直线AC的解析式为y＝－x－ 3.如图，过点P作PE∥y轴交AC于点E，连接AP，CP，设P(p，p2＋2p－3)(－3＜p＜0)，则E(p，－p－3)，∴PE＝－p－3－(p2＋2p－3)＝－p2－3p＝－(p＋ )2＋ .∵S△ACP＝S△APE＋S△CPE，∴S△ACP＝ PE·(xE－xA)＋ PE·(xC－xE)＝ PE·(xC－xA)＝ PE·[0－(－3)]＝ PE.∴当PE有最大值时，S△ACP有最大值.∵PE＝－(p＋ )2＋ ，－1＜0，－3＜p＜0，∴当p＋ ＝0，即p＝－ 时，PE有最大值，最大值为 .∴S△ACP的最大值为 × ＝ .∵A(－3，0)，C(0，－3)，∴OA＝OC＝3，∠AOC＝90°.∴AC＝ ＝3 .设点P到直线AC的距离为h，∴S△ACP＝ AC·h＝ h.∴h＝ S△ACP.∵当S△ACP有最大值时，h有最大值，∴h的最大值为 × ＝ .∴点P到直线AC的最大距离为 .(3)动点Q在抛物线的对称轴上，作射线QA，若射线QA绕点Q逆时针旋转90°与抛物线交于点D，是否存在点Q使AQ＝QD？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.解：(3)存在.点Q坐标为(－1，－1)或(－1，2).12. (2025·资阳)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴相交于点C(0，－3)，且抛物线的顶点坐标为(1，－4).(1)求抛物线的表达式；解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(1，－4)，∴设y＝a(x－1)2－4.把C(0，－3)代入，得－3＝a－4，解得a＝1，∴抛物线的表达式为y＝(x－1)2－4＝x2－2x－3.(2)P是抛物线上位于第四象限的一点，点D(0，－1)，连接BC，DP相交于点E，连接PB. 若△CDE与△PBE的面积相等，求点P的坐标；解：(2)设P(t，t2－2t－3)，连接OP，如图1.∵ ＝ ，∴ ＋ ＝ ＋ ，即 ＝ ＝ ＋ .∴ ×3×3＝ ×3×(－t2＋2t＋3)＋ ×1×t.解得t1＝0(舍去)，t2＝ ，∴P(，－ ).(3)M，N是抛物线上的两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为G，H. 是否存在点M，N，使得以M，N，G，H为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由.解：(3)满足条件的点M，N存在.理由如下：①若点M，N分别在直线BC的两侧，不妨令点M在直线BC上方，点N在直线BC下方，如图2.可知∠MGH＝90°，则∠MGN＝∠MGH＋∠HGN＞90°，不符合题意；②若点M，N在直线BC的下方，不妨设点M在点H的下方，如图3，∵B(3，0)，C(0，－3)，∴直线BC的解析式为y＝x－3，连接MH，GN，则△MGN是等腰直角三角形，∠HGN＝45°.∴GN⊥y轴，MH⊥x轴.设点M坐标为(m，m2－2m－3)，其中0＜m＜3，则点H坐标为(m，m－3)，根据正方形的性质，得点N的坐标为(， )，将点N的坐标代入抛物线表达式y＝x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)，得(－3)(＋1)＝ ，即(m2－5m＋6)(m2－5m－2)＝2(m2－m－6)，化简得(m－2)(m－3)(m2－5m－2)＝2(m－3)(m＋2)，∵0＜m＜3，∴(m－2)(m2－5m－2)＝2(m＋2).整理得m2－7m＋6＝0，解得m1＝1，m2＝6(舍去).此时，MH＝2，正方形边长为 ；③若点M，N在直线BC的上方，不妨设点M在点H上方，如图4，设点M(m，m2－2m－3)，其中m＜0或m＞3，根据正方形性质，点N坐标为(， )，将点N的坐标代入抛物线的表达式y＝x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)，同理可得m1＝1(舍去)，m2＝6，此时，MH＝18，正方形的边长为9 .综上所述，正方形的边长为 或9 .(共44张PPT)题型十 几何综合探究第二部分 重点题型突破 类比拓展探究作为中考几何综合题的核心呈现方式，省卷与兰州卷近五年均年年必考，以“简单模型—类比迁移—拓展推广”为命题主线：命题者先在具体情境中给出基本图形，要求考生借助三角形与四边形的性质以及折叠、旋转等几何变换完成初始结论；随后通过类比将方法迁移至相似结构，最终在拓展环节对已有结论进行一般化推广.解题时唯有同步夯实图形性质与变换规律，并深刻洞察情境模型的本质意义，实现“性质—变换—模型”三位一体的融合，方能完成由特殊到一般的完整探究.类型一 类比、拓展1. (2025·贵州)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P为线段AC上一动点，点E为射线BP上的一点(点E与点B不重合).【问题解决】(1)如图1，若点P与线段AC的中点O重合，则∠PBC＝ 30 度，线段BP与线段AC的位置关系是 BP⊥AC ；30 BP⊥AC 【问题探究】(2)如图2，在点P运动过程中，点E在线段BP上，且∠AEP＝30°，∠PEC＝60°，探究线段BE与线段EC的数量关系，并说明理由；解：(2)CE＝2BE.理由：如图2，把△ABE绕B顺时针旋转60°得到△CBQ，∴BE＝BQ，∠EBQ＝∠ABC＝60°，∠AEB＝∠CQB.∴△BEQ为等边三角形.∴∠BEQ＝60°＝∠BQE，BE＝EQ.∵点E在线段BP上，且∠AEP＝30°，∠PEC＝60°，∴∠AEB＝150°，∠BEC＝180°－60°＝120°.∴∠BEQ＝∠CEQ＝60°，∠AEB＝∠CQB＝150°.∴∠EQC＝150°－60°＝90°.∴∠ECQ＝90°－60°＝30°.∴CE＝2EQ＝2BE.【拓展延伸】(3)在点P运动过程中，将线段BE绕点E逆时针旋转120°得到EF，射线EF交射线BC于点G，若BE＝2FG，AB＝5，求AP的长.解：(3)AP的长为2或 .2. (2025·南充)矩形ABCD中，AB＝10，AD＝17，点E是线段BC上异于点B的一个动点，连接AE，把△ABE沿直线AE折叠，使点B落在点P处.【初步感知】(1)如图1，当E为BC的中点时，延长AP交CD于点F，求证：FP＝FC；解：(1)证明：如图1，连接EF.由折叠性质，得∠APE＝∠B＝90°，PE＝BE.∵四边形ABCD为矩形，∴∠C＝90°.∵E为BC的中点，∴BE＝EC. ∴PE＝EC.在Rt△EPF与Rt△ECF中，∴Rt△EPF≌Rt△ECF(HL).∴FP＝FC.【深入探究】(2)如图2，点M在线段CD上，CM＝4.点E在移动过程中，求PM的最小值；解：(2)∵AP＝AB＝10，点E在移动过程中，AP＝10不变.∴点P在以A为圆心，10为半径的☉A的弧上.连接AM，如图2，当点P在线段AM上时，PM有最小值.∵AD＝17，AB＝CD＝10，CM＝4，∴DM＝6.∴AM＝ ＝ ＝ ＝5 .∴PM的最小值为AM－AP＝5 －10.【拓展运用】(3)如图2，点N在线段AD上，AN＝4.点E在移动过程中，点P在矩形内部，当△PDN是以DN为斜边的直角三角形时，求BE的长.解：(3)BE的长为5.3. (2025·齐齐哈尔)综合与实践在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”.