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全等三角形模型 —— 一线三垂直
情境导入
某市文旅局为吸引青少年探索城市文化，举办 “老城寻宝记” 活动。工作人员在地图上标注了两个线索点，参与者需根据线索找到最终宝藏点，具体信息如下：
线索点 1：老城钟楼雕塑（记为点 B，坐标 (5,3)）
线索点 2：巷尾文创小店（记为点 C，坐标 (2,1)）
活动规则明确：
最终宝藏点（记为点 G）需满足以下 2 个条件：
①三点 B、C、G 构成以 BC 为直角边的等腰直角三角形；
②宝藏点不能与 “游客服务中心
（记为点 A，坐标 (0,4)）” 重合（避免人流聚集影响服务）。
请根据以上信息，求出所有符合要求的宝藏点 G 的坐标。
模型认知
一线三垂直模型（同侧型） 一线三垂直模型（异侧型）
图形
条件与结论 已知AC=BC，∠ACB = 90°，直线l经过直角顶点C； 作图：过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E. 求证：△ADB≌△BEC .
证明 ∵AD⊥l，BE⊥l ∴∠ADC = ∠______ = 90° ∴∠DAC + ∠______ = 90° ∵∠ACB = 90° ∴∠______+∠ECB = 90° ∴∠DAC = ∠______ 在△ADC和△ECB中, ∴△ADC≌△CEB （AAS）. （可仿写证明过程）：
推论 ∴AD = CE , DC=BE ∵ DE = DC+ CE ∴DE = BE+AD
三、模型运用
①图形中已经存在“一线三垂直”，直接应用模型解题
例1.小李用7块长为5cm，宽为2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AB=BC，∠ABC=90°），点B在DE上，点A和C分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（ ）
A．21 B．23 C．24 D．28
变式训练：如图，△ACB为等腰直角三角形，BE⊥CE，AD⊥CE，DE=3cm，BE=2cm,则AD=( )
A．3cm B．4cm C．5cm D．7cm
②图形中存在“一线二垂直”，再构造“一个垂直”利用模型解题
例2.如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，A（0,3），C（1,0），则点B的坐标为________．
变式训练：如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ．
变式训练：如图1，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；
③图形中只有直线上一个角，再构造“两个垂直”利用模型解题
例3.如图，△ABC为等腰直角三角形，AC=BC，若A( 3，0)，C(0，2)，则点B的坐标为_________．
情境问题解决：
宝藏点 G 的坐标：
G1（ ， ）；G2（ ， ）G3（ ， ）
④图形中只有斜45度角，斜直角或斜Rt ，可构造“一线三等（直）角” 模型解题
拓展提升
例4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠DAB=2∠B=2∠CAD
（1）∠DAB=__________°
（2）求的值
巩固训练
如图， 且 ， 且 ，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积 是 (　　)
A． B． C． D．
2.如图，在矩形 中， 在 上， 在 上，且 ，，，矩形 的周长为 ，则 的长是 (　　)
A． B． C． D．
3．已知，如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC上一点，CE⊥AD于E，若CE＝2，则S△BEC＝　 　．