(1)【几何直观】如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，在△ABC内部取一点D，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AD'，连接BD，CD'，则CD'与BD的数量关系是 相等(或CD'＝BD) ；∠AD'C与∠ADB的数量关系是 相等( 或∠ AD'C＝；相等(或CD'＝BD) 相等(或∠AD'C＝∠ADB) (2)【类比推理】如图2，在正方形ABCD内部取一点E，使∠CED＝90°，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE'，连接E'B，延长E'B交DE的延长线于点F，求证：四边形CEFE'是正方形；解：证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB＝90°，BC＝DC.∵CE绕点C逆时针旋转90°得到CE'，∴∠ECE'＝90°，CE＝CE'.∵∠DCB＝∠ECE'＝90°，∴∠DCB－∠BCE＝∠ECE'－∠BCE.即∠DCE＝∠BCE'.∴△BCE'≌△DCE(SAS).∴∠BE'C＝∠DEC＝90°.∵∠CED＋∠CEF＝180°，∴∠CEF＝90°.∴∠BE'C＝∠ECE'＝∠CEF＝90°.∴四边形CEFE'是矩形.又∵CE＝CE'，∴四边形CEFE'是正方形.(3)【深度探究】如图3，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，在其内部取一点E，使∠CED＝90°，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE'，延长CE'至点G，使 ＝ ，连接GB，延长GB交DE的延长线于点F，连接AF，若AF＝2，则BF＝ － ；－ (4)【拓展延伸】在矩形ABCD中，点E为BC边上的一点，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AE'，连接DE'，若AD＝3 ，AB＝ ，则DE'的最小值为 . 4. (2025·河北)综合与实践【情境】要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板(如图1)，需找到合适的切割线.【模型】已知矩形ABCD(数据如图2所示).作一条直线MN，使MN与BC所夹的锐角为45°，且将矩形ABCD分成周长相等的两部分.【操作】嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题.如图3，嘉嘉的思路如下： ①连接AC，BD交于点O； ②过点O作EF⊥BC，分别交BC，AD于点E，F； …… 如图4，淇淇的方法如下：①在边BC上截取BG＝AB，连接AG；②作线段GC的垂直平分线l，交BC于点M；③在边AD上截取AN＝GM，作直线MN.【探究】根据以上描述，解决下列问题.(1)图2中，矩形ABCD的周长为 10 ；10 解：(2)如图3，以点E为圆心EO为半径画弧，交BC于点M，延长MO交AD于点N，线段MN即为所求.∵EF⊥BC，∴∠BEF＝90°.∵EM＝EO，∴△EOM是等腰直角三角形.∴∠OME＝45°.∵矩形ABCD的对角线交于点O，∴AO＝CO. ∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC.∴∠OAN＝∠OCM.(2)在图3的基础上，用尺规作图作出直线MN(作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法)；在△AON和△COM中，∴△AON≌△COM(ASA).∴AN＝CM. ∴DN＝BM.∴AN＋AB＋BM＝CM＋CD＋DN. ∴直线MN把矩形ABCD分成周长相等的两部分.(3)根据淇淇的作图过程，请说明图4中的直线MN符合要求.【拓展】操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题.解：(3)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC. ∵BG＝AB，∴∠AGB＝45°.∵AN＝MG，∴四边形AGMN是平行四边形.∴MN∥AG. ∴∠NMG＝∠AGB＝45°.∵直线l是GC的垂直平分线，∴GM＝CM. ∴GM＝CM＝AN.∴BM＝BC－CM，DN＝AD－AN. ∴BM＝DN. ∴AN＋AB＋BM＝CM＋CD＋DN.∴直线MN把矩形ABCD分成了周长相等的两部分.∴直线MN符合要求.(4)如图5，若直线PQ将矩形ABCD分成周长相等的两部分，分别交边AD，BC于点P，Q，过点B作BH⊥PQ于点H，连接CH.①当∠PQC＝45°时，求tan ∠BCH的值；②当∠BCH最大时，直接写出CH的长.解：(4)①如图5，过点H作HG⊥BC，连接AC交PQ于点O，过点P作PK⊥BC于点K，过点O作OT⊥BC于点T.∵四边形ABCD是矩形，且直线PQ将矩形ABCD分成周长相等的两部分，则点O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，∴点O是AC的中点.∴BT＝CT＝ BC＝2.∴AP＝CQ，PD＝BQ，AB＝DC＝PK＝1.∵∠PQC＝45°，∴△PQK是等腰直角三角形.∴PK＝QK＝ 1.∴PQ＝＝ ＝ .∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC. ∴∠APQ＝∠CQP＝45°.在△AOP和△COQ中，∴△AOP≌△COQ(AAS).∴PO＝QO＝ ，OT＝QT＝ .∴CQ＝CT＋QT＝2＋ ＝ .∴BQ＝BC－CQ＝4－ ＝ ，∠BQH＝∠PQC＝45°.∵BH⊥PQ于点H，∴∠BHQ＝90°.∴△BHQ是等腰直角三角形，∴HG＝GQ＝ BQ＝ × ＝ ，CG＝CQ＋GQ＝ ＋ ＝.∴tan∠BCH＝ ＝ ＝ .②2 .类型二 平移、旋转、折叠1. (2025·深圳)综合与探究【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形.【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”.如图2，在△ABC中，AB＝AC，AC＝AD，∠D＝∠BAC. 此时，四边形ABCD是“双等四边形”，△ABC是“伴随三角形”.【问题解决】如图3，在四边形ABCD中，AB＝AC，AD＝CD，∠D＝∠BAC. 求：①AD与BC的位置关系为 平行 ；②AC2 ＝ AD·BC. (填“＞”“＜”或“＝”)【方法应用】①如图4，在△ABC中，AC＝BC. 将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE，点D恰好落在BC边上，求证：四边形ABDE是双等四边形.平行 ＝ ②如图5，在等腰三角形ABC中，AC＝BC， cos B＝ ，AB＝5，在平面内找一点D，使四边形ABCD是以△ABC为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出CD的长，若不存在，请说明理由.解：【方法应用】①证明略.四边形ABDE是双等四边形.②存在点D使四边形ABCD是以△ABC为伴随三角形的双等四边形.理由略.CD的长为 或 或 .2. (2025·眉山)综合与实践【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程.【操作实践】如图1，将矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点B落在AD边上的点B'处，折痕交AB于点E，再沿着过点B'的直线折叠，使点D落在B'C边上的点D'处，折痕交CD于点F. 将纸片展平，画出对应点B'，D'及折痕CE，B'F，连接B'E，B'C，D'F.【初步猜想】(1)确定CE和B'F的位置关系及线段BE和CF的数量关系.创新小组经过探究，发现CE∥B'F，证明过程如下：由折叠可知∠DB'F＝∠CB'F＝ ∠DB'C，∠ECB'＝∠ECB＝∠BCB'.由矩形的性质，可知AD∥BC，∴∠DB'C＝∠BCB'.∴① ∠FB'C＝∠ECB' .∴CE∥B'F.智慧小组先测量BE和CF的长度，猜想其关系为② BE＝CF .经过探究，发现验证BE和CF数量关系的方法不唯一：方法一：证明△AB'E≌△D'CF，得到B'E＝CF，再由B'E＝BE可得结论.方法二：过点B'作AB的平行线交CE于点G，构造平行四边形CFB'G，然后证B'G＝B'E可得结论.请补充上述过程中横线上的内容.∠FB'C＝∠ECB' BE＝CF 【推理证明】(2)请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证BE和CF的数量关系，写出证明过程.【尝试运用】(3)如图2，在矩形ABCD中，AB＝6，按上述操作折叠并展开后，过点B'作B'G∥AB交CE于点G，连接D'G，当△B'D'G为直角三角形时，求出BE的长.解：(2)证明过程略.BE＝B'E＝B'G＝CF.解：(3)BE的长为3 －3或4.3. (2025·吉林)【问题背景】在学行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为60°的平行四边形的折叠问题.其探究过程如下：【探究发现】如图1，在 ABCD中，∠A＝60°，AB＞AD，E为边AD的中点，点F在边DC上，且DF＝DE，连接EF，将△DEF沿EF翻折得到△GEF，点D的对称点为点G. 小组成员发现四边形DEGF是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由.解：【探究发现】四边形DEGF是菱形.【探究证明】取图1中的边BC的中点M，点N在边AB上，且BN＝BM，连接MN，将△BMN沿MN翻折得到△HMN，点B的对称点为点H，连接FH，GN，如图2，求证：四边形GFHN是平行四边形.解：【探究证明】证明：如图2.∵将△BMN沿MN翻折得到△HMN，∴BN＝HN，BM＝HM.∵BN＝BM，∴HN＝BN＝BM＝HM.∴四边形BMHN是菱形.∴NH∥BC.∵E为边AD的中点，M为边BC的中点，∴DE＝ AD，BM＝ BC.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.∴DE＝BM，AD∥NH.∵四边形DEGF是菱形，∴DE＝FG，FG∥AD.∴FG＝DE＝BM＝HN，FG∥NH.∴四边形GFHN是平行四边形.【探究提升】在图2中，四边形GFHN能否成为轴对称图形.如果能，直接写出 的值；如果不能，说明理由.解：【探究提升】四边形GFHN能成为轴对称图形， 的值为 或 .4. (2025·山西)综合与探究【问题情境】如图1，在△ABC纸片中，AB＞BC，点D在边AB上，AD＞BD. 沿过点D的直线折叠该纸片，使DB的对应线段DB'与BC平行，且折痕与边BC交于点E，得到△DB'E，然后展平.【猜想证明】(1)判断四边形BDB'E的形状，并说明理由；解：(1)四边形BDB'E是菱形.理由如下：由折叠的性质，得BD＝B'D，BE＝B'E，∠B'DE＝∠BDE，∵B'D∥BC，∴∠B'DE＝∠BED. ∴∠BDE＝∠BED. ∴BD＝BE.∴BE＝BD＝B'D＝B'E. ∴四边形BDB'E是菱形.【拓展延伸】(2)如图2，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点A'落在射线DB'上，且折痕与边AC交于点F，然后展平.连接A'E交边AC于点G，连接A'F.①若AD＝2BD，判断DE与A'E的位置关系，并说明理由；②若∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，当△A'FG是以A'F为腰的等腰三角形时，请直接写出A'F的长.解：(2)①DE⊥A'E. 理由如下：由(1)知四边形BDB'E是菱形，∴BD＝B'E＝B'D.由折叠的性质，得AD＝A'D.∵AD＝2BD，∴A'D＝2BD＝2B'D＝2B'E.∴B'D＝A'B'＝B'E.∴∠B'DE＝∠DEB'，∠B'EA'＝∠B'A'E.∵∠B'DE＋∠DEB'＋∠B'EA'＋∠B'A'E＝180°，∴∠DEB'＋∠B'EA'＝90°.∴DE⊥A’E.②A'F的长为5或 .(共20张PPT)题型八 圆的证明与计算第二部分 重点题型突破 与圆的切线相关的解答题为甘肃省中考高频考点：省卷、兰州卷近五年均连续出现，考查频次为“五年五考”.命题以综合解答题为主，核心考查切线的判定定理与性质定理.题目常融合等腰三角形性质、直角三角形边角关系、四边形(特别是菱形、正方形等)的判定与性质等知识进行综合设问，要求考生能够预判图形结构、合理添加辅助线，并通过“证切线—用切线—求量”三步逻辑链完成论证与计算.唯有夯实切线定理体系、贯通相关几何知识，方能在该考点稳获高分.类型一 与圆的基本性质相关的计算1. (2025·宜宾)如图，AB是☉O的弦，半径OC⊥AB于点D. 若AB＝8，OC＝5，则OD的长是 ( A )A. 3 B. 2 C. 6 D.A2. (2025·凉山州)如图，△ABC内接于☉O，∠B＝65°，∠C＝70°，若BC＝2 ，则 的长为 π .π 3. (2025·肃南县校级一模)如图，☉O是正五边形ABCDE的内切圆，分别切AB，CD于点M，N，P是优弧MPN上的一点，则∠MPN的度数为 72 °.72 4. (2025·资阳)如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝2，连接AC，AE，以点D为圆心、CD的长为半径作圆弧CE，则图中阴影部分的面积是 4 － .4 － 类型二 与切线相关的证明与计算1. (2025·资阳)如图，☉O是△ABC的外接圆，AB是☉O的直径，∠BAC的平分线交☉O于点D，过点D作BC的平行线交AC的延长线于点E.(1)求证：DE是☉O的切线；解：(1)证明：如图，连接OD，则OD＝OA，∴∠ODA＝∠BAD.∵∠BAC的平分线交☉O于点D，∴∠CAD＝∠BAD.∴∠ODA＝∠CAD. ∴OD∥AC.∵AB是☉O的直径，DE∥BC，∴∠E＝∠ACB＝90°.∴∠ODE＝180°－∠E＝90°.∵OD是☉O的半径，且DE⊥OD，∴DE是☉O的切线.(2)若∠BAC＝60°，CE＝ ，求☉O的半径.解：(2)如图，设OD交BC于点F，连接DB.∵∠ACB＝90°，∴∠FCE＝90°.∵∠FDE＝∠E＝90°，∴四边形CEDF是矩形.∴DF＝CE＝ ，∠CFD＝90°.∵OD∥AC，∴∠BOD＝∠BAC＝60°.∵OD＝OB，∴△DOB是等边三角形.∵BC⊥OD于点F，∴OF＝DF.∴OD＝2DF＝2 .∴☉O的半径是2 .2. (2025·北京)如图，过点P作☉O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OB，OP，取OP的中点C，连接AC并延长，交☉O于点D，连接BD.(1)求证：∠ADB＝∠AOP；解：(1)证明：∵AP，BP分别切☉O于A点，B点，∴OP平分∠APB，即∠APO＝∠BPO.