4．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：．
（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若，则______．
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全等三角形模型 “一线三垂直”教学设计
课题 一线三垂直 单元 第十四章 学科 数学 年级 八年级
学习目标 1.能从导学案中 “一线三垂直（同侧 / 异侧型）” 图形、“老城寻宝记”“木墙三角板” 情境里，抽象出模型核心特征，识别图形与坐标系中的模型关联关系。（数学抽象与直观想象）2.可独立完成导学案中模型的全等证明（同侧型补全、异侧型仿写），用 “同角的余角相等” 推导角关系。（逻辑推理）3.能运用模型解决导学案中三类问题（直接应用、构造 1 个 / 2 个垂直），且结合 “老城寻宝记” 情境，通过分类讨论计算出所有符合条件的宝藏点G坐标。（数学建模与运算）
重点 一线三垂直模型的结构特征、全等证明及直接应用
难点 根据图形条件构造一线三垂直模型（补全 “垂直” 条件），解决坐标类、几何计算类综合问题
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
情境导入 1. 利用多媒体展示导学案中的 “老城寻宝记” 情境及坐标图，引导学生聚焦关键信息；2. 提问：“要找到宝藏点 G，需解决等腰直角三角形顶点坐标问题，这类问题可通过特殊全等模型快速突破，大家想知道这个模型是什么吗？” 1. 阅读导学案 “情境导入” 部分2. 思考 “如何确定等腰直角三角形顶点坐标” 的问题，产生探究需求。 1. 以生活化情境激发学生兴趣，让学生感受数学与实际生活的联系；2. 通过问题引导，使学生产生探究模型的内在需求，自然引入课题。
模型认知 1. 展示导学案中的两种模型图形，引导学生对比观察，提问：“两种模型有哪些相同的条件和结构？”2. 针对同侧型证明，点拨关键角的关系3. 巡视学生仿写异侧型证明的过程，对常见错误（如角的对应关系混淆）进行个别指导； 1. 观察导学案中 “一线三垂直（同侧型、异侧型）” 的图形，找出两种模型的共性特征2. 小组合作完成导学案中 “同侧型模型证明” 的空白填空3. 独立仿写 “异侧型模型” 的证明过程，完成后同桌互查，修正错误 通过观察、填空、仿写，让学生主动参与模型的推导过程，理解模型的结构特征和全等证明逻辑；2. 小组合作与同桌互查，培养学生的合作交流能力和纠错意识；
模型运用
类型一：直接应用模型 1. 呈现导学案例 1 的图形，提问：“这个图形是否符合一线三垂直模型？如何利用模型找到等量关系？”2. 点评变式训练 1 的答案，强调 “AD=CE=DE+BE=3+2=5cm” 的推导逻辑，巩固模型推论的应用。 1. 独立阅读导学案 “例 1”（木墙与等腰直角三角板问题），结合模型特征分析解题思路，在导学案上标注关键等量关系2. 快速完成导学案 “变式训练 1” 1. 直接应用模型解题，帮助学生快速熟悉模型的使用场景，强化 “模型→结论” 的直接关联；2. 变式训练快速反馈，及时检验学生对模型推论的掌握程度。
类型二：构造 “一个垂直” 1. 讲解例2如何构造垂直2. 巡视小组讨论情况 1. 听老师讲解例2；2. 小组讨论完成导学案两个 “变式训练 ” 1. 突破 “构造垂直” 的难点，培养学生 “补全模型” 的思维能力；2. 小组讨论与提升学生的合作能力3. 结合坐标计算，将几何模型与代数知识结合，强化数形结合思想。
类型三：构造 “两个垂直” 1. 提问：“图形中仅有点 A、C 的坐标和直角条件，需要构造几个垂直才能形成一线三垂直模型？”（引导：过 A、B 分别作 y 轴的垂线）；2. 对 “y 轴为公共直线 l” 的模型定位进行提示，帮助学生确定构造方向； 1. 阅读导学案 “例 3”2.根据老师提示构造垂线，完成例3 1.进一步提升模型构造难度，让学生掌握 “仅含基础条件时补全两个垂直” 的方法；
情境解决 1. 引导学生分类：“以 BC 为直角边，直角顶点可能是 B 或 C，需分两种情况讨论”；2. 巡视各小组的构造和计算过程，对 “直角顶点为 B 时的垂直构造”（过 B 作 x 轴、y 轴的垂线）进行指导；3. 强调 “分类讨论思想” 在几何问题中的重要性，避免遗漏符合条件的点。 1. 小组合作，结合导学案 “情境问题解决”，对 “宝藏点 G” 进行分类讨论（以 BC 为直角边，分∠B 为直角、∠C 为直角两种情况）；2. 验证 “宝藏点不与 A（0,4）重合”，确认三个坐标均有效，派小组代表汇报结果。 1. 回归课堂导入的情境问题，实现 “问题引入→模型学习→问题解决” 的闭环，让学生感受知识的实际应用价值；2. 分类讨论求解，培养学生的逻辑严谨性和全面思考问题的能力；3. 小组合作汇报，进一步强化合作交流能力和成果展示意识。
类型四：拓展 “一线三等角” 1. 引导学生再次回顾“一线三垂直模型”2.提升学生应如何作辅助线构造模型 1. 倾听教师对 “一线三等角” 模型的简要介绍，了解 “非直角情况下构造垂直仍可证明全等”；2. 阅读导学案 “例 4”，小组讨论协作完成 1. 为学有余力的学生提供拓展方向，拓宽知识视野；2. 明确 “拓展模型与核心模型的关联”，帮助学生建立知识体系。
课堂总结 1. 引导学生回顾：“本节课我们学习的一线三垂直模型，条件和结论是什么？学了多少中应用方法？2. 提炼核心思想：“遇到等腰直角三角形与直线结合的问题，可尝试构造一线三垂直模型，将未知转化为已知”。 1. 回顾本节课内容，在导学案上梳理 “一线三垂直模型” 的结构特征、全等条件、推论及三类应用场景（直接应用、构造 1 个垂直、构造 2 个垂直） 1. 梳理知识脉络，帮助学生将零散的知识点整合为系统的知识体系；2. 提炼核心思想，提升学生的数学思维能力，为后续解决同类问题提供方法论支持。
五、板书设计
“一线三垂直”模型
（同侧型） （异侧型）
条件：AC=BC，∠ACB = 90°，AD⊥l，BE⊥l于点E
结论:△ADC≌△CEB；AD = CE , DC=BE；DE = BE+AD
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全等三角形模型 —— 一线三垂直
情境导入
某市文旅局为吸引青少年探索城市文化，举办 “老城寻宝记” 活动。工作人员在地图上标注了两个线索点，参与者需根据线索找到最终宝藏点，具体信息如下：
线索点 1：老城钟楼雕塑（记为点 B，坐标 (5,3)）
线索点 2：巷尾文创小店（记为点 C，坐标 (2,1)）
活动规则明确：
最终宝藏点（记为点 G）需满足以下 2 个条件：
①三点 B、C、G 构成以 BC 为直角边的等腰直角三角形；
②宝藏点不能与 “游客服务中心
（记为点 A，坐标 (0,4)）” 重合（避免人流聚集影响服务）。
请根据以上信息，求出所有符合要求的宝藏点 G 的坐标。
模型认知
一线三垂直模型（同侧型） 一线三垂直模型（异侧型）
图形
条件与结论 已知AC=BC，∠ACB = 90°，直线l经过直角顶点C； 作图：过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E. 求证：△ADB≌△BEC .
证明 ∵AD⊥l，BE⊥l ∴∠ADC = ∠ CEB = 90° ∴∠DAC + ∠ ACD = 90° ∵∠ACB = 90° ∴∠ ACD +∠ECB = 90° ∴∠DAC = ∠ ECB 在△ADC和△ECB中, ∴△ADC≌△CEB （AAS）. ∵AD⊥l，BE⊥l ∴∠ADC = ∠ CEB = 90° ∴∠DAC + ∠ ACD = 90° ∵∠ACB = 90° ∴∠ ACD +∠ECB = 90° ∴∠DAC = ∠ ECB 在△ADC和△ECB中, ∴△ADC≌△CEB （AAS）.