∵∠AOP＝180°－90°－∠APO，∠BOP＝180°－90°－∠BPO，∴∠AOP＝∠BOP＝ ∠AOB.∵∠ADB＝ ∠AOB. ∴∠ADB＝∠AOP.(2)延长OP交DB的延长线于点E. 若AP＝10，tan ∠AOP＝ ，求DE的长.解：(2)如图，延长AO交☉O于点F，连接DF，则∠ADF＝90°，∵AP，BP分别切☉O于A点，B点，∴PA⊥OA.∵C为OP的中点，∴PC＝OC. ∴AC＝OC＝ OP.又∵AP＝10，tan∠AOP＝ ，∴AO＝ ＝20，∴AF＝2AO＝40.∴OP＝ ＝ ＝10 .∴AC＝OC＝ OP＝5 .∵AC＝OC，∴∠CAO＝∠AOC.又∵∠PAO＝∠ADF＝90°，∴△PAO∽△FDA.∴ ＝ .∴DA＝ ×40＝16 ，∴CD＝DA－AC＝11 .由(1)知∠ADB＝∠AOP.∵∠ACO＝∠ECD，∴△ACO∽△ECD. ∴ ＝ .∴DE＝ ×20＝44.3. (2025·威海)如图，PA是☉O的切线，点A为切点.点B为☉O上一点，射线PB，AO交于点C，连接AB，点D在AB上，过点D作DF⊥AB，交AP于点F，作DE⊥BP，垂足为点E. AD＝BE，BD＝AF.(1)求证：PB是☉O的切线；解：(1)证明：如图，连接OB.∵DF⊥AB，DE⊥BP，∴∠ADF＝∠BED＝90°.在Rt△BDE与Rt△AFD中， ∴Rt△BDE≌Rt△AFD(HL).∴∠DBE＝∠FAD.∵PA是☉O的切线，点A为切点，∴∠CAP＝90°.∴∠CAB＋∠PAB＝90°.∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA. ∴∠OBA＋∠ABE＝90°.∴∠OBE＝90°.∵OB是☉O的半径，∴PB是☉O的切线.(2)若AP＝4， sin ∠C＝ ，求☉O的半径.解：(2)∵∠CAP＝90°，AP＝4， sin ∠C＝ ＝ ，∴PC＝6.∴AC＝ ＝2 .∵∠CBO＝∠CAP＝90°，∠C＝∠C，∴△CBO∽△CAP.∴ ＝ .∴ ＝ .∴OB＝ ，即☉O的半径为 .4. (2025·宜宾)如图，已知AE是☉O的直径，D是☉O上一点.过D作直线DB与AE的延长线交于B点.过点A作AC⊥BD于C点，连接AD，DE，且∠AED＝∠ADC.(1)求证：直线BC是☉O的切线；解：(1)证明：如图1，连接OD，则OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED.∵∠AED＝∠ADC，∴∠ODE＝∠ADC.∵AE是☉O的直径，∠ADE＝90°，∴∠ODC＝∠ADC＋∠ODA＝∠ODE＋∠ODA＝90°.∵OD是☉O的半径，∴直线BC是☉O的切线.(2)若AE＝10，tan ∠CAD＝ ，求DE与BD的长度；解：(2)BD＝ .(3)在(2)的条件下，若F为 上的一动点，且F在直线AB上方，连接AF，DF，EF. 当四边形ADEF面积最大时，求DF的长度.解：(3)DF＝7 .(共7张PPT)题型十一 平面直角坐标系下的新定义第二部分 重点题型突破1. (2025·兰州)在平面直角坐标系xOy中，对于图W上或内部有一点N(不与原点O重合)，及平面内一点P，给出如下定义：若点P关于直线ON的对称点P'在图W上或内部，则称点P是图W的“映射点”.(1)如图1，已知图W1：线段AB，A(－1，－1)，B(1，－1).在P1(－1，0)，P2(1，2)中， P1(－1，0) 是图W1的“映射点”；P1(－1，0) (2)如图2，已知图W2：正方形ABCD，A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1，1)，D(－1，1).若直线l：y＝x＋b上存在点P是图W2的“映射点”，求b的最大值；解：(2)依题意，正方形的顶点到O的距离为 ＝ ，∴当l：y＝x＋b上存在点P是图W2的“映射点”，则点O到y＝x＋b的距离为 .∴当y＝x＋b经过点D时，b的值最大.将D(－1，1)代入y＝x＋b得，1＝－1＋b，解得b＝2，∴b的最大值2.(3)如图3，已知图W3：☉T，圆心为T(0，t)，半径为1.若x轴上存在点P是图W3的“映射点”，请直接写出t的取值范围.解：(3)t的取值范围为－2≤t≤2.2. (2025·北京)在平面直角坐标系xOy中，对于点A和☉C给出如下定义：若☉C上存在两个不同的点M，N，对于☉C上任意满足AP＝AQ的两个不同的点P，Q，都有∠PAQ≤∠MAN，则称点A是☉C的关联点，称∠MAN的大小为点A与☉C的关联角度.(本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角)(1)如图，☉O的半径为1.①在点A1(，0)，A2(，0)，A3(2，0)中，点 A3 是☉O的关联点且其与☉O的关联角度小于90°，该点与☉O的关联角度为 60 ；②点B(1，m)在第一象限，若对于任意长度小于1的线段BD，BD上所有的点都是☉O的关联点，则m的最小值为 ；A3 60 (2)已知点E(1，3)，F(4，3)，T(t，0)，☉T经过原点，线段EF上所有的点都是☉T的关联点，记这些点与☉T的关联角度的最大值为α.若90°≤α≤180°，直接写出t的取值范围.解：t的取值范围是 ≤t＜3或t＞5或t≤－1－ .(共18张PPT)题型五 概率第二部分 重点题型突破 概率为甘肃省中考必考高频考点：省卷与兰州卷近五年均连续考查，无一缺考.其中，省卷惯以解答题形式呈现，注重过程书写；兰州卷则以选择题、填空题为主，强调快速判断.解题核心在于精准理解题意、熟练运用基本概率公式、灵活采用列表法或画树状图法确保不重不漏.类型一 概率公式1. (2025·北京)一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是( A )A. B. C. D.A2. (2025·湖南)某校开展了五类社团活动：舞蹈、篮球、口风琴、摄影、戏剧，现从中随机抽取一类社团活动进行展示，则抽中戏剧类社团活动的概率是( D )A. B. C. D.D3. (2025·贵州)某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表，则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为( B )抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000“正面朝上” 的次数m 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750“正面朝上” 的频率 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.55 0.55 0.55A. 0.52 B. 0.55 C. 0.58 D. 0.63B4. (2025·南充)不透明的袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，随机从袋子中摸出一个球，恰好为白球的概率是 .5. (2025·资阳)一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.抛掷这枚骰子，则朝上一面所标的数字为奇数的概率为 . 6. (2025·湖北)窗，让人足不出户便能将室外天地尽收眼底.如图，“步步锦”“龟背锦”“灯笼锦”是我国传统的窗格构造方式，从这三种方式中随机选出一种制作窗格，选中“步步锦”的概率是 . 类型二 用树状图、列表法求概率1. (2025·凉州区三模)一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机摸出两个小球，则摸出的两个小球的标号正好为一个奇数一个偶数的概率是( B )A. B. C. D.2. (2025·广西)从3，4，5三个数字中任选两个，则选出的两个数字之和是偶数的概率为 .B 3. (2025·浙江)现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，4，5的卡片在甲手中，标有数字2，3，6的卡片在乙手中.两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是 .4. (2025·扬州)为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A. 羽毛球，B. 乒乓球，C. 花样跳绳，D. 踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动.(1)若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是 ； (2)请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率.解：树状图如下所示：由上可得，一共有16种等可能的结果，其中小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的结果有4种，∴P(小明和小聪随机选择选到同一种体育活动)＝ ＝ .5. (2025·江西)校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动.每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废.(1)若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是 B ；A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件B (2)若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率.解：设写有“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”的卡片分别用A，B，C，D表示，树状图如下所示：由上可得，一共有12种等可能的结果，其中两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的结果有2种，∴P(两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒)＝ ＝ .6. (2025·云南)九年级某班学生计划到甲，乙两个敬老院开展献爱心活动，老师把该班学生分成A，B两个小组，通过游戏方式确定去哪个敬老院.游戏规则如下：在一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2的两张卡片(除数字外，都相同)，班长先从这个箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为x.在另一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2，3的三张卡片(除数字外，都相同)，班长再从该箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为y.若x＝y，则A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院；若x≠y，则A组学生到乙敬老院，B组学生到甲敬老院.(1)用列表法或画树状图法中的一种方法，求(x，y)所有可能出现的结果总数；解：(1)画树状图如图.共有6种等可能的结果总数，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3).(2)求A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率P.解：(2)由(1)可知，共有6种等可能的结果，其中A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院开展献爱心活动的结果有2种，即(1，1)，(2，2)，∴P(A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院开展献爱心活动)＝ ＝ .7. (2025·连云港)一只不透明的袋子中装有1个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同.(1)搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是 ； (2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球.用画树状图或列表的方法，求2次都摸到白球的概率.解：列表如下：红 白 白 白红 (红，红) (红，白) (红，白) (红，白)白 (白，红) (白，白) (白，白) (白，白)白 (白，红) (白，白) (白，白) (白，白)白 (白，红) (白，白) (白，白) (白，白)共有16种等可能的结果，其中2次都摸到白球的结果有9种，∴P(2次都摸到白球)＝ .(共28张PPT)题型七 解直角三角形的应用第二部分 重点题型突破 解直角三角形为甘肃省中考必考点：省卷、兰州卷近五年均每年必现，无一缺考.题型均为解答题，分值稳定.解题关键，首先是要准确理解锐角三角函数(正弦、余弦、正切)的意义；其次是熟练运用“知二求三”原则，借助三角函数、勾股定理与面积公式，完成边角互求.唯有概念清、公式熟、运算准，方可在该考点稳夺满分.类型一 母子型及拓展1. (2025·天津)综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑AB的高度(如图1).某学习小组设计了一个方案：如图2所示，点A，E，C依次在同一条水平直线上，CD⊥AC，EF⊥AC，且CD＝EF＝1.7 m.在D处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为22°，在F处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为31°，CE＝32 m.根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑AB的高度(结果取整数).参考数据：tan 22°≈0.4，tan 31°≈0.6.解：如图2，延长DF与AB相交于点G.根据题意，得四边形GAEF和四边形FECD是矩形，∠GDB＝22°，∠GFB＝31°，∠DGB＝90°，∴AG＝EF＝CD＝1.7 m，DF＝CE＝32 m.在Rt△FGB中，tan∠GFB＝ ，∴GF＝ .在Rt△DGB中，tan∠GDB＝ ，∴GD＝ .∵GF＋DF＝GD，∴ ＋32＝ .∴GB＝ ≈ ＝38.4.∴AB＝AG＋GB≈1.7＋38.4≈40(m).答：世纪钟建筑AB的高度约为40 m.2. (2025·遂宁)在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度CF，在A处用高为1.6 m的测角仪AD测得摩天轮顶端C的仰角α＝37°，再向摩天轮方向前进30 m至B处，又测得摩天轮顶端C的仰角β＝50°.求摩天轮CF的高度.(结果精确到0.1 m)(参考数据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75， sin50°≈0.77， cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19)解：如右图，连接DE，延长线交CF于点G，∴DG⊥CF.∵DA⊥AF，BE⊥AF，CF⊥AF，∴四边形DEBA和四边形EGFB是矩形.∴DE＝AB＝30 m，BE＝GF＝1.6 m.设CG＝x m，在Rt△CEG中，tan∠CEG＝tan β＝ ，∴EG＝ ≈ .在Rt△CDG中，tan∠CDG＝tan α＝ ，∴DG＝ ≈ .∴ － ＝30，解得x≈60.85.∴CF＝CG＋GF＝60.85＋1.6＝62.45≈62.5(m).答：摩天轮CF的高度约为62.5 m.3. (2025·资阳)如图，已知水平地面AM上方有一个水平的平台BN，该平台上有一个竖直的建筑物CD. 在A处测得建筑物顶端C的仰角为30°，在B处测得C的仰角为60°，斜坡AB的坡度i＝1∶3，AB＝10 m，CD⊥BD. (点A，B，C，D在同一竖直平面内).(1)求平台BN的高度；解：(1)如图，过点B作BE⊥AM于点E.∵斜坡AB的坡度为1∶3，∴ ＝ .∴AE＝3BE.在Rt△ABE中，AB2＝BE2＋AE2，即(10 )2＝BE2＋(3BE)2，解得BE＝10.答：平台BN的高度为10 m.(2)求建筑物的高度(即CD的长).解：(2)如图，延长CD交AM于F，则CF⊥AM，∴四边形BEFD为矩形.∴DF＝BE＝10 m，BD＝EF.设CD＝x m，则CF＝(x＋10)m，在Rt△ACF中，∠CAF＝30°，∵tan∠CAF＝ ，∴ ＝ .∴AF＝ (x＋10)m.在Rt△CBD中，∠CBD＝60°，则BD＝ ＝ x m，由(1)可知，AE＝3BE＝30 m，∴ (x＋10)－ x＝30.解得x＝15 －15.答：建筑物的高度为(15 －15)m.4. (2025·长沙)如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上.为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D. 经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上.已知AB＝800 m.(1)求∠ACB的度数；解：(1)如图，由题意，得点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上，∴∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，∠BDM＝45°，BM⊥DM，BE∥AF∥DM.∴∠BCM＝∠CBE＝60°，∠ACM＝∠CAF＝30°.∴∠ACB＝∠BCM－∠ACM＝60°－30°＝30°.(2)求景点C与景点D之间的距离.(结果保留根号)解：(2)景点C与景点D之间的距离为(1 200－400 )m.类型二 背靠背型及拓展1. (2025·甘谷县校级一模)大数据时代的降临带来了大量爆炸性的知识增长，其中很大一部分被转化为实用技术推入商用，激光电视就是近几年发展相当迅猛的一种.激光电视最值得一提的是对消费者眼睛的保护方面.根据THX、ISF观影标准，水平视角33°～40°时，双眼处于肌肉放松状态，是享受震撼感官体验的客厅黄金观影位.如图，小智家决定换一台激光电视，他家客厅的观影距离(人坐在沙发A处眼睛到屏幕正中间的距离)为3.5 m，请你计算一下小智家要选择电视屏幕宽(BC的长)在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？(结果精确到0.1 m.参考数据： sin 33°≈0.54， cos 33°≈0.84，tan 33°≈0.65， sin 40°≈0.64， cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84， sin 16.5°≈0.28， cos 16.5°≈0.96，tan 16.5°≈0.30，sin 20°≈0.34， cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36)解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC.当∠BAC＝33°时，∠BAD＝ ∠BAC＝16.5°，在Rt△ABD中，AD＝3.5 m，∴BD＝AD·tan 16.5°≈3.5×0.3＝1.05(m).∴BC＝2BD＝2.1(m).当∠BAC＝40°时，∠BAD＝ ∠BAC＝20°，在Rt△ABD中，AD＝3.5 m，∴BD＝AD·tan 20°≈3.5×0.36＝1.26(m).∴BC＝2BD＝2.52(m).∴小智家要选择电视屏幕宽(BC的长)在2.1 m～2.52 m的激光电视就能享受黄金观看体验.2. (2025·定西三模)在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题.实践报告如表：实践报告：活动课题 测量两幢楼楼顶之间的距离活动工具 测角仪、皮尺等测量过程 【步骤一】如图，在楼AB和楼CD之间竖直放置测角仪MN，其中测角仪的底端M与楼的底部A，C在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内测量过程 【步骤二】利用测角仪测出楼顶B的仰角∠BNE＝45°，楼顶D的仰角∠DNF＝68.2°；【步骤三】利用皮尺测出AM＝40 m，CM＝20 m解决问题 根据以上数据计算两幢楼楼顶B，D之间的距离请你帮助兴趣小组解决以上问题.(参考数据： sin 68.2°≈0.93， cos68.2°≈0.37，tan 68.2°≈2.50， ≈6.08)解：如图，过点B作BG⊥DF，垂足为G.由题意，得NE⊥AB，NF⊥CD，BE＝FG，BG＝EF，AM＝EN＝40 m，NF＝CM＝20 m，∴BG＝EF＝EN＋NF＝40＋20＝60(m).在Rt△BEN中，∠BNE＝45°，∴BE＝EN·tan 45°＝40(m).∴BE＝FG＝40 m.在Rt△DNF中，∠DNF＝68.2°，∴DF＝NF·tan 68.2°≈20×2.5＝50(m).∴DG＝DF－FG＝50－40＝10(m).在Rt△BDG中，BD＝ ＝ ＝ ＝10≈10×6.08＝60.8(m)，∴两幢楼楼顶B，D之间的距离约为60.8 m.3. (2025·内江)在综合与实践活动中，某学习小组计划测量内江麻柳坝大桥桥塔AD的高度(如图甲).他们设计了如下方案：如图乙，点B、D、C依次在同一条水平直线上，在B处测得桥塔顶部A的仰角(∠ABD)为45°，在C处测得桥塔顶部A的仰角(∠ACD)为30°，又测得BC＝80m，AD⊥BC，垂足为D，求桥塔AD的高度(结果保留根号).解：设AD＝x m.∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，∴BD＝ ＝ ＝x(m).在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，∴CD＝ ＝ ＝ x(m).∵BC＝BD＋CD＝80 m，∴x＋ x＝80.解得x＝40 －40，∴AD＝(40 －40)m.答：桥塔AD的高度为(40 －40) m.4. (2025·凉山州)某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，货物M与点O的连线MO恰好平行于地面，BM＝3 m，∠BOM＝18.17°.(参考数据： sin 18.17°≈0.31， cos 18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33， sin 36°≈0.59， cos 36°≈0.81，tan 36°≈0.73，结果精确到1 m)(1)求直吊臂OB的长；解：(1)由题意，得BM⊥OM.∵∠BOM＝18.17°，BM＝3 m，∴在Rt△BOM中，OB＝ ＝ ≈10(m).答：直吊臂OB的长为10 m.(2)直吊臂OB与BM的长度保持不变，OB绕点O逆时针旋转，当∠OBM＝36°时，货物M上升了多少m？解：(2)如图甲，记旋转后的点B，M的对应点为B'，M'，延长B'M'交OM于点F，过点B作BE⊥B'F于点E，则∠BEF＝90°，由题意，得B'M＝BM＝3 m，OB'＝OB＝10 m，∴∠BEF＝∠EFM＝∠BMF＝90°.∴四边形EFMB为矩形.∴BM＝EF＝3 m.在Rt△B'OF中，B'F＝OB'· cos ∠OB'M＝10×0.81＝8.1(m)，∴M'F＝B'F－B'M'＝8.1－3＝5.1≈5(m).∴货物M上升了5 m.(共16张PPT)题型四 统计第二部分 重点题型突破类型一 统计图表的信息 统计图表信息读取为甘肃省中考必考考点：省卷五年连续考查，无一缺考；兰州卷五年两现，命题稳定.题型均以选择题、填空题形式呈现，分值虽小但得分关键.考生须具备从条形图、折线图、扇形图及频数分布表中快速提取数据、计算总量、比较大小、判断趋势的能力，并注意单位与百分号的准确性，方可在该考点稳取满分.1. (2025·泸州)某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数(单位：个)及方差(单位：个2)如表所示：甲 乙 丙 丁平均数 205 217 208 217方差 4.6 4.6 6.9 9.6根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择( B )A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁B2. (2025·甘谷县校级一模)2025年1月20日在甘肃省政府工作报告中指出：规模以上工业增加值增长，现代农业扩量提质，金融服务实体经济质效提升.全年经济运行逆势而进、向上向好、质量齐升.下面的统计图反映了2020－2024年某市“三产”产值增长率的情况.根据统计图提供的信息，下列结论错误的是( C )CA. 2020－2024年，工业产值增长率先降低后提高B. 2024年，“三产”中服务业的产值增长率最高C. 2020－2024年，农业的产值增长率每年持续增加D. 2020－2024年，“三产”中年产值增长率最小的是2.3％类型二 统计图表的分析 从统计图表分析数据属甘肃省中考必考且高频考点：省卷、兰州卷近五年均连续考查，无一缺考.命题要求考生立足图表，洞察数据间内在关联，据此推导未知信息；同时须熟练运用样本估计总体的方法，完成由局部到整体的合理推断.唯有兼具读图、析图、估总三项能力，方能在该考点稳获高分.1. (2025·黑龙江)2025年6月5日是中国的第11个环境日，育华中学八年级学生积极参加公益活动，为了解活动时间(单位：h)，张老师随机抽取了该校八年级m名学生进行问卷调查，用得到的数据绘制出如下两幅不完整的统计图.请根据相关信息，解答下列问题：(1)m＝ 200 ，扇形统计图中a＝ 30 ，并补全条形统计图；解：(1)补全条形统计图如右图.200 30 (2)在扇形统计图中，求参加公益活动时间为7 h所对应扇形圆心角的度数；解：(2)360°× ＝54°.答：参加公益活动时间为7 h所对应扇形圆心角的度数为54°.(3)若育华中学八年级共有学生1 200人，请根据样本数据，估计育华中学八年级参加公益活动的时间是10 h的学生有多少人？解：(3)1 200× ＝240(人).答：估计育华中学八年级参加公益活动的时间是10 h的学生有240人.2. (2025·湖北)为加强劳动教育，学校制定了《劳动习惯养成计划》，实施“家校社”联动行动，引导学生参与家务劳动、公益劳动等实践活动.学校在学期初和学期末分别对七年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问卷调查，两次调查均随机抽取50名学生.根据收集到的数据，将劳动时间x(单位：h)分为A(x＜2)，B(2≤x＜3)，C(3≤x＜4)，D(x≥4)四组进行统计，并绘制了学期初调查数据条形图，学期末调查数据扇形图和两次调查数据的平均数、中位数、众数统计表，部分信息如下.时间 平均数 中位数 众数学期初 2.8 2.9 2.8学期末 3.5 3.6 3.6(1)在学期初调查数据条形图中，B组人数是 20 人，并补全条形统计图；解：(1)补全条形统计图如学期初调查数据条形图.20 两次调查数据统计表(2)七年级有500名学生，估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于3 h的人数；解：(2)500×(52％＋16％)＝340(人).答：估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于3 h的人数为340人.(3)该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有没有提高？结合统计数据说明理由.解：(3)学期末比学期初有提高，由表格信息可得学期末比学期初的一周参与劳动时间的平均数，中位数，众数都增加了，∴该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有提高.3. (2025·成都)某公司需要经常快递物品，准备从A，B两家快递平台中选择一家作为日常使用.该公司让七位相关员工对这两家平台从物品完好度、服务态度与物流时长三项分别评分(单位：分).对平台A的服务态度评分为：86，88，89，91，92，95，96；对平台B的服务态度评分为：86，86，89，90，91，93，95.现将每项七个评分的平均值作为该项的得分，平台A，B各项的得分如下表：物品完好度 服务态度 物流时长平台A 92 m 90平台B 95 n 88(1)七位员工对平台A的服务态度评分的极差(最大值与最小值的差)是 10 分；10 (2)求表格中m，n的值，并以此为依据，请判断哪家平台服务态度更好；解：(2)m＝ ×(86＋88＋89＋91＋92＋95＋96)＝91，n＝ ×(86＋86＋89＋90＋91＋93＋95)＝90，∵91＞90，∴平台A的服务态度更好.(3)如果公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按5∶3∶2的比例确定平台的最终得分，并以此为依据选择平台，请问该公司会选择哪家平台？解：(3) ＝ ＝91.3(分)，＝ ＝92.1(分)，∵91.3＜92.1，∴该公司会选择平台B.(共8张PPT)题型一 分析判断函数图象第二部分 重点题型突破 结合几何图形性质，依据函数图象信息进行综合判断，是甘肃中考高频考点：省卷近五年连续考查，兰州卷2025年则聚焦函数类型辨析.解题关键在于以图形特征为切入点，精准对接函数与几何的双重属性.1. (2025·甘谷县校级一模)如图1，在正方形ABCD中，E是边AD的中点，动点P从点A出发，沿着A→B→C的路径以1 cm/s的速度运动到点C，设点P的运动时间为x(s)，△PEC的面积为y(cm2)，y与x的函数图象如图2所示，则△PEC面积的最大值为( B )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4第1题图B2. (2025·崆峒区校级三模)如图1，在△ABC中，∠ABC＞90°，点P从点A开始沿AC向点C运动，在运动过程中，设线段AP的长为x，线段BP的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，Q是函数图象上的最低点，则此时BP的长为( D )A. 2 B. C. D. 2第2题图D3. (2025·安定区三模)如图1，在△ABC中，AB＝AC，动点P从点A出发沿AC→CB匀速运动，运动到点B时停止.设点P的运动路程为x，线段BP的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为( C )A. (4，2 ) B. (4，2 )C. (3，2 ) D. (3，2 )第3题图C4. (2025·肃南县校级一模)如图1，在 ABCD中，点P沿A→B→C方向从点A移动到点C，设点P移动路程为x，线段AP的长为y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为( C )A. 4.4 B. 4.8 C. 5 D. 6第4题图C5. (2025·甘肃模拟)如图1，菱形ABCD中，连接AC，动点P从顶点B出发，沿B→C→A匀速运动，到点A后停止.设点P的运动路程为x，线段BP的长度为y，则y与x的函数图象如图2所示，其中M为曲线部分的最低点，则菱形ABCD的面积是( B )A. 20 B. 24 C. 40 D. 48B6. (2025·临洮县二模)如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿折线AB－BC向终点C运动.设点P的运动时间为t s，△APC的面积为S cm2，图2是点P运动过程中S与t之间函数关系的图象，则AC的长是( C )A. 6 cm B. 8 cm C. 10 cm D. 14 cmC(共18张PPT)题型二 简单计算题第二部分 重点题型突破类型一 实数运算 实数混合运算(特别是二次根式混合运算)属高频考点：省卷近五年考查四次，兰州卷近五年考查三次.掌握二次根式相关运算法是解题的关键.1. (2025·苏州)计算：｜－5｜＋32－ .解：原式＝5＋9－4＝10.2. (2025·湖南)计算：(－2 025)0＋｜－1｜－tan 45°.解：原式＝1＋1－1＝1.3. (2025·连云港)计算：(－2)×(－5)－ －()0.解：原式＝10－3－1＝6.4. (2025·北京)计算：｜－3｜＋ ＋()－1－2 sin 30°.解：原式＝3＋3 ＋2－1＝4＋3 .5. (2025·上海)计算：－ ＋｜2－ ｜＋()－3.解：原式＝ －1－2 ＋ －2＋8＝5.类型二 整式运算、因式分解 因式分解是甘肃中考“填空题”里的钉子户：省卷五年五考，兰州卷五年四考.牢记“一提二套三检查”是解题的关键.整式运算则偏爱“选择题”，省卷五年五考，2024年更是升格为解答题考整式化简求值；兰州卷五年三考，热度不减.熟练掌握混合运算顺序和法则是得分的关键.1. (2025·新疆)计算：a(1－a)＋(a＋1)(a－1).解：原式＝a－a2＋a2－1＝a－1.2. (2025·扬州)计算：a(a＋2)－a3÷a解：原式＝a2＋2a－a2＝2a.3. (2025·浙江)化简求值：x(5－x)＋x2＋3，其中x＝2.解：原式＝5x－x2＋x2＋3＝5x＋3.当x＝2时，原式＝5×2＋3＝13.4. (2025·永昌县校级三模)因式分解：a3－9a.解：原式＝a(a2－9)＝a(a＋3)(a－3).5. (2025·定西三模)因式分解：25y2－4x2.解：原式＝(5y)2－(2x)2＝(5y＋2x)(5y－2x).类型三 分式及分式方程 分式化简(含求值)是甘肃省中考命题常考板块：省卷近五年连续考查，无一遗漏；兰州卷五年四现，命题密度居高不下.题型以解答题与选择题并重，分值权重显著.分式方程及其应用虽热度略逊于化简考点，然仍为必考内容：省卷五年三现，兰州卷五年两现，题型以选择题、填空题为主；2025年兰州卷则以解答题形式呈现，分值权重明显提升。求解时务须严格遵循“去分母—解整式方程—检验增根”三步法，其中“检验”一步不可或缺.1. (2025·内蒙古)计算： · .解：原式＝ · ＝ .2. (2025·宜宾)计算：(－ )· .解：原式＝ ·＝ ·＝1.3. (2025·资阳)先化简，再求值：(＋2)÷ ，其中a＝2.解：原式＝ ·＝ ·＝ .当a＝2时，原式＝ ＝3.4. (2025·威海)解分式方程： －1＝ .解：方程两边同乘2x－1，得x－2－2x＋1＝－1.解得x＝0.检验：当x＝0时，2x－1≠0.∴x＝0是原分式方程的解.5. (2025·连云港)解方程： ＝ .解：方程两边同乘x(x＋1)，得2x＝3(x＋1).解得x＝－3.检验：当x＝－3时，x(x＋1)＝6≠0.∴x＝－3是原分式方程的解.6. (2025·上海)解方程： － ＝ .解：方程两边同乘(x－2)(x－1)，得(x－3)(x－1)－2＝2(x－2).解得x＝1或5.检验：当x＝1时，(x－2)(x－1)＝0，当x＝5时，(x－2)(x－1)≠0，∴x＝5是原分式方程的解.类型四 解方程(组)及不等式(组) 解不等式(组)为甘肃省中考命题高频考点：省卷与兰州卷近五年均连续考查，无一缺考.命题形式已由早年的选择题、填空题全面过渡至近三年统一以解答题呈现，分值及区分度显著提升.考生务必熟练掌握一元一次不等式组的求解步骤——分别求解各不等式、准确确定交集、规范数轴表示，并严格以区间形式给出最终答案.1. (2025·西和县二模)解方程组：②×2－①，得5x＝12.解得x＝ .把x＝ 代入②，得 －y＝8.解得y＝ .∴原方程组的解为解：整理方程组，得2. (2025·兰州一模)用配方法解方程：x2－4x－3＝0.解：移项，得x2－4x＝3.配方，得x2－4x＋4＝3＋4，即(x－2)2＝7.开方，得x－2＝± .∴x1＝2＋ ，x2＝2－ .3. (2025·长沙)解不等式组：解：解不等式①，得x＞－7.解不等式②，得x≤2.∴原不等式组的解集为－7＜x≤2.4. (2025·扬州)解不等式组并写出它的所有负整数解.解：解不等式①，得x≤1.解不等式②，得x＞－3.∴原不等式组的解集为－3＜x≤1.∴负整数解有－2，－1.5. (2025·自贡)解不等式组：并在数轴上表示其解集.解：解不等式①，得x＞－1.解不等式②，得x＜2.∴原不等式组的解集为－1＜x＜2.在数轴上表示出解集如图： 展开更多...... 收起↑ 资源列表 题型10 几何综合探究.pptx 题型11 平面直角坐标系下的新定义.pptx 题型1 分析判断函数图象.pptx 题型2 简单计算题.pptx 题型3 尺规作图.pptx 题型4 统计.pptx 题型5 概率.pptx 题型6 反比例函数的综合.pptx 题型7 解直角三角形的应用.pptx 题型8 圆的证明与计算.pptx 题型9 二次函数综合.pptx [Repaired].pptx
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