推论 ∴AD = CE , DC=BE ∵ DE = DC+ CE ∴DE = BE+AD ∴AD = CE , DC=BE ∵ DE =CE-DE ∴DE = AD-BE
三、模型运用
①图形中已经存在“一线三垂直”，直接应用模型解题
例1.小李用7块长为5cm，宽为2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AB=BC，∠ABC=90°），点B在DE上，点A和C分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（ B ）
A．21 B．23 C．24 D．28
变式训练：如图，△ACB为等腰直角三角形，BE⊥CE，AD⊥CE，DE=3cm，BE=2cm,则AD=( C )
A．3cm B．4cm C．5cm D．7cm
②图形中存在“一线二垂直”，再构造“一个垂直”利用模型解题
例2.如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，A（0,3），C（1,0），则点B的坐标为 （4,1） ．
变式训练：如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 3 ．
变式训练：如图1，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；
③图形中只有直线上一个角，再构造“两个垂直”利用模型解题
例3.如图，△ABC为等腰直角三角形，AC=BC，若A( 3，0)，C(0，2)，则点B的坐标为 （2，-1） ．
情境问题解决：
宝藏点 G 的坐标：
G1（ 4 ， -2 ）；G2（ 3 ， 6 ）G3（ 7 ， 0 ）
④图形中只有斜45度角，斜直角或斜Rt ，可构造“一线三等（直）角” 模型解题
拓展提升
例4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠DAB=2∠B=2∠CAD
（1）∠DAB= 45 °
（2）求的值
巩固训练
如图， 且 ， 且 ，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积 是 (　A　)
A． B． C． D．
2.如图，在矩形 中， 在 上， 在 上，且 ，，，矩形 的周长为 ，则 的长是 (　D　)
A． B． C． D．
3．已知，如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC上一点，CE⊥AD于E，若CE＝2，则S△BEC＝　 2 　．
4．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：．
（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若，则______．
(2)
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二一教言\
让教学更有效
专题学习
全等模型之一线三垂直
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让教学更有效
01
教学目标
05
拓展提升
目录
02
情境导入
06
课堂总结
Contents
03
模型认知
04
模型运用
01
教学目标
公二一敦盲
1.能从导学案中“一线三垂直（同侧/异侧型)”
图形、“老城寻宝记”“木
墙三角板”情境里，抽象出模型核心特征，识别图形与坐标系中的模型关联关
系。（数学抽象与直观想象）
2.可独立完成导学案中模型的全等证明（同侧型补全、异侧型仿写），用“同角
的余角相等”推导角关系。（逻辑推理）
3.能运用模型解决导学案中三类问题（直接应用、构造1个/2个垂直），且结
合“老城寻宝记”情境，通过分类讨论计算出所有符合条件的宝藏点G坐标。
(数学建模与运算)
02
情境导入
二一戴盲
某市文旅局为吸引青少年探索城市文化，举办“老城寻宝
老城
记”活动。工作人员在地图上标注了两个文化线索点，参与者
需根据线索找到最终宝藏点，具体信息如下：
寻宝记
DAO NENG
线索点1：老城钟楼雕塑（记为点B,坐标(5,3)
线索点2：巷尾文创小店（记为点C,坐标(2,1)
6
0
活动规则明确：
游客服务中心
B(5,3)》
最终宝藏点（记为点G)需满足以下2个条件：
A(0,4)
线索点1：钟楼雕塑
①三点B、C、G构成以BC为直角边的等腰直角三角形；
3
C(2,1)
②宝藏点不能与“游客服务中心
2
线索点Z:文创小店
（记为，点A,坐标(0,4)”重合（避免人流聚集影响服
务)。
0
3
45678
9
请根据以上信息，求出所有符合要求的宝藏点G的坐标。
03
模型认知
飞二一载言
一
线三垂直模型（同侧型）
已知AC=BC,∠ACB=90°，直线I经过直角顶点C;
作图：过，点A作AD⊥1于点D,过点B作BE⊥I于点E
求证：△ADB拦△BEC.
B
E
03
模型认知
一线三垂直
二一戴盲
一线三垂直模型（异侧型)
打开GeoGebrai课件
E
B
D
公二一载言
①图形中已经存在“一线三垂直”，直接应用模型解题
04
模型运用
二一戴盲
①图形中已经存在“一线三垂直”，直接应用模型解题
例1.小李用7块长为5cm,宽为2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的
木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AB=BC,∠ABC=90°)，点B
在DE上，点A和C分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为()
A.21
B.23
C.24
D.28
C
D
B
E